STATISTIKA NON PARAMETRIK
IX.3 Pengujian Lebih dari Dua Sampel
Dalam pasal ini akan dibahas tentang pengujian hipotesis untuk data yang diperoleh dari lebih dari dua sampel yaitu untuk sampel yang saling bebas dengan menggunakan uji Kruskal-Wallis dan untuk sampel yang tidak saling bebas dengan menggunakan uji Friedman.
Uji Kruskal-Wallis
Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis komparatif apabila data berskala ordinal atau dapat dinyatakan dalam skala ordinal pada data yang terdiri dari lebih dari 2 sampel yang saling bebas. Untuk menggunakan uji ini digunakan langkah-langah sebagai berikut:
Langkah 1
Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya. Dalam hal ini, hipotesis nolnya adalah median populasi semua sama dan hipotesis alternatifnya adalah ada median yang berbeda dengan yang lain.
Langkah 2
Langkah 3
Dihitung statistik uji Kruskal-Wallis dengan rumus ) 1 ( 3 ) 1 ( 12 1
N n R N N H k i i i dengan n = ukuran sampel, k = banyaknya kelompok,ni = ukuran sampel dalam kelompok ke-i,
Ri = jumlah peringkat dalam kelompok ke-i,
i = 1, 2,..., k. Langkah 4
Aturan pengambilan keputusan yaitu bahwa H0 ditolak jika
Hhitung >
2;k1 dengan tingkat keberartian dan derajat bebas k-1. Pengambilan keputusan juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai-p yaitu bahwa jika nilai-p lebih kecil dari maka H0 ditolak. Dalam hal ini, nilai-p dapat diperoleh dengan rumusnilai-p = P(
2k1 > Hhitung).Contoh IX.13
Seorang guru SMA mengadakan penelitian tentang keunggulan metode pembelajaran dengan menggunakan 3 metode dan diperoleh hasil ujian seperti dinyatakan pada tabel berikut ini:
Metode A Metode B Metode C
70 65 67 76 70 66 77 74 50 76 67 57 67 57 89
Apabila dianggap distribusi hasil ujian tidak berdistribusi normal maka gunakan statistik Kruskal-Wallis dengan tingkat
keberartian 10% untuk menguji apakah ketiga median hasil pembelajaran tersebut sama.
Penyelesaian Langkah 1
Hipotesis nolnya adalah median populasi semua sama dan hipotesis alternatifnya adalah ada median yang berbeda dengan yang lain.
Langkah 2
Dipilih tingkat keberartian = 10%.
Langkah 3
Metode A Peringkat Metode
B Peringkat Metode C Peringkat 70 9,5 65 4 67 7 76 12 70 9,5 66 5 77 13 74 11 50 1 76 14 67 7 57 2,5 67 7 57 2,5 89 15 R1 = 70,5 R2 = 34 R3 = 15,5
Tabel di atas digunakan untuk membantu menghitung R1, R2 dan R3. Dalam hal ini, n1 = 6, n2 = 5 , n3 = 4 dan N = 15, selanjutnya dihitung statistik uji Kruskal-Wallis dengan rumus ) 1 ( 3 ) 1 ( 12 1
N n R N N H k i i isehingga diperoleh Hhitung = 7,9819.
Langkah 4
Aturan pengambilan keputusan yaitu bahwa H0 ditolak jika
Hhitung >
2;k1
20,1;24,6052 dengan tingkat keberartian =10% dan derajat bebas k-1 = 3-1 = 2. Karena lebih besar dari titik kritis yaitu 4,6052 maka H0 ditolak sehingga ada median yang berbeda dengan yang lain.
Pengambilan keputusan juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai-p yaitu bahwa jika nilai-p lebih kecil dari
= 10% maka H0 ditolak. Dalam hal ini, nilai-p dapat diperoleh dengan rumus
nilai-p = P(
2k1 > Hhitung) = P(
22 > 7,9819) = 0,0185 sehingga H0 ditolak.Uji Friedman
Uji Friedman digunakan untuk menguji hipotesis apabila datanya berskala ordinal untuk data yang diperoleh dari lebih dari 2 sampel yang berkaitan. Untuk memberikan gambaran penggunaan metode ini, dijelaskan dalam langkah-langkah berikut :
Langkah 1
Menentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif.
Langkah 2
Menentukan tingkat keberartian .
Langkah 3
Menghitung statistik uji Friedman yaitu X2hitung dengan rumus: ) 1 ( 3 ) 1 ( 12 1 2 2
k n R k nk X k i i denganN = ukuran sampel total,
Ri = jumlah peringkat dalam kelompok ke-i.
Langkah 4
Aturan penolakan H0 adalah jika Hhitung >
2;k1 . Pengambilan keputusan juga dapat dilakukan dengan menggunakannilai-p yaitu bahwa jika nilai-nilai-p lebih kecil dari tingkat keberartian maka H0 ditolak.
Contoh IX.14
Misalkan dalam sebuah pelatihan yang diikuti oleh 6 orang dilakukan tes awal, tes tengah dan tes akhir. Ujilah apakah median tes awal, tes tengah dan tes akhir sama atau tidak dengan menggunakan tingkat keberartian = 1%. Hasil yang diperoleh dinyatakan pada tabel berikut ini:
Tes Awal Tes Tengah Tes Tengah
4 5 6 4 5 6 5 6 7 5 6 7 6 7 7 6 7 7 Penyelesaian Langkah 1
Hipotesis nolnya adalah median tes awal, tes tengah dan tes akhir semua sama dan hipotesis alternatifnya adalah H0 tidak benar.
Langkah 2
Dipilih tingkat keberartian = 1%.
Langkah 3 Metode A Peringkat Metode B Peringkat Metode C Peringkat 4 1 5 2 6 3 4 1 5 2 6 3 5 1 6 2 7 3 5 1 6 2 7 3 6 1 7 2,5 7 2,5 6 1 7 2,5 7 2,5 R1 = 6 R2 = 13 R3 = 17
Tabel di atas digunakan untuk membantu menghitung R1, R2 dan R3. Dalam hal ini, n = 6, k = 3 dan N = nk = 18, selanjutnya dihitung statistik uji Friedman dengan rumus
6 13 17
3(6)(3 1) ) 1 3 )( 3 ( 6 12 ) 1 ( 3 ) 1 ( 12 2 2 2 1 2 2
k n R k nk X k i isehingga diperoleh X2hitung = 10,3333.
Langkah 4
Aturan pengambilan keputusan yaitu bahwa H0 ditolak jika
Hhitung >
2;k1
20,01;29,2103 dengan tingkat keberartian =1 % dan derajat bebas k-1 = 3-1 = 2. Karena lebih besar dari titik kritis yaitu 9,2103 maka H0 ditolak sehingga tidak benar bahwa median tes awal, tes tengah dan tes akhir semua sama.
Pengambilan keputusan juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai-p yaitu bahwa jika nilai-p lebih kecil dari
= 1% maka H0 ditolak. Dalam hal ini, nilai-p dapat diperoleh dengan rumus
nilai-p = P(
2k1 > X2hitung) = P(
22 > 10,3333) = 0,0057 sehingga H0 ditolak.SOAL & PENYELESAIAN
Soal 1Berdasarkan pada data inflasi bulanan kota Jayapura pada Tabel II.2, akan diuji hipotesis nol bahwa median data inflasi bulanan kota Jayapura sama dengan nol melawan median data inflasi bulanan kota Jayapura lebih dari nol dengan tingkat keberartian 5%.
Penyelesaian
Hipotesis nol yang akan diuji adalah bahwa median data inflasi bulanan kota Jayapura sama dengan nol melawan median data inflasi bulanan kota Jayapura lebih dari nol. Statistik yang digunakan adalah
.
1
)
0
(
#
{ 0}
i X i iX
T
Hipotesis nol H0 akan ditolak jika nilai-p lebih kecil dari 5%. Dari data diperoleh T = 37 sehingga nilai-p adalah
PH0(T > 37) = 0,0019
sehingga H0 ditolak artinya median data inflasi bulanan kota Jayapura lebih dari nol.
Soal 2
Berdasarkan pada data inflasi bulanan kota Jayapura pada Tabel II.2, akan diuji hipotesis nol bahwa distribusi data inflasi bulanan kota Jayapura simetris di sekitar 0 melawan distribusi data inflasi bulanan kota Jayapura tidak simetris di sekitar 0 dengan uji simetri Wilcoxon dan tingkat keberartian 5%.
Penyelesaian
Hipotesis nol bahwa distribusi data inflasi bulanan kota Jayapura simetris di sekitar 0 melawan distribusi data inflasi bulanan kota Jayapura tidak simetris di sekitar 0. Statistik yang digunakan adalah
. ) ( 1
n i o i isign X m R VHipotesis nol H0 akan ditolak jika nilai-p lebih kecil dari 5%. Dari data diperoleh V = 520 sehingga nilai-p adalah
PH0(V > 520) = 0,0252
sehingga H0 ditolak artinya distribusi data inflasi bulanan kota Jayapura tidak simetris di sekitar 0.
Soal 3
Berdasarkan pada data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura pada Tabel II.2, akan diuji hipotesis nol bahwa distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura sama melawan distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura tidak sama dengan uji Mann-Whitney untuk ukuran sampel besar dan tingkat keberartian 5%.
Penyelesaian
Karena m=n=54 maka dapat digunakan uji Mann-Whitney pendekatan sehingga diperoleh W = 3088. Distribusi W mendekati normal dengan mean 2943 dan simpangan baku 162,751 sehingga diperoleh nilai-p yaitu 0,3730 sehingga H0 diterima. Hal itu berarti distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura sama.
Soal 4
Berdasarkan pada data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura pada Tabel II.2, akan diuji hipotesis nol bahwa distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura sama melawan distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura tidak sama dengan uji Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat keberartian 5%.
Penyelesaian
Dengan menggunakan statistik Kolmogorov-Smirnov dua sampel diperoleh Dm,n = 0,1667 sedangkan titik kritis untuk
nol H0 ditolak jika lebih besar dari 0,2613. Akibatnya H0 diterima artinya dengan menggunakan statistik Kolmogorov-Smirnov, distribusi data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura sama.
Soal 5
Berdasarkan pada data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura pada Tabel II.2, akan diuji hipotesis nol bahwa data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura saling bebas melawan data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura tidak saling bebas dengan uji koefisien korelasi Spearman dengan tingkat keberartian 5%.
Penyelesaian
Dengan menggunakan rumus koefisien korelasi Spearman diperoleh koefisien korelasi Spearman l = 0,1405. Dengan tingkat keberartian 5%, hipotesis nol ditolak jika l lebih besar dari 0,2679. Akibatnya data inflasi bulanan kota Ambon dan kota Jayapura saling bebas.
Soal 6
Sebuah pelatihan metode penelitian dilakukan evaluasi awal, tengah dan akhir. Gunakan tingkat keberartian 10% untuk menguji apakah median evaluasi awal, tengah dan akhir sama. Hasil evaluasi pelaihan metode penelitian tersebut dinyatakan dalam tabel berikut:
Tes Awal Tes Tengah Tes Tengah
7 8 8 7 9 7 8 7 8 9 10 8 7 10 8 8 9 10
Penyelesaian Langkah 1
Hipotesis nolnya adalah median evaluasi awal, evaluasi tengah dan evaluasi akhir semua sama dan hipotesis alternatifnya adalah H0 tidak benar.
Langkah 2
Dipilih tingkat keberartian = 10%.
Langkah 3
Metode A Peringkat Metode
B Peringkat Metode C Peringkat 7 1 8 2,5 8 2,5 7 1,5 9 3 7 1,5 8 2,5 7 1 8 2,5 9 2 10 3 8 1 7 1 10 3 8 2 8 1 9 2 10 3 R1 = 9 R2 = 14,5 R3 = 12,5
Tabel di atas digunakan untuk membantu menghitung R1, R2 dan R3. Dalam hal ini, n = 6, k = 3 dan N = nk = 18, selanjutnya dihitung statistik uji Friedman dengan rumus
9 (15,5) (12,5)
3(6)(3 1) ) 1 3 )( 3 ( 6 12 ) 1 ( 3 ) 1 ( 12 2 2 2 1 2 2
k n R k nk X k i isehingga diperoleh X2hitung = 2,5833.
Langkah 4
Aturan pengambilan keputusan yaitu bahwa H0 ditolak jika
X2hitung >
2;k1
20,01;24,6052 dengan tingkat keberartian =1% dan derajat bebas k-1 = 3-1 = 2. Karena X2hitung lebih kecil dari titik kritis yaitu 4,6052 maka H0 diterima sehingga median tes awal, tes tengah dan tes akhir semua sama.
Pengambilan keputusan juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai-p yaitu bahwa jika nilai-p lebih kecil dari
= 10% maka H0 ditolak. Dalam hal ini, nilai-p dapat diperoleh dengan rumus
nilai-p = P(
2k1 > X2hitung) = P(
22 > 2,5833) = 0,2748 sehingga nilai-p = 0,2748 lebih besar dari tingkat keberartianLATIHAN
1. Berikut ini data hubungan antara tinggi ayah dan tinggi anak (dalam cm):
Tinggi ayah 165 160 170 163 173 157 178 168 173 170 175 180 Tinggi anak 173 168 173 165 175 168 173 165 180 170 173 178
Ujilah apakah ada keterkaitan antara tinggi anak dengan tinggi ayah dengan menggunakan uji koefisien korelasi Spearman dengan tingkat keberartian 1%.
2. Berdasarkan data pada no 1, ujilah dengan uji Mann-Whitney apakah distribusi tinggi ayah dan distribusi tinggi anak sama dengan tingkat keberartian 5%.
3. Berdasarkan data pada no 1, ujilah dengan uji Kolmogorov-Smirnov apakah distribusi tinggi ayah dan distribusi tinggi anak sama dengan tingkat keberartian 5%.
4. Ujilah dengan uji simetri Wilcoxon bahwa data tinggi ayah simetris di sekitar 160 cm dengan tingkat keberartian 10% untuk data tinggi ayah pada data no 1.
5. Ujilah dengan uji tanda bahwa median data tinggi ayah adalah 160 cm dengan tingkat keberartian 5% untuk data tinggi ayah pada data no 1.
6. Misalkan diberikan data bivariat (x,y) yaitu (33, 26), (61, 36), (20, 65), (19,25) dan (40,35). Ujilah hipotesis tentang koefisien korelasi Spearman berikut ini:
a. H0 : 0 dengan tingkat keberartian = 5%. b. H0 : > 0 dengan tingkat keberartian = 1%. c. H0 : < 0 dengan tingkat keberartian = 10%.
7. Ujilah dengan uji simetri Wilcoxon bahwa data inflasi bulanan Indonesia simetris di sekitar 0 persen dengan tingkat keberartian 10% untuk data pada Tabel II.1. 8. Ujilah dengan uji tanda bahwa median data inflasi bulanan
Indonesia adalah 0 persen dengan tingkat keberartian 5% untuk data pada Tabel II.1.
9. Ujilah dengan uji Komogorov-Smirnov bahwa distribusi data inflasi bulanan Indonesia sama dengan distribusi data inflasi bulan kota Ambon untuk periode Januari 2009 sampai dengan Desember 2011 pada Tabel II.1 dan pada Tabel II.2 dengan tingkat keberartian 5%.
10. Enam orang siswa mengikuti suatu penelitian untuk menguji apakah metode pembelajaran dengan mengguna-kan pembuatan portofolio dapat meningkatmengguna-kan pema-haman siswa akan pembelajaran dengan menggunakan tingkat keberartian 5%. Hasil penilaian yang diperoleh dinyatakan dalam tabel berikut ini:
Penilaian 1 Penilaian 2 Penilaian 3 Penilaian 4
4 6 6 6 4 6 6 6 5 4 6 7 5 4 6 7 5 5 5 6 5 5 5 6 ***
BAB X