Modul 5 Modul 5
Sebaran Normal Sebaran Normal
PPeeuubbaah h aaccaak k X X yyaanng g mmeennyyeebbaar r sseeccaarra a nnoorrmmaall
dengan fungsi kepekatan peluang: dengan fungsi kepekatan peluang:
f(x) = f(x) =
0 x lainnya 0 x lainnya
Peubah acak normal baku :Peubah acak normal baku :
f(!) = f(!) =
0 ! lainnya 0 ! lainnya "
"iillaai i hhaararappaan n ppeeuubbaah h aaccaak k X X == ddaan rn raaggaamm ##
sedangkan peubah acak $ mempunyai nilai harapan sedangkan peubah acak $ mempunyai nilai harapan = 0 dan ragam = %&
= 0 dan ragam = %&
1 1 X X , , e e 2π 2π σ σ 1 1 2 2 σ σ μ μ x x 2 2 1 1 σ σ μ μ X X Z Z z z e e z z ,, 2 2 1 1 22 2 2 1 1
'ambar %& ura peubah acak normal X dan
'ambar %& ura peubah acak normal X dan peubahpeubah acak normal baku $&
acak normal baku $&
P($
P($%%*$*$*$*$##) ) diditetentntukukan an dedengngan an memengnggugunanakakan n tatabebell
normal baku& normal baku&
μ
μ
σ
σ
σ
σ
--XX ++%% 00 %% $$ P P Z Z 11 Z Z Z Z 22 σ σ μ μ b b Z Z σ σ μ μ a a P P b b X X a a P P σ σ μ μ --b b Z Z , , σ σ μ μ a a Z Z 11 22 ,ontoh soal:
-iketahui X menyebar secara normal dengan = 50
dan =%0& ,arilah peluang bah.a X mendapat nilai
antara /5 dan #& Petun1uk:
Hampiran Normal Terhadap Binom
2ila X peubah acak 2inom dengan nilai tengah = np
dan ragam 2 = np(1-p)
maka bentuk limit sebaran normal baku:
,ontoh soal:
3uatu u1ian pilihan ganda terdiri atas #00 soal masing+ masing dengan / pilihan dan hanya satu 1a.aban yang benar& 4anpa memahami soal sedikitpun masalahnya dan hanya dengan menerka sa1a berapakah peluang seorang mahasis.a men1a.ab #5 sampai dengan 0 soal dengan benar untuk 60 dari #00 soal7
3 45 X 62 P 0,5 Z 1,2 P 5764 , 0 3085 , 0 8849 , 0 5 , 0 2 , 1 P Z P Z , bila n 1 p p n np X Z
Petun1uk :
,ontoh 3oal&
%& 8ntuk sebaran normal dengan = 50 dan = %0&
9itunglah peluang bah.a X mengambil nilai antara /5 dan #&
a.ab&
"ilai+nilai ! adalah untuk x% = /5 dan x# = #
adalah: 2 , 1 10 50 62 5 , 0 10 50 45 2 2 1 1 x Z x Z P(x% * x * x#) = P(!% * ! * !%) P(/5 * x * #) = P(+05 * # * %#) = P(!*%#) ; P(!*+05) = 066/< ; 0065 P(/5 * x * #) = 05/ 4 25 X 30 P 24,5 X 30,5 P 1 ,16 Z 2,71 P 1196 , 0 $ 05 0 %#
#& 8ntuk sebaran normal dengan = 00 dan = 50&
9itunglah peluang bah.a peubah acak X meng+ ambil suatu nilai yang lebih besar dari #&
a.ab& P(x > x%) = P(! > !%) 24 , 1 50 300 362 1 1 1 x Z Z P(x > 0#) = P(! > %#/) = P(! > %#/) = % ; P(! * %#/) = % ; 06<#5 = 0%05 5 $ X 00 # %#/ 0
& -iberikan sebuah sebaran normal dengan = /0
dan = & 9itunglah nilai X yang:
a& ?uas daerah diba.ahnya ada 6@ b& ?uas daerah diatasnya 5@
a.ab& x x z Z
a& P(! * &7&&) = 06 lihat tabel A&/ .alpole& P(! * + 0%) = 06 ! = + 0%
X = ! B = (+0%) B /0
= +%6 B /0 = 6%/
b& P(! > &7&&) = 005 P(! * &7&&) = 0<5 P(! * %/5) = 0<5 $ = %/5 X = (%/5) B /0 = /<6 +0 % X $ /0 06 0 X $ /0 0 005 %/5
Penerapan sebaran normal
/& 3uatu 1enis aki mencapai umur rata+rata 0 tahun dengan simpangan baku 05 tahun& 2ila umur aki itu menyebar normal hitunglah peluang bah.a sebuah aki tertentu akan mencapai umur kurang dari # tahun a.ab& = 0 C = 05 P(x * #) = D7 P(x * x%) = P(! * !%) 4 , 1 5 , 0 0 , 3 3 , 2 1 1 x Z P(x * #) = P(! * %/) P(x * #) = 00606 (4abel A&/) 7 X 0 0 %/
5& 3ebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 600 1am dan simpangan baku /0 1am& 9itunglah peluang sebuah bohlam hasil produksi+ nya akan mencapai umur antara 6 dan 6/ 1am& a.ab& X% = 6 X# = 6/ C = 600 C = /0 P(X% * X * X#) = P($% * $ * $#) 85 , 0 40 800 834 55 , 0 40 800 778 2 2 1 1 x Z x Z P(6 * x * 6/) = P(+055 * ! * 065) = P(! * 065) ; P(! * +055) = 060# ; 0#<%< = 05%%% $ X 6 0 6/ 065 +055 600
& Pada suatu u1ian nilai rata+ratanya adalah / dan simpangan bakunya & 2ila %#@ diantara peserta u1ian akan diberi nilai A dan nilai itu mengikuti sebaran normal& 2erapakah batas nilai terkecil bagi A dan batas nilai tertinggi bagi 27
a.ab&
= / C = Eumus X = $ B
$ dilihat pada tabel A&/&
P($ * %%5) = 066 $ = %%5 X = (%%5) B /
X = 6##5 B / X = 6###5
& Pada suatu u1ian nilai rata+ratanya adalah / dan simpagan bakunya & 2ila nilai itu mengikuti sebaran normal tentukan - = desil ke &
9 X 0%# / 066 P($ * &7&&) = 0
a.ab& P(X * &7&&) = 00 P($ * &7&&) = 00 $ = 0#5 P($ * 0#5) = 00 Pakai rumus : X = $ B - = X = (0#5) B / - = X = %5 B/ = 55 - = 55
6& Eata+rata tinggi an1ing pudel 1enis tertentu adalah 0 cm dan simpangan bakunya /% cm& 2erapa @ banyaknya an1ing pudel 1enis tersebut yg tingginya melebihi 5 cm bila tinggi itu menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun7
a.ab& = 0 C = /% X / 0@ = 0 -
) 22 , 1 ( 1 , 4 30 35 ) 35 ( P Z P Z Z P P($ > %##) = % ; P($ * %##) = % ; 06666 (tabel A&%) = 0%%%#
adi @ banyaknya X > 5 adalah %%%#@&
<& Eata+rata tinggi an1ing pudel 1enis tertentu adalah 0 cm dan simpangan bakunya /% cm& 9itunglah persentase an1ing pudel yang tingginya melebihi 5 cm bila tingginya di ukur sampai sentimeter ter+ dekat7 a.ab& X = 5 X = 55 34 , 1 1 , 4 30 5 , 35 Z 11 $ X 0 0 5 % ##
P(X > 55) = P($ * %/) = % + P($ * %/) = % ; 0<0<<
P(X > 55) = 00<0%
2anyaknya @ an1ing pudel yang melebihi 5 cm
adalah <0%@&
%0& "ilai mutu rata+rata ("ME) 00 mahasis.a tingkat persiapan mengikuti suatu sebaran normal dengan nilai tengah #% dan simpangan baku 06& 2erapa banyaknya mahasis.a tersebut yang mencapai "ME antara #5 dan 5 inklusif bila "ME itu dihitung sampai persepuluhan terdekat&
a.ab&
arena dicatat sampai persepuluhan terdekat maka nilai #5 X%=#/5 dan nilai 5 X# = 55&
$ X 0 0 55 %/
81 , 1 8 , 0 1 , 2 55 , 3 44 , 0 8 , 0 1 , 2 45 , 2 2 2 1 1 x Z x Z P(#/5 * X * 55) = P(0// * $ * %6%) = P($ * %6%) ; P($ * 0//) = 0</< ; 000 = 0#</<
adi banyak mahasis.aa yang "MEnya antara
#5 dan 5 inklusif = 0#</< x 00 = 66 mahasis.a&
9ampiran normal terhadap sebaran binom&
%%& Peluang bah.a seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0& 2ila %00 orang di+ ketahui menderita penyakit ini berapa peluang bah.a kurang dari separuhnya akan dapat sembuh7
a.ab&
X = p&a& pasien yang dapat sembuh Eumus : x Z
untuk lampiran normal&
X = /<5 C = np = %00(0) = 0 0,0162 ) 14 , 2 ( ) 6 , 0 , 100 ; ( ) 50 ( 14 , 2 9 , 4 60 5 , 49 9 , 4 ) 4 , 0 )( 6 , 0 )( 100 ( 49 0 x z P x b x P Z npq
%#& 3ebuah u1ian terdiri atas #00 pertanyaan pilihan berganda masing+masing dengan / kemungkinan 1a.aban tetapi hanya satu yang benar& 2erapa peluang seorang yang men1a.ab secara acak 60 diantara #00 soal yang sama sekali tidak diketahui+ nya mendapatkan dari #5 sampai 0 1a.aban yang benar7 a.ab& 80 , 4 1 n P Eumus : Z x np npq ; ; $ X 0 #%/ <5 0 1
= np = (60) (F) = #0C 87 , 3 ) )( )( 80 ( 43 4 1 npq
3ecara langsung dengan binom ) , 80 ; ( ) 30 25 ( 41 30 25 x b x P x
-engan hampiran normal:
P(#/5 * x * 05) = P(%% * ! * #%)
= P(! * #%) ; P(! * %%) = 0<< ; 0%%/
= 0%%<
3oal ;4ugasG ?atihan&
%& 2ila diberikan sebuah sebaran normal dengan =
50 dan = 6 hitunglah
a& ?uas daerah diba.ah b& ?uas daerah diatas /
c& ?uas daerah antara / dan %
d& "ilai X yang luas daerah diba.ahnya /5@ e& "ilai X yang luas daerah diatasnya %@
15
#& -iberikan sebuah peubah acak X dengan nilai tengah %6 dan simpangan baku #5& 9itunglah
a& P(X * %5)
b& P(% * X * #%)
c& "ilai k yang bersifat P(X *k) = 0#56 d& "ilai k yang bersifat P(X > k) = 0%5<
& -iameter bagian dalam ring piston menyebar normal dengan nilai tengah %0cm dan simpangan baku 00cm&
a& 2erapa proporsi ring yang diameter bagian dalamnya lebih dari %005 cm7
b& 2erapa peluang diameter bagian dalam ring antara << dan %00 cm7
c& -iba.ah nilai berapa terdapat %5@ ring yang diproduksi7
/& 3ebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rata+rata 600ml per gelas& 2ila banyaknya minuman yang dikeluarkan itu menyebar normal dengan simpangan baku %5ml&
a& 2erapa banyaknya gelas (dalam pecahan atau persentasi) yang berisi lebih dari ##/ml&
b& 2erapa peluang sebuah gelas berisi antara %<% dan #0<ml7
c& 2erapa gelas diantara %000 gelas berikutnya yang akan tumpah meluap bila gelas+gelas itu berukuran #0ml7
d& -iba.ah nilai berapa kita akan dapatkan #5@ gelas+gelas yang berisi paling sedikit7
5& 2ila nilai u1ian statistika kira+kira menyebar normal dengan nilai tengan / dan simpangan baku <& 9itunglah
a& "ilai terendah bagi - bila %0@ nilai terendah diantara seluruh peserta u1ian mendapat nilai H7 b& "ilai tertinggi bagi 2 bila 5@ mahasis.a men+
dapat nilai A7
c& "ilai terendah bagi 2 bila %0@ tertinggi men+ dapat A dan #5@ berikutnya mendapat 27
& -alam sebuah u1ian matematika nilai rata+ratanya adalah 6# dan simpangan bakunya 5& Mahasis.a yang mendapat nilai dari 66 sampai </ mendapat 2& 2ila nilai u1ian itu menyebar normal dan 6 orang mendapat 2& 2erapa banyak mahasis.a yang mengikuti u1ian&
& 4inggi %000 mahasis.a menyebar normal dengan nilai tengah %/5cm dan simpangan baku <cm& 2ila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat berapa banyak diantara mahasis.a itu yang memiliki tinggi:
a& urang dari %05 cm7
b& Antara %%5 dan %6#0 cm inklusif c& 3ama dengan %50 cm7
d& ?ebih besar atau sama dengan %660 cm7
6& 3ebuah perusahaan membayar karya.annya dengan rata+rata I#5 per 1am dengan simpangan baku 0 sen& 2ila ga1i itu kira+kira menyebar normal dan dibayar sampai sen terdekat
a& 2erapa persentase karya.an yang menerima antara I5 dan I< per 1am inklusif
b& 5@ ga1i tertinggi lebih besar dari berapa7
<& 2obot badan se1umlah an1ing pudel kira+kira menyebar normal dengan nilai tengah 6 kg dan simpangan baku 0< kg& 2ila pengukurannya dicatat sampai persepuluhan kg terdekat hitunglah proporsi banyaknya an1ing pudel itu yang berbobot a& ?ebih dari << kgC
b& Paling tinggi 6 kgC
c& Antara dan <% kg inklusif
%0& -aya regang suatu komponen logam tertentu menyebar normal dengan nilai tengah %0&000 kg per cm# dan simpangan baku %00 kg per cm#&
3emua pengukuran dicatat sampai 50 kg per cm#
terdekat&
a& 9itunglah proporsi komponen itu memiliki daya regang melebihi %0&%50 kg per cm#7
b& 2ila dikehendaki semua komponen itu memiliki daya regang antara <&600 dan %0� kg per cm# inklusif
%%& 2ila segugus pengamatan menyebar normal berapa persentase pengamatan yang berbeda dari nilai tengahnya sebesar :
a& ?ebih dari %5
9ampiran normal terhadap sebaran binom&
%#& 9itunglah galat yang ter1adi akibat menghampiri
) 1 , 0 , 20 ; ( 4 1 x b x
dengan kura normal
%& 3ekeping uang logam dilemparkan /00 kali& 'unakan lampiran kura normal untuk menghitung peluang mendapatkan
a& Antara %65 dan #%0 sisi gambar inklusifC b& 4epat #05 sisi gambar
c& urang dari % atau lebih dari ## sisi gambar7
%/& Peluang seorang selamat dari suatu operasi 1antung yang rumit adalah 0<& -iantara %00 pasien
yang men1alani operasi ini berapa peluang bah.a a& Antara 6/ dan <5 orang inklusif selamat7
b& urang dari 6 orang selamat7
%5& 3eorang pemburu burung pegar mengatakan bah.a 5@ diantara tembakannya mengenai sasaran& -ari 60 tembakan berikutnya berapa peluang bah.a
a& 3ekurang+kurangnya 50 ekor berhasil terbang menyelamatkan diri
b& 3ebanyak+banyaknya 5 ekor berhasil ditembak 1atuh7
%& 2ila #0@ penduduk disebuah kota lebih menyukai telepon .arna putih dari .arna+.arna lainnya& 2erapa peluang bah.a diantara %00 telepon yang dipasang berikutnya dikota itu&
a& Antara %0 dan %65 inklusif akan ber.arna putih7
b& 3ekurang+kurangnya #%0 tetapi tidak lebih dari ##5 akan ber.arna putih7
%& 3eperenam 1umlah mahasis.a laki+laki yang memasuki sebuah perguruan tinggi berasal dari luar propinsi& 2ila pengaturan masuk ke asrama ditentukan secara acak %60 mahasis.a pergedung asrama berapa peluang bah.a disuatu gedung asrama sekurang+kurangnnya seperlima meru+ pakan mahasis.a dari luar propinsi7
%6& 3ebuah perusahaan obat+obatan mengetahui bah.a secara rata+rata 5@ diantara sebuah 1enis pil tertentu bahan+bahannya diba.ah syarat minimum sehingga sesungguhnya tidak dapat diterima& 2erapa peluang bah.a kurang dari %0 pil diantara sebuah contoh #00 pil sesungguhnya tidak dapat diterima7
