Pengantar Dasar Matematika untuk Perguru

Pengantar Dasar Matematika untuk Perguruan Tinggi Latihan 1.

1. Jika

p

menjadi pernyataan "

segitiga kongruen

" dan

q

pernyataan "

garis

sejajar

.” Tulislah pernyataan tersebut dengan menggunakan simbol berikut ∧, V, V , dan

(a) Segitiga kongruen dan garis-garis sejajar. (b) Segitiga tidak kongruen.

(c) Segitiga kongruen dan garis-garis tidak sejajar. (d) Segitiga tidak kongruen dan garis-garis sejajar. (e) Tidak benar bahwa itu garis sejajar.

(f) Baik garis sejajar atau segitiga kongruen, tapi tidak keduanya. (g) Tidak benar bahwa garis-garis tidak sejajar.

Jawaban : (a) p ∧ q (b)

p

(c)

p

∧

q

(d)

p

∧ q (e)

q

(f)

p

V q (g)

q

¿

)

2. Jika

p

adalah pernyataan “

sudut adalah sudut kanan

” dan

q

adalah pernyataan “

segitiga sama kaki

.” Buatlah menjadi sebuah kalimat pernyataan dengan mengikuti simbol-simbol berikut:

(a) p ∧ q (b) p ∧

q

(c)

p

∧ q (d)

p

(e) p V q (f)

p

V q (g)

p

∧

q

(h)

(

p

)

(i)

p

¿

∧ q) V (p ∧

q

)

Jawaban :

(a) Sudut- sudut kanan dan segitiga sama kaki. (b) Sudut-sudut kanan dan segitiga tidak sama kaki. (c) Sudut bukan sudut kanan dan segitiga sama kaki. (d) Sudut bukan sudut kanan.

(e) Sudut-sudut kanan atau segitiga sama kaki.

(f) Sudut bukan sudut kanan atau segitiga sama kaki. (g) Sudut bukan sudut kanan dan segitiga bukan sama kaki. (h) Tidak benar sudut bukan sudut kanan.

(i) Sudut bukan sudut kanan dan segitiga sama kaki, atau sudut-sudut kanan dan segitiga bukan sama kaki.

(b) Jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180

°.

(c) Garis sejajar dan sudut-sudut kanan.

(d) 46 adalah bukan bilangan bulat. (e) Salah bahwa sudut adalah sudut.

(f) Tidak benar bahwa segiempat adalah persegi. Jawaban :

(a) Tidak benar bahwa sudut-sudut alas segitiga apapun kongruen. (b) Tidak benar bahwa jumlah ukuran sudut segitiga adalah 180

°.

(c) Garis tidak sejajar dan bukan sudut-sudut kanan.

(d) 46 adalah bilangan bulat. (e) Sudut adalah sudut.

(f) Segiempat adalah persegi.

Latihan 2.

1. Buatlah tabel kebenaran untuk setiap pernyataan berikut: (a) p

∧

q

(b) p V

q

(c) ( p

∧

q)

(d) (p V q)

∧

¿

¿

p

∧

q)

(e) p

∧

p

(f) (p V q) V q

(g) p V q

(h) ( p V q)

(i) (p

∧

q) V ( p

∧

q)

(j) (p V q)

∧

p

Jawaban: (a)

p q q p

∧

q

B B S S

B S B B

S B S S

S S B S

(b)

p q

p q p V

q

B B S S S

S B B S B

S S B B B

(c)

p q

q p

∧

q

(p

∧

q)

B B S S B

B S B B S

S B S S B

S S B S B

(d)

p q p V q p

∧

q

(p

∧

q)

(p V q)

∧

( p

∧

q)

B B B B S S

B S B S B B

S B B S B B

S S S S B S

(e) P

p p

∧

p

B S S

B S S

S B S

S B S

(f)

p q

q

p V q (p V q) V q

B B S B B

B S B B S

S B S B B

S S B S B

(g)

p q

p p V q

B B S B

B S S S

S B B B

(h)

p q

p ( p V q) p(

Vq)

B B S B S

B S S S B

S B B B S

S S B B S

(i)

P q

p q p

∧

q

p

∧

q (p V (

∧

p

∧

q) q)

B B S S S S S

B S S B B S B

S B B S S B B

S S B B S S S

(j)

P Q p V q (

p V q) p V q)

∧

p(

B B B S S

B S B S S

S B B S S

S S S B S

2. Tentukan mana pernyataan dalam latihan 1 yang bernilai setara. Jawaban:

p

∧

q

≡

( p Vq)

(p

∧

q)

≡

(p V q) V q

≡

p V q

(p V q)

∧

(p

∧

q)

≡

(p

∧

q) V (

p

∧

q)

p

∧

p

≡

(p V q)

∧

p

(a) “ segitiga memiliki tiga sisi dan kotak tidak memiliki tepat tiga sisi, atau kotak memiliki tepat tiga sisi dan segitiga tidak memiliki tiga sisi.” (b) “ segitiga memiliki tiga sisi dan kotak memiliki tepat tiga sisi adalah

pernyataan yang salah.”

(c) “kotak tidak memiliki tepat tiga sisi dan kotak memiliki tepat tiga sisi.” (d) “ segitiga tidak memiliki tiga sisi atau kotak memiliki tepat tiga sisi.” Jawaban:

(a) p q p

∧

q

q p p

∧

q

B S S S S S

(b) p q p

∧

q

B S S

(c) q q q

∧

q

B S S

(d) p q p V q

S S S

4. Tentukan nilai kebenaran untuk bagian (a), (c), (f), dan (g) latihan 1 (hal.4), jika p adalah benar dan q adalah salah.

p: “segitiga kongruen” (B: benar). q: “garis sejajar” (S: salah).

Jawaban:

(a). p q p

∧

q

B S S

(c). p q p

∧

q

B B B

(f). p q p V q

B S B

(g). q ( q)

B S

5. Buatlah tabel kebenaran untuk masing-masing pasangan pernyataan berikut dan tentukan mana pasangan yang pernyataannya bernilai setara.

(b) (p V q) ; p V q

(c) (p Vq) ; ( p V q)

(d) (p V q) ; ( p

∧

q)

Jawaban: (a)

P p (

p)

B S B

B S B

S B S

S B S

(b)

P q

p q p V

q p V q

B B S S B B

B S S B B S

S B B S S B

S S B B B B

(c)

P q

p q p V q (p V q) p V

q

( p V

q )

B B S S S B S B

B S S B B S B S

S B B S B S B S

S S B B S B B S

(d)

p q

p q p V q (p V q) p

∧

q

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

Latihan 3.

1. Butikan bahwa p

→

q dan p

→

q merupakan pernyataan yang tidak senilai.

2. Buatlah pernyataan invers, converse, dan contrapositive dari masing-masing implikasi berikut:

(a) Jika sebuah segitiga adalah segitiga sama kaki, maka sudut sebarang sisi kongruen.

(b) Jika x = 5, maka x2 _{+ 6 =31.} (c) Jika 4 adalah x2_{, maka 2 adalah x.}

(d) Jika masing-masing sisi suatu segitiga kongruen, maka segitiga itu kongruen.

(e) Jika terdapat kedua angka yang sama, maka mereka adalah kotak yang sama.

(f) Jika x merupakan bilangan bulat, maka 2x adalah bilangan bulat . (g) Jika x2 _{= 6x, maka x = 6 atau x = 0.}

(h) Jika sebuah poligon tidak memiliki keempat sisi, maka poligon tersebut bukan persegi.

3. Tulislah kedalam bentuk simbol contrapositive, converse, dan inverse dari implikasi di dalam latihan 2 (a) dan 2 (h).

4. (a) Tulislah converse dari contrapositive “ Jika p, maka q.”

(b) Tulislah contrapositive dari invers “ Jika bukan q, maka bukan p.” (c) Tulislah inverse dari converse “ Jika p, maka bukan q.”

5. Buktikan bahwa inverse dan converse dari implikasi pernyataan adalah setara.

6. Buktikan bahwa inverse dan contrapositive dari implikasi adalah tidak setara.

7. Buktikan bahwa converse dan contrapositive dari implikasi adalah tidak setara.

8. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan berikut:

a. ( p

→

q) V q

b. Jika dua sudut tidak kongruen, maka kedua sudut bukan sudut kanan. c. (p

→

q)

∧

(q

→

p)

d. [( p

∧

q)

→

q]

∧

[q

→

( p

∧

q)]

Jawaban :

1. p

→

q tidak

≡

p

→

q

P Q

p q p

→

q p

→

q

B B S S B B

B S S B S B

S B B S B S

S S B B B B

Converse : Jika sudut sebarang sisi adalah kongruen, maka segitiga itu adalah segitiga sama kaki.

Contrapositive : Jika sudut sebarang sisi tidak kongruen, maka segitiga itu bukan segitiga sama kaki.

(b) Inverse : Jika x

≠

5, maka x2 _{+ 6}

≠

_31. Converse : Jika x2 _{+ 6 = 31, maka x = 5.}

Contapositive : Jika x2 _{+ 6}

≠

_{31, maka x}

≠

_5.

(c) Inverse : Jika 4 adalah bukan x2_{, maka 2 adalah bukan x.} Converse : Jika 2 adalah x, maka 4 adalah x2

Contrapositive : Jika 2 adalah bukan x, maka 4 bukan x2

(d) Inverse : Jika masing-masing sisi suatu segitiga tidak kongruen, maka segitiga itu bukan segitiga kongruen.

Converse : Jika suatu segitiga adalah segitiga kongruen, maka masing-masing sisi suatu segitiga kongruen.

Contrapositive : Jika suatu segitiga adalah bukan segitiga kongruen, maka

masing-masing sisi suatu segitiga tidak kongruen.

(e) Inverse : Jika terdapat kedua angka yang tidak sama, maka mereka adalah bukan kotak yang sama.

Converse : Jika terdapat kotak yang sama, maka kedua angkanya sama.

Contrapositive : Jika terdapat kotak yang tidak sama , maka kedua angkanya tidak sama.

(f) Inverse : Jika x adalah bukan bilangan bulat, maka 2x adalah bukan bilangan bulat .

Converse : Jika 2x adalah bilangan bulat, maka x adalah bilangan bulat. Contrapositive : Jika 2x adalah bukan bilangan bulat, maka x adalah bukan bilangan bulat.

(g) Inverse : Jika x2

≠

_{6x, maka x}

≠

_{6 atau x}

≠

₀ Converse : Jika x = 6 atau x = 0, maka x2 _{= 6x}

Contrapositive : Jika x

≠

6 atau x

≠

0, maka x2

≠

_6x (h) Inverse : Jika sebuah poligon memiliki empat sisi, maka poligon

tersebut adalah persegi.

Converse : Jika sebuah poligon bukan persegi, maka poligon tersebut tidak memiliki keempat sisi.

Contrapositive : Jika sebuah poligon adalah persegi, maka poligon tersebut memiliki keempat sisi.

3. Jika sebuah segitiga adalah segitiga sama kaki, maka sudut sebarang sisi kongruen.

p q

(a) Invers : p

→

q

Contrapositive : q

→

p

Jika sebuah poligon tidak memiliki keempat sisi, maka poligon tersebut bukan persegi.

p q

(h) Invers : p

→

q

Converse : q

→

p

Contrapositive : q

→

p

4. (a) Tulislah converse dari contrapositive “ Jika p, maka q.” Contrapositive : Jika bukan q maka bukan p. Converse : Jika bukan p maka maka bukan q.

(b) Tulislah contrapositive dari invers “ Jika bukan q, maka bukan p.” Inverse : Jika q maka p.

Contrapositive : Jika bukan p maka bukan q. (c) Tulislah inverse dari converse “ Jika p, maka bukan q.”

Converse : Jika bukan q maka p.

Inverse : Jika q maka bukan p.

5. Buktikan bahwa inverse dan converse dari implikasi pernyataan adalah setara.

P q

p q p

→

q p

→

q q

→

p

B B S S B B B

B S S B S B B

S B B S B S S

S S B B B B B

6. Buktikan bahwa inverse dan contrapositive dari implikasi adalah tidak setara.

P q

p q p

→

q p

→

q q

→

p

B B S S B B B

B S S B S B S

S B B S B S B

S S B B B B B

7. Buktikan bahwa converse dan contrapositive dari implikasi adalah tidak setara.

p q q

→

p

B B S S B B B

B S S B S B S

S B B S B S B

S S B B B B B

8. Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan berikut:

(a) ( p

→

q) V q

p Q

p p

→

q (p

→

q) v q

B B S B B

B S S B B

S B B B B

S S B S S

(b) Jika dua sudut tidak kongruen, maka kedua sudut bukan sudut kanan

≡

p

→

q.

P q

p q p

→

q p

→

q

B B S S B B

B S S B S B

S B B S B S

S S B B B B

(c) (p

→

q)

∧

(q

→

p)

p Q p

→

q q

→

p (p

→

q)

∧

(q

→

p

)

B B B B B

B S S B S

S B B S S

S S B B B

(d) [( p

∧

q )

→

q]

∧

[q

→

( p

∧

q)]

P q

p p

( q

→

( [( p

∧

q )

→

∧

q

p

∧

q)

→

q

p

∧

q) p

∧

q)]

B B S S B S S

B S S S B B B

S B B B B B B

S S B S B B B

Latihan 4.

1. Perlihatkan bahwa p

↔

q dan q

↔

p adalah pernyataan yang setara. 2. a) tulislah implikasi yang setara dari latihan 2, bagian 1.4, menggunakan

bahasa “kondisi yang diperlukan.”

b) tulislah implikasi yang setara dari latihan 2,bagian 1.4, menggunakan bahasa “kondisi yang cukup.”

c) tulislah sebuah konvers dari kontrapositif implikasi latihan 2, bagian 1.4, menggunakan bahasa “syarat perlu” dan kemudian “syarat cukup.” d) tulislah konvers dari implikasi latihan 2, bagian 1.4, dengan

menggunakan “hanya jika.”

3. Seorang guru berjanji kepada salah seorang muridnya “ Saya akan memberikan kamu nilai A jika pada ujian akhir kamu memperoleh A” dan kemudian gurunya memberi nilai B. Apakah pertanyaan yang tepat untuk dapat di ajukan oleh murid tersebut?

4. Buatlah tabel kebenaran untuk menentukan apakah pernyataan berikut bernilai setara :

a) p

↔

q; ( p

→

q)

∧

(q

→

p)

b) ( p)

↔

(p v q); ( q)

↔

(

p v q)

c) (p v q)

↔

( p

∧

q);

[( q

∧

p)

→

(p v q)]

∧

[

(p v q)

→

( q

∧

p)]

5. Tulislah pernyataan berikut dalam bentuk implikasi :

a) Sudut yang kongruen adalah syarat cukup untuk segitiga sama sisi. b) Sudut yang kongruen adalah syarat yang diperlukan untuk segitiga

sama sisi.

c) Syarat yang diperlukan untuk dua segitiga sama sisi adalah dua sudutnya kongruen.

d) A sufficient condition for two lines being parallel is that they are perpendicular to the same line.

6. Tulislah pernyataan berikut dalam bentuk biimplikasi:

a) Syarat yang diperlukan dan cukup untuk segitiga sama sisi adalah bahwa ketiga sudutnya kongruen.

b) The unit digit of a number being five or zero is a necessary and sufficient condition for the number to be an integral multiple of five. Jawaban :

1.

P Q p

↔

q

q

↔

p

B B B B

B S S S

S B S S

2. a) Jika sesuatu dikatakan sebuah seigitiga maka ia perlu memiliki ketiga sisi.

b) Jika terdapat sebuah bidang yang memiliki ketiga sisi maka ia merupakan syarat cukup untuk suatu segitiga.

c) Jika suatu bidang memiliki ketiga sisi maka ia merupakan syarat perlu untuk sebuah segitiga. Dan jika suatu bidang tidak memiliki ketiga sisi maka ia merupakan syarat cukup untuk tidak menjadi sebuah segitiga. d) Suatu bidang memiliki ketiga sisi hanya jika ia merupakan sebuah

segitiga.

4. a) p

↔

q; ( p

→

q)

∧

(q

→

p)

P Q

p p

→

q q

→

p p

↔

q (

→

q)

∧

(qp

→

p)

B B S B S S S

B S S B B B B

S B B B B B B

S S B S B S S

b)( p)

↔

(p v q); ( q)

↔

(

p v q)

P Q

p q p v

q p v q

( p)

↔

(p v q)

( q)

↔

(

p v q)

B B S S B B S S

B S S B B S S S

S B B S S B S S

S S B B B B B B

c

¿

(p v q)

↔

( p

∧

q);

[( q

∧

p)

→

(p v q)]

∧

[

(p v q)

→

( q

∧

p)]

P Q

p q p vq (p v q) p

∧

q

(p v q)

↔

( p

∧

q)

B B S S B S S B

B S S B B S S B

S B B S B S S B

q

∧

p

(p v q) [(

∧

q

p)

→

(p v q)]

[ (p v q)

→

( q

∧

p)]

[( q

∧

p)

→

(p v q)]

∧

[ (p

v q)

→

( q

∧

p)]

S S B B B

S S B B B

S S B B B

B B B B B

5. a) Jika suatu sudut kongruen maka dia adalah segitiga sama sisi. b) Jika suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi maka sudutnya kongruen.

c) Jika terdapat dua buah segitiga yang sama maka kedua sudutnya sama. d) If the two lines being parallel then they are perpendicular to the same line.

6. a) Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama besar.

b) one-digit unit number five or zero is said to be a five-digit number units or zero if and only if the number to be some integral part of five.

Latihan 5.

1. Buatlah tabel tidak terdefinisi dari istilah geometri dan tunjukkan bagaimana ini digunakan dalam mendefinisikan istilah lain.

2. Membuat daftar aksioma dari geometri dan memberikan contoh bagaimana masing-masing digunakan dalam membuktikan teorema. 3. Buktikan pernyataan berikut.

a) Jumlah dari dua bilangan bulat bahkan ini bahkan. (definisi: x adalah integer bahkan jika x = 2n, dan n adalah bilangan bulat.)

b) Ada nilai-nilai x yang x 2-7 x + 12 = 0. c) (x+ 2)2 _{= x}2 _{+ 4x + 4.}

4. Menyangkal pernyataan berikut. "produk dari setiap dua bilangan bulat-bahkan aneh." (definisi: y adalah integer aneh jika y = 2 m + 1, dan m adalah bilangan bulat.)

5. Uji argumen berikut :

a) p v q c) p v q

p

→

q p

∧

q

Consclusion: q p

↔

q

b) p

↔

q Consclusion: p

q d) p v q

Consclusion: p q

→

p

Consclusion: q

a) “fakta bahwa poligon adalah persegi ini cukup untuk mengatakan itu adalah sebuah persegi panjang."

"poligon adalah sebuah persegi panjang." Consclusion: "poligon adalah persegi."

b) "hanya jika segiempat genjang adalah sisi yang berlawanan kongruen." "sisi yang berlawanan tidak kongruen."

Consclusion: "segiempat bukanlah genjang."

Exercises 5

1. Make a list of undifined terms from geometry and show how these are used in defining other terms.

2. Make a list of axioms from geometry and give an example how each is used in proving a theorem.

3. Prove the following statements.

a) The sum of two even integer is even (definition : x is an even integer if x = 2n, and n is an integer.)

b) There exist values of x for which x2 _{– 7x + 12 = 0.} c) (x + 2)2 _{= x}2 _{+ 4x + 4.}

4. Disprove the following statement. “ the product of any two even integers is odd.” (defintion: y is an odd integer if y = 2m + 1, and m is an integer.) 5. Test the following arguments for validity:

a) p v q c) p v q

p

→

q p

∧

q

Consclusion: q p

↔

q

b) p

↔

q Consclusion: p

q d) p v q

Consclusion: p q

→

p

Consclusion: q

6. Write the following arguments in symbolic form and determine the validity of each.

a) The fact that the polygon is a square is sufficient to say it is a rectangle.

The polygon is a rectangle.

Conclusion : the polygon is a square.

b) Only if the quadrilateral is a parallelogram are the opposite sides congruent.

The opposite sides are not congruent.