Makalah Matematika Asuransi MODEL PARAMETRIK TAHAN HIDUP

(1)

Makalah Matematika Asuransi

MODEL PARAMETRIK TAHAN HIDUP

Disusun Oleh :

1. Intan Wijaya

M0108018

2. Nariswari Setya D.

M0108022

3. Rahmawati Oktriana

M0108061

4. Sri Maria Puji L.

M0108108

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

(2)

MODEL PARAMETRIK TAHAN HIDUP

Pada literatur asuransi, beberapa teori distribusi untuk variabel random non-negatif telah digunakan secara luas untuk mencocokkan data empiris pada usia saat kematian. Keberhasilan dalam menerapkan sebuah distribusi parametrik bergantung pada keragaman dari keluarga distribusi untuk mencocokkan data empiris dan model matematika.

Di sini akan dijelaskan beberapa distribusi yang sebaiknya dikenal.

1. DISTRIBUSI UNIFORM

Suatu variabel random kontinu X yang diasumsikan hanya mempunyai nilai pada interval terbatas katakanlah interval (a,b] dan diberikan suatu pdf yang mempunyai nilai konstan, misalkan f(x) = c

න ݂ሺݔሻ݀ݔ ௕ ௔ = න ܿ ݀ݔ௕ ௔ = ܿݔ|௔ ௕ _{= ܿሺܾ − ܽሻ = 1} ܿ =_{ܾ − ܽ}1

Sehingga diperoleh pdf dari X konstan dengan interval (a,b], sebagai berikut : Persamaan (1)

݂௑ሺݔሻ ൝

1

ܾ − ܽ , ܽ < ݔ ≤ ܾ 0 , ݕܽ݊݃ ݈ܽ݅݊

Secara umum, CDF dari distribusi Uniform adalah sebagai berikut :

ܨሺݔ; ܽ; ܾሻ = ቐ 0 ݔ − ܽ ܾ − ܽ 1 , ܽ < ݔ ≤ ܾ, ݔ ≤ ܽ , ݔ > ܾ

(3)

SDF ( Survival Distribution Function ) atau fungsi distribusi tahan hidupnya adalah : Persamaan (2) ܵ_௑ሺݔሻ ൞ 1 , ݔ ≤ ܽ ܾ − ݔ ܾ − ܽ , ܽ < ݔ ≤ ܾ 0 , ݔ > ܾ

Rata-rata dan variansi dari X diberikan secara berurutan sebagai berikut : Persamaan (3) Rata-rata dari X ܧሾܺሿ = න ݔ ݂௑ሺݔሻ ݀ݔ ஶ ିஶ = න௕_{ܾ − ܽ ݀ݔ}ݔ ௔ =_{2ሺܾ − ܽሻ ሾݔ}1 ଶ_ሿܾ ܽ = ܽ + ܾ₂ ܧሾܺሿ = ܽ + ܾ₂ ܧሾܺଶ_{ሿ = න ݔ}ஶ ଶ _݂_௑_ሺݔሻ݀ݔ ିஶ = නஶ _{ܾ − ܽ ݀ݔ}ݔଶ ିஶ = _{3ሺܾ − ܽሻ ሾݔ}1 ଷ_ሿܾ ܽ = ܽଷ + ܾܽ + ܾ₃ ଶ ܧሾܺଶ_{ሿ =}ܽଷ+ ܾܽ + ܾଶ 3

(4)

Variansi dari X

ܸܽݎሾܺሿ = ܧሾܺଶ_{ሿ − ሾܧሾܺሿሿ}ଶ

=ܽଶ+ ܾܽ + ܾ₃ ଶ− ൬ܽ + ܾ_{2 ൰}ଶ =ሺܾ − ܽሻ₁₂ ଶ

ܸܽݎሾܺሿ = ሺܾ − ܽሻ₁₂ ଶ

Jika X berdistribusi Uniform, maka variabel waktu tahan hidup mendatang T juga berdistribusi Uniform.

Ada dua kondisi :

a. Saat kondisi usia ݔ < ܽ, T berdistribusi Uniform dengan ሺܽ − ݔ, ܾ − ݔሿ b. Saat kondisi usia ݔ ≥ ܽ , T berdistribusi Uniform dengan ሺ0, ܾ − ݔ ሿ Dimana semua T berdistribusi Uniform dengan interval ሺmax ሼܽ − ݔ, 0ሽ, ܾ − ݔሿ, dan persamaan (1) sampai (3) juga diterapkan pada T dengan ܽ diganti dengan

max ሼܽ − ݔ, 0ሽ dan ܾ diganti dengan ܾ − ݔ. Pada kasus khusus, yaitu ܽ = 0,

distribusi Uniform disebut juga dengan Moivre’s Law.

Pada kasus ini probabilitas bersyarat kematian seseorang berusia ݔ dalam waktu ݐ tahun adalah :

Persamaan (4)

௧ݍ௫ = 1 − ்ܵሺݐሻ = 1 − ܾ − ݔ − ݐ_{ܾ − ݔ =}_{ܾ − ݔ ,}ݐ 0 < ݐ ≤ ܾ − ݔ Persamaan di atas bergantung pada ݔ . Force of Mortality- nya adalah : Persamaan (5) ߤ_௫ = _݂ܵ௑ሺݔሻ ௑ሺݔሻ = 1 ܾ ܾ − ݔ ܾ = _{ܾ − ݔ , 0 < ݔ ≤ ܾ}1

(5)

Maka, diperoleh : Persamaan (6)

௧|௫ݍ௫= _{ܾ − ݔ −}ݐ + ݏ _{ܾ − ݔ =}ݐ _{ܾ − ݔ}ݏ

Persamaan di atas bergantung pada ݔ, tetapi tidak bergantung pada ݐ. Contoh:

Diketahui : ܺ ∼ ܷܰܫܨሺ2,4ሿ

Ditanyakan : Tentukan mean dan variansi dari T, untuk (a). x = 1.5 (b). x = 2.5 Penyelesaian : ܺ ∼ ܷܰܫܨሺ2,4ሿ, dengan a = 2, dan b = 4. Pdf, ݂_௑ሺݔሻ = ଵ ௕ି௔= ଵ ସିଶ= ଵ ଶ ; 2 < ݔ ≤ 4 ܧሾܺሿ = ܽ + ܾ₂ ܸܽݎሾܺሿ = ሺܾ − ܽሻ₁₂ ଶ (a). untuk x = 1.5 karena x = 1.5 < a = 2, maka ܶ ∼ ܷܰܫܨሺܽ − ݔ, ܾ − ݔሿ ܶ ∼ ܷܰܫܨሺ2 − 1.5; 4 − 1.5ሿ ܶ ∼ ܷܰܫܨሺ0.5; 2.5ሿ ܶ ∼ ܷܰܫܨሺܽ∗_{, ܾ}∗_ሿ

Sehingga, diperoleh mean dan variansi dari T :

ܧሾܶሿ =ܽ∗+ ܾ₂ ∗= 0.5 + 2.5₂ =3_{2 = 1.5} ܸሾܶሿ =ሺܾ∗− ܽ₁₂ ∗ሻଶ = ሺ2.5 − 0.5ሻ₁₂ ଶ= _{12 =}4 1₃ (b). untuk x = 2.5 karena x = 2.5 ≥ a = 2, maka ܶ ∼ ܷܰܫܨሺ0, ܾ − ݔሿ ܶ ∼ ܷܰܫܨሺ0; 4 − 2.5ሿ

(6)

ܶ ∼ ܷܰܫܨሺ0; 1.5ሿ ܶ ∼ ܷܰܫܨሺܽ∗_{, ܾ}∗_ሿ Sehingga, diperoleh mean dan variansi dari T :

ܧሾܶሿ =ܽ∗+ ܾ₂ ∗= 1.5 + 0₂ =3_{4 = 0.75} ܸሾܶሿ =ሺܾ∗− ܽ₁₂ ∗ሻଶ = ሺ1.5 − 0ሻ₁₂ ଶ =2.25_{12 = 0.1875} 2. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL a) X∼EXP(λ) Pdf, ݂_௑ሺݔሻ = ߣ݁ିఒ௫, ߣ > 0, ݔ > 0 CDF, ܨ_௑ሺݔሻ = 1 − ݁ିఒ௫ SDF, ܵ_௑ሺݔሻ = ݁ିఒ௫ Pembuktian CDF : ܨ௑ሺݔሻ = න ݂௑ሺݔሻ݀ݔ ௫ ଴ = න ߣ ௫ ଴ ݁ିఒ௫_݀ݔ = ߣ න ݁ିఒ௫ ௫ ଴ ݀ݔ = ߣሺ−1_{ߣ ݁}ିఒ௫_ሻሿ ଴ ௫ = −ሺ݁ିఒ௫_{− ݁}଴_ሻ = 1 − ݁ିఒ௫ Pembuktian SDF: ܵ௑ሺݔሻ = 1 − ܨ௑ሺݔሻ = 1 − ൫1 − ݁ିఒ௫൯ = ݁ିఒ௫ Mean dan variansi dari X :

ܧሾܺሿ =1_ߣ ܸሺܺሻ =_ߣ1_ଶ

(7)

Pembuktian mean dari X ܧሾܺሿ ܧሾܺሿ = න ݔ. ݂௑ሺݔሻ݀ݔ ∞ ଴ = න ݔ. ߣ ∞ ଴ ݁ିఒ௫_݀ݔ = ߣ ׬ ݔ.∞ ଴ ݁ିఒ௫݀ݔ misal, ݑ = ݔ → ݀ݑ = ݀ݔ ݁ିఒ௫_{݀ݔ = ݀ݒ → −}1 ߣ ݁ିఒ௫ = ݒ = ߣሺ−ݔ_{ߣ ݁}ିఒ௫₊1 ߣ න ݁ିఒ௫ ∞ ଴ ݀ݔሻ = ߣሺ−ݔ_{ߣ ݁}ିఒ௫₋ 1 ߣଶ݁ିఒ௫ሻሿ଴∞ = ሺ−ݔ݁ିఒ௫₋1 ߣ ݁ିఒ௫ሻሿ଴∞ = ሺ−∞. ݁ିఒ.∞₋1 ߣ . ݁ିఒ.∞ሻ − ሺ−0. ݁ିఒ.଴−1ߣ . ݁ିఒ.଴ሻ = −0 − 0 + 0 +1_ߣ =1_ߣ

Pembuktian variansi dari X Vሾܺሿ

ܸሾܺሿ = ܧሾܺଶ_{ሿ − ሺܧሾܺሿሻ}ଶ ܧሾܺଶ_{ሿ = න ݔ}ଶ_{. ݂}_௑_ሺݔሻ݀ݔ ∞ ଴ = න ݔଶ_{. ߣ} ∞ ଴ ݁ିఒ௫_݀ݔ = ߣ ׬ ݔ∞ ଶ_. ଴ ݁ିఒ௫݀ݔ misal, ݔଶ = ݑ → 2ݔ ݀ݔ = ݀ݑ ݁ିఒ௫_{݀ݔ = ݀ݒ → −}1 ߣ ݁ିఒ௫ = ݒ

(8)

= ߣሺ−ݔ_{ߣ . ݁}ଶ ିఒ௫₊1 ߣ න 2ݔ. ݁ିఒ௫ ∞ ଴ ݀ݔሻ = ሺ−ݔଶ_{. ݁}ିఒ௫_{+ 2 ׬ ݔ. ݁}∞ ିఒ௫ ଴ ݀ݔሻ misal, ݑ = ݔ → ݀ݑ = ݀ݔ ݁ିఒ௫_{݀ݔ = ݀ݒ → −}1 ߣ ݁ିఒ௫ = ݒ = −ݔଶ_{. ݁}ିఒ௫_{+ 2ሺ−}ݔ ߣ . ݁ିఒ௫+1ߣ න ݁ିఒ௫݀ݔሻ ∞ ଴ = ሾ−ݔଶ_{. ݁}ିఒ௫_{+ 2ሺ−}ݔ ߣ . ݁ିఒ௫−ߣ1ଶ. ݁ିఒ௫ሻሿ଴∞ = ሾ−ݔଶ_{. ݁}ିఒ௫₋2ݔ ߣ . ݁ିఒ௫ −ߣ2ଶ. ݁ିఒ௫ሿ଴∞ = ൬−∞ଶ_{. ݁}ିఒ.∞₋2. ∞ ߣ . ݁ିఒ.∞−ߣ2ଶ. ݁ିఒ.∞൰ − ሺ−0ଶ. ݁ିఒ.଴−2.0_{ߣ . ݁}ିఒ.଴ −_ߣ2_ଶ. ݁ିఒ.଴_ሻ = ሺ−0 − 0 − 0ሻ − ሺ0 − 0 −_ߣ2_ଶሻ = _ߣ2_ଶ Sehingga diperoleh, ܸሾܺሿ = ܧሾܺଶ_{ሿ − ሺܧሾܺሿሻ}ଶ =_ߣ2_ଶ− ൬1_ߣ൰ଶ =_ߣ1_ଶ

b) T∼EXP(λ) dimana distribusi ini tidak bergantung pada x.

SDF untuk waktu hidup mendatang ܶ:

்ܵሺݐሻ =ܵ௑_ܵሺݔ + ݐሻ ௑ሺݔሻ

= ݁ିఒሺ௫ା௧ሻ_݁_ିఒ௫ = ݁ିఒ௧

(9)

Konstanta Force of Mortality (kekuatan kematian) dari distribusi Eksponensial, yaitu : ߤ௫ =_݂ܵ௑ሺݔሻ ௑ሺݔሻ = λ݁ିఒ௫ ݁ିఒ௫ = λ

• Karena X berdistribusi eksponensial, maka variabel waktu tahan hidup mendatang T juga berdistribusi eksponensial, T∼EXP(λ), dimana distribusi ini tidak bergantung pada x.

SDF untuk waktu tahan hidup mendatang, yaitu: ்ܵሺݐሻ =ܵ௑_ܵሺݔ + ݐሻ

௑ሺݔሻ

=݁ିఒሺ௫ା௧ሻ_݁_ିఒ௫ = ݁ିఒ௧

Probabilitas seseorang berusia x tahun akan mati pada t tahun: ௧ݍ௫ = 1 − ்ܵሺݐሻ = 1 − ݁ିఒ௧

Probabilitas seseorang berusia x tahun akan bertahn hidup selama selang waktu (t, t+s] tahun:

௧|௦ݍ௫ = ሺ1 − ݁ିఒሺ௧ା௦ሻሻ − ሺ1 − ݁ିఒ௧ሻ = ሺ1 − ݁ିఒ௦ሻ݁ିఒ௧

Contoh (Distribusi eksponensial Waktu menunggu hingga kejadian

benar – benar terjadi):

1. Dalam teori antrian, jarak antar kedatangan pelanggan di fasilitas pelayanan (seperti bank, loket kereta api, dan tukang cukur) memenuhi distribusi

eksponensial.

2. Seseorang yang ikut asuransi jiwa, lahir pada usia x tahun dan meninggal pada usia x+t tahun. Maka selang waktu tahan hidup t tahun berdistribusi

(10)

Berikut adalah grafik fungsi tahan hidup dari distribusi eksponensial 3 2 1 0 -1 -2 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x y Scatterplot of y vs x 3. Distribusi Gompertz

Menurut Wai Sum Chan dan Yui Kuen Tse [1], dengan SDF dari distribusi Gompertz

ܵ௑ሺݔሻ = ݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ሻ൨ , ܴ > 0, ܽ > 0, ݔ > 0. Dari SDF maka didapatkan CDF sebagai berikut :

ܨ௑ሺݔሻ = 1 − ݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ሻ൨

Sehingga dari fungsi tersebut didapatkan juga pdf sebagai berikut :

݂௑ሺݔሻ =_{݀ݔ ൬1 − ݁ݔ݌ ൤}݀ ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ሻ൨൰ = −݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_ሻ൨ ݀ ݀ݔ ൤ܴܽ ሺ1 − ݁௔௫ሻ൨ = −݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_{ሻ൨ ሺ−ܴ݁}௔௫_ሻ = ܴ݁௔௫_{݁ݔ݌ ൤}ܴ ܽ ሺ1 − ݁௔௫ሻ൨

Sehingga diperoleh Force Mortality-nya sebagai berikut

ߤ௫ =_݂ܵ௑ሺݔሻ

௑ሺݔሻ =

ܴ݁௔௫_{݁ݔ݌ ቂܴܽሺ1 − ݁}௔௫_ሻቃ

݁ݔ݌ ቂܴܽሺ1 − ݁௔௫_ሻቃ = ܴ݁

௔௫_{, ܴ > 0 ܽ݊݀ ܽ > 0}

R merupakan tingkat kematian umum dan a adalah laju pertumbuhan umur yang

(11)

Benyamin Gompertz (1825) mengemukankan bahwa force mortality akan semakin meningkat secara eksponensial.

Menurut Jordan, C.W [2] fungsi Force Mortality-nya didapatkan sebagai berikut

ߤ௫ = ܤܿ௫ dan pdf adalah

݂ሺݔ, ܿ, ܤሻ = ܤܿ௫_݁ି௕൫௖

ೣషభ_൯

୪୭୥ሺ௖ሻ _{, ݔ ≥ 0, ܤ > 0, ܿ ≥ 1} dimana B dan c adalah parameter

Sehingga didapatkan plot Distribusi Gompetz sebagai berikut (dengan X, C dan B yang berbeda-beda)

Dari Plot tersebut dapat terlihat bahwa semakin besar B maka plot akan semakin mendekati sumbu x dan semakin besar c maka titik puncaknya akan semakin bergeser kekiri.

Meskipun model tersebut dapat digunakan secara luas pada bidang asuransi, tetapi kurang sesuai dengan model matematika. Terutama moment dari distribusinya sulit untuk dihitung.

(12)

4. Distribusi Makeham

Diberikan SDF dari distribusi Makeham sebagai berikut :

ܵ௑ሺݔሻ = exp ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ሻ − ܣݔ൨ , ܴ > 0, ܽ > 0, ܣ > −ܴ, ݔ > 0. Dari SDF maka didapatkan CDF sebagai berikut :

ܨ௑ሺݔሻ = 1 − ܵ௑ሺݔሻ = 1 − ݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ − ܣݔሻ൨

Sehingga dari fungsi tersebut didapatkan juga pdf sebagai berikut :

݂௑ሺݔሻ =_{݀ݔ ൬1 − ݁ݔ݌ ൤}݀ ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫− ܣݔሻ൨൰ = −݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_{− ܣݔሻ൨} ݀ ݀ݔ ൤ܴܽ ሺ1 − ݁௔௫− ܣݔሻ൨ = −݁ݔ݌ ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_{ሻ൨ ሺ−ܣ − ܴ݁}௔௫_ሻ = ሺܣ + ܴ݁௔௫_{ሻ݁ݔ݌ ൤}ܴ ܽ ሺ1 − ݁௔௫ሻ൨

Sehingga diperoleh Force Mortality-nya sebagai berikut

ߤ௫ =_݂ܵ௑ሺݔሻ

௑ሺݔሻ =

ሺܣ + ܴ݁௔௫_{ሻ݁ݔ݌ ቂܴܽሺ1 − ݁}௔௫_ሻቃ

݁ݔ݌ ቂܴܽሺ1 − ݁௔௫_ሻቃ = ܣ + ܴ݁

௔௫

Probabilitas seseorang berusia x tahun akan mati pada t tahun:

௧ݍ௫ = 1 − ்ܵሺݐሻ = 1 − exp ൤ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫ሻ − ܣݔ൨

Distribusi Makeham adalah generalisasi dari distribusi Gompertz dengan suatu parameter ekstra A. Ketika menguraikan angka kematian manusia secara empiris, parameter distribusi Makeham sering terbatas pada cakupan berikut :

0.001 < ܣ < 0.003 , 0.00000 < ܴ < 0.001 , 0.077 < ܽ < 0.113

Seperti Distribusi Gompertz, distribusi Mahekam tidak sesuai dengan bentuk matematika dan moment-nya sukar dihitung.

Contoh :

Asumsi bahwa ܺ mengikuti suatu distribusi Makeham dengan parameter ܣ =

0.002, ܴ = 0.0001, dan ܽ = 0.1. (a) ܵ௑ሺݔሻ untuk ݔ = 0, 10, 20, … , 100, (b)

(13)

Solusi:

(a) Tabel berikut menunjukkan ܵ_௑ሺݔሻ untuk ݔ = 0, 10, 20, … , 100

࢞ ܵ௑ሺݔሻ 0 1.0000 10 0.9785 20 0.9547 30 0.9240 40 0.8749 50 0.7808 60 0.5931 70 0.2907 80 0.0433 90 0.0003 100 0.0000

Untuk x = 0 diperoleh ܵ_௑ሺ0ሻ = 1 , karena terdapat ketetapan sebagai berikut :

ܨ௑ሺ0ሻ = 0 ܵ௑ሺ0ሻ = 1 ܨ௑ሺ∞ሻ = 1 ܵ௑ሺ∞ሻ = 0 Untuk x = 10 diperoleh ܵ_௑ሺ10ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ଵ଴_{ሻ − 0,002.10൨} = expሾ0,001ሺ1 − ݁ଵ_{ሻ − 0,02ሿ} = expሾ0,001 − 0,001݁ଵ _{− 0,02ሿ} = expሾ0,001 − 0,0027 − 0,02ሿ = expሾ−0,0217ሿ = 0,97853 Untuk x = 20 diperoleh

(14)

ܵ௑ሺ20ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ଶ଴ሻ − 0,002.20൨ = expሾ0,001ሺ1 − ݁ଶ_{ሻ − 0,04ሿ} = expሾ0,001 − 0,001݁ଶ_{− 0,04ሿ} = expሾ0,001 − 0,0073 − 0,04ሿ = expሾ−0,0463ሿ = 0,9547 Untuk x = 30 diperoleh ܵ_௑ሺ30ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ଷ଴_{ሻ − 0,002.30൨ = 0.9240} Untuk x = 40 diperoleh ܵ௑ሺ40ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ସ଴ሻ − 0,002.40൨ = 0.8749 Untuk x = 50 diperoleh ܵ௑ሺ50ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ହ଴ሻ − 0,002.50൨ = 0.7808 Untuk x = 60 diperoleh ܵ௑ሺ60ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.଺଴ሻ − 0,002.60൨ = 0.5931 Untuk x = 70 diperoleh ܵ௑ሺ70ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.଻଴ሻ − 0,002.70൨ = 0.2907 Untuk x = 80 maka ܵ௑ሺ80ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.଼଴ሻ − 0,002.80൨ = 0.0433 Untuk x = 90 diperoleh ܵ௑ሺ90ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ଽ଴ሻ − 0,002.90൨ = 0.0003 Untuk x = 100 diperoleh ܵ௑ሺ100ሻ = exp ൤0,0001_{0,1 ሺ1 − ݁}଴,ଵ.ଵ଴଴ሻ − 0,002.100൨ = 0.000 (b) Prሺ20 < ܺ ≤ 40ሻ = ܵ_௑ሺ20ሻ − ܵ_௑ሺ40ሻ = 0.9547 − 0.8749 = 0.0798, dan

(15)

(c) FM-nya adalah ߤ௫ = ൜− ݀ܵ௑ሺݔሻ ݀ݔ ൠ ܵ௑ሺݔሻ ൙

untuk distribusi Makeham,

݀ܵ௑ሺݔሻ

݀ݔ =݀ݔ ൤exp ൬݀ ܴܽ ሺ1 − ݁௔௫ሻ − ܣݔ൰൨ = ൤exp ൬ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_{ሻ − ܣݔ൰൨} ݀

݀ݔ ൤exp ൬ܴܽ ሺ1 − ݁௔௫ሻ − ܣݔ൰൨ = ൤exp ൬ܴ_{ܽ ሺ1 − ݁}௔௫_{ሻ − ܣݔ൰൨ ሾሺ−1ሻሺܣ + ܴ݁}௔௫_ሻሿ

Oleh karena itu,

ߤ௫ = ܣ + ܴ݁௔௫

Untuk ܣ = 0.002, ܴ = 0.0001, ܽ = 0.1, dan ݔ = 60,

ߤ଺଴ = ܣ + ܴ݁௔௫ = 0.0423

5. Distribusi Weibull

Weibull(1939) mengemukakan SDF dari distribusi Weibull adalah

ܵ௑ሺݔሻ = ݁ݔ݌ ൤− ቀݔ − ܽ_{ܾ ቁ} ௖

൨ , ܾ > 0, ܿ > 0, ݔ ≥ ܽ > 0

Dengan persamaan CDF –nya sebagai berikut :

ܨ௑ሺݔሻ = 1 − ܵ௑ሺݔሻ

= 1 −݁ݔ݌ቂ−ቀݔ − ܽ_ܾ ቁܿቃ

Dari persamaan CDF di atas diperoleh pdf untuk distribusi Weibull sebagai berikut :

݂௑ሺݔሻ =_{݀ݔ ൬1 − exp ቀ−}݀ ݔ − ܽ_{ܾ ቁ} ௖

൰

(16)

= −ሺexp ቀ−௫ି௔_௕ ቁ௖− ቀଵ_௕ቁ௖ܿሺݔ − ܽሻ௖ିଵ_ሻ

= ቀଵ_௕ቁ௖ܿሺݔ − ܽሻ௖ିଵ_{݁ݔ݌ ቀ− ቀ−}௫ି௔ ௕ ቁ

௖

ቁ

Diperoleh persamaan Force of Mortality-nya sebagai berikut :

ߤ௫ =_݂ܵ௑ሺݔሻ ௑ሺݔሻ =ቀ 1 ܾቁ ܿ ܿሺݔ − ܽሻܿ−1_݁ݔ݌_ቀ−_{ቀ− ݔ − ܽ} ܾ ቁ ܿ ቁ expቀ− ݔ − ܽ_ܾ ቁܿ =ܿሺݔ − ܽሻ_ܾܿ ܿ−1 = ቀܿ_ܾቁሺݔ − ܽሻܿ−1 ܾܿ−1 = ቀܿ_{ܾቁ ቀ}ݔ − ܽ_ܾ ቁܿ−1 ߤ௫= ቀ_{ܾቁ ቀ}ܿ ݔ − ܽ_{ܾ ቁ} ௖ିଵ

Asumsi implisit (tersembunyi) dari distribusi Weibull adalah bahwa kematian tidak terjadi sebelum usia ܽ. Dengan demikian FM ߤ_௫ sama dengan nol untuk

(17)

Daftar Pustaka

[1] Wai Sum Chan and Yui Kuen Tse (2006) : Financial and Actuarial Mathematic, mc graw hill.

[2] Jordan, C.W (1982) : Life Contingencies, Second Edition, Chicago:Society of Actuaries.

[3] Hans U. Garber (1997) : Life Insurance Mathematics, Third edition, Springer.