UJI KECOCOKAN : DISTRIBUSI MULTINOMIAL
V.2. Identifikasi sel-sel dengan nilai ekstrim
Apabila hipotesis nol dari ketidak-bergantungan antara dua kategori ditolak maka biasanya dilakukan analisis ber-bentuk kebergantungannya yaitu dengan melihat sel mana yang merupakan sel dengan nilai ekstrim. Suatu sel dengan nilai ekstrim besar akan menjelaskan bahwa ada keterkaitan positif antara kategori dari peubah baris dan peubah kolom, sedangkan suatu sel dengan nilai ekstrem menjelaskan bahwa anggota kategori tertutup satu sama lain.
Untuk melihat sel mana yang bernilai ekstrim dapat didasarkan pada residu berdasarkan penaksir kemungkinan maksimum (MLE-maximum likelihood estimator). Residu ternor-ma (kontribusi) didefinisikan sebagai
ij ij ij ij p n p n N C ^ ^
dengan i = 1,2, ..., k dan j = 1, 2, ..., r. Dengan melihat kontribusi tersebut akan dapat diketahui sel mana yang memberikan sumbangan besar pada besaran uji. Dalam tabel kontingensi dengan k r besar, untuk sel mana yang mem-punyai kontribusi yang bernilai ekstrim dapat digunakan box-plot sehingga data yang digambarkan sebagai titik ekstrim oleh boxplot akan merupakan nilai ekstrem dalam analisis ini.
Contoh V.5
Pada analisis tabel kontingensi dapat dilakukan juga per-hitungan residu ternorma untuk melihat kecenderungan
kategori mana yang sangat berkaitan erat. Pada tabel berikut ini diberikan residu ternormanya untuk tiap-tiap sel. Dengan bantuan boxplot dari residu ternorma maka dapat dilihat bahwa sel (4,4) mempunyai residu ternorma yang ekstrim (outlier). Hal ini berarti bahwa pemilihan pekerjaan petani oleh anak sangat erat kaitannya dengan pekerjaan ayah sebagai petani.
Tabel V.4 Residu terstandard dari tabel kontingensi Contoh V.3.
Ayah
Anak
Bisnis Kecakapan Tanpa
Kecakapan Tani Bisnis 3,56 -0,53 -2,90 -2,90 Kecakapan 2,47 -0,17 -0,57 -3,83 Tanpa kecakapan 3,92 -2,36 3,07 -0,62 Tani -2,36 -1,76 -0,78 9,76
Gambar V.2 Boxplot dari residu terstandard
SOAL & PENYELESAIAN Soal 1
Sampel dari 100 orang laki-laki usia 45 sampai dengan 65 yang mempunyai tekanan darah tinggi dan berpenyakit jantung dinyatakan pada Tabel V.5. Ujilah apakah ada keterkaitan antara orang laki-laki yang mempunyai tekanan darah tinggi dengan orang berpenyakit jantung dengan tingkat keberartian 5%.
Tabel V.5 Tabel Data Soal V.1
Penyakit Jantung Tekanan darah tinggi
Ada Tidak Ada Jumlah
Ada 32 39 71
Tidak Ada 64 264 328
Jumlah 96 303 399
Penyelesaian
Untuk menguji apakah ada keterkaitan antara orang laki-laki yang mempunyai tekanan darah tinggi dengan orang ber-penyakit jantung dengan tingkat keberartian 5% digunakan langkah-langkah berikut ini :
a. Hipotesis nol H0: tidak ada keterkaitan antara orang laki-laki yang mempunyai tekanan darah tinggi dengan orang berpenyakit jantung, melawan hipotesis alternatif
H1: ada keterkaitan antara orang laki-laki yang mem-punyai tekanan darah tinggi dengan orang berpenyakit jantung.
b. Tingkat keberartian = 5 %. c. Statistik Uji X2.
d. Hipotesis nol ditolak jika X2 hitung > kuantil 95% dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 1 yaitu 3,84.
e. Dari Tabel V.5 diperoleh X2 hitung adalah 20,8667 sehingga lebih besar dari 3,84 dan berarti H0 ditolak. Dengan kata lain, ada keterkaitan antara orang laki-laki yang mempunyai tekanan darah tinggi dengan orang berpenyakit jantung. Tabel V.6 menyatakan kontribusi Cij untuk setiap sel terhadap X2 hitung. Terlihat bahwa sel (1,1) bernilai positif dan relatif besar terhadap nilai sel lain sehingga terdapat keterkaitan positif antara adanya tekanan darah tinggi dan penyakit jantung.
Tabel V.6 Tabel Kontribusi Cij Soal V.1
Penyakit Jantung Tekanan darah tinggi
Ada Tidak Ada
Ada 3,6092 -2,0315
Tidak Ada -1,6792 0,9452
Soal 2
Ujilah keterkaitan antara variabel A dengan variabel B untuk setiap kasus berikut ini:
a. Kasus 1 10 16 16 10 b. Kasus 2 100 106 106 100 c. Kasus 3 100 160 160 100
Penyelesaian
Pada kasus 1, selisih sel (1,1) dengan sel (1,2) adalah 6 tetapi sel (1,2) 60% relatif lebih banyak dari sel (1,1) sehingga diperoleh nilai-p 0,0961. Hal itu berarti, hipotesis nol ditolak jika digunakan tingkat keberartian 10% tetapi jika digunakan tingkat keberartian 5%, hipotesis nol diterima. Dalam hal ini nilai-p yang diperoleh tidak terlalu kecil karena ukuran sampel hanya n=52.
Pada kasus 2, selisih sel (1,1) dengan sel (1,2) hanya 6 tetapi sel (1,2) dan hal itu hanya 6 % relatif lebih banyak dari sel (1,1) sehingga diperoleh nilai-p 0,5544. Hal itu berarti, hipotesis nol diterima jika digunakan tingkat keberartian yang biasa digunakan yaitu 1%, 5% atau 10%.
Pada kasus 3, selisih sel (1,1) dengan sel (1,2) cukup besar yaitu 60 sehingga sel (1,2) nilainya 60 % relatif lebih banyak dari sel (1,1) sehingga diperoleh nilai-p 1,4223 × 10-7. Hal itu berarti, hipotesis nol ditolak jika digunakan tingkat keberartian yang biasa digunakan yaitu 1%, 5% atau 10%. Dalam hal ini nilai-p yang diperoleh sangat kecil karena ukuran sampel cukup besar yaitu n=520.
Soal 3
Berikut ini diberikan data tentang hasil penelitian kategori nilai Matematika dan nilai Kimia dari 528 siswa yang dinyatakan pada Tabel V.7. Ujilah dengan tingkat keberartian 1% apakah ada keterkaitan antara nilai Matematika dengan nilai Kimia.
Tabel V.7 Tabel Data Soal V.3
Matematika
Tinggi Sedang Rendah
Kimia Tinggi 54 70 13
Sedang 48 164 40
Penyelesaian
Untuk menguji apakah ada keterkaitan antara nilai Matematika dengan nilai Kimia pada siswa dengan tingkat keberartian 1% digunakan langkah-langkah berikut ini :
a. Hipotesis nol H0 : tidak ada keterkaitan antara nilai Matematika dan nilai Kimia, melawan hipotesis alternatif
H1 : ada keterkaitan antara nilai Matematika dan nilai Kimia.
b. Tingkat keberartian = 5 %. c. Statistik Uji X2.
d. Hipotesis nol ditolak jika X2 hitung > kuantil 99% dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 4 yaitu 13,2767.
e. Dari Tabel V.5 diperoleh X2 hitung adalah 132,3524 sehingga lebih besar dari 13,2767 dan berarti H0 ditolak. Dengan kata lain, ada keterkaitan antara nilai Matematika dan nilai Kimia. Tabel V.8 menyatakan kontribusi Cij untuk setiap sel terhadap X2 hitung. Terlihat bahwa sel (1,1) dan (3,3) bernilai positif dan relatif besar terhadap nilai sel lain sehingga terdapat keterkaitan positif antara nilai tinggi pada Matematika dengan nilai tinggi pada Kimia serta nilai rendah pada Matematika dan nilai rendah pada nilai Kimia.
Tabel V.8 Tabel Kontribusi Cij Soal V.3
Matematika
Tinggi Sedang Rendah Kimia Tinggi 4,2909 -0,1907 -3,7220 Sedang -1,0493 2,8119 -3,0437 Rendah -2,8471 -3,5968 7,7933
Soal 4
Tabel V.9 menyatakan apakah ada saling keterkaitan antara pengambil keputusan pinjaman di suatu bank dengan
keputus-an diterima atau ditolaknya pinjamkeputus-an dengkeputus-an menggunakkeputus-an tingkat keberartian 10%.
Tabel V.9 Tabel Data Soal V.4
Keputusan Pengambil Keputusan
Disetujui Tidak Disetujui
A 24 16
B 17 13
C 35 15
D 11 9
Penyelesaian
Untuk menguji apakah ada keterkaitan antara pengambil keputusan dan keputusan yang diambil dengan tingkat keberartian 10 % digunakan langkah-langkah berikut ini :
a. Hipotesis nol H0: tidak ada keterkaitan antara pengambil keputusan dan keputusan yang diambil, melawan hipotesis alternatif H1: ada keterkaitan antara pengambil keputusan dan keputusan yang diambil.
b. Tingkat keberartian = 10%. c. Statistik Uji X2.
d. Hipotesis nol ditolak jika X2 hitung > kuantil 90% dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 3 yaitu 6,2514.
e. Dari Tabel V.5 diperoleh X2 hitung adalah 2,2063 sehingga lebih kecil dari 6,2514 dan berarti H0 diterima. Dengan kata lain, tidak ada keterkaitan antara pengambil keputusan dan keputusan yang diambil.
Soal 5
Data pada Tabel V.10 merupakan hasil pengumpulan selama waktu tertentu tentang banyaknya panggilan mobil ambulan di suatu rumah sakit untuk setiap harinya dari hari Senin
sampai hari Minggu dan terbagi ke dalam asal panggilan yaiu dari desa atau kota. Ujilah apakah ada keterkaitan antara asal dengan hari panggilan mobil ambulan dengan tingkat keberartian 10%.
Tabel V.10 Tabel Data Soal V.5
Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Kota 61 48 50 55 63 73 43
Desa 7 9 16 13 9 14 10
68 57 66 68 72 87 53
Penyelesaian
Untuk menguji apakah ada keterkaitan antara pengambil keputusan dan keputusan yang diambil dengan tingkat keberartian 10% digunakan langkah-langkah berikut ini:
a. Hipotesis nol H0 : tidak ada keterkaitan antara hari dengan asal panggilan ambulan, melawan hipotesis alternatif H1 : ada keterkaitan antara hari dengan asal panggilan ambulan.
b. Tingkat keberartian = 10%. c. Statistik Uji X2.
d. Hipotesis nol ditolak jika X2 hitung > kuantil 90% dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 6 yaitu 10,6446.
e. Dari Tabel V.5 diperoleh X2 hitung adalah 6,1745 sehingga lebih kecil dari 10,6446 dan berarti H0 diterima. Dengan kata lain, tidak ada keterkaitan antara hari dengan asal panggilan ambulan. Jika digunakan cara nilai-p maka diperoleh nilai-p adalah 0,4039 sehingga H0 diterima. Hal itu berarti, keputusan yang sama bila digunakan cara titik kritis.
LATIHAN
1. Ujilah keterkaitan antara variabel A dengan variabel B untuk setiap kasus berikut ini :
a. Kasus 1 8 8 8 16 b. Kasus 2 8 8 8 32 c. Kasus 3 8 8 8 48 d. Kasus 4 8 8 8 8 8 8 8 8 16 e. Kasus 5 8 8 8 8 8 8 8 8 32 f. Kasus 6 8 8 8 8 8 8 8 8 48
2. Dengan menggunakan Tabel V.11, buktikan bahwa uji keterkaitan dari tabel kontingensi 2 × 2 dapat digunakan statistik uji ( ) . 2 1 2 1 2 n n m m bc ad n W
Tabel V.11 Tabel Data Soal Latihan V.2
B Bc Jumlah
A a b n1
Ac c d n2
m1 m2 n
3. Tabel V.12 berikut ini data dari hasil penelitian untuk menguji apakah rajin atau tidaknya orang beribadah akan tergantung pada usia. Ujilah dengan tingkat keberartian 5 %.
Tabel V.12 Tabel Data Soal Latihan V.3
Rajin Tidak Jumlah
20 s/d 29 31 69 100
30 s/d 39 63 87 150
40 s/d 49 94 106 200
50 s/d 59 72 78 150
Jumlah 260 340 600
4. Tabel V.13 menyatakan hasil penelitian banyaknya barang yang rusak dan yang tidak rusak dari setiap shift yang diperoleh dari suatu industri rumah tangga.
Tabel V.13 Tabel Data Soal Latihan V.4 Shift Banyak barang
tidak cacat Banyak Barang Cacat Pertama 368 32 Kedua 285 15 Ketiga 176 24
5. Tabel V.14 menyatakan data tentang lebih suka tinggal di daerah yang irama kehidupannya cepat atau lambat atau tidak ada yang lebih dipilih dari 150 laki-laki dan 150 perempuan.
a. Gabungkan data laki-laki dan perempuan untuk mem-perkirakan persentase dari masing-masing bagian. Kesimpulan apa yang anda peroleh ?
b. Apakah ada keterkaitan antara jenis kelamin dengan kesukaan tinggal ? Gunakan tingkat keberartian 5%.
Tabel V. 14 Tabel Data Soal Latihan V.5
Responden Lambat
Tidak ada yang
lebih disukai Cepat
Laki-laki 102 9 39
Perempuan 111 12 27
BAB VI
ANALISIS VARIANSI
Dalam bab ini, akan dibahas tentang analisis variansi satu arah (one-way analysis of variance), analisis variansi dua arah (two-way analysis of variance) dan analisis variansi tiga arah (three-way analysis of variance). Analisis variansi merupakan suatu metode untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi.
VI.1 Analisis Variansi Satu Arah
Tabel VI.1 Tabel data untuk analisis variansi satu arah
Sampel Jumlah 1 2 .... i ... k x11 x21 .... xi1 .... xk1 x12 x22 .... xi2 .... xk2 .... x1n x1n ... Jumlah . 1 T T2. ... . i T .... . k T T..
Misalkan dimiliki k populasi yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata 1, 2, ..., k dan variansi mereka sama yaitu 2. Diinginkan untuk menguji hipotesis nol
H0 : 1 = 2 = ... = k melawan hipotesis alternatif
H1 : H0 tidak benar.
Untuk menguji hipotesis nol, digunakan k sampel dari k populasi seperti dinyatakan pada Tabel VI.1. Dalam hal ini,
.
i
T
adalah jumlah semua pengamatan sampel ke-i untuk i = 1, 2, ..., k sedangkan