ANALISIS DATA STATISTIK. Adi Setiawan

ANALISIS

DATA STATISTIK

Adi Setiawan

Penerbit Tisara Grafika Salatiga

Katalog Dalam Terbitan

519.5

ADI Adi Setiawan

a Analisis data statistik/ Adi Setiawan. -- Salatiga : Tisara Grafika, 2017. v, 225 p. ; 25 cm.

ISBN 978-602-9493-52-8

1. Statistics. I. Title.

Cetakan pertama : September 2017 Hak Cipta : Pada Penulis Disain Sampul : Tisara Grafika Tata letak : Harrie Siswanto Percetakan : Tisara Grafika Penerbit : Tisara Grafika

Hak Cipta dilindungi oleh Undang-undang

Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh buku ini tanpa seijin penulis

Diponegoro 98 D SALATIGA - JAWA TENGAH Telp. 0298-321798 | Mobile: 0812 2859 8985 Email: harriesiswanto@gmail.com

KATA PENGANTAR

Buku ini disusun berjudul Analisis Data Statistik untuk memenuhi mata kuliah Statistika Lanjut. Statistik Dasar yang dipelajari dalam 3 sks sering kali belumlah mencakup banyak hal sehingga sangat kurangnya latar belakang teori yang digunakan di dalam analisis data. Buku ini disusun berdasarkan pengalaman mengajar maupun dalam penelitian serta membim-bing mahasiswa dalam melakukan penelitian baik untuk mahasiswa program studi S1 Matematika, S2 Magister Sains Psikologi maupun S2 Magister Sistim Informasi.

Dalam abad data sekarang ini, metode ekstraksi data menjadi informasi sangatlah penting sehingga akan dapat - untuk menghadapi permasalahan-permasalahan yang akan muncul di kemudian hari. Algoritma yang efisien dalam analisis data sangatlah diperlukan di waktu mendatang, namun dasar-dasar teori statistik yang kuat akan sangat bermanfaat dalam menganalisis data-data yang makin banyak jenis dan besaran datanya.

Kritik dan saran yang membangun akan sangat kami harapkan agar buku ini menjadi semakin bermanfaat.

Salatiga, September 2017 Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR iii

DAFTAR ISI v

I PENDAHULUAN 1

II PENCARIAN DISTRIBUSI DATA SECARA EKSPLORATIF

2

III UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI NORMAL 24

IV UJI KECOCOKAN:DISTRIBUSI MULTINOMIAL 41 V ANALISIS TABEL KONTINGENSI (TABEL k × r) 51

VI ANALISIS VARIANSI 67

VII ANALISIS REGRESI LINEAR SEDERHANA 87

VIII ANALISIS REGRESI LINEAR GANDA 110

IX STATISTIKA NON PARAMETRIK 153

X UJI VALIDITAS DAN UJI RELIABILITAS 184

XI PENUTUP 202

DAFTAR PUSTAKA 203

BAB I PENDAHULUAN

Mata kuliah Statistika dalam penyajiannya dapat terbagi ke dalam Statistika Dasar dan Statistika Lanjut. Dalam Statistika Dasar dibahas tentang bagaimana meringkas data baik menggunakan numerik maupun gambar atau grafik, dasar-dasar teori probabilitas, distribusi sampling, estimasi dan pengujian hipotesis. Dalam Statistika Lanjut pada buku dibahas tentang pencarian distribusi baik secara eksploratif maupun secara formal, pengujian kecocokan distribusi multinomial, pengujian kecocokan distribusi normal, analisis tabel kontingensi, analisis variansi, analisis regresi linear baik sederhana maupun ganda, statistika non parametrik dan statistika pendidikan yang membahas tentang uji validitas dan uji reliabilitas.

Buku ini berjudul Analisis Data Statistik yang dapat digunakan sebagai materi utama mata kuliah Statistika Lanjut. Data-data yan digunakan berasal dari data-data Badan Pusat Statistik (BPS), data tesis Magister Sains Psikologi dan data-data fiktif yang digunakan sebagai ilustrasi.

BAB II

PENCARIAN DISTRIBUSI DATA SECARA EKSPLORATIF

Apabila dimiliki suatu data maka selalu dapat ditanyakan dari distribusi mana data tersebut berasal. Salah satu jawaban yang sering dibuat adalah data sesuai dengan distribusi yang biasa dikenal. Sebagai contoh adalah bahwa data berasal dari distribusi normal dengan mean μ dan variansi 2_.

Masalah yang sering dihadapi adalah bagaimana menentukan distribusi dari suatu data. Dalam hal ini sering kali digunakan analisis data eksploratif dan juga kemudian digunakan metode statistika formal. Dalam hal ini akan dibahas metode untuk menentukan dari distribusi mana

suatu data berasal.

II.1 Fungsi kuantil dan keluarga Lokasi-Skala

Misalkan F fungsi distribusi dari suatu distribusi probabilitas pada R. Jika diberikan (0,1) maka terdapatlah dengan tunggal x_ R sehingga F(x_)



maka x_ disebut

kuantil- dari F. Dalam hal ini kuantil- dari F digunakan notasi F -1₍_{). Berdasarkan pada notasi ini ditentukan fungsi kuantil} yaitu invers dari F asalkan fungsi tersebut terdefinisikan dengan baik (well defined).

Fungsi kuantil dari F secara umum didefinisikan sebagai

} ) ( { inf ) ( 1



 



 x F F

dengan (0,1). Dalam kalimat hal ini dapat dinyatakan bahwa F-1₍_{) adalah nilai terkecil x dengan F(x)}  _.

Contoh II.1

Variabel random X mempunyai distribusi eksponensial dengan mean 1 jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

f(x) = e-x

untuk x > 0. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random

X adalah

F(x) = 1- e-x

untuk x > 0 dan 0 untuk x  0. Gambar II.1 mempresentasikan fungsi distribusi dari distribusi eskponensial dengan mean/ rata-rata 1 atau laju (rate) 1. Fungsi kuantil dari distribusi eksponensial tersebut adalah

) 1 ln( ) ( 1



 



 F

dengan   (0,1). Sebagai contoh, untuk  = 0,2, diperoleh kuantil 0,2 atau kuantil 20% adalah

.

2231

,

0

)

8

,

0

ln(

)

2

,

0

1

ln(

)

2

,

0

(

1















F

Gambar II.2 mempresentasikan fungsi kuantil dari distribusi eksponensial yaitu ) 1 ln( ) ( 1



 



 F dengan   (0,1).

Gambar II.1 Fungsi distribusi dari distribusi eskponensial dengan rate 1 atau mean/rata-rata 1 0 2 4 6 8 10 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0

Gambar II.2 Fungsi kuantil dari distribusi eskponensial dengan rata-rata 1.

Sebagai besaran stokastik X mempunyai distribusi F dan fungsi distribusi dari a + bX dapat dinyatakan sebagai

        b a x F y F_a,b( )

dengan a  _{R, b > 0. Keluarga distribusi probabilitas} { Fa,b _{| a}  R, b > 0 }

disebut keluarga skala-lokasi anggota F. Jika X mempunyai mean E(X) = 0 dan variansi Var(X) = 1 maka mean dan variansi dari Fa,b masing-masing adalah a dan b2. Dapat

dibuktikan bahwa fungsi kuantil memenuhi

. ) ( ) ( 1 , 1







 _{ } F b a F ab

Dengan kata lain titik-titik



(F1(



),F1a,b(



)|



(0,1)



terletak pada garis lurus y = a + bx .

Contoh II.2

Misalkan variabel random X mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata 1. Jika variabel random

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4

Y = a + bX

dengan a, b  R dan b > 0 maka fungsi distribusi dari Y adalah

                b a y F b a y X P y X b a P y Y P y F_Y( ) ( ) ( ) ( ( )/ ) yaitu           b a y y FY( ) 1 exp

untuk y > a dan 0 untuk y  0. Fungsi kuantilnya adalah

) 1 ln( ) ( ) ( 1



  



 b a F

dengan   (0,1). Hal itu berarti memenuhi

. ) ( ) ( 1 , 1







 _{ } F b a F ab

II.2 QQ-plot untuk pencocokan

Misalkan x1,..., xn replikasi saling bebas (independent)

dari bentuk distribusi probabilitas F. Statistik berurut ke-i yaitu x(i) mempunyai suatu fraksi sekitar i/(n+1) dari

pengamatan atau sekitar kuantil i/(n+1) dari pengamatan. Oleh karena itu titik

               n i x n i F , _i )| 1,2,3,...., 1 ( 1 ₍₎

diharapkan terletak pada sekitar garis lurus. Plot dari titik itu dikenal dengan nama QQ-plot.

Contoh II.3

Dengan bantuan komputer dapat dibangkitkan 50 bilangan random dari distribusi N(2,4). Gambar 3.2 memberikan QQ-plot untuk 50 bilangan random dengan sumbu x menyatakan kuantil N(0,1) dan sumbu y menyatakan statistik berurut (ordered statistics) dari 50 bilangan random tersebut. QQplot terhadap distribusi normal dari data dalam paket program

grafik cenderung membentuk garis lurus sehingga data cenderung berdistribusi normal.

Gambar II.3 Tiga QQ-plot dari 50 titik data dari N(2,4) melawan N(0,1).

QQ-plot memberikan suatu metode pada mata untuk menilai sampel berasal dari distribusi mana yaitu apabila plot tersebut berada di sekitar garis y = x maka data berasal dari distribusi F. Bila plot tersebut menyimpang dari garis y = x maka hal itu memberikan suatu petunjuk bahwa data berbeda dari distribusi F atau data berasal dari keluarga lokasi skala yang lain. Jadi penilaian dari QQ-plot adalah merupakan ketrampilan menggunakan mistar untuk melihat hasil pengamatan kurang lebih terletak pada garis lurus. Hal ini menyatakan bagaimana QQ-plot dinilai berdasarkan alasan formal. Beberapa contoh QQ-plot diberikan pada Gambar II.4 Terlihat bahwa kuantil seragam U(0,1) melawan kuantil N(0,1) dan kuantil chi-kuadrat melawan kuantil normal tidak membentuk garis lurus sedangkan kuantil seragam U(0,1) melawan kuantil seragam U(0,3) dan kuantil N(3,25) melawan kuantil N(0,9) membentuk garis lurus. Hal itu berarti bahwa QQplot dari data melawan kuantil yang mempunyai keluarga skala-lokasi yang sama akan membentuk garis lurus.

- 2 - 1 0 1 2 -2 0 2 4 6 Norm a l Q-Q Pl ot

Theor etic al Quantiles

Sam ple Q uan tiles - 2 - 1 0 1 2 -4 -2 0 2 4 6 Norm a l Q-Q Pl ot

Theor etic al Quantiles

Sam ple Q uan tiles - 2 - 1 0 1 2 -2 0 2 4 6 Norm a l Q-Q Pl ot

Theor etic al Quantiles

Sam

ple Q

uan

Gambar II.4 Plot dari pasangan kuantil.

Untuk sampel yang mempunyai ukuran kurang dari 30 sulit untuk menggunakan QQ-plot dalam penentuan distribusi data. Hal itu digambarkan pada Gambar II.5. Terlihat bahwa titik-titik pada ketiga gambar cenderung tidak membentuk garis lurus.

Gambar II.5 QQ-plot dari 20 pengamatan dari distribusi N(0,1), Cauchy Standard dan Eksponesial dengan mean 1 melawan N(0,1).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 -1 0 1 2 Kuantil U(0,1) K ua nt il N (0 ,1 ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0. 0 1. 0 2. 0 3. 0 Kuantil U(0,1) K ua nt il U (0 ,3 ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 0 0 10 20 Kuantil Chi-square 5 K ua nt il N (0 ,9 ) -5 0 5 10 15 -6 -2 2 6 Kuantil N(3,25) K ua nt il N (0 ,9 ) -2 -1 0 1 2 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Norm a l Q-Q Plot Theoretic al Quantiles N(0 ,1) -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 5 10 15 Norm a l Q-Q Plot Theoretic al Quantiles Cau chy -2 -1 0 1 2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Norm a l Q-Q Plot Theoretic al Quantiles Eks pon ens ial

Contoh II.4

Tabel II.1 menyatakan data inflasi bulanan nasional Indonesia mulai Januari 2009 sampai dengan Desember 2011. QQplot dari data inflasi bulanan tersebut dinyatakan pada Gambar II.6, terlihat bahwa QQplotnya cenderung membentuk garis lurus sehingga data inflasi bulanan cenderung berdistribusi normal.

Tabel II.1 Data inflasi bulanan mulai Januari 2009 sampai dengan Desember 2011

BULAN INFLASI BULAN INFLASI BULAN INFLASI Januari 2009 -0.07 Januari 2010 0.84 Januari 2011 0.89 Februari 2009 0.21 Februari 2010 0.3 Februari 2011 0.13 Maret 2009 0.22 Maret 2010 -0.14 Maret 2011 -0.32 April 2009 -0.31 April 2010 0.15 April 2011 -0.31 Mei 2009 0.04 Mei 2010 0.29 Mei 2011 0.12 Juni 2009 0.11 Juni 2010 0.97 Juni 2011 0.55 Juli 2009 0.45 Juli 2010 1.57 Juli 2011 0.67 Agustus 2009 0.56 Agustus 2010 0.76 Agustus 2011 0.93 September 2009 1.05 September 2010 0.44 September 2011 0.27 Oktober 2009 0.19 Oktober 2010 0.06 Oktober 2011 -0.12 November 2009 -0.03 November 2010 0.6 November 2011 0.34 Desember 2009 0.33 Desember 2010 0.92 Desember 2011 0.57

Gambar II.6 QQplot data inflasi bulanan melawan distribusi normal

-2 -1 0 1 2 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles S am pl e Q ua nt ile s

II.3 QQ-plot untuk uji simetrik

Besaran stokastik X disebut mempunyai distribusi simetri sekitar  jika X- dan  -X mempunyai distribusi yang sama. Jika X berdistribusi kontinu maka X berdistribusi simetri sekitar  dan fungsi kepadatannya simetri sekitar  . Distribusi simetri dipandang lebih sederhana dari pada distribusi asimetri. Untuk menilai bahwa data berasal dari distribusi simetri dapat digunakan bantuan histogram atau

stem-and-leaf plot. Demikian juga dengan menggunakan

parameter kemencengan merupakan petunjuk yang baik, parameter kemencengan sama dengan nol belum berarti bahwa suatu distribusi nampak simetri. Cara yang lebih kuat adalah dengan menentukan selisih antara mean dan median dari suatu distribusi yang menceng. Kemencengan dapat juga dinilai dari fungsi kuantil, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa fungsi kuantil memenuhi

) ( 2 ) 1 ( 1 1









 _{  } F F

dengan (0,1). Kesamaan ini berlaku untuk setiap distribusi simetri F. Hal ini berarti untuk suatu distribusi simetri titik-titik



F1(



), F1(1



)|



(0,1)



terletak pada garis lurus. Untuk data-data X₁, X₂,..., Xn

berasal dari suatu distribusi simetrik dan diharapkan bahwa titik-titik { (X(i),X(ni1)) | i = 1, 2,..., n } akan terletak pada

suatu garis lurus juga. Plot dari titik tersebut dikenal dengan nama plot simetrik (symmetric plot atau symplot).

Contoh II.5

Gambar II.7 mempresentasikan plot simetrik untuk data dari distribusi eksponensial. Terlihat bahwa tidak mengikuti garis lurus sehingga cenderung tidak simetris seperti juga ditunjuk-kan dengan histogramnya.

Gambar II.7 Histogram dan Plot simetrik dari data berdistribusi eksponensial

Contoh II.6

Berdasarkan data pada Contoh II.4, dapat dibuat histogram dan plot simetrik dari data inflasi bulanan tersebut yang dinyatakan pada Gambar II.8. Terlihat bahwa data inflasi bulanan tersebut kurang simetrik karena titik-titik cenderung tidak terletak pada garis lurus, tetapi apabila kita membuang

outlier maka akan diperoleh hasil pada Gambar II.9 yang

cenderung lebih simetrik.

Gambar II.8 Histogram dan Plot simetrik dari data pada Contoh II.4 Histogram of x x F re q u e n cy 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 F re qu en cy 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.5 1.0 1.5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5

Gambar II.9 Histogram dan Plot simetrik dari data pada Contoh II.4 tanpa mengikutsertakan outlier

*** F re q u e n cy 0.0 0.5 1.0 0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 0.2 0.6 1.0 -0 .2 0 .2 0 .6 1 .0

SOAL & PENYELESAIAN Soal 1

Variabel random X berdistribusi eksponensial dengan mean b sehingga mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

b x e b x f( )1  /

untuk x > 0. Tentukan fungsi distribusi dan fungsi kuantilnya.

Penyelesaian

Fungsi distribusi dari variabel random X adalah F(x) = 0 untuk

x < 0 dan b x x b t b t x e e dt e b x F / 0 / / 0 1 1 ) ( 



     

untuk x > 0. Akibatnya, fungsi kuantil dapat diperoleh dengan

b x e y 1  / sehingga y ex/b 1 atau ). 1 ln( y b x 

Akibatnya, diperoleh fungsi kuantil ) 1 ln( ) (    F untuk  (0,1). Soal 2

Variabel random X berdistribusi seragam pada (a,b) dengan a,b

 R dan b > a sehingga mempunyai fungsi kepadatan probabilitas a b x f   1 ) (

untuk a < x < b. Tentukan fungsi distribusi dan fungsi kuantilnya.

Penyelesaian

Fungsi distribusi dari variabel random X adalah F(x) = 0 untuk

x  a dan a b a x a b t dt a b x F x x a       



0 1 ) (

untuk a < x < b serta F(x) = 1 untuk x  b. Akibatnya, fungsi kuantil dapat diperoleh dengan

a b a x y    sehingga a x y a b )   ( atau . ) (b a y a x   Akibatnya, diperoleh fungsi kuantil

 ) ( ) ( a b a F    untuk  (0,1). Soal 3

Variabel random X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas x

k x f( )

untuk 0 < x < 2. Tentukan k sehingga f(x) merupakan fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi dan fungsi kuantilnya.

Penyelesaian

Konstanta k ditentukan sehingga 1 ) ( 



f x dx atau k x k dx x k 2 2 1 2 0 2 2 0   

_

atau k = ½. Fungsi distribusi dari variabel random X adalah F(x) = 0 untuk x  0 dan

4 2 2 ) ( 2 0 2 2 0 x t dt t x F x   

_

untuk 0 < x < 2 serta F(x) = 1 untuk x  2. Akibatnya, fungsi kuantil dapat diperoleh dengan

4 2 x y sehingga 2 4y x atau . 4y x

Akibatnya, diperoleh fungsi kuantil

 ) 4 (  F untuk  (0,1). Soal 4

Variabel random X berdistribusi N(0,1) dan Y = 2X + 1 maka tentukan grafik fungsi distribusi dari X dan Y. Tentukan juga grafik dari fungsi kuantil dari variabel random X dan fungsi kuantil variabel random Y.

Penyelesaian

Karena variabel random X berdistribusi N(0,1) maka variabel random Y berdistribusi normal dengan mean

E[Y] = E[ 2X + 1 ] = 2 E[X] + 1 = 2 (0) + 1 = 1 dan variansi adalah

V[Y] = V[ 2X + 1 ] = 4 V[X] = 4 (1) = 4.

Grafik fungsi distribusi X dan Y dinyatakan pada Gambar II.10.

Gambar II.10 Grafik fungsi distribusi variabel random X dan Y (grafik titik-titik)

Soal 5

Variabel random X mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas  sehingga mempunyai fungsi kepadatan probabilitas dengan 2 / 1 2 / 2 / ) 2 / ( 2 1 ) ( x e x x f       _

untuk x > 0. Gambarkan grafik dari f(x), F(x) dan fungsi kuanti

F-1_().

Penyelesaian

Grafik fungsi kepadatan probabilitas chi-kuadrat dengan derajat bebas 5 dan fungsi distribusinya dinyatakan pada Gambar II.11.

Gambar II.11 Grafik fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 5 dan fungsi distribusinya.

Gambar II.12 Grafik fungsi kuantil dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 5.

Soal 6

Variabel random X mempunyai distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4 sehingga mempunyai fungsi kepadatan probabilitas 3 2 1 4 1 3 ) 1 ( 60 ) 1 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 7 ( ) (x x x x x f         

untuk 0 < x < 1. Gambarkan grafik dari f(x), F(x) dan fungsi kuanti F-1₍_). 0 5 10 15 20 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 x f( x) 0 5 10 15 20 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 x F (x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 alfa F-1( al fa )

Penyelesaian

Grafik fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4 dan fungsi distribusinya dinyatakan pada Gambar II.13.

Gambar II.13 Grafik fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4 dan fungsi distribusinya.

Gambar II.14 Grafik fungsi kuantil dari distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4.

Soal 7

Apabila dibangkitkan sampel ukuran 50 dari distribusi eksponensial dengan mean 3 maka bagaimanakah grafik QQ-plot sampel melawan distribusi teoritisnya ?

0.0 0.4 0.8 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 alfa F-1( al fa )

Penyelesaian

Grafik pada Gambar II.15 menyatakan grafik QQ-plot sampel ukuran 50 dari distribusi eksponensial dengan mean 3 melawan distribusi teoritisnya. Terlihat bahwa titik-titik dalam QQ-plotnya cenderung membentuk garis y = x.

Gambar II.15 QQplot Sampel Ukuran 50 dari Distribusi Eksponensial dengan mean 3 melawan distribusi Eksponesial dengan mean 3

Soal 8

Apabila dibangkitkan sampel ukuran 50 dari distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4 maka bagaimanakah grafik QQ-plot sampel melawan distribusi teoritisnya ?

Penyelesaian

Grafik pada Gambar II.16 menyatakan grafik QQ-plot sampel ukuran 50 dari distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan

 = 4 melawan distribusi teoritisnya. Terlihat bahwa titik-titik dalam QQ-plotnya cenderung membentuk garis y = x.

0 5 10 0 5 10 Theoritial Quantiles S a m p le Q u a n til e s

Gambar II.16 QQplot Sampel Ukuran 50 dari Distribusi Beta dengan parameter  = 3 dan  = 4 melawan distribusi Beta dengan

parameter  = 3 dan  = 4

Soal 9

Gambarkan grafik dari fungsi kuantil dari distribusi N(5,4) yaitu F1(



) melawan F1(1



)dengan   (0,1). Grafik ini dinamakan plot simetrik.

Penyelesaian

Grafik dari fungsi kuantil dari distribusi N(5,4) yaitu F1(



)

melawan F1(1



)dengan   (0,1) dinyatakan pada Gambar II.17. Terlihat bahwa grafiknya membentuk dari lurus sehingga terlihat bahwa disribusi N(5,4) simetrik.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 Theoritial Quantiles S a m p le Q u a n til e s

Gambar II.17 Grafik plot simetrik.

Soal 10

Berikan contoh-contoh lain dari distribusi N(5,4) yang simetrik maupun yang tidak simetrik dan gambarkan plot simetrik masing-masing.

Penyelesaian

Gambar II.18 Grafik plot simetrik

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

Fungsi kuantil alfa dari N (5,4) F u n g si ku a n ti l 1 -a lf a d a ri N (5 ,4 ) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

Fungsi kuantil alfa N(0,1)

F u n g s i k u a n ti l 1 -a lf a N (0 ,1 ) 0 5 10 15 0 5 10 15

Fungsi kuantil alfa chi-kuadrat dgn df=5

F u n g s i k u a n ti l 1 -a lf a c h i-k u a d ra t d g n d f= 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .0 0 .4 0 .8

Fungsi kuantil alfa Beta(3,3)

F u n g s i k u a n ti l 1 -a lf a B e ta (3 ,3 ) 0 5 10 15 0 5 10 15

Fungsi kuantil alfa Exp(1/4)

F u n g s i k u a n ti l 1 -a lf a E x p (1 /4 )

Grafik dari fungsi kuantil F1(



) melawan fungsi kuantil ) 1 ( 1 





F dengan   (0,1) dari berbagai distribusi dinyatakan pada Gambar II.18. Terlihat bahwa grafiknya membentuk dari lurus untuk distribusi N(0,1) dan Beta(3,3) sehingga kedua distribusi simetrik. Pada grafik distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 5 dan distribusi eksponensial dengan mean 4 masing-masing grafiknya tidak membentuk garis lurus sehingga kedua disribusi tidak simetrik.

LATIHAN

1. Variabel random X berdistribusi seragam pada (0,1). Tentukan fungsi kepadatan probabilitas f(x), fungsi distribusi F(x) dan fungsi kuantilnya.

2. Variabel random X berdistribusi eksponensial dengan mean 3. Tentukan fungsi kepadatan probabilitas f(x), fungsi distribusi F(x) dan fungsi kuantilnya.

3. Variabel random X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

2

)

(x kx

f 

dengan 0 < x < 3. Tentukan k sehingga f(x) merupakan fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi F(x) dan fungsi kuantilnya.

4. Variabel random X mempunyai distribusi Gamma dengan parameter  = 4 dan  = 3. Berikan bentuk fungsi kepadatan probabilitas dari variabel random X. Gambarkan juga grafik fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi dan fungsi kuantilnya.

5. Variabel random X mempunyai distribusi Beta dengan parameter  = 4 dan  = 3. Berikan bentuk fungsi kepadatan probabilitas dari variabel random X. Gambarkan juga grafik fungsi kepadatan probabilitas, fungsi distribusi dan fungsi kuantilnya.

6. Apabila dibangkitkan sampel ukuran 50 dari distribusi Gamma dengan parameter  = 3 dan  = 4 maka bagaimanakah grafik QQ-plot sampel melawan distribusi teoritisnya ?

7. Apabila dibangkitkan sampel ukuran 50 dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 5 maka bagaimanakah grafik QQ-plot sampel melawan distribusi teoritisnya ? 8. Gunakan plot simetrik untuk mengecek apakah

9. Gunakan plot simetrik untuk mengecek apakah distribusi Gamma(4,3) simetrik atau tidak.

10. Gunakan plot simetrik untuk mengecek apakah laju inflasi bulanan Kota Ambon periode Januari 2009 sampai dengan Juni 2013 simetrik. Ulangi pertanyaan yang sama untuk Kota Jayapura.

Tabel II.2 Tabel laju inflasi Bulanan Kota Ambon dan Kota Jayapura dari bulan Januari 2009 s/d Juni 2013.

BULAN AMBON JAYAPURA BULAN AMBON JAYAPURA

Januari 2009 1,22 -1,27 April 2011 0,09 -0,24 Februari 2009 0,71 -0,44 Mei 2011 1,66 0,5 Maret 2009 0,32 1,67 Juni 2011 3,76 0,6 April 2009 0,4 -0,03 Juli 2011 -1,2 0,22 Mei 2009 -0,11 -1,31 Agustus 2011 0,83 1,14 Juni 2009 -2,7 1 September 2011 -0,4 -1,07 Juli 2009 1,1 -0,56 Oktober 2011 -0,67 0,02 Agustus 2009 1,27 0,81 November 2011 -0,34 0,89 September 2009 -0,55 1,29 Desember 2011 0,43 0,36 Oktober 2009 0,76 -0,64 Januari 2012 1,62 0,06 November 2009 0,5 1,12 Februari 2012 1,31 0,93 Desember 2009 3,49 0,31 Maret 2012 1,33 -1,44 Januari 2010 3,23 1,28 April 2012 0,79 0,7 Februari 2010 -0,65 -0,52 Mei 2012 0,06 -0,94 Maret 2010 0,27 0,56 Juni 2012 2,39 0,96 April 2010 -0,51 -0,51 Juli 2012 1,7 0,63 Mei 2010 -0,07 0,71 Agustus 2012 0,19 0,65 Juni 2010 0,85 0,84 September 2012 -1,87 0,12 Juli 2010 1,28 0,24 Oktober 2012 -2,44 0,15 Agustus 2010 2,4 0,52 November 2012 0,63 0,1 September 2010 0,95 0,59 Desember 2012 0,94 2,57 Oktober 2010 -0,29 -1,52 Januari 2013 1,81 0,4 November 2010 -0,24 0,37 Februari 2013 -2,29 3,15 Desember 2010 1,3 1,87 Maret 2013 0,79 -2,63 Januari 2011 -0,83 1,79 April 2013 0,27 -0,6 Februari 2011 0,04 -0,79 Mei 2013 2,25 0,97 Maret 2011 -0,46 -0,03 Juni 2013 -0,15 0,52

BAB III

UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI NORMAL

Di samping QQ-plot seperti yang telah dijelaskan pada Bab II, terdapat metode formal yang dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data berasal dari distribusi yang biasa dikenal. Dalam pasal ini, akan dibahas tentang uji kecocokan. Uji ini untuk menguji hipotesis nol bahwa data berasal dari suatu keluarga distribusi, yaitu

H0: F  F0

melawan hipótesis alternatif A : F  F0. Beberapa uji yang

sering digunakan akan dibahas dalam pasal berikut ini.

III.1 Uji Kolmogorov-Smirnov

Misalkan X1,..., Xn independent dan berdistribusi

indentik. Distribusi fungsi empirik dari X1,..., Xn adalah

fungsi } { ^

1

)

/

1

(

)

(

x x j n j

n

x

F







_.

Fungsi indikator 1{xjx} artinya 0 jika Xj x. Besaran stokastik

) (

^

x F

n n sama dengan #( X_jx ) yaitu banyaknya datum yang

kurang dari atau sama dengan x.

Pengujian untuk hipotesis nol bahwa distribusi yang sebenarnya dari X1,..., Xn sama dengan F didasarkan pada

ukuran jarak antara Fn

^

dan F. Hipotesis nol ditolak didasarkan pada jarak vertikal maksimal antara Fn

^ dan Fn: | ) ( ) ( | sup ^ x F x F D_n  _{x} n  _n .

Hipotesis nol akan ditolak untuk Dn nilai besar. Distribusi

n

D tidak terdistribusi seperti yang biasa dikenal dan nilai kritiknya dapat dihitung dengan komputer. Secara praktis statistic Dn dapat dihitung dengan rumus

         max max{ ( ₍₎) , ( ₍₎) 1} n i X F n i X F D_{n i i} .

Suatu sifat yang membuat uji Kolmogorov-Smirnov sangat bernilai adalah bahwa distribusi Dn di bawah hipotesis

nol untuk setiap fungsi distribusi kontinu akan sama. Karena

n

D bebas distribusi atas kelas dari fungsi distribusi kontinu

maka nilai kritik tidak tergantung pada F sehingga dengan suatu tabel dapat ditentukan nilai kritiknya (Tabel Kolmogorov-Smirnov pada Lampiran 1).

Gambar III.1 memberikan distribusi empirik dari sampel yang diambil dari distribusi N(0,1) (dalam bentuk fungsi tangga – step function) dan fungsi distribusi dari N(0,1) yang sebenarnya.

Gambar III.1 Distribusi empirik data hasil pengambilan sampel ukuran 15 dari distribusi normal dan fungsi distribusi yang sebenarnya

-4 -2 0 2 4 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 ecdf(x) x Fn (x)

Contoh III.1

Misalkan dibangkitkan sampel random ukuran 15 dari distribusi eksponensial standard. Dengan uji Kolmogorov-Smirnov dapat diuji apakah sampel random tersebut memang berasal dari distribusi eksponensial standard. Sampel random tersebut diberikan di bawah ini :

0.4568, 0.6690, 1.2043, 0.4441, 0.2175 1.0768 2.3655 0.2101 1.0593 3.0576 1.8560 0.6053 0.0175 1.4469 1.5702.

Untuk mendapatkan nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov digunakan bantuan Tabel III.1. Pada kolom pertama, data diurutkan dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Dalam hal ini,

F(x) adalah fungsi distribusi dari distribusi eksponensial

dengan rata-rata 1 yaitu F(x) = 1-exp(-x) untuk x > 0. Tabel III.1 Tabel perhitungan statistik Kolmogorov-Smirnov

) (i X

 

_n i X F a _(i) 

 

n i X F b _(i)  1 _{max { a , b }} 0,0175 0,2101 0,2175 0,4441 0,4568 0,6053 0,6690 1,0593 1,0768 1,2043 1,4469 1,5702 1,8560 2,3655 3,0576 0,0493 0,0562 0,0045 0,0919 0,0334 0,0541 0,0211 0,1200 0,0593 0,0334 0,0314 0,0080 0,0230 0,0272 0,0470 0,0173 0,1228 0,0621 0,1586 0,1000 0,1208 0,0878 0,1866 0,1260 0,1000 0,0980 0,0587 0,0437 0,0394 0,0197 0,0493 0,1228 0,0621 0,1586 0,1000 0,1208 0,0878 0,1866 0,1260 0,1000 0,0980 0,0587 0,0437 0,0394 0,0470 Dn= 0,1866

Nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov tersebut dibanding-kan dengan nilai kritik yang didapat dalam tabel Kolmogorov-Smirnov dua sisi untuk ukuran n = 15 dengan memilih  =0,05 yaitu 0,338. Karena Dn= 0,1866 lebih kecil dari nilai

kritik yaitu 0,338 maka hipotesis yang menyatakan bahwa nilai populasinya eksponensial standard adalah benar. Grafik distribusi empirik dari data tersebut dapat dilihat pada Gambar III.2.

Gambar III.2 Distribusi empirik data hasil pengambilan sampel ukuran 15 dari distribusi eskponensial dan fungsi distribusinya

Uji Kolmogorov-Smirnov dapat digunakan untuk menguji normalitas dari data. Hal itu dapat dinyatakan dalam contoh berikut ini.

Contoh III.2

Misalkan dimiliki data

42, 46, 44, 48, 47, 48, 48, 57, 55, 55 0 1 2 3 4 5 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 ecdf(x) x F n (x)

dan akan diuji apakah data mengikuti distribusi normal dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Untuk membantu menentukan Dn digunakan Tabel III.2. Dalam hal ini, F(x) adalah fungsi distribusi normal dengan mean 49 dan sim-pangan baku 5,0111. Diperoleh bahwa Dn = 0,2791 sedangkan titik kritisnya adalah 0,409 dengan tingkat keberartian  = 5% sehingga H0 diterima. Hal itu berarti bahwa data ber-distribusi normal dengan mean 49 dan simpangan baku 5,0111.

Tabel III.2 Tabel perhitungan statistik uji Kolmogorov-Smirnov.

No Data Terurut F(x(i))

 

n i X F a (i) 

 

n i X F b i 1 ) (    } , { ba Max 1 42 0.0812 0.0188 0.0812 0.0812 2 44 0.1592 0.0408 0.0592 0.0592 3 46 0.2747 0.0253 0.0747 0.0747 4 47 0.3449 0.0551 0.0449 0.0551 5 48 0.4209 0.0791 0.0209 0.0791 6 48 0.4209 0.1791 0.0791 0.1791 7 48 0.4209 0.2791 0.1791 0.2791 8 55 0.8844 0.0844 0.1844 0.1844 9 55 0.8844 0.0156 0.0844 0.0844 10 57 0.9448 0.0552 0.0448 0.0552 Dn = 0,2791 Contoh III.3

Berdasarkan data pada Contoh II.4, diperoleh statistik hitung uji Kolmogorov-Smirnov Dn = 0,1086 dan dengan tingkat keberartian 5% diperoleh titik kritis 0,221 sehingga H0 diterima berarti data inflasi bulanan nasional Indonesia periode Januari 2009 sampai dengan Desember 2011 berdistribusi normal dengan rata-rata 0,3675 dan simpangan baku 0,4337.

III.2 Uji Chi-kuadrat

Selain uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan uji Chi-Kuadrat. Uji ini dilakukan dengan mulai membagi garis dalam sejumlah interval tertutup I1,…, IK

……I1……|……I2……|………|…Ik…….. Selanjutnya didefinisikan Ni sebagai jumlah pengamatan

pada interval Ii dan dihitung statistik



   k i i i i np np N

X

1 2 2 [ ]

dengan pi probabilitas atas F pada Ii. Bilangan npi adalah

harapan dari Ni jika distribusi yang sebenarnya dari pengamatan

sama dengan F. Besaran 2

X dibawah hipotesis nol menentukan

berapa frekuensi pengamatan Ni menyimpang dari harapan.

Hipotesis nol bahwa pengamatan berasal dari F ditolak untuk nilai 2

X besar. Distribusi X mendekati distribusi 2 2 dengan

derajat bebas k-1 untuk n besar.

Contoh III.4

Lima puluh dua digit diambil secara random dari buku telepon. Bilangan-bilangan itu setelah diurutkan dapat dinyata-kan sebagai berikut :

23 23 24 27 29 31 32 33 33 35 36 37 40 42 43 43 44 45 48 48 54 54 56 57 57 58 58 58 58 59 61 61 62 63 64 65 66 68 68 70 73 73 74 75 77 81 87 89 93 97. Dengan menggunakan uji chi-kuadrat akan dilakukan pengu-jian hipotesis bahwa distribusinya normal dengan meannya 55 dan deviasi standard 19. Apabila dilakukan dengan pembagian 6 interval maka didapat pembagian interval sebagai berikut:

(, 34,5], ( 34,5 , 46,5 ], ( 46,5 , 59,5 ], ( 59,5 , 70,5 ] , ( 70,5 , 82,5 ] , ( 82,5 , ).

Untuk mendapatkan nilai 2

X digunakan Tabel III.3. Hipotesis

akan ditolak untuk tingkat keberartian  = 0,05 jika 2

X lebih

besar dari nilai chi-kuadrat tabel dengan dengan derajat bebas 5 yaitu 11,07 (lihat Lampiran 2). Karena 2

X lebih kecil

dari nilai tabel maka hipotesis nol tidak ditolak. Jadi hipotesis yang menyatakan bahwa distribusi populasinya berdistribusi N(55, (19)2_{) tidak ditolak. Pada sisi lain, karena nilai harapan}

kelas ke-6 kurang dari 5, bila kelas ke-6 digabung dengan kelas ke-5 maka akan diperoleh X2 _{= 0,977 dan titik kritis} 9,4878. Akibatnya H0 tetap diterima sehingga distribusi sampel adalah normal.

No Interval Frekuensi (N_i) Harapan (np_i) (N_i- np_i)2_{/ np}

i 1 2 3 4 5 6 ( , 34,5], ( 34,5 , 46,5 ], ( 46,5 , 59,5 ], ( 59,5 , 70,5 ], ( 70,5 , 82,5 ], ( 82,5 , ) 9 9 11 11 6 4 7 9,3 13,4 9,8 6,8 3,7 0,286 0,097 0,423 0,147 0,094 0,024 2 X = 1,071

III.3 Uji Lilliefors

Dengan uji chi-kuadrat, data yang dimiliki harus pokkan sehingga haruslah cukup banyak untuk dapat dikelom-pokkan dengan baik. Satu kelemahan lain dari metode chi-kuadrat adalah bahwa metode ini merupakan metode pen-dekatan.

Uji Lilliefors dapat digunakan untuk sampel kecil dan data tidak perlu dikelompokkan. Uji ini digunakan untuk menguji normalitas dari data. Prosedur uji Lilliefors dapat dijelaskan berikut ini. Misalkan dimiliki sampel random berukuran n yaitu X1, X2, …, X yang diambil dari suatu

populasi yang distribusinya tidak diketahui. Dihitung mean sampel



  n i i X n X 1

1 _{sebagai estimasi dari  mean populasinya} yang tidak diketahui dan deviasi standard sampel



    n i i X X n s 1 2 ) ( 1 1

sebagai estimasi deviasi standard populasi  yang juga tidak diketahui. Selanjutnya dihitung nilai variabel unit standard

Zi dengan rumus s X X Z i i  

dengan i = 1, 2, …., n. Nilai statistik uji Lilliefors dihitung dari nilai-nilai Zi, i = 1, 2, ….,, n dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a) Hipotesis :

H0 : Sampel random berasal dari populasi normal.

H1 : Distribusi populasinya tidak normal. b) Dipilih tingkat keberartian α.

c) Digunakan statistik uji yang didefinisikan sebagai jarak vertikal maksimum antara fungsi distribusi empirik sampel X1, X2, …, Xn dengan fungsi distribusi normal dengan mean X dan deviasi standard s yakni

| ) ( ) ( * | max F x S x T x   .

dengan F*(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif normal standard dan S(x) adalah fungsi distribusi kumulatif empirik Zi. Daerah kritik uji normalitas ini adalah Ho ditolak jika nilai statistik uji T lebih besar dari nilai kuantil (1 - α).

d). Perhitungan

Berdasarkan data sampel X1, X2, …, Xn dihitung mean X dan deviasi standard s. Selanjutnya data diurutkan

itu kita hitung harga Zi dan distribusi normal kumulatif yaitu F*(xi) dan juga harga distribusi kumulatif empirik S(xi). Kemudian dihitung statistik uji

| ) ( ) ( * | max F x S x T x  

yaitu dicari selisih antara F*(x) dan S(x) yang terbesar. e). Kesimpulan

Dengan membandingkan T dengan daerah kritik maka dapat diambil kesimpulan.

Contoh III.5

Tabel III.3 Tabel perhitungan statistik uji Lilliefors.

No Data Terurut Zi F(Zi) S(X(i)) F(Zi)S(X(i}) 1 42 -1.3969 0.0812 0.1000 0.0188 2 44 -0.9978 0.1592 0.2000 0.0408 3 46 -0.5987 0.2747 0.3000 0.0253 4 47 -0.3991 0.3449 0.4000 0.0551 5 48 -0.1996 0.4209 0.5000 0.0791 6 48 -0.1996 0.4209 0.6000 0.1791 7 48 -0.1996 0.4209 0.7000 0.2791 8 55 1.1973 0.8844 0.8000 0.0844 9 55 1.1973 0.8844 0.9000 0.0156 10 57 1.5965 0.9448 1.0000 0.0552 T = 0.2791

Dengan menggunakan data seperti pada Contoh III.2, akan diuji apakah data berdistribusi normal dengan menggunakan metode Lilliefors dan tingkat keberartian 5%. Dari data diperoleh statistik uji Lilliefors yaitu T = 0,2791 dan titik kritis adalah 0,258 sehingga H0 ditolak sehingga data tidak berdistribusi normal (lihat Lampiran 3).

Contoh III.6

Berdasarkan data pada Contoh II.4, diperoleh statistik hitung uji Lilliefors T = 0,1086 dan dengan tingkat keberartian 5 % diperoleh titik kritis 0,1477 sehingga H0 diterima berarti data inflasi bulanan nasional Indonesia periode Januari 2009 sampai dengan Desember 2011 berdistribusi normal dengan rata-rata 0,3675 dan simpangan baku 0,4337. Kesimpulan yang sama juga diperoleh jika digunakan uji Kolmogorov-Smirnov.

SOAL & PENYELESAIAN Soal 1

Dengan tingkat keberartian 5%, ujilah apakah data laju inflasi bulanan di kota Ambon untuk periode Januari 2009 sampai dengan Juni 2013 mempunyai distribusi normal dengan metode Kolmogorov-Smirnov.

Penyelesaian

Dengan menggunakan data pada Tabel II.2, diperoleh statistik Kolmogorov-Smirnov Dn = 0,0836 sedangkan titik kritis diperoleh dari Tabel Kolmogorov-Smirnov (Lampiran 1) dengan ukuran sampel n = 54 yaitu 0,1851 54 36 , 1 _{ sehingga} Dn = 0,0836 < 0,1851.

Akibatnya H0 diterima sehingga data laju inflasi di kota Ambon berdistribusi normal.

Soal 2

Dengan tingkat keberartian 5%, ujilah apakah data laju inflasi bulanan di kota Ambon untuk periode Januari 2009 sampai dengan Juni 2013 mempunyai distribusi normal dengan metode Lilliefors.

Penyelesaian

Dengan menggunakan data pada Tabel II.2, diperoleh statistik Lilliefors T = 0,0836 sedangkan titik kritis diperoleh dari Tabel Lilliefors dengan ukuran sampel n = 54 yaitu 0,1206

54 886 ,

0 _

. Akibatnya H0 diterima sehingga data laju inflasi di kota Ambon berdistribusi normal.

Soal 3

Tabel III.4 menyatakan data berkelompok. Dengan tingkat keberartian 5% dan metode chi-kuadrat, tentukan apakah data berkelompok pada Tabel III.4 berdistribusi normal.

Penyelesaian

Berdasarkan data pada Tabel III.4, mean untuk data ber-kelompok 56,7 dan simpangan baku untuk data berber-kelompok adalah 15,3645 sehingga dapat ditentukan nilai harapan untuk masing-masing kelas seperti dinyatakan pada Tabel III.5. Nilai harapan kelas pertama dapat diperoleh dari nilai

Z1 diperoleh dari tepi kelas atas pertama yaitu 4212 , 2 3645 , 15 7 , 56 5 , 19 5 , 19 1      s x Z sehingga diperoleh 0077 , 0 ) 4212 , 2 ( ) ( ₁ 1P Zz P Z  p

(lihat Lampiran 4) dan nilai harapan kelas pertama sebesar

np1 = 150(0,0077) = 1,1602. Nilai Z2 diperoleh 7703 , 1 3645 , 15 7 , 56 5 , 29 5 , 29 2      s x Z sehingga diperoleh 0306 , 0 ) 4212 , 2 ( ) 7703 , 1 ( ) ( _{1 2} 2P z Zz P Z P Z  p

dan nilai harapan kelas kedua sebesar

np2 = 150(0,0306) = 4,5906.

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh nilai harapan untuk kelas ke-3 sampai dengan kelas ke-8. Selanjutnya, nilai Z8 diperoleh 1348 , 2 3645 , 15 7 , 56 5 , 89 5 , 89 8      s x Z sehingga 0164 , 0 9836 , 0 1 ) ( 1 8 9 P Zz    p

dan nilai harapan kelas ke-9 adalah

Namun demikian, karena nilai harapan kelas pertama dan kelas kedua kurang dari 5 maka keduanya digabung menjadi satu, demikian juga untuk nilai harapan dari kelas ke-9 kurang dari 5 sehingga digabungkan dengan nilai harapan kelas ke-8 sehingga diperoleh hasil seperti pada Tabel III.6. Akibatnya, diperoleh statistik uji chi-kuadrat adalah X2 ₌ 3,5754 dan titik kritis untuk tingkat keberartian 5% adalah distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 6 adalah 12,5916 sehingga H0 diterima. Hal itu berarti bahwa data berkelompok diperoleh dari sampel yang berasal dari distribusi normal.

Tabel III.4 Data Berkelompok pada Soal III.3 No Kelas Interval Frekuensi (fi)

1 10-19 1 2 20-29 6 3 30-39 9 4 40-49 31 5 50-59 42 6 60-69 32 7 70-79 17 8 80-89 10 9 90-99 2 Total 150

Tabel III.5 Data Berkelompok dan Nilai Harapannya pada Soal III.3 No Kelas Interval Frekuensi (fi) Nilai Harapan (npi)

1 10-19 1 1,1603 2 20-29 6 4,5904 3 30-39 9 13,9700 4 40-49 31 28,2303 5 50-59 42 37,8943 6 60-69 32 33,7951 7 70-79 17 20,0227 8 80-89 10 7,8785 9 90-99 2 2,4584 Total 150

Tabel III.6 Tabel Bantu Perhitungan Statistik X2 _{pada Soal III.3}

No Kelas Interval Frekuensi (fi)

Nilai Harapan (npi) i i i np np f )2 (  1 20-29 6 5,7508 0,2714 2 30-39 9 13,9700 1,7682 3 40-49 31 28,2303 0,2717 4 50-59 42 37,8943 0,4448 5 60-69 32 33,7951 0,0954 6 70-79 17 20,0227 0,4563 7 80-89 10 10,3369 0,2676 Total 150 150 3,5754 Soal 5

Dengan tingkat keberartian 5% dan dengan menggunakan metode chi-kuadrat, ujilah apakah data laju inflasi bulanan di kota Ambon dari periode Januari 2009 sampai dengan Juni 2013 berdistribusi normal ?

Penyelesaian

Untuk memudahkan pemilihan interval yang digunakan dalam penggunaan metode chi-kuadrat dibantu dengan grafik histogram yang diperoleh dari paket program R yang dinyatakan pada Gambar III.4 sehingga dapat diperoleh tabel data berkelompok pada Tabel III.7. Nilai harapan diperoleh dari anggapan bahwa sampelnya diambil dari distribusi normal. Tetapi karena terdapat interval yang harga harapannya kurang dari 5 maka digabungkan menjadi 1 yaitu interval 1 digabungkan dengan interval kedua sedangkan interval 6 dan 7 digabungkan dengan interval ke 5 sehingga diperoleh hasil seperti pada Tabel III.8. Selanjutnya dapat dihitung

X2hitung = 11,4040.

Dengan menggunakan tingkat keberartian  = 5 % diperoleh titik kritis dari distribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas 3

yaitu 7,81 (Lampiran 2) sehingga hipotesis nol yang menyatakan bahwa data inflasi bulanan kota Ambon berdistribusi normal ditolak.

Tabel III.7 Tabel Bantu Perhitungan Statistik X2 _{pada Soal III.5}

No Kelas Interval Frekuensi (fi) Nilai Harapan (npi)

1 Kurang dari -2,00 3 1,2285 2 -1,99 s/d -1,00 2 7,3389 3 -0,99 s/d 0,00 13 18,4326 4 0,01 s/d 1,00 19 18,4326 5 1,01 s/d 2,00 11 7,3389 6 2,01 s/d 3,00 3 1,1556 7 Lebih dari 3 3 0,0729 Jumlah 54

Gambar III.4 Histogram Data Inflasi Bulanan Kota Ambon Januari 2009 sampai dengan Juni 2013

Histogram of ambon ambon Fr eq ue ncy -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 5 10 15

Tabel III.8 Tabel Bantu Perhitungan Statistik X2 _{pada Soal III.5}

No Kelas Interval Frekuensi (fi)

Nilai Harapan (npi) i i i np np f )2 (  1 Kurang dari -1,00 5 8,5674 1,4854 2 -0,99 s/d 0,00 13 18,4326 1,6011 3 0,01 s/d 1,00 19 18,4326 0,0175 4 Lebih dari 1,00 17 8,5674 8,3000 Total 54 54 11,4040

LATIHAN

1. Dengan tingkat keberartian 10%, ujilah dengan metode Kolmogorov-Smirnov apakah data laju inflasi di kota Jayapura pada Tabel II.2 berdistribusi normal.

2. Dengan tingkat keberartian 10%, ujilah dengan metode Liliefors apakah data laju inflasi di kota Jayapura pada Tabel II.2 berdistribusi normal.

3. Lakukan hal yang sama pada soal 2 dengan menggunakan metode chi-kuadrat.

4. Gunakan tingkat signifikansi 10% untuk menguji apakah data yang dinyatakan dalam Tabel III.7 mem-punyai distribusi normal.

Tabel III.7 Tabel Distribusi Frekuensi No Kelas Interval Frekuensi ( fi )

1 3-4 2 2 5-6 2 3 7-8 8 4 9-10 11 5 11-12 6 6 13-14 1

5. Berdasarkan pada soal 3, dengan menggunakan tingkat keberartian yang berbeda yaitu 5% dan 1%, apakah kesimpulan yang sama juga diperoleh ?

BAB IV

UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Distribusi Multinomial merupakan perumuman

(generali-zation) dari distribusi binomial yaitu dengan melonggarkan kriteria

banyaknya hasil (outcome) yang mungkin diperoleh menjadi lebih dari 2. Dalam hal ini, percobaan (experiment) tersebut dinamakan percobaan multinomial sedangkan distribusi proba-bilitas yang diperoleh dinamakan distribusi multinomial.

Definisi IV.1

Percobaan multinomial terdiri dari n usaha (trial) dan tiap usaha menghasilkan k hasil yang bereda yaitu E1, E2, ..., Ek serta masing-masing dengan probabilitas p1, p2, ..., pk. Distribusi multinomial akan memberikan probabilitas bahwa E1 akan muncul sebanyak y1, E2 akan muncul sebanyak y2 kali dan seterusnya dalam pengambilan saling bebas sebanyak n kali sehingga y1 +

y2 + .... + yk = n sehingga k y k y y k k k p p p y y y n p p p y y y f .... ,..., , ) ,...., , ; ,...., , ( 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1       

dengan p1 + p2 + .... + pk = 1 dan yi  0 untuk i = 1, 2, ...,k.

Contoh IV.1

Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan bulu merah, hitam dan putih adalah 8:4:4. Tentukan probabilitas bahwa akan lahir 8 ekor anak yang terdiri dari 5 ekor merah, 2 ekor hitam dan 1 ekor putih.

Penyelesaian

Berdasarkan informasi di atas diperoleh

p1 = P( mendapatkan hamster merah) = 1/2,

p2 = P( mendapatkan hamster hitam) = 1/4,

Akibatnya probabilitas bahwa dari 8 ekor anak yang dilahirkan akan terdiri dari 5 ekor merah, 2 ekor hitam dan 1 ekor putih adalah 1 2 5 ) 25 , 0 ( ) 25 , 0 ( ) 5 , 0 ( 1 ,. 2 , 5 8 ) 25 , 0 , 25 , 0 , 5 , 0 ; 1 , 2 , 5 ( _       f = 0,0820.

Uji Kecocokan (Goodness of fit Test)

Untuk melakukan uji kecocokan bahwa sampel atau hasil pengamatan mengikuti distribusi multiomial dengan parameter

n dan p = (p1, p2, .... ,pk) dengan

p1 + p2 + .... + pk = 1 digunakan langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1

Nyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya.

Langkah 2

Diambil sampel random dan ditentukan frekuensi pengamatan fi untuk masing-masing k kategori.

Langkah 3

Dengan menganggap H0 benar, frekuensi harapan ei dihitung untuk tiap kategori yaitu dengan mengalikan probabilitas tiap kategori dengan ukuran sampel (sample size) n.

Langkah 4

Hitung statistik uji



   k i i i i e e f X 1 2 2 ( ) dengan

fi = frekuensi pengamatan untuk kategori i,

ei = frekuensi harapan untuk i, k = banyaknya kategori.

Catatan : Statistik tersebut mempunyai distribusi

Chi-kuadrat dengan derajat bebas k-1 asalkan frekuensi harapan untuk semua kategori lebih dari 5.

Langkah 5

Hipotesis nol H0 ditolak jika nilai-p <  dengan  tingkat keberartian atau jika X2hitung >



2;k1 dengan adalah kuantil

ke-(1-)  100 %.

Contoh IV.2

Misalkan seorang pengembang perumahan menjual 3 tipe rumah yaitu tipe mawar, tipe menur dan tipe melati. Apabila dari 100 rumah yang dimiliki, 25 rumah tipe mawar, 35 rumah tipe menur dan 40 rumah tipe melati, apakah ada tipe rumah yang lebih disukai dibandingkan dengan tipe yang lain? Gunakan tingkat keberartian 5%.

Penyelesaian

Dalam permasalahan ini, diinginkan untuk menguji hipotesis nol H0 : tidak ada tipe rumah yang lebih disukai dibandingkan dengan tipe yang lain (p1 = p2 = p3 = 1/3), hipotesis alternatif

H1 : ada tipe rumah yang lebih disukai dibandingkan dengan tipe yang lain, dengan tingkat keberartian 5%. Di bawah H0 benar maka

e1 = e2 = e3 = 33,3333 sehingga diperoleh statistik uji

3333 , 33 ) 3333 , 33 40 ( 3333 , 33 ) 3333 , 33 35 ( 3333 , 33 ) 3333 , 33 25 ( ) ( 2 2 2 1 2 2_



 _  _  _   k i i i i e e f X = 3,5000.

Hipotesis nol ditolak jika X2hitung lebih besar dari titik kritis

1 ; 2  k 



_{yaitu 5,9915. Akibatnya hipotesis nol H}0 diterima sehingga tidak ada tipe rumah yang lebih disukai dibandingkan dengan tipe yang lain.

SOAL & PENYELESAIAN Soal 1

Dalam suatu populasi, 70% populasi tersebut mengunakan tangan kanan, 20% menggunakan tangan kiri dan 10% dapat menggunakan kedua tangannya. Jika 10 orang diambil dari populasi tersebut maka :

a. Berapa probabilitasnya bahwa semuanya dapat meng-gunakan tangan kanannya?

b. Berapa probabilitasnya bahwa 7 orang menggunakan tangan kanan, 2 orang menggunakan tangan kiri dan 1 orang dapat menggunakan kedua tangannya?

Penyelesaian

Percobaan tersebut termasuk dalam percobaan multinomial dengan parameter n =10, p1 = 0,7, p2 = 0,2 dan p3 = 0,1 sehingga jika dimisalkan X1 = banyaknya orang yang dapat menggunakan tangan kanannya, X2 = banyaknya orang yang dapat menggunakan tangan kirinya dan X3 = banyaknya orang yang dapat menggunakan kedua tangannya maka

a. Probabilitasnya bahwa semuanya dapat menggunakan kedua tangannya adalah

P(X1 = 10, X2 = 0, X3 = 0) = (0,7) 0,0282. 0 , 0 , 10 10 ₁₀       

b. Probabilitasnya bahwa semuanya dapat menggunakan kedua tangannya adalah

P(X1 = 7, X2 = 2, X3 = 1) = (0,7) (0,2) (01) 0,1186. 1 , 2 , 7 10 _{7 2 1}        Soal 2

Manusia dapat dikasifikasikan ke dalam golongan darah tipe

O, A, B dan AB. Dalam suatu populasi, proporsi

0,05. Misalkan 6 orang diambil secara random dari populasi tersebut :

a. Berapakah probabilitas bahwa terdapat 3 golongan darah O dan 3 golongan darah A?

b. Berapa probabilitasnya tidak ada golongan darah AB?

Penyelesaian

a. Percobaan tersebut termasuk percobaan multinomial dengan parameter n = 6, pO = 0,45, pA = 0,4, pB = 0,1 dan pAB=0,05 sehingga jika dimisalkan XO= banyaknya orang golongan darah tipe O, XA = banyaknya orang dengan golongan darah tipe A , XB = banyaknya orang dengan golongan darah tipe B dan XAB = banyaknya orang dengan golongan darah tipe B maka probabili-tasnya bahwa semuanya dapat menggunakan kedua tangannya adalah P(XO = 3, XA = 3, XB = 0, XAB = 0) = (0,45) (0,4) 0,1166. 0 , 0 , 3 , 3 6 _{3 3}       

b. Percobaan tersebut termasuk percobaan binomial dengan parameter n = 6 dan pAB = 0,05 sehingga jika dimisalkan X= banyaknya orang golongan darah tipe AB maka probabilitasnya bahwa semuanya dapat menggunakan kedua tangannya adalah

P(X = 0) = (0,95) (0,05) 0,7351. 0 6 _{6 0}        Soal 3

Gunakan statistik X2 _{dengan tingkat keberartian 10% untuk} menguji hipotesis nol H0 : pA = 0,4, pB = 0,4 dan pC = 0,2, melawan hipotesis alternatif H1 : proporsi populasi tidak pA = 0,4, pB = 0,4 dan pC = 0,2. Bila dimiliki sampel ukuran 200 dan menghasilkan 60 dalam kategori A, 120 dalam kategori

Penyelesaian

Dalam permasalahan ini, diinginkan untuk menguji hipotesis nol H0 : pA = 0,4, pB = 0,4 dan pC = 0,2, melawan hipotesis alternatif H1 : proporsi populasi tidak pA = 0,4, pB = 0,4 dan

pC = 0,2 dengan tingkat keberartian 10 %. Di bawah H0 benar maka

e1 = 200 (0,4) = 80,

e2 = 200 (0,4) = 80,

e3 = 200 (0,2) = 40, sehingga diperoleh statistik uji

40 ) 40 20 ( 80 ) 80 120 ( 80 ) 80 60 ( ) ( 2 2 2 1 2 2



        k i i i i e e f X = 35.

Hipotesis nol ditolak jika X2hitung lebih besar dari titik kritis

1 ; 2  k 



_{yaitu 4,6052. Akibatnya hipotesis nol H}0 ditolak sehingga proporsi populasi tidak pA = 0,4, pB = 0,4 dan pC = 0,2.

Soal 4

Tahun lalu, penilaian mahasiswa yang mengambil mata kuliah Statistika adalah 3% A, 28% B, 45% C dan 24% E. Apabila tahun ini, dari 400 mahasiswa yang mengambil mata kuliah Statistika terdapat 24 yang mendapatkan A, 124 yang mendapatkan B, 172 yang mendapatkan C dan sisanya mendapatkan E, apakah penilaian tahun ini sama dengan penilaian tahun lalu ? Gunakan tingkat keberartian 5%.

a. Gunakan cara nilai-p. b. Gunakan cara titik kritis.

Penyelesaian

Dalam permasalahan ini, diinginkan untuk menguji hipotesis nol H0 : pA = 0,03, pB = 0,28, pC = 0,45, pE = 0,24 melawan hipotesis alternatif H1 : proporsi populasi tidak pA = 0,03,

pB = 0,28, pC = 0,45, pE = 0,24 dengan tingkat keberartian 5 %. Di bawah H0 benar maka

e1 = 400 (0,03) = 12,

e2 = 400 (0,28) = 112,

e3 = 400 (0,45) = 180,

e4 = 400 (0,24) = 96, sehingga diperoleh statistik uji

96 ) 96 80 ( 180 ) 180 172 ( 112 ) 112 124 ( 12 ) 12 24 ( ) ( 2 2 2 2 1 2 2



          k i i i i e e f X = 16,3079.

Hipotesis nol ditolak jika X2hitung lebih besar dari titik kritis

1 ; 2  k 



_{yaitu 7,8147. Akibatnya hipotesis nol H}0 ditolak sehingga proporsi tidak pA = 0,03, pB = 0,28, pC = 0,45, dan

pE = 0,24.

Dalam hal ini, juga dapat digunakan cara nilai-p.

Nilai-p daNilai-pat dihitung dengan

nilai-p = P(



23 > 16,3079) = 0,0010.

Akibatnya lebih kecil dari tingkat keberartian 5% sehingga H0 ditolak.

Soal 5

Dari survei 5 tahun lalu diperoleh hasil bahwa 20 persen menjawab setuju, 70 persen menjawab tidak setuju dan sisanya tidak menjawab untuk pertanyaan tentang aborsi. Pada tahun ini diadakan survei dan dari 1600 responden, ternyata 400 responden menjawab setuju, 1100 responden dan sisanya tidak menjawab. Gunakan tingkat keberartian 10% untuk menguji apakah hasil survei tahun ini sama dengan hasil survei 5 tahun lalu.

Penyelesaian

Diinginkan untuk menguji hipotesis nol : ps = 0,2, pts = 0,7 dan pa = 0,1 melawan hipotesis alternatif H1 : H0 tidak benar dengan menggunakan tingkat keberartian 10 %. Hipotesis nol

ditolak jika X2hitung >



2;k1



20,1;24,6052 . Di bawah H0 benar

maka

e1 = 1600 (0,2) = 320,

e2 = 1600 (0,7) = 1120,

e3 = 1600 (0,1) = 160, sehingga diperoleh statistik uji

160 ) 160 100 ( 1120 ) 1120 110 ( 320 ) 320 400 ( ) ( 2 2 2 1 2 2



        k i i i i e e f X = 42,8571.

Karena X2hitung lebih besar dari 4,6052 maka hipotesis nol H0 ditolak sehingga proporsi tidak ps = 0,2, pts = 0,7 dan pa = 0,1.

LATIHAN

1. Probabilitas seseorang yang menderita sakit akan men-jadi sembuh, bertambah parah sakitnya atau tidak ada perubahan, masing-masing adalah 0,5, 0,3 dan 0,2. Apabila ada 5 orang yang diamati maka berapakah probabili-tasnya bahwa 2 orang diantaranya sembuh, 2 orang ber-tambah arah sakitnya dan seorang tidak ada perubahan? Gunakan tingkat keberartian 5%.

2. Menurut teori hasil persilangan 2 macam tanaman akan menghasilkan tanaman dengan sifat A, B dan C dengan perbandingan 1:2:1. Dari persilangan 90 pasang tanaman diperoleh hasil tanaman dengan sifat A, B dan C berturut-turut adalah 20, 50 dan 20. Apakah hasil tersebut mendukung teori ? Gunakan tingkat keberartian 10%. 3. Sebuah survei tahun 2003 di suatu negara menyatakan

bahwa pembayaran transaksi dengan menggunakan kartu kredit, kartu debet, cek dan cash masing-masing adalah 22, 21, 18 dan 39 (dalam persen). Pada tahun 2015 dilakukan survei kembali dan dari 220 responden yang diberi pertanyaan untuk hal tersebut di atas masing-masing adalah 46 responden dengan kartu kredit, 67 reponden dengan kartu debet, 33 dengan cek dan sisanya dengan cash. Apakah telah terjadi pergeseran cara pembayaran dari tahun 2003? Gunakan tingkat keberartian 1%.

4. Gunakan tingkat keberartian 10% untuk menguji apakah terdapat kesesuaian antara harapan dengan kenyataan pada tabel berikut ini:

Kategori Harapan Kenyataan

A 40 % 19

B 20 % 11

C 20 % 10

D 10 % 5

5. Sebuah survei dilakukan untuk menguji apakah ada mini market yang lebih disukai dibandingkan dengan yang lain. Dari 5000 responden ternyata menghasilkan pengamatan 2000 menyukai betamart, 1500 gammamart, 1000 deltamart dan sisanya kappamart. Gunakan tingkat keberartian 10%.

BAB V

ANALISIS TABEL KONTINGENSI (TABEL k  r )

Secara umum tabel kontingensi dinyatakan pada Tabel V.1. Tabel V.1 menggambarkan bahwa sejumlah n obyek penelitian atau pengamatan terbagi dalam 2 kategori. Besaran

Nij adalah banyaknya obyek pengamatan dari kategori i dalam peubah baris dan kategori j dalam peubah kolom. Dalam hal ini Ni. berarti jumlah frekuensi dalam baris ke-i, N.j berarti jumlah frekuensi dalam kolom ke-j dan N.. adalah jumlah obyek total dalam seluruh pengamatan.

Uji yang dilakukan pada tabel kontingensi adalah untuk menguji apakah ada ketergantungan antara dua kategori yang berbeda dari peubah baris dan peubah kolom. Untuk memberikan gambaran tentang penggunaan tabel

k  r dalam analisis data berikut ini diberikan contoh permasalahannya.

Tabel V.1 Tabel kontingensi k  r.

B1 ……… Bj ……..……….…. Br Total A1 A2 . . Ai . Ak . . . . ………... Nij ………….. . . . . . . N i. . . N.j N..

Contoh V.1

Tabel V.1 mempresentasikan hasil penelitian terhadap pengaruh kesukaan akan makanan manis terhadap keriputan di wajah pada usia 50 tahun dari 1000 orang yang diteliti. Akan ditentukan apakah ada keterkaitan dengan kesukaan akan makanan manis-manis dengan kemunculan keriput pada wajah.

Tabel V.2 Tabel Data Contoh V.1 Ada

Keriput Tidak Ada keriput Jumlah

Suka manis 200 100 300

Tidak Suka Manis 200 500 700

Jumlah 400 600 1000

Contoh V.2

Seorang sosiolog tertarik untuk mengetahui apakah anak mempunyai ketergantungan untuk memilih pekerjaan yang sama dengan ayahnya. Untuk meneliti hal ini diambil sampel 500 laki-laki dan ditanya pekerjaannya dan pekerjaan ayahnya. Ringkasan data yang berkenaan dengan jawaban pertanyaan itu dapat dilihat pada Tabel V.3.

Tabel V.3 Tabel kontingensi hubungan antara pekerjaan laki-laki

dan pekerjaan ayahnya

Ayah

Anak

Bisnis Kecakapan Tanpa

Kecakapan Tani Bisnis 55 38 7 0 Kecakapan 79 71 25 0 Tanpa kecakapan 22 75 38 10 Tani 15 23 10 32

V.1. Uji Chi-kuadrat Untuk Tabel k  r

Syarat awal dari analisis ini adalah objek pengamatan

n besar. Sifat berikut ini digunakan sebagai dasar dalam

melakukan uji k  r untuk tabel kontingensi. Misalkan k vektor stokastik berdistribusi multinominal dengan parameter n,

p1, p2, ..., pk yang memenuhi pj > 0 untuk semua j dan 1

1 



 k j j p

, maka untuk n  berlaku



  k j j j j np np N 1 2 ) (

konvergen dalam distribusi ke distribusi 2 _{dengan derajat} bebas k-1.

Analisis yang dilakukan dalam tabel k  r tidak dapat dilepaskan dari distribusi multinomial. Dalam analisis tabel kontingensi ini dikembangkan tiga model yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

Model A

Berdasarkan pada Contoh V.2 dipunyai sampel sebesar

n=500 yang digolongkan ke dalam dua kategori yaitu

pekerjaan orang tua dan pekerjaan anak. Di bawah model ini matriks dari frekuensi sel mempunyai distribusi kr-multinomial dengan parameter n, p11, ...., pkr n N N r j j k i i 







  1 . 1 . .

Dalam model ini semua frekuensi Ni. dan N.j adalah besaran stokastik.

Model B

Tabel k  r dapat juga dipandang sebagai k sampel independen yang digolongkan ke dalam peubah kolom. Di