BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
1.1
1.1 Latar BelakangLatar Belakang
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (
dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya ( exact exact solution
solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim
baku atau lazim digunakan.digunakan.
Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi
metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapatyang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 :
kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).3-5).
Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga
juga relatif relatif besar. besar. Misalnya Misalnya untuk untuk menyelesaikan persoalan menyelesaikan persoalan persamaan persamaan non- non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode
Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurang
dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : i waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3).3).
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006 : 9).
2006 : 9).
Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin.
mungkin.
1.2
1.2 Perumusan MasalahPerumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear menggunak
menggunakan berbagai an berbagai metode dengan program metode dengan program komputer.komputer.
1.3
1.3 Batasan MasalahBatasan Masalah
Batasan masalah dalam makalah ini
Batasan masalah dalam makalah ini adalah persamaan non-linear dalamadalah persamaan non-linear dalam bentuk polinomial satu variabel.
bentuk polinomial satu variabel.
1.4 Tujuan 1.4 Tujuan
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang digunakan.
1.5
1.5 ManfaatManfaat
Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling
persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif danefektif dan efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu apa yang diinginkan. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran
BAB II BAB II
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR
DENGAN METODE NUMERIK DENGAN METODE NUMERIK
Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.
telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.
Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0.
sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x,jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunya
mempunyai i tanda berbeda.tanda berbeda.
Gambar 2.1
Gambar 2.1 Grafik non linierGrafik non linier
Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x =
Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x = yangyang memberikan nilai f (
memberikan nilai f ( ) = 0 sebagai berikut :) = 0 sebagai berikut : 1.
1. bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval. 2.
2. Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakahApabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda :
perbedaan tanda :
jika jika f(a) f(a) dan dan f(m) f(m) mempunyai mempunyai tanda tanda sama sama berartiberarti di [n,b] prosesdi [n,b] proses
pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai
pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai yangyang memberikan f(
memberikan f( ) = 0.) = 0. Pada bab ini dibahas solusi dari
Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpaipersamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode Regula Falsi beserta cara
Regula Falsi beserta cara menanganmenangani berbagai kasus i berbagai kasus yang disertakan.yang disertakan.
2.
2. 1 1 Successive Successive SubstitutionSubstitution
Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai
selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yangx yang baru, yang diharapkan akan konvergen.
diharapkan akan konvergen.
Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk
f(x) = 0 f(x) = 0
Dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara Dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara sebagai berikut:
sebagai berikut:
1.
1. Mengubah persamaan menjadi bentuk Mengubah persamaan menjadi bentuk
X = g(x) X = g(x)
2.
2. Dimulai dengan menebak nilaiDimulai dengan menebak nilai x x00 awal untuk mengevaluasi nilai g(awal untuk mengevaluasi nilai g( x x00) dan) dan
menentukan nilai
menentukan nilai x x11, kemudian lakukan iterasi., kemudian lakukan iterasi.
X
X(i+1)(i+1) = g(x= g(xii) ) dimana dimana i i =1,2,3,…=1,2,3,…
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi,
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimanadimana
||
||
Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin konvergen, adalah:
nilai
nilai dari dari , , pada pada nilai nilai tebakan tebakan awalawal x xoo..
Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang ditunjukkan pada gambar.
ditunjukkan pada gambar.
Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang ditunjukkan pada gambar.
ditunjukkan pada gambar. Contoh:
Contoh: 1.
1. Tentukan nilaiTentukan nilai x x dari persamaan berikut:dari persamaan berikut:
Jawab: Jawab: Ubah persa
Ubah persamaan menjadmaan menjadi bentuk i bentuk X = g(x)X = g(x) 1 1 ) ) ( ( dx dx x x dg dg
X = g(x) =
X = g(x) =
√ √
MisalkanMisalkan x x00= -0.5= -0.5
Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel. Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel.
X g(x) X g(x) -0.5 1.103657 -0.5 1.103657 1.103657 0.542445 1.103657 0.542445 0.542445 0.750208 0.542445 0.750208 0.750208 0.684039 0.750208 0.684039 0.684039 0.706208 0.684039 0.706208 0.706208 0.698905 0.706208 0.698905 0.698905 0.701325 0.698905 0.701325 0.701325 0.700525 0.701325 0.700525 0.700525 0.700789 0.700525 0.700789 0.700789 0.700702 0.700789 0.700702 0.700702 0.700731 0.700702 0.700731 0.700731 0.700721 0.700731 0.700721 0.700721 0.700724 0.700721 0.700724 0.700724 0.700723 0.700724 0.700723 0.700723 0.700724 0.700723 0.700724 2.
2. Temukan penyelesaian dari:Temukan penyelesaian dari: f(x)=
f(x)= x (tan x (tan x) x) -- 1, Untuk 1, Untuk 0 < 0 < x < x < π/2π/2 Jawab:
Jawab:
Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8 Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8 Cari g(x) Cari g(x) X=g(x) X=g(x) X=1/tan x X=1/tan x Cek
Cek konvergensi, konvergensi, ternyata ternyata >1 >1 maka maka tidak tidak dijamindijamin konvergen. konvergen. dx dx x x dg dg(( ))
Di
Di coba coba subtitusi subtitusi xx00== π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakanπ/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal awal
Maka menghasilkan Maka menghasilkan x
x11=2,4142 atau 0=2,4142 atau 0,7 π, ,7 π, sehingga berada di luar sehingga berada di luar range 0 range 0 < x < < x < π/2 atauπ/2 atau
divergen divergen untuk g(x) yg lain: untuk g(x) yg lain: x=tan x=tan-1-1(1/x)(1/x) Cek
Cek konvergenskonvergensi, i, ternyata ternyata <1 <1 maka maka dijamin dijamin konvergen.konvergen. Di
Di coba coba subtitusi subtitusi xx00== π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakanπ/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal. awal.
Maka menghasilkan table iterasi Maka menghasilkan table iterasi
X g(x) X g(x) 0.3927 1.196599 0.3927 1.196599 1.196599 0.696135 1.196599 0.696135 0.696135 0.962669 0.696135 0.962669 0.962669 0.804416 0.962669 0.804416 0.804416 0.893368 0.804416 0.893368 0.893368 0.841657 0.893368 0.841657 0.841657 0.871166 0.841657 0.871166 0.871166 0.854142 0.871166 0.854142 0.854142 0.863902 0.854142 0.863902 0.863902 0.858286 0.863902 0.858286 0.858286 0.861511 0.858286 0.861511 0.861511 0.859657 0.861511 0.859657 0.859657 0.860722 0.859657 0.860722 0.860722 0.86011 0.860722 0.86011 0.86011 0.860462 0.86011 0.860462 0.860462 0.86026 0.860462 0.86026 0.86026 0.860376 0.86026 0.860376 d dxx x x dg dg(( ))
0.860376 0.860309 0.860376 0.860309 0.860309 0.860348 0.860309 0.860348 0.860348 0.860326 0.860348 0.860326 2.2
2.2 Metode Metode NewtonNewton
–
–
RaphsonRaphsonMetode Newton Rapshon adalah salah satu metode untuk menemukan Metode Newton Rapshon adalah salah satu metode untuk menemukan solusi numerik dari persamaan non linier. Metode pendekatan yang solusi numerik dari persamaan non linier. Metode pendekatan yang menggunak
menggunakan satu tan satu titik awal itik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slopedan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Dengan konsep menggunakan iterasi atau gradien pada titik tersebut. Dengan konsep menggunakan iterasi (pengulanga
(pengulangan) mencari nilai n) mencari nilai x dengan rumus :x dengan rumus :
Sedangkan penentua
Sedangkan penentuan x n x awal harus memenuhi syarat sebagai berikut:awal harus memenuhi syarat sebagai berikut:
Jadi sebelum kita melakukan iterasi pencarian nilai x, terlebih dahulu Jadi sebelum kita melakukan iterasi pencarian nilai x, terlebih dahulu harus mencari turunan pertama dan turunan kedua sebagai syarat dengan harus mencari turunan pertama dan turunan kedua sebagai syarat dengan rumus di atas.
rumus di atas.
Gambar 2.2
2.2.1
2.2.1 Alogaritma Alogaritma metode metode Newton Newton RaphsonRaphson 1.
1. Definisikan fungsi f(x) dan f Definisikan fungsi f(x) dan f 11(x)(x) 2.
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3.
3. Tentukan nilai pendekatan awal xTentukan nilai pendekatan awal x00
4.
4. Hitung f(xHitung f(x00) dan f ) dan f ’’(x(x00))
5.
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xatau |f(xnn)|> e)|> e
Hitung f(xHitung f(xnn) dan f ) dan f 11(x(xnn))
Akar persamaan adalah nilai xAkar persamaan adalah nilai xii yang terakhir diperoleh.yang terakhir diperoleh.
Contoh soal : Contoh soal : 1)
1) Selesaikan persamaaSelesaikan persamaan x n x - e- e-x-x= 0 dengan titik pendekatan awal x= 0 dengan titik pendekatan awal x00=0=0
Langkah-lang
Langkah-langkah yang kah yang harus dilakukan adalah harus dilakukan adalah sebagai berikut:sebagai berikut:
f(x) = x - ef(x) = x - e-x-x f’(x)=1+ef’(x)=1+e-x-x f(x f(x00) = 0 - e) = 0 - e-0-0= -1= -1 f’(xf’(x00) = 1 + e) = 1 + e-0-0 = 2= 2 f(xf(x11) = -0,106631 dan f ) = -0,106631 dan f 11(x(x11) = 1,60653) = 1,60653 xx22 == f(xf(x22) = -0,00130451 dan f ) = -0,00130451 dan f 11(x(x22) = 1,56762) = 1,56762 xx33==
f(xf(x33) = -1,96.10) = -1,96.10-7-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x Sehingga akar persamaan x = 0,567143.= 0,567143.
22 00,,55 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 x x f f x x f f x x x x
11,,6065360653 00,,566311566311 106531 106531 ,, 0 0 5 5 ,, 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x x f f x x f f x x
11,,5676256762 00,,567143567143 00130451 00130451 ,, 0 0 566311 566311 ,, 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 x x f f x x f f x x
x - ex - e-x-x= 0= 0 xx00 =0, e = 0.00001=0, e = 0.00001
2)
2) Selesaikan persamaan x + eSelesaikan persamaan x + e-x-x cos x -2 = 0cos x -2 = 0 xx00=1=1
Langkah-lang
Langkah-langkah yang kah yang harus dilakukan adalah harus dilakukan adalah sebagai berikut:sebagai berikut:
f(x) = x + ef(x) = x + e-x-xcos x - 2cos x - 2
f’(x) = 1 – f’(x) = 1 – ee-x-xcos xcos x – – ee-x-xsin xsin x
Gambar 2.3
3)
3) Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengan menggunakadengan menggunakann metode Newton Rapshon
metode Newton Rapshon
Langkah-lang
Langkah-langkah yang hkah yang harus dilakukan adalah sebagai arus dilakukan adalah sebagai berikut:berikut:
1.
1. Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu:yaitu:
o o
o o
2.
2. Menentukan titik awal atau X1. Misalkan X1 Menentukan titik awal atau X1. Misalkan X1 = 0.5, maka didapat:= 0.5, maka didapat:
o o o o o o 3.
3. Langkah selanjutnya adalah mengecek persyaratan dengan Langkah selanjutnya adalah mengecek persyaratan dengan rumus:rumus:
4.
4. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan interasi dengan rumus :Kemudian dilanjutkan dengan melakukan interasi dengan rumus :
Dan, iterasinya adalah sebagai berikut: Dan, iterasinya adalah sebagai berikut:
Iterasi dihentikan saat nilai Xn yang didapat tidak berubah secara Iterasi dihentikan saat nilai Xn yang didapat tidak berubah secara signifikan atau nilai f(x) kurang dari 0.0000001. Jadi dari data di atas signifikan atau nilai f(x) kurang dari 0.0000001. Jadi dari data di atas didapatkan nilai x
didapatkan nilai x = 0.360421703.= 0.360421703.
2.2.2
2.2.2 Permasalahan Permasalahan pada pada pemakaian pemakaian metode metode newton newton raphsonraphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya beradaMetode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada
pada titik ekstrim atau titik
pada titik ekstrim atau titik puncak, karena padpuncak, karena pada titik ini a titik ini nilai Fnilai F11(x) = 0(x) = 0 sehingga
sehingga nilai nilai penyebut penyebut dari dari sama dengan sama dengan nol, nol, secara secara grafis grafis dapatdapat dilihat sebagai berikut:
dilihat sebagai berikut:
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
akan berada di tak berhingga.
Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketikaMetode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika
titik pendekatannya berada di antara dua titik
titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.stasioner.
x x F F x x F F 1 1
Gambar 2.4
Gambar 2.4 GrafikPendekatan Newton Raphson, dg. Titik GrafikPendekatan Newton Raphson, dg. Titik pendekatanpendekatan berada diantara 2 titik
berada diantara 2 titik puncak puncak
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapatBila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat
mengakibatkan hilangnya penyelesaian (
mengakibatkan hilangnya penyelesaian ( divergensidivergensi). Hal ini). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
arah pendekatannya berbeda.
Gambar 2.5
Gambar 2.5 Grafik hasil tidak Grafik hasil tidak konvergenkonvergen
2.2.3
2.2.3 Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphsonPenyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson 1.
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatanBila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, x
tersebut harus di geser sedikit, xii = x= xii dimana dimana adalah adalah konstantakonstanta
yang
yang ditentukan ditentukan dengan dengan demikian demikian dan dan metode metode newton newton raphsonraphson tetap dapat berjalan.
tetap dapat berjalan.
00 1 1 ii x x F F
2.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknyaUntuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson. sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
2.2.4
2.2.4 Contoh Contoh Penyelesaian Penyelesaian Permasalahan Permasalahan Metode Metode Newton Newton RaphsonRaphson Selesaikan persa
Selesaikan persamaan : x . e-x+ maan : x . e-x+ cos(2x) = 0cos(2x) = 0 Jawab :
Jawab :
Bila menggunakan titik pendekatan awal x
Bila menggunakan titik pendekatan awal x00= 0,176281= 0,176281
f(x) = x .
f(x) = x . e-x+ cos(2x)e-x+ cos(2x) f
f 11(x) = (1-x) e-x(x) = (1-x) e-x – – 2 sin (2x)2 sin (2x)
Sehinggaf(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,000015 Sehinggaf(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,000015
2.3
2.3 Metode Metode SecantSecant
Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi
menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi. Bila turunan fungsi. Bila turunan fungsi f’(x) f’(x) sulit ditemukan, metode newton ti
sulit ditemukan, metode newton tidak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnyadak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnya f’(x)
f’(x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.gradien.
Jika diambil persamaan
Jika diambil persamaan backward backward untuk disubstitusikan pada persamaanuntuk disubstitusikan pada persamaan forward
forward iteratifnya menjadiiteratifnya menjadi
Atau bisa dituliskan dalam bentuk Atau bisa dituliskan dalam bentuk
Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1 sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1 adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi
terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi – – 1 dan xi,1 dan xi, tetapi tanpa perhitungan turunan.
tetapi tanpa perhitungan turunan.
Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya serupa dengan metode Newton.
Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh mg=Ftarik
mg=Ftarik , dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap, dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap adalah sebagai berikut:
adalah sebagai berikut:
dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan menyatakangesekan tarik (
menyatakangesekan tarik ( friction friction dragdrag), dan suku kedua menyatakan tekanan), dan suku kedua menyatakan tekanan tarik (
tarik ( pressure drag pressure drag). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai ). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai cobacoba awal v @ 30 m/det
awal v @ 30 m/det Solusi:
Solusi:
Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari
diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1 diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1 dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi
dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi penyelesaian dengan persamaan (2. 11)penyelesaian dengan persamaan (2. 11) sebagai berikut:
sebagai berikut:
Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det
2.4
2.4 Regula Regula FalsiFalsi
Sesi metode num
Sesi metode numerik ini membahas saerik ini membahas salah satu metode lah satu metode penyelesaianpenyelesaian sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier,
posisi c dari akar interpolasi linier, dikenal dengan metode False Position ataudikenal dengan metode False Position atau metode regula falsi.
metode regula falsi.
Gambar 2.6
Gambar 2.6 Grafik metode Regula FalsiGrafik metode Regula Falsi
x x b b b b f f a a b b a a f f b b f f (( )) (( )) 00 )) (( )) (( )) (( )) )( )( (( a a f f b b f f a a b b b b f f b b x x )) (( )) (( )) (( )) (( a a f f b b f f a a bf bf b b af af x x
2.4.1
2.4.1 Algoritma Metode Regula FalsiAlgoritma Metode Regula Falsi
2.4.2
2.4.2 Contoh Contoh SoalSoal
Selesaikan persamaanSelesaikan persamaan xe xe-x-x+1=0+1=0pada rangepada range x= x= [0,-1][0,-1]
Akar persamaan diperoleh di
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA
Alifis.2008.
Alifis.2008. bab-ii-solusi-bab-ii-solusi- persamaan persamaan-- non non--linearlinear.pdf .pdf (di akses tanggal 8 oktober(di akses tanggal 8 oktober 2011)) 2011)) Anonim.2010 Anonim.2010..http://www.pustakaskripsi.com/penyelesaian-persamaan-non- http://www.pustakaskripsi.com/penyelesaian-persamaan-non- linear-metode-biseksi-dan-metode-regula-falsi-menggunakan-cara-komputasi-skripsi-373.html
komputasi-skripsi-373.html (diakses tanggal 5 oktober (diakses tanggal 5 oktober 2011)2011) El said, fairus. 2008
El said, fairus. 2008.http://fairuzelsaid.wordpress.com/ .http://fairuzelsaid.wordpress.com/ (diakses tanggal 8 oktober(diakses tanggal 8 oktober 2011)
2011) Riggs, James B.
Riggs, James B. An An introduction introduction to to numerical numerical methods methods for for chemical chemical engineer engineer 22nd nd edition
