DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
Pengantar
Pengantar Metode
Metode Numerik
Numerik ...
...
...
...
1
1
Kekeliruan
Kekeliruan dalam
dalam Perhitungan
Perhitungan Numerik
Numerik ...
...
...
5
5
Bilangan
Bilangan dan
dan Ketelitian
Ketelitian ...
...
...
...
.
5
5
Pembulatan
Pembulatan ...
...
...
...
...
.
6
6
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
9
9
Teori
Teori Galat
Galat ...
...
...
...
...
..
10
10
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
13
13
Operasi
Operasi Hitung
Hitung pada
pada Teori
Teori Galat
Galat ...
...
...
...
14
14
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
18
18
Akar
Akar Persamaan
Persamaan ...
...
...
...
...
19
19
Metode
Metode Biseksi
Biseksi ...
...
...
...
...
21
21
Metode
Metode Iterasi
Iterasi ...
...
...
...
...
24
24
Metode
Metode Newton
Newton Raphson
Raphson ...
...
...
...
..
26
26
Metode
Metode Birge-Vieta
Birge-Vieta ...
...
...
...
...
28
28
Interpolasi
Interpolasi ...
...
...
...
...
...
30
30
Interpolasi
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
Pengantar
Pengantar Metode
Metode Numerik
Numerik ...
...
...
...
1
1
Kekeliruan
Kekeliruan dalam
dalam Perhitungan
Perhitungan Numerik
Numerik ...
...
...
5
5
Bilangan
Bilangan dan
dan Ketelitian
Ketelitian ...
...
...
...
.
5
5
Pembulatan
Pembulatan ...
...
...
...
...
.
6
6
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
9
9
Teori
Teori Galat
Galat ...
...
...
...
...
..
10
10
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
13
13
Operasi
Operasi Hitung
Hitung pada
pada Teori
Teori Galat
Galat ...
...
...
...
14
14
Latihan
Latihan ...
...
...
...
...
...
18
18
Akar
Akar Persamaan
Persamaan ...
...
...
...
...
19
19
Metode
Metode Biseksi
Biseksi ...
...
...
...
...
21
21
Metode
Metode Iterasi
Iterasi ...
...
...
...
...
24
24
Metode
Metode Newton
Newton Raphson
Raphson ...
...
...
...
..
26
26
Metode
Metode Birge-Vieta
Birge-Vieta ...
...
...
...
...
28
28
Interpolasi
Interpolasi ...
...
...
...
...
...
30
30
Interpolasi
Interpolasi Linear
Linear ...
...
...
...
...
30
30
Latihan
Interpolasi
Interpolasi Kuadrat
Kuadrat ...
...
...
...
...
33
33
Interpolasi
Interpolasi Langrange
Langrange ...
...
...
...
....
36
36
Interpolasi
Interpolasi Newton
Newton ...
...
...
...
...
41
41
Latihan
PENGANTAR METODE NUMERIK
PENGANTAR METODE NUMERIK
Ketika kita menyelesaikan persamaan-persamaan matematika di mana Ketika kita menyelesaikan persamaan-persamaan matematika di mana teorema-teoremanya masih dapat diterapkan, solusi analitik atau solusi eksak dapat kita peroleh. teoremanya masih dapat diterapkan, solusi analitik atau solusi eksak dapat kita peroleh. Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.
Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut. (1) Cari akar-akar persamaan:
(1) Cari akar-akar persamaan: x x22 – 4 – 4 x x + 3 = 0!+ 3 = 0! (2) Tentukan nilai
(2) Tentukan nilai x x dandan y y yang memenuhi sistem persamaan berikut.yang memenuhi sistem persamaan berikut. 2
2 x x + 3+ 3 y y = 8= 8 5
5 x x – 2 – 2 y y = 1= 1
(3) Hitung integral berikut: (3) Hitung integral berikut:
dx dx x x
11 0 0 2 2(4) Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut (4) Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut
0 0 kyky dx dx dy dy Tujuan Umum Tujuan Umum
Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui kekeliruan dalam perhitungan numerik.
kekeliruan dalam perhitungan numerik. Tujuan Khusus
Tujuan Khusus 1.
1. Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian dari metode numerik.Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian dari metode numerik. 2.
2. Mahasiswa dapat mengetahui kegunaan dari metode numerik.Mahasiswa dapat mengetahui kegunaan dari metode numerik. 3.
3. Mahasiswa dapat Mahasiswa dapat mengetahui cakupan mengetahui cakupan materi yang materi yang terdapat dalam terdapat dalam metodemetode numerik.
Persoalan di atas dengan mudah dapat dipecahkan secara analitik. Dengan menggunakan metode pemfaktoran atau rumus abc, akar-akar persamaan pada soal (1) adalah x = 1 dan x = 3. Dengan metode substitusi atau metode Cramer, solusi soal (2) adalah x = 1 dan y = 2. Teorema dasar kalkulus akan membawa pada jawaban eksak soal (3), yakni 3 1 1 0 2
x dx . Sementara itu, y Asinkx merupakan salah satu solusi umum persamaan diferensial pada soal (4).Permasalahan muncul ketika metode analitik tidak lagi mampu memecahkan persoalan matematis yang lebih rumit. Sebagai contoh, perhatikan soal-soal berikut.
(1) Cari akar-akar persamaan: xex x 0
(2) Tentukan solusi dari sistem persamaan linier berikut: 2 p + 3q – r + 4s+ 2t = 2
4 p – 2q + 3r – 2s – t = 5 3 p + q – 2r – 3s + 7t = 6
p + 2q + 3r – 6s + 4t = 8 5 p +3 q – 10r – s+ t = 6 (3) Hitung integral berikut:
ex dx1
0
2
(4) Tentukan solusi persamaan diferensial berikut: x
e xy y y
Persoalan-persoalan diatas sulit untuk dipecahkan secara analitik karena tidak ada teorema-teorema matematis yang mendukung. Akan tetapi, persoalan-persoalan itu bukan berarti tidak dapat dipecahkan. Persoalan-persoalan di atas dapat dipecahkan
dengan metode numerik.
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk merumuskan persoalan- persoalan matematis sehingga dapat dipecahkan dengan operasi aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Secara harfiah, metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi, metode numerik secara harfiah adalah cara berhitung menggunakan angka-angka.
Berbeda dengan metode analitik yang selalu menghasilkan solusi eksak dan dapat dinyatakan dengan persamaan matematis, metode numerik menghasilkan solusi berupa angka yang merupakan hampiran atau pendekatan. Solusi hampiran ini jelas tidak sama dengan solusi eksak. Akan tetapi, kita dapat mencari solusi hampiran sedekat mungkin dengan solusi eksaknya. Dengan kata lain, selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak dibuat sekecil mungkin. Selisih antara solusi hampiran dan solusi sejati disebut galat atau kesalahan.
Beberapa persoalan yang dapat dipecahkan menggunakan metode numerik adalah menentukan solusi persamaan nonlinier, sistem persamaan linier multivariabel, diferensial, integral, interpolasi, regresi, dan persamaan diferensial.
Dalam penerpan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaaan dan metode yang digunakan untuk
menghasilkan penyelesaian yang baik yaitu:
1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus
digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan. 2. Jika persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesikan secara matematis
(anaitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.
3. Jika persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
Persoalan-persoalan uang biasa diangkat dalam metode numerik adalah persosalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan
menggunakan metode analitik, anatara lain: 1. Menyelesaikan persamaan non linear
2. Menyelesaikan persmaan simulasi atau multivariabel. 3. Menyelesaikan differensial dan integral.
4. Interpolasi dan regresi.
5. Menyelesaikan persamaan differensial.
KEKELIRUAAN DALAM PERHITUNGAN NUMERIK
Untuk menyelesaikan suatu masalah biasanya dimulai dengan sebarang data awal kemudian dihitung, kemudian dengan langkah-langkah (pengolah an) tertentu, dan akhirnya diperoleh suatu penyelesian.
Data numerik adalah suatu Aproksimasi (pendekatan) yang benar sampai dua, tiga atau lebih bilangan. Terkadang metode yang digunakan merupakan suatu aproksiamasi, dan oleh sebab itu kekeliruan dalam hasil perhitungan mungkin disebabkan oleh kekeliruan data, atau kekeliruan di dalam metode, atau kedua-duanya.
Bilangan dan Ketelitian
Ada dua macam bilangan yaitu: 1. Bilangan Eksak (Tepat)
Contoh: 1; 2; 3;
2 3
; 0,5; 2
Buatlah contoh lain dari bilangan eksak: ... Tujuan Umum:
Memahami kebermaknaan dari belajar metode numerik serta mengetahui kekeliruan dalam perhitungan numerik.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat mengetahui kekeliruan yang terjadi dalam perhitungan numerik.
2. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan ke satuan terdekat. 3. Mahasiswa dapat melakukan pembulatan angka desimal.
2. Bilangan Aproksimasi (Pendekatan) Contoh:
Nilai aproksimasi dari π adalah 3,1416 atau pendekatan yang lebih baik dari π
adalah 3,14159265.
Buatlah contoh lain dari bilangan aproksimasi ... Angka-angka yang menyatakan suatu bilangan disebut angka-angka signifikan. Jadi bilangan-bilangan 3,1416; 0,66667 dan 4,0687 masing-masing memuat lima angka signifikan. Bilangan 0,0023 hanya mempunyai dua angka signifikan yaitu 2 dan 3, karena nol hanya menentukan tempat dari titik desimal. Sering kali kita menginginkan menyingkat penulisan bilangan-bilangan yang besar, dan hal tersebut dapat dilakukan dengan memotong sampai seberapa angka dari bilangan itu yang kita inginkan. Proses pemotongan bilangan seperti itu disebut pembulatan.
Untuk membulatkan bilangan sampai ke n angka signifikan, hilangkan setiap bilangan yang ada disebelah kanan angka ke n, dan bila bilangan yang dihilangkan
tersebut:
1. Kurang dari 5 (setengah satuan), maka angka ke n tidak berubah (tetap).
2. Lebih besar dari 5 (setengah satuan),maka angka ke n bertambah satu (satu satuan). 3. Tepat 5 (setengah unit), maka angka ke n bertambah satu (satuan) jika angka ke n
ganjil, dan yang lain tetap.
Pembulatan
Apakah anda tahu ada berapa cara
pembulatan hasil pengukuran???
Berikut adalah cara pembulatan hasil pengukuran:
1. ... 2. ... 3. ... Pembulatan ke satuan terdekat
Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat yaitu :
a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka ini hilang dan angka di depannya ditambah satu.
b. Jika angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Contoh:
a. 74,5 cm = 75 cm (dibulatkan ke cm terdekat) b. 45,49 lt = 45 lt (dibulatkan ke lt terdekat)
Pembulatan ke banyaknya tempat desimal
Cara pembulatannya ke banyaknya angka-angka desimal yang dikehendaki, yaitu berapa angka yang berada di belakang koma.
Contoh:
a. 47,25369 = 47,2537 (dibulatkan ke-4 tempat desimal) b. 47,25369 = 47,254 (dibulatkan ke-3 tempat desimal)
c. 47,25369 = 47,25 (dibulatkan ke-2 tempat desimal) d. 47,25369 = 47,3 (dibulatkan ke-1 tempat desimal)
Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (penting)
Ketentuan untuk menyatakan angka signifikan atau angka yang berarti (penting) sebagai berikut :
a. Semua angka selain nol adalah signifikan.
Contoh: 25,91 mempunyai 4 angka signifikan 5,4 mempunyai 2 angka signifikan
b. Semua angka nol di antara angka selain nol adalah signifikan. Contoh: 1,025 mempunyai 4 angka signifikan
203 mempunyai 3 angka signifikan
c. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada bilangan bulat bukan signifikan. Contoh: 33.000 mempunyai 2 angka signifikan
42.300 mempunyai 3 angka signifikan
d. Semua angka nol di depan angka bukan nol pada desimal bukan signifikan. Contoh: 0,00251 mempunyai 3 angka signifikan
2,5 x 10-3 mempunyai 2 angka signifikan
e. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada desimal adalah signifikan. Contoh: 20,080 mempunyai 4 angka signifikan
0,510 mempunyai 2 angka signifikan
f. Semua angka nol pada bilangan yang diberi tanda khusus (strip atau bar) adalah signifikan.
Contoh: 5.000 mempunyai 3 angka signifikan 12.000 mempunyai 3 angka signifikan
Contoh Soal
Bilangan-bilangan berikut dibulatkan sampai empat angka signifikan:
1,6583 ke 1,658
30,0567 ke 30,…..
0,859378 ke 0,85….
3,14159 ke 3,1……
Latihan!
1. Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut kedua tempat desimal:
48,21416 ke ……….. 2,375 ke ……….. 2,3742 ke ……….. 2,385 ke ……….. 52,275 ke ……….. 81,225 ke ………..
2. Bulatkanlah bilangan-bilangan berikut ke 4 signifikan.
38, 46235 ke ………. 0,70029 ke ………. 0,0022218 ke ………. 19,255101 ke ………. 2,36425 ke ………. 0,0314052 ke ……….
TEORI GALAT
Teori galat atau disebut juga teori kesalahan yang terbagi ke dalam dua kesalahan, yaitu:
1. Kesalahan mutlak ( Absolut Error )
Merupakan selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Atau
2. Kesalahan relatif ( Relatif Error )
Merupakan hasil bagi dari kesalahan mutlak dengan nilai aproksimasinya, yang dapat dirumskan sebagai berikut:
Atau
x
E
E
R
Ax
E
E
A R
Tujuan Umum:Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik itu dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat membedakan kesalahan mutlah (absolut) dan kesalahan relatif. 2. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase kesalahan.
3. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari persentase ketelitian. 4. Mahasiswa dapat mengetahui cara mencari batas penghampiran.
Kedua bentuk teori galat atau teori kesalahan di atas merupakan bagian utama yang harus di kuasi, guna dapat melanjutkan penyelesaian masalah lain yang berhubungan dengan kedua teori tersebut. Berikut beberapa hal yang merupakan
lanjutan dari permasalahan teori galat. 1. Persentase Kesalahan
Untuk mencari persentase kesalahan di peroleh dengan mengalikan kesalahan relatif dengan persen, bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Persentase Ketelitian
Setelah mengetahui persentase kesalahan, maka kita dapat mencari persentase ketelitiannya dengan mengurangkan total suatu ketelitian dengan kesalahan.
3. Batas Penghampiran
Bilangan x disebut mendekati x sampai pada d digit- digit yang signifikan yang memenuhi:
Contoh:
Misal p adalah pendekatan untuk p, dengan p = 3,141592, p = 3,14, tentukan: 1. Kesalahan absolut 2. Kesalahan relatif 3. Persentase kesalahan 4. Persentase ketelitian 5. Batas penghampiran Penyelesaian: 1.) EA (p) = ... - ... = ...
%
100
R PE
E
PE
Ketelitian
(%)
100
%
2
10
d Rx
x
x
E
2.) ER (p) = ... ... ... ... .... ... ... ... 3.) EP = ... X 100% ≈... 4.) Ketelitian (%) = 100% - ... ≈... 5.) E = ... < R .. ... .. ... Jadi, ... Contoh:
Jika a adalah bilangan yang dibulatkan ke N tempat desimal, maka x 10 N 2
1
. Jika x = 0,51 maka x teliti sampai 2 tempat desimal, sehingga x 10 N
2 1
= ... dan ketelitian relatifnya adalah ...%
.... ... ... ... x x
Latihan!
Carla kesalahan absolut, relatif, persentase kesalahan, tingkat ketelitian dari data di bawah ini. Tentukan juga banyaknya digit-digit yang signifikan dalam pendekatan masing-masing. 999996 1000000 . 1 a a 000009 , 0 000012 , 0 . 2 b b 7182 , 2 71828182 , 2 . 3 x x 98000 98350 . 4 y y 00006 , 0 00068 , 0 . 5 z z
6. Diketahuiπ = 3,141592653, bilaπ dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatifnya jika:
a. Dilakukan pemotongan tanpa pembulatan. b. Dilakukan pemotongan dengan pembulatan.
OPERASI HITUNG PADA TEORI GALAT
Misal x adalah pendekatan untuk x, maka diperoleh:
Tujuan Umum:
Mampu membedakan kesalahan mutlak (EA) dan kesalahan relatif (Er ) baik itu dalam perasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Tujuan Khusus:
1. Mahasiswa dapat mengetahui proses medapatkan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada EA dan ER .
2. Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai
EA dan ER .
3. Mahsiswa dapat menggunakan rumus penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan permaslahan dalam metode numerik mengenai
EA dan ER dengan mengguakan exel.
Masih ingat kah mengenai kesalahan absolut dan kesalahan relatif ) ( x E x x x x E A A x x x x E R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x E x x E x x E x E A R
1. Penjumlahan Kesalahan Absolut x + y = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... Kesalahan Relatif ER (x + y) = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... 2. Pengurangan Kesalahan Absolut x - y = ... = ... = ... = ...
= ... = ... = ... Kesalahan Relatif ER (x - y) = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... 3. Perkalian Kesalahan Absolut x . y = ... = ... = ... Diasumsikan EA (x) . EA (y) ≈ 0, maka:
= ... = ... = ... = ...
= ... Kesalahan Relatif ER (x . y) = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... 4. Pembagian Kesalahan Absolut y x = ... = ... = ... = ... = ... = ... = ... Kesalahan Relatif ER y x = ... = ...
= ... = ... Contoh:
Diberikan data x = 2,718282, x= 2,7182, y = 3,141593 dan y= 3,1416, maka carilah:
1. EA(x + y) dan ER (x + y) 2. EA (x – y) dan ER (x – y) 3. EA (x . y) dan ER (x . y) 4. EA (x/y) dan ER (x/y)
Setelah mengetahui penyelesaian operasi hitung pada teori galat, maka untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat menggunakan bantuan program komputer yang sangat sederhana yaitu exel.
Latihan!
Diberikan data x = 3/4 , x= pembulatan 4 desimal, y = 4/7 dan y = pembulatan 4 desimal, maka carilah:
1. EA(x + y) dan ER (x + y) 2. EA (x – y) dan ER (x – y) 3. EA (x . y) dan ER (x . y) 4. EA (x/y) dan ER (x/y)
AKAR PERSAMAAN
Di dalam kerja ilmiah dan teknik, sering dijumpai suatu masalah untuk mencari akar-akar persamaan yang berbentuk f(x). Jika f(x) berbentuk kuadrat, pangkat tiga, atau pangkat empat maka ada rumus-rumus aljabar untuk menghitung akar-akarnya. Sebaiknya, jika f(x) suatu polinom berderajat tinggi atau berbentuk fungsi transenden seperti, 1 + cos x – 5x, x tan x – cos x, e-x – sin x, dan seterusnya, tidak tersedia metode aljabar untuk solusinya, dan harus dipelajari kembali tentang cara mencari akar-akarnya dengan metode (cara) aproksimasi.
Tujuan Umum:
Mampu mencari nilai akar persamaan dengan menggunakan metode numerik yaitu dengan cara iseksi, iterasi, newton raphson dan bierge vietta.
Tujuan Khusus:
1. Mahsiswa dapat mencari akar persamaan dengan menggunakan cara biseksi, iterasi, newton raphson, dan bierge vietta.
2. Mampu menarik kesimpulan dari keempat cara dalam metode numerik untuk mencari akar persamaan.
3. Dapat menyelesaikan permaslahan sehari-hari yang berhubungan akar persamaan.
Definisi:
Diberikan suatu fungsi f dari R ke R yang kontinu. Suatu bilangan x0 ϵ R yang memenuhi f(x0) = 0 disebut akar persamaan f (x) = 0 atau nilai nol dari fungsi f.
Contoh:
1. Berapakah nilai x pada F(x) = 2x2 + 5x – 3 dari Ɍ ke Ɍ adalah fungsi kontinyu.
Penyelesian:
Jadi, ... 2. Carilah akar Real dari persamaan H(x) = x3 – x – 1 = 0
Untuk mencari akar-akar dari pesamaan H(x) = 0 adalah sukar dilakukan dengan cara eksak. Pada kenyataannya kita cukup mencari pendekatan dari akar-akar yang eksak. Dalam bagian ini, akan dibicarakan metode-metode numerik untuk solusi persamaan, dengan f(x) adalah fungsi aljabar atau transenden atau keduanya.
Masih ingatkah untuk menyelesaikan soal seperti berikut????
METODE BISEKSI (Belah Dua)
Teorema yang digunakan dalam metode biseksi “Bila f(x) kontinu di dalam a ≤
x ≤ b dan fungsi f(a) dengan f(b) berlawanan tanda, maka f( α ) = 0 untuk suatu
bilanganα sedemikian sehingga a < α < b”.
Berdasarkan teorema di atas menyatakan bahwa bila fungsi f(x) kontinu di antara a dan b, maka f(a) dan f(b) berlawanan tanda, maka ada paling sedikit satu akar di antara a dan b. maka akar-akarnya terletak di antar a dan b, dan nilai aproksimasinya.
2
0
b a x
Jika f(x0) = 0, maka x0 adalah akar-akar dari f(x) = 0.
Contoh:
Selesaikan persamaan x2 – 3 = 0 dalam interval [1 ,2] menggunakan metode bagi dua sampai 5 iterasi (langkah).
Penyelesaian: ... ) ( 1 f a a ... ) ( 2 f b b
Oleh karena itu akar persamaan teretak antara 1 dan 2
Iterasi 1: 75 , 0 3 ) 5 , 1 ( ) ( 5 , 1 2 2 1 2 1 1 x f x
Oleh karena itu akar persamaan terletak antara 1,5 dan 2
Iterasi 2: . ... .. ... ..) (... ) ( . ... ... . ... ... ... 2 2 2 x f x Toleransi keauratan (%) = 100% 2 1 2 x x x = 100% ... . ... ... ...
= ...%
Oleh karena itu akar terletak antara ... dan ...
Iterasi 3: . ... .. ... ..) (... ) ( . ... ... . ... ... ... 2 3 3 x f x Toleransi keauratan (%) = 100% 3 2 3 x x x = 100% ... . ... ... ... = ...%
Oleh karena itu akar terletak antara ... dan ...
Iterasi 4: . ... .. ... ..) (... ) ( . ... ... . ... ... ... 2 4 4 x f x Toleransi keauratan (%) = 100% 4 3 4 x x x = 100% ... . ... ... ... = ...% Oleh karena itu akar terletak antara ... dan ...
Iterasi 5: . ... .. ... ..) (... ) ( . ... ... . ... ... ... 2 5 5 x f x Toleransi keauratan (%) = 100% 5 4 5 x x x = 100% ... . ... ... ... = ...%
Contoh:
Carilah akar real dari persamaan f(x) = x3 – x – 1 = 0 dengan interval [1, 2] dengan 3 iterasi.
Penyelesaian:
METODE ITERASI
Iterasi adalah suatu proses yang diulangi sampai jawaban yang diinginkan diperoleh. Teknik-teknik iterasi digunakan untuk mencari akar-akar pendekatan persamaan, solusi dari sistem persamaan linear maupun non linear, dam solusi dari persamaan diferensial.
Dalam proses iterasi kita mulai dengan mengopersasikan x0 untuk suatu akar α dan akar hasil tersebut kita aproksimasi x1 sebelum aproksimasi x2 dan setersunya. Dengan proses efektif nilai-nilai yang diperoleh x1, x2, x3, ... makin lama makin mendekati akar α.
Proses tersebut diteruskan sehingga aproksimasinya dengan ketelitian yang diinginkan diperoleh. Jadi ntuk suatu proses iteratif kita perlukan kedua hal ini:
1. Aproksimasi x0
2. Metode aau formula untuk memperoleh apoksimasi xn+1 dalam suku-suku dari aproksimasi xn.
Jika persamaan yang akar-akarnya akan dicari adalah f(x) = 0, maka untuk aproksimasi x0 dapat diperoleh dari sketsa gambar dari grafik f(X). Jika persamaan f(x) = 0 ditulis dalam bentuk x = F(x), kita peroleh berturut-turut iterasi x1, x2, x3, .... seperti berikut: x1 = F(x0) x2 = F(x1) x3 = F(x2) ... ... ... ... xn+1 = F(xn)
Contoh:
Carilah akar dari persamaan x3 – x – 1 = 0 Penyelesaian:
Persamaan x3 – x – 1 = 0 dapat ditulis sebagai x = x3 – 1 yaitu dalam bentuk x = F(x) dengan F(x) = x3 – 1.
Sekarang akan kita coba untuk menentukan akar diantara 1 dan 2 merumuskan proses yang didefiniskan oleh aproksimasi awal.
METODE NEWTON RAPSON
Metode ini merupakan penggunaan umum untuk memperoleh hasil yang lebih baik dari metode-metode sebelumya. Misal x0 adalah aproksimasi akar dari f(x) = 0 dan misalnya h adalah kekeliruan dari aproksimasi tersebut sedemikian x1 = x0 + h dan f(x1) = 0. Ekspansi f(x1) oleh deret Taylor, kita peroleh:
0 ... ) ( ! 2 ) ( ) ( 0 2 0 0 f x h x f h x f
Karena aproksimasi yang lebih baik adalah yang kekeliruannya terkecil, dalam hal ini h snagat kecil, maka turunan kedua atau lebih dapat diabaikan, sehingga kita peroleh
) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 x f x f h x f h x f
Aproksimasi yang baik dari x0 diberikan oleh x1, dengan
) ( ) ( 0 0 0 1 x f x f x x
Aproksimasi-aproksimasi yang lain adalah x2, x3, x4, ..., xn+1 dengan
yang disebut formula Newton Rapshon
Contoh:
Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari persamaan x3 – x – 1 dengan x0 = 1.
Penyelesaian:
Jika kita misalkan f(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, maka f ( x)3x2 1
1 3 ) 1 ( 2 3 1 x x x x xn n
)
(
)
(
1 n n n nx
f
x
f
x
x
.... ... ... ... 1 ... . ... 1 ) ( ) ( 0 0 0 1 x f x f x x ... ... ... . ... ... ... .. ... ) ( ) ( 1 1 1 2 x f x f x x ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 x Jadi, ... Contoh:
Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan aproksimasi akar real dari persamaan x2 – 1 dengan x
0 = 1. (Buatlah sebanyak 4 iterasi)
METODE BIRGE-VIETA
Diberikan persamaan P(x) dengan P(x) suatu polinomial. Akan dicari pendekatan dari akar persamaan P(x) = 0 dengan nilai awal x0 dengan metode
Bierge-Vieta yang langkah-langkahnya dijelaskan pada contoh ini.
Langkah-langkah untuk mencari akar persamaan dengan menggunakan metode ini yaitu:
Contoh:
Carilah akar pendakatan dari P(x) = x3 – x – 1 dengan x0 = 1, sebanyak 3 iterasi. Penyelesaian: P(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x + a0 P(x) = x3 – x – 1 Sehingga a3 = ..., a2 = ..., a1 = ..., a0 = ... maka a3 = b3 = c3 = 1 .. ... ... ... ... ... 1 ... ... ... ) 1 ( ) ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 2 0 1 1 3 0 2 2 3 0 2 2 c b x x b x a f x f b c x b c b x a b c x b c b x a b 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 . ) ( . 1 , 2 . c b x x b x a x p b c x b c i b x a b i i i i i i i
.. ... ... ... ... ... 1 ... ... ... ) 1 ( ) ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 2 3 1 2 2 c b x x b x a f x f b c x b c b x a b c x b c b x a b .. ... ... ... ... ... 1 ... ... ... ) 1 ( ) ( ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 0 1 0 2 1 1 2 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 2 2 c b x x b x a f x f b c x b c b x a b c x b c b x a b Contoh:
Carilah akar pendakatan dari P(x) = x2 – 3 dengan x0 = 1, sebanyak 5 iterasi. Penyelesaian:
INTERPOLASI
Inetrpolasi berarti mengestimasi nilai fungsi yang tidak diketahui dengan menggunakan nilai-nilai fungsi di titik sekitarnya. Interpolasi ialah menghubungkan titik-titik data diskrit dalam suatu cara yang masuk akal sehingga dapat diperoleh taksiran layak dari titik-titik data diantara titik-titik yang diketahui. Sehingga dapat dikatakan bahwa interpolasi merupakan suatu cara untuk mencari suatu bentuk fungsi, dengan diketahui titik-titik dari suatu fungsi tersebut.
Akan dibicarakan bermacam-macam interpolasi, yaitu Interpolasi Linear, Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Lagrange, Interpolasi Newton
INTERPOLASI LINEAR
Interpolasi linear menggunakan suatu penggal garis lurus yang melalui 2 titik. Slope/gardien tunggal penggal garis lurus yang melalui titik (x0, y0) dan titik (x1, y1) adalah:
Tujuan Umum:
Mampu menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang membentuk garis lurus dengan interpolasi linear, kuadrat, lagrange dan newton
Tujuan Khusus:
1. Mahsiswa dapat mengetahui definisi dari interpolasi. 2. Mahasiwa dapat memahami jenis dari interpolasi.
3. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan dari titik-titik koordinat yang membentuk garis lurus dengan interpolasi linear interpolasi kuadrat, interpolasi lagrange dan interpolasi newton.
Persamaan garis lurusnya:
atau dapat ditulis
Dapat digambarkan
Contoh:
1. Jika diketahui bahwa nilai fungsi di x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 = 15,carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8, gunakan interpolasi linear.
Penyelesaian: 1 8 8 2 10 7 15 0 1 0 1 x x y y m
Persamaan garis lurusnya: y = P(x) = y0 + (x – x0) = ... + (x - ...) Jadi y2 = 7 + (x2 - ...) = 7 + ( .... - ...) = ...+... = ...
y3= 7 + (x3 - ...) = 7 + ( .... - ...) = ...+... = ... Dengan gambar sebagai berikut.
0 1 0 1
x
x
y
y
m
)
(
)
(
0 0 1 0 1 0x
x
x
x
y
y
y
x
P
y
y
p
(
x
)
y
0
m
(
x
x
0)
X0 X1 X2 y0 y1 y = P(x), x0 ≤x ≤x1 y1 = P(x1) = ...???2. Di suatu tempat pada jam 6 pagi suhu udara 230C dan jam 12 siang suhu udara naik menjadi 320C. Menggunakan inetrpolasi linear, carilah suhu udara ditempat tersebut pada jam 11 siang.
Penyelesaian:
Latihan!
1. Bila diketahui bahwa nilai fungsi x0 = 2 adalah y0 = 7 di x1 = 10 adalah y1 = 15, carilah nilai fungsi di x2 = 6 dan di x3 = 8. gunakan interpolasi linear.
2. Hitunglah taksiran y untuk x = 2 dengan menggunakan interpolasi linear untuk data (1,0) dan (4, 1.386294).
3. Diketahui nilai fungsi di xA = -5 adalah yA = 12 dan xB = 3 adalah yB = -20. carilah nilai fungsi di xC = -1 dan di xD = = 2 dengan interpolasi linear.
4. Diketahui xA = 2, yA = 3 dan xB = 15, yB = 8. menggunakan interpolasi linear, bila diberikan x1 = 8 dan x2 = 11 berapakah y1 dan y2?. Gunakan aritmatika 4 angka desimal (dibelakang koma) dengan pembulatan ke 0,0001 yang terdekat.
5. Tinggi badan seseorang waktu berumur 10 tahun adalah 140 cm dan waktu berumur 20 tahun adalah 165 cm. menggunakan interpolasi linear, carilah tinggi badan orang tersebut. Waktu umurnya 17 tahun. Bila kenyataannya menunjukkan bahwa tinggi badan orang tersebut waktu berumur 17 tahun adalah 162 cm, hitunglah kesalahan
INTERPOLASI KUADRAT
Banyaknya kasus di mana penggunaan interpolasi linear kurang memuaskan, karena fungsi yang diinterpolasi nilai-nilainya berlaku cukup besar (dalam nilai mutlak) dengan nilai-nilai fungsi linear.
Untuk mengatasi hal tersebut, digunakan polinom derajat dua atau lebih. Di sini dibahas interpolasi kuadrat yang menggunakan polinom derajat dua.
Cara I:
Misalkan diberikan data yang dinyatakan dengan titik-titik (xk-1, yk-1), (xk , yk ) dan (xk+1, yk+1). Akan dicari polinom derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) = A2 x2 + A1 x + A0 yang kurvanya (parabola) melalui 3 titik tersebut. Jadi akan dicari A2, A1, dan A0, A2 ≠ 0 dari sistem persamaan linear:
0 2 1 2 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 0 0 1 2 0 2 0 A x A x A y A x A x A y A x A x A y
Setelah A2, A1, dan A0diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-nilai disubstitusikan ke P(x) = A2x2 + A1x + A0
Contoh:
Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17). Penyelesaian:
Dalam hal ini akan dicari persaman parabola y= P(x)= A2x2 + A1x + A0 yang melalui 3 titik tersebut. Diperoleh sistem persamaan linear:
0 1 2 0 1 2 0 4 16 17 2 4 5 1 A A A A A A A Jadi, 4A2 + 2A1 = 4 16A2 + 4A1 = 16
2A2 + A1 = 2 4A2 + A1 = 4
Dengan mengurangkan persamaan. Pertama ke persamaan ke dua di dapat, 2A2 = 1 sehingga A2 = 1 dan A1 = 0.
Gambar dari persamaan di atas.
Cara II:
Untuk mencari polinomial derajat dua (fungsi kuadrat) P(x) yang kurvanya (parabola) melalui titik-titik(x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2) dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:
) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 1 0 2 2 0 1 2 1 0 x x x x x C x x x x x C x x x x x C
2. Bentuk koefisien-koefisien:2 2 2 1 1 1 0 0 0 C y B C y B C y B 3. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x) Contoh:
Carilah interpolasi kuadrat menggunakan titik-titik (0,1), (2,5) dan (4,17). Penyelesaian:
1. Bentuk fungsi-fungsi kuadrat:
....) ( ...) ...)( ( ) )( ( ) ( ....) ( ...) ...)( ( ) )( ( ) ( ...) ...)( ( ) )( ( ) ( 1 0 2 2 0 1 2 1 0
x x x x x x x x x C x x x x x x x x x C x x x x x x x C 2. Bentuk koefisien-koefisien: .. ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2 1 1 1 0 0 0 C y B C y B C y B 2. P(x) = B0C0(x) + B1C1(x) + B2C2(x) = ... + ... + ... = ... + ... + ...= ...
Dengan gambar sebagai berikut:
Contoh:
Carilah interpolasi kudrat menggunakan titik-titik (0, 3), (1, 2) dan (-2, 11) Penyelesaian:
Akan di cari persamaan parabola y = A2 x2 + A1 x + A0
INTERPOLASI LAGRANGE
Disini akan dibahas interpolasi polinomial berderajat N-1 yang menggunakan N titik (x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N). Jadi bila N=2 terjadi interpolasi linear dan bila N=3 terjadi interpolasi kuadrat. Akan dicari polonomial berderajat N-1:
y = P(x) = A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + …+ A1x + An
CaraI menggunakan sistem N persamaan linear untuk mencari N buat koefisien A N-1,A N-2, …,A1,A0. Cara II menggunakan formula lagrange dan interpolasinya disebut
Cara I:
Akan dicari A N-1, A N-2, …, A1, A0 dari sistem N persaman linear:
0 1 2 2 1 1 0 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1...
...
...
A
x
A
x
A
x
A
y
A
x
A
x
A
x
A
y
A
x
A
x
A
x
A
y
N N N N N N N n N N N N N N N N Setelah A , A , …, A , A diperoleh dari sistem persamaan linear tersebut, nilai-nilai ini disubstitusikan y = P(x)= A N-1x N-1 + A N-2x N-2 + … + A1x + A0.
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2) dan (4, 5).
Penyelesaian:
Jadi, y = P(x) = ...
Cara II:
Untuk mencari interpolasi polinomial berderajat N-1 yang kurvanya melalui N titik(x1,y1), (x2,y2), …, (x N,y N), dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Bentuk N polinomial derajat N-1:
N j j j i x x x i N 1 1 ..., 3 , 2 , 1 ), ( ) ( 2. Bentuk N koefisien:N
i
x
y
B
i i i i,
1
,
2
,...,
)
(
3. Diambil)
(
)
(
1x
C
B
x
P
N i i i
Dari definisi di atas, terlihat bahwa Ci(xk ) = 0 jika i = k. Jadi untuk setiap k, k = 1, 2, …, N, didapat. k N i N i i i i k i i k
y
x
C
y
x
C
B
x
P
1 1(
)
)
(
)
(
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik (0, 1), (1, 1), (2, 2) dan (4, 5).
Penyelesaian:
Bentuk 4 polinomial derajat 3: C1 = C2 = C3 = C4 = Bentuk 4 koefisien ) ( x C y B i i i B1 = B2 = B3 =
B4 = Jadi, Ambil y = P(x) =
4 2 ) ( i i i C x B = Latihan!Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik-titik: 1. (0,1),(1,1),(2,2) dan (4,5)
2. (-1,2),(0,3),(2,5) dan (3,-4) 3. (-2,3),(-1,4),(0,5) dan (3,6)
INETRPOLASI NEWTON
Disini akan dicari interpolasi berderajat n yang menggunakan titik-titik (x0,y0), (x1,y1, …, (xn,yn) yang banyaknya n + 1. bentuk polinomial interpolasi newton: y = y(x) = P(x).
]
,
,...,
,
[
)
)...(
)(
(
...
]
,
,
,
[
)
)(
)(
(
]
,
,
[
)
)(
(
]
,
[
)
(
)
(
)
(
0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0x
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
n n n
Dimana… 0 1 0 1 0 1)
(
)
(
]
,
[
x
x
x
P
x
P
x
x
P
0 2 0 1 1 2 0 1 2 ] , [ ) , ( ] , , [ x x x x P x x P x x x P
0 3 0 1 2 1 2 3 0 1 2 3]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
,
[
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
x
P
0 0 2 1 1 1 0 1]
,...,
,
[
]
,...
,
[
]
,...,
,
[
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
n n n n n n n
Disebut beda terbagi hingga ke n, dan
n n
y
x
P
y
x
P
y
x
P
(
0)
0,
(
1)
1,...,
(
)
disebut beda terbagi hingga
disebut beda terbagi hingga pertamadisebut beda terbagi hingga kedua
Contoh:
Carilah interpolasi polinomial derajat tiga menggunakan titik (0,1) (1,1), (2,2) dan (4,5) berturut-turut sebagai (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3).
Penyelesaian: ... 0 1 1 1 ) , ( 0 1 0 1 0 1 x x y y x x P P(x2, x1) = ... P(x3, x2) = ... P(x2, x1, x0) = ... P(x3, x2, x1) = ... Jadi, P(x) =...
