s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
A. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BERPANGKAT
1. Sifat-sifat eksponen/pangkat:1. a
px a
q= a
p+q5. (a x b)
p= a
px b
p2. a
p: a
q= a
p-q6. a
0= 1
3. (a
p)
q= a
pq7. a
-p=
p a 14.
p b a=
p p b a8.
q pa aqp 2. Persamaan eksponen 3. Bentuk AkarSifat operasi bentuk akar
Contoh Soal dan Pembahasan : O1. UAN SMK 2001
Jika a = 27 dan b = 32 maka nilai dari adalah ... . A. -25 D. 16 B. – 16 E. 25 C. 0 PEMBAHASAN a = 27 = 33 : b = 32 = 25 = 3 . 3-1 . 4 . 22 = 1 . 4 . 4 = 16 02. UAN SMK 2002
Bentuk sederhana dari
adalah ... .
A. D. B. E. C. PEMBAHASAN
03. UAN SMK 2004
Hasil perkalian dari adalah :
A. – 2a D. ½ a B. – ½ a E. 2a C. a 2 1 PEMBAHASAN
=
=
05. UAN SMK 2004 Bentuk sederhana dari :adalah ... . A. D. B. E. 2 C. PEMBAHASAN
=
Operasi Bilangan Real
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
06. UAN SMK 2005
Nilai dari : adalah : A. 0,16 B. 1,6 C. 6,4 D. 16 E. 6,4 PEMBAHASAN 07. UAN SMK 2006
Bentuk sederhana dari : adalah
A. D. a2b2 B. E. ab3 C. a3b PEMBAHASAN 08. UAN SMK 2007
Bentuk sederhana dari adalah ... .
A. r-4 D. r3
B. r-2 E. r6
C. r
PEMBAHASAN
09. UAN SMK 2007
Nilai x yang memenuhi persamaan : adalah ... . A. – 6 D. 4 B. – 5½ e. 6 C. - 4 PEMBAHASAN 10. UAN SMK 2008
Bentuk sederhana dari : adalah ... A. 3 + 2 D. 2( 3 - 2) B. 2 3 - 2 E. ½ ( 12 - 8) C. PEMBAHASAN
11. UAN SMK 2008
Sebuah toko Bangunan membeli 15 sak semen seharga Rp. 600.000. Jika toko tersebut menjual seharga Rp. 45.000 per zak semen dan semua semen telah terjual habis, maka persentase keuntungan toko tersebut adalah ... . A. 7,5 % B. 10 % C. 12,5 % D. 15 % E. 16,5% PEMBAHASAN Harga Jual : = 45.000 Harga beli : = 40.000 Keuntungan = 5.000 Prosentase =
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
B. LOGARITMA
1. SIFAT SIFAT LOGARITMA
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001 Nilai dari ... . A. 8 D. 4 B. 6 E. 3 C. 5 PEMBAHASAN = 02. UAN SMK 2002
Diketahui 2log 3 = p ; 2log 5 = Q maka 2log 45 = ... . A. p2 + q D. p + 2q B. 2p + q E. p + q2 C. 2(p + q) PEMBAHASAN 03. UAN SMK 2003 A. – 2 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 PEMBAHASAN = 3 – 2 – 3 = 0 04. UAN SMK 2004 log x = a ; log y = b ; A. D. 10 + 3a – 2b B. E. 1 + 3a – 2b C. 10(3a – 2b) PEMBAHASAN = 1 + 3a – 2b 05. UAN SMK 2004 3
log 27 – 3log 12 + 3log 4 = ... .
A. 1 D. 9
B. 2 E. 81
C. 3
PEMBAHASAN
3
log 27 – 3log 12 + 3log 4 =
= 3 – 1 = 2 06. UAN SMK 2005
Nilai dari 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 - 5log 2 = ... .
A. – 6 D. 2
B. – 2 E. 6
C. ¼
PEMBAHASAN
07. UAN SMK 2005
Nilai dari 3log 15 + 3log 6 - 3log 10 = ... . A. 2
B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
PEMBAHASAN
3log 15 + 3log 6 - 3log 10
08. UAN SMK 2006
Nilai dari 2log 16 + 3log 271 - 5log 125 = ... . A. 10 B. 4 C. 2 D. – 2 E. – 4 PEMBAHASAN 2
log 16 + 3log 271 - 5log 125 = 2 log 24 + 3log 3-3 – 5log 53 = 4 – 3 – 3 = - 2
09. UAN SMK 2006
Jika 2log 3 = a ; 5log 2 = b maka 15log 12 = ... . A. b 2 1 B. ab b 2 1 C. 2b D. ab b 2 ab 1 E. ab 1 ab b 2 PEMBAHASAN
10. UAN SMK 2007
Diketahui log 3 = a ; log 2 = b . Nilai
32 27 log
dinyatakan dalam a dan b adalah ... . A. b 5 a 3 B. b 3 a 5 C. 3a – 5b D. 3a + 5b E. 5a + 3b PEMBAHASAN 11. UAN SMK 2007
Jika 5log 3 = p maka 5log 81 = ... .
A. D. 1 + 4p B. E. 4(1 + p) C. p4p1 PEMBAHASAN
11. UAN SMK 2008
Diketahui log 2 = 0.301 dan log 5 = 0.699, Nilai log 25 – 4log 2 adalah ... .
A. 0.769 B. 0.796 C. 0.879 D. 1.679 E. 1.769 PEMBAHASAN
log 25 – 4log 2 = log 52 – 4 log 21/2 = 2 . log 5 – 4 . ½ . log 2 = 2 . 0,699 – 2 . 0,301 = 0,796
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
y y1 m (x x1)
)
Persamaan garis biasa juga ditulis y mx + c, dengan
tan x y m atau 1 2 1 2 x x y y m
Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan
bergradien m adalah
Persamaan garis melalui dua titik
Dua buah garis sejajar jika dan hanya jika kedua gradiennya sama ( m1 = m2 )
Dua buah garis tegak lurus jika dan hanya jika perkalian gradiennya = - 1 gradiennya sama
( m1 . m2 = -1 )
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Persamaan garis yang melaui titik potong garis 2x + 5y = 1 dan x - 3y = -5 serta tegak lurus garis dengan persamaan : 2x – y + 5 = 0 adalah ... .
A. y + x = 0 D. y + 2x + 2 = 0 B. 2y + x = 0 E. y = ½ x + 2 C. y = - 2x + 2
PEMBAHASAN Titik potong garis :
2x + 5y = 1 x 1 2x + 5y = 1 x – 3y = -5 x 2 2x – 6y = -10 11y = 11 y = 1 ⤳ x = - 2 Persamaan garis : y – y1 = m(x – x1) y – 1 = ½ (x – (-2)) y = ½x + 1 + 1 y = ½x +2 02. UAN SMK 2007
Persamaan garis yang melalui titik (2, - 3) dan tegak lurus garis : 2y + x – 7 = 0 adalah ... .
A. 2y + x + 4 = 0 D. y + 2x – 1 = 0 B. 2y – x + 8 = 0 E. y + x + 1 = 0 C. y – 2x+ 7 = 0 PEMBAHASAN Persamaan garis : y – y1 = m(x – x1) y – (-3) = 2 (x –2) y = 2x – 4 – 3 y = 2x – 7 ⤳ y – 2x + 7 = 0 03. UAN SMK 2007
Persamaan garis yang melalui titik (-1, 2) dan tegak lurus garis : 2x – 3y = 5 adalah ... .
A. 3x + 2y – 7 = 0 D. – 3x + 2y – 4 = 0 B. 3x + 2y – 1 = 0 E. – 3x + 2y – 1 = 0 C. – 3x + 2y – 7 = 0 PEMBAHASAN Persamaan garis : y – y1 = m(x – x1) y – 2 = (x – (-1)) 2y – 4 = - 3x – 3 -3x – 2y + 1 = 0 ⤳ 3x + 2y – 1 = 0 04. UAN SMK 2008
Persamaan grafik fungsi linier pada gambar di bawah ini adalah ... .
Persamaan Garis
2
3
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
A. 3x – 5y – 15 = 0 D. 5x – 3y – 15 = 0 B. 3x – 5y + 15 = 0 E. 5x – 3y + 15 = 0 C. 3x + 5y – 15 = 0 PEMBAHASAN Persamaan garis : ax + by = ab 3x + (-5)y = 3 . (-5) 3x – 5y = - 15 3x – 5y + 15 = 0Bentuk umum fungsi kuadrat : y ax2 + bx + c dengan a, b, c dan a 0.
Langkah langkah menggambar grafik fungsi kuadrat 1. Menentukan pembuat nol fungsi y 0 . 2. Menentukan sumbu simetri 3. Menentukan titik puncak P (x, y) dengan
a 2 b x dan a 4 D y
Dengan nilai diskriminan D b2 4ac.
Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:
a < 0, D > 0 a < 0, D 0 a < 0, D < 0
a > 0, D > 0 a > 0, D 0 a > 0, D < 0
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Nilai a agar grafik fungsi y=(a-1)x2 2ax + (a-3) selalu berada di bawah sumbu x (definit negatif) adalah ... . A. a = 1 D. a > ¾
B. a > 1 E. a < ¾ C. a < 1
PEMBAHASAN
Syarat definite negatif : a < 0 dan D < 0 a < 0 ⤳ a – 1 < 0 a < 1 D < 0 ⤳ b2 – 4 . a . c < 0 (2a)2 – 4 . (a-1)(a-3) < 0 4a2 – 4(a2 – 4a + 3) < 0 4a2 – 4a2 + 16a -12 < 0 16a < 12 a < ¾ ¾ 1 a < ¾ 02. UAN SMK 2001
Grafik fungsi f(x) = - x2 + 4x – 6 akan simetris terhadap garis ... . A. x = 3 D. x = - 3 B. x = 2 E. x = - 4 C. x = - 2 PEMBAHASAN Definit positif Definit negatif X2 X1 X2 X1 X1 X2 X1 X2
3
Fungsi Kuadrat
a bs m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
03. UAN SMK 2002
Titik potong antara y = x2 + 2x + 1 dan y = 6x – 2 adalah ... . A. {(1,-4), (3,16)} D. {(2,3), (3,16)} B. {(-1,-4), (-3,-16)} E. {(0,1), (0,-2)} C. {(1,4), (3,16)} PEMBAHASAN x2 + 2x + 1 = 6x – 2 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x1 = 1 ⤳ y = 6 . 1 – 2 = 4 ⤳ (1,4) x1 = 3 ⤳ y = 6 . 3 – 2 = 16 ⤳ (3,16) 04. UAN SMK 2004
Persamaan grafik fungsi kuadrat di bawah ini adalah ... . -1 3 –2 A. y = ½ x2 – x – 1½ D. y = x2 + 2x – 3 B. y = ½ x2 + x – 1½ E. y = 2x2 – 4x - 6 C. y = x2 – 2x – 3 PEMBAHASAN Y = a(x – x1) (x – x2) Y = a(x + 1) (x – 3) (1,-2) ⤳ - 2 = a(1+1) (1 – 3) -2 = - 4a a = ½ ⤳ y = ½ (x + 1) (x – 3) y = ½ (x2 – 2x – 3) y = ½ x2 – x – 1½ 05. UAN SMK 2004
Grafik fungsi y = x2 – 4x paling tepat digambarkan sebagai … A. 0 4 (2,-4) B. 0 4 (2,-2) C. (-2,3) –4 0 D. 0 4 (2,-3) E. -2 2 PEMBAHASAN x2 – 4x = 0 ⤳ x (x – 4) = 0 x1 = 0 ⤳ (0,0) x2 = 4 ⤳ (4,0) ⤳ y = 22 – 4 . 2 = 4 – 8 = - 4 Puncak (2,-4) ⤳ jawab A 06. UAN SMK 2005
Grafik fungsi kuadrat di (1,2) samping persamaannya adalah ... . A. y = – 2x2 + x B. y = ½ x2 – x C. y = – 2x2 + 4x 0 2 D. y = 2x2 + x E. y = x2 – 2x PEMBAHASAN y = a(x – x1) (x – x2) y = a(x - 0) (x – 2) (1,2) ⤳ 2 = a(1 - 0) (1 – 2) 2 = - a a = - 2 ⤳ y = -2 x (x – 2) y = -2 (x2 – 2x) y = -2x2 + 4x
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
08. UAN SMK 2007
Grafik fungsi kuadrat di samping persamaannya adalah ... . A. y = x2 - 2x + 3 B. y = x2 + 2x + 3 -1 3 C. y = x2 - 2x - 3 -3 D. y = x2 - x + 3 (1,-4) E. y = x2 - x - 3 PEMBAHASAN y = a(x – x1) (x – x2) y = a(x + 1) (x – 3) (0,-3) ⤳ -3 = a(0 +1) (0 – 3) -3 = - 3a a =1 ⤳ y = 1( x + 1) (x – 3) y = x2 – 2x – 3
a. Persamaan linier dengan 1 peubah Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x – 3 = - 3x + 7 Penyelesaian: 2x – 3 = - 3x + 7 2x + 3x = 7 + 3 5x = 10 x = 2
b. Persamaan linier dengan 2 peubah Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
Penyelesaian: Dengan eliminasi 3x + y = 1 X 2 6x + 2y = 2 2x - 3y = 8 X 3 6x - 9y = 24 _ 11y = - 22 y = - 2 3x + y = 1 X 3 9x + 3y = 3 2x - 3y = 8 X 1 2x - 3y = 8 + 11x = 11 x = 1 Penyelesaian di atas : x = 1 ; y = - 2 Dengan Substitusi 3x + y = 1 y = 1 – 3x 2x – 3y = 8 2x – 3 ( 1 – 3x ) = 8 2x – 3 + 9x = 8 2x + 9x = 8 + 3 11x = 11 x = 1 y = 1 – 3x y = 1 – 3 . 1 y = 1 – 3 = - 2
Dengan Menggunakan determinan
Jika q dy cx p by ax maka d c b a q b p a y dan d c b a d q b p x 8 y 3 x 2 1 y x 3 1 11 11 2 . 1 3 . 3 8 . 1 3 . 1 3 2 1 3 3 8 1 1 x 2 11 22 11 2 . 1 8 . 3 3 2 1 3 8 2 1 3 y c.
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax2 bx c 0 dga 01. Penyelesaian Persamaan kuadrat Dengan Pemfaktoran
Contoh : Tentukan akar persamaan kuadrat x2 – 8x + 12 = 0
Penyelesaian : (x – 2 ) (x – 6 ) = 0 x – 2 = 0 x1 = 2
x – 6 = 0 x2 = 6
Melengkapi Kuadrat Sempurna x2 – 8x + 12 = 0 x2 – 8x = - 12 ( x – 4 )2 = - 12 + 42 ( x – 4 )2 = 4 x – 4 = ± 4 x = 4 ± 2 x1 = 4 + 2 = 6 12 - 2 - 6 - 8
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
x2 = 4 – 2 = 2 Dengan Rumus a 2 ac 4 b b x12 2 x2 – 8x + 12 = 0 a = 1 ; b = - 8 ; c = 12 1 . 2 12 . 1 . 4 ) 8 ( ) 8 ( x 2 12 2 48 64 8 x12 2 4 8 x12 6 2 4 8 x1 2 2 4 8 x22. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar persamaan kuadrat ditinjau dari nilai Diskriminan (D) = b2 – 4ac
a. Jika D > 0 kedua akarnya real dan berbeda b. Jika D = 0 kedua akarnya real dan sama c. Jika D < 0 kedua akarnya khayal
3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar akar Persamaan Kuadrat
Jika PK : ax2 + bx + c = 0 akar akarnya x1 dan x2 maka
Rumus yang bersesuaian : a. x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 b. x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 c. x31 x32 x1 x2 3 3x1x2x1 x2 d. 2 1 2 1 2 1 xx x x x 1 x 1 e. 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x x x x
4. Membentuk Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 akar akar persamaan kuadrat maka
persamaan kuadratnya adalah : a. x x1 x x2 0
b. x2 x1 x2x x1x2 0
d. Pertidaksamaan
1. Pertidaksamaan linier
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaanlinier satu peubah adalah,
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.
2. Pertidaksamaan Kuadrat
Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
Langkah-langkah untuk menyelesaikan per-tidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
a) Nyatakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk salah satu ruas sama dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.
b) Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu. c) Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan.
d) Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.
e) Tentukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada pertidaksamaan.
Contoh soal dan pembahasan
01. UAN SMK 2001
Himpunan penyelesaian dari sistim persamaan : 6 y 3 x 2 1 y 2 x 3 adalah ... . A. {(3,4)} D. {(2,- 4)} B. {(3,- 4)} E. {(4,- 3)} C. {(- 3,- 4)} PEMBAHASAN 3x + 2y = 1 X 2 6x + 4y = 2 2x + 3y = -6 X 3 6x + 9y = -18 _ -5y = 20 y = - 4 y = - 4 → 3x + 2y = 1 3x + 2 . (-4) = 1 3x = 9 x = 3 → {(3,- 4)}
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
02. UAN SMK 2003 Dari sistim persamaan :
6 y 3 x 4 y 5 x 3 Nilai dari 2x + 3y adalah ... . A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3 PEMBAHASAN x – 3y = 6 x = 3y + 6 → 3x + 5y = 4 3(3y+6) + 5y = 4 9y + 18 + 5y = 4 14y = 4 – 18 = - 14 y = - 1 y = - 1 → x = 3 . (-1) + 6 = 3 2x + 3y = 2 . 3 + 3 . (-1) = 6 – 3 = 3 03. UAN SMK 2004
Harga 3 buku dan 2 penggaris Rp. 9.000 , jika harga sebuah buku Rp. 500 lebih mahal dari hargaa sebuah penggaris, maka harga sebuah buku dan 3 penggaris adalah ... .
A. Rp. 6500 D. Rp. 8500 B. Rp. 7000 E. Rp. 9000 C. Rp. 8000
PEMBAHASAN
Buku : b dan penggaris : p 3b + 2p = 9.000 B = p + 500 → 3b + 2p = 9.000 3(p+500) + 2p = 9.000 3p + 1.500 + 2p = 9.000 5p = 9.000 – 1.500 = 7.500 5p = 7.500 P = 1.500 → b = p + 500 = 1.500 + 500 = 2.000 b + 3p = 2.000 + 3 . 1.500 = 2000 + 4500 = 6500 04. UAN SMK 2006
Himpunan penyelesaian dari sistim persamaan :
16 y 3 x 2 7 y 1 x 1 adalah ... . A. {5,2} D. 21,5 B. {2,5} E. 51,21 C. { 21,51 } PEMBAHASAN Misal a + b = 7 x2 2a + 2b = 14 2a + 3b = 16 x1 2a + 3b = 16 -b = - 2 → b = 2 → y = ½ b = 2 → a + b = 7 a + 2 = 7 → a = 5 → x = HP : 05. UAN SMK 2007
Himpunan penyelesaian dari sistim persamaan : 6 y 2 x 3 8 y 4 x 2 adalah ... . A. {(1,1½)} D. {(- 1,- 1½)} B. {(- 1,1½)} E. {(- 1½, 1)} C. {(1,- 1½)} -2x + -4y = 8 X – ½ x + 2y = -4 3x + 2y = -6 X 3 3x + 2y = -6 _ -2x = 2 x = - 1 x = - 1 → 3x + 2y = -6 3 . (-1) + 2y = - 6 2y = - 6 + 3 = - 3 y = 1½ → {(-1,1½ )} PEMBAHASAN 06. UAN SMK 2007
Jika x dan y penyelesaian dari sistim persamaan linier 13 y 2 x 3 11 y 2 x 5
maka nilai dari x - 2y adalah A. – 2 D. 1 B. – 1 E. 2 C. 0 PEMBAHASAN 5x - 2y = 11 3x + 2y = 13 _ 8x = 24 x = 3 → 3x + 2y = 13 3.3 + 2y = 13 2y = 13 – 9 = 4 y = 2 x – 2y = 3 – 2 . 2 = 3 – 4 = - 1
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
07. UAN SMK 2001
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : adalah ... . A. { x|x > -4, x R } D. { x|x < -4, x R } B. { x|x < 4, x R } E. { x|x > 8, x R } C. { x|x > -4, x R } PEMBAHASAN 1 – 2x < 9 - 2x < 9 – 1 - 2x < 8 x > -4 08. UAN SMK 2004
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 2(x – 3) > 4 ( 2x + 3 )adalah ... . A. { x|x < - 1 } D. { x|x < - 3 } B. { x|x > 1 } E. { x|x > 3 } C. { x|x < 1 } PEMBAHASAN 2(x – 3) > 4 ( 2x + 3 ) 2x – 6 > 8x + 12 2x – 8x > 12 + 6 -6x > 18 x < - 3 09. UAN SMK 2004
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : R x , 6 x 4 4 x 2 adalah ... . A. { x|x < - 1, x R } D. { x|x > 1, x R } B. { x|x > - 1, x R } E. { x|x - 1, x R } C. { x|x < 1, x R } PEMBAHASAN 2x + 4 < 4x + 6 2x – 4x < 6 – 4 -2x < - 2 x > 1 08. UAN SMK 2001
Akar akar dari : 2x2 – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2 Nilai
dari x21 x22 ... . A. 11 ¼ B. 6 ¾ C. 2 ¼ D. – 6 ¾ E. – 11 ¼ PEMBAHASAN 2x2 – 3x – 9 = 0 09. UAN SMK 2001
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat : (2x – 2)2 < (5 – x)2 adalah ... . A. { x | x < - 3 atau x > 7/3 } D. { x | 7/3 < x < 3 } B. { x | x < - 7/3 atau x > 3 } E. { x | - 7/3 < x < 3} C. { x | - 3 < x < 7/3 } PEMBAHASAN (2x – 2)2 < (5 – x)2 (2x – 2)2 - (5 – x)2 < 0 (2x – 2 + 5 – x )(2x – 2 – 5 + x) < 0 (x + 3)(3x – 7) < 0 → x1 = - 3 atau x2 = 7/3 ++++ - - - +++++ - 3 7/3 HP = { x | - 3 < x < 7/3 } 10. UAN SMK 2002
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : x2 + x – 2 > 0 adalah ... . A. { x | x < - 2 atau x > 1 } D. { x | - 2 < x < 1 } B. { x | x < - 1 atau x > 2 } E. { x | - 1 < x < 2 } C. { x | x < - 2 atau x > - 1 } PEMBAHASAN x2 + x – 2 > 0 (x + 2)(x – 1) > 0 → x1 = - 2 atau x2 = 1 ++++ - - - - ++++ -2 1 { x | x < - 2 atau x > 1 } 11. UAN SMK 2003
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : x2 + 4x – 12 < 0 adalah ... .
A. { x | x < - 6 atau x > 2 } B. { x | x < - 2 atau x > 6 } C. { x | - 6 < x < 2 } D. { x | - 2 < x < 6 }
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
E. { x | - 6 < x < - 2 } PEMBAHASAN x2 + 4x – 12 < 0 (x + 6)(x – 2) > 0 → x1 = - 6 atau x2 = 2 ++++ - - - +++++ - 6 2 HP = { x | - 6 < x < 2 } 12. UAN SMK 2004Himpunan penyelesaian dari persamaan : 5x2 + 4x – 12 = 0 adalah ... . A. { - 2, 5/6 } D. { - 2, - 6/5 } B. { 2, - 5/6 } E. { - 2, 6/5 } C. { 2, 6/5 } PEMBAHASAN 5x2 + 4x – 12 = 0 (5x – 6)(x + 2) = 0 → x1 = 6/5 atau x2 = - 2 13. UAN SMK 2004
Himpunan penyelesaian dari persamaan : 2x2 - 3x – 14 = 0 adalah ... . A. { 2, 7 } D. { - 2, 7/2 } B. { - 2, 7 } E. { 2, - 7/2 } C. { 2, 7/2 } PEMBAHASAN 2x2 - 3x – 14 = 0 (2x + 7) (x – 2) = 0 → x1 = - 7/2 atau x2 = 2 15. UAN SMK 2005
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 . Jika x1 + x2 = 3 dan x1 . x2 = - ½
persamaan kuadrat tersebut adalah ... . A. 2x2 – 6x – 1 = 0 D. 2x2 + x – 6 = 0 B. 2x2 + 6x – 1 = 0 E. 2x2 – x – 6 = 0 C. 2x2 – x + 6 = 0 PEMBAHASAN x1 + x2 = 3 dan x1 . x2 = - ½ PK : x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 x2 – 3x + (- ½) = 0 2x2 – 6x – 1 = 0 16. UAN SMK 2006
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat : - x2 – 2x + 15 < 0 adalah ... . A. {x|x < - 3 atau x > 5 } D. {x| - 5 < x < 3 } B. {x|x < - 5 atau x > 3 } E. {x| - 3 < x < 5 } C. {x|x < 3 atau x > 5 } PEMBAHASAN - x2 – 2x + 15 < 0 x2 + 2x – 15 > 0 (x + 5)(x – 3) > 0 → x1 = - 5 atau x2 = 3 ++++ - - - - ++++ -5 3 { x | x < - 5 atau x > 3 } 17. UAN SMK 2006
Diketahui persamaan kuadrat 6x – 3 = 4x2 , Jumlah kedua akarnya adalah ... .
A. – 3/2 D. 3/2 B. – ¾ E. 3 C. ½ PEMBAHASAN 6x – 3 = 4x2 4x2 – 6x + 3 = 0
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
a. Pengertian
Matriks adalah suatu himpunan bilangan yang disusun dalam Baris dan kolom
Contoh : 5 4 1 3 2 1 A 2 bar is 1 bar is 3 k 2 k 1 k
Matriks tersebut disebut matriks A dengan ordo 2 x 3 dan dapat ditulis A 2 x 3
e21 = 1 elemen baris ke 2 kolom pertama
b. Kesamaan dua matriks
Definisi. Dua buah matriks dikatakan sama jika: 1. Ordo kedua matriks itu sama.
2. Entri/elemen yang seletak sama c. Tranpose Matriks
Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks At. Jadi dapat dituliskan bahwa:
Jika A = aij maka At = aji Contoh : 7 6 5 4 3 2 A 7 4 6 3 5 2 At
d. Operasi pada Matriks 1). Penjumlahan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan / dikurangkan jika ordonya sama, penjumlahan/ pengurangan dilakukan pada elemen yang seletak.
2) Pengurangan Dua Matriks
3) Perkalian Skalar dengan Matriks
Definisi. Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri/elemen dari A oleh k.
sifat-sifat :
4). Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Cara perkaliannya adalah dengan mengalikan baris matriks A dan kolom matriks bersama-sama kemudian menambahkan hasil kali yang diperoleh. sifat-sifat
e. Determinan Matriks
Definisi. Misalkan A adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det (A) contoh berikut: A = 22 21 12 11 a a a a ; B = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a
Maka : det (A) =
22 21 12 11 a a a a = a11a22 a12a21 Maka : det (B) = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a = 32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Amxr x Brxn = Cmxn 1) A + B = B + A → Komutatif 2) (A+B)+C = A + (B+C) → Asosiatif
1). A + (-A) = (-A) + A = 0 (Matriks Nol) 2). A + 0 = 0 + A = A
3). A + (-B) = A - B
Jika A, B suatu matriks dan r, s skalar, maka 1) (r ± s) A = rA ± sA 2) r(A ± B) = rA ± rB 3) r(sA) = s(rA) = (rs) A 4) 1. A = A. 1 = A 5) (-1) A = A (-1) = -A 1. A x B ≠ B x A
2. A(BC) = (AB)C Hukum asosiatif untuk perkalian 3. A(B±C) = AB ± AC Hukum distributif
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Invers Matriks
Jika A adalah matriks persegi yang dapat dibalik, maka A-1 = adj(A) ) A det( 1
Invers Matriks berordo 2 x 2 Misalkan A = d c b a maka A-1 = adj(A) ) A det( 1 = bc ad 1 a c b d
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2002 Invers matriks 4 3 2 1 A adalah A-1 = ... . A. 1 2 2 3 2 1 D. 2 1 2 3 2 1 B. 3 2 2 3 3 1 2 E. 2 1 2 32 1 C. 2 1 2 3 2 1 2 PEMBAHASAN 02. UAN SMK 2003 Diketahui 2 0 1 1 B dan 1 0 1 2 A Nilai A – 2B = ... . A. 5 0 1 4 D. 3 0 3 0 B. 04 15 E. 00 31 C. 5 0 1 0 PEMBAHASAN 03. UAN SMK 2003 Invers matriks 2 3 4 1 adalah ... . A. 2 4 3 1 10 1 D. 1 3 4 2 10 1 B. 2 4 3 1 10 1 E. 2 4 3 1 10 1 C. 1 3 4 2 10 1 PEMBAHASAN 04. UAN SMK 2004 Jika 4 2 3 1 A ; 3 1 0 2 B ; 2 1 1 3 C maka A ( B – C ) = ... . A. 18 10 14 5 D. 2 2 2 1 B. 6 10 4 5 E. 20 10 19 7 C. 22 2 16 1 PEMBAHASAN 05. UAN SMK 2004 Diketahui 1 2 2 3 A dan 1 1 2 2 B Matriks 5A – B2 adalah ... . A. 2 7 4 9 D. 2 7 16 15 B. 6 13 2 9 E. 8 13 4 21 C. 1313 64
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
PEMBAHASAN 06. UAN SMK 2005 Diketahui matriks ; Matriks AB – C adalah ... . A. 0 1 3 4 D. 8 7 5 4 B. 8 7 5 4 E. 13 12 8 5 C. 13 12 8 5 PEMBAHASAN 07. UAN SMK 2006 Jka 2 0 4 1 3 2 A dan 6 4 5 3 2 1 B maka – 2A . B = ... . A. D. B. E. C. PEMBAHASAN 09. UAN SMK 2006 Diketahui 3 11 1 4A maka invers matriks A adalah ... .
A. 4 11 1 3 D. 3 1 11 4 B. 11 4 1 3 E. 11 1 4 3 C. 4 11 1 3 PEMBAHASAN 10. UAN SMK 2007 Diketahui b a 10 2 b a A dan 3 10 2 1 B Nilai a dan
b berturut turut jika A = B adalah ... A. – 1 dan 0 D. 1 dan - 2 B. 0 dan 1 E. - 2 dan 1 C. - 1 dan 1 PEMBAHASAN a + b = - 1 b – b = 3 2a = 2 ⤳ a = 1 a = 1 ⤳ a + b = - 1 1 + b = - 1 b = - 2 11. UAN SMK 2007 Diketahui 6 8 y x 3 4 A dan 6 y x 12 4 B . Jika A = B maka nilai x = ... . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 9 PEMBAHASAN 3x – y = 12 x + y = 8 4x = 20 ⤳ x = 5 x = 5 ⤳ x + y = 8
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
5 + y = 8 y = 3
Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier 1. Langkah-langkah membuat grafik daerah
penyelesaian
a. Tulislah bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan
b. Ambil titik uji di luar garis;
1) Jika salah: arsir daerahnya (yang memuat titik tersebut)
2) Jika benar: arsir daerah lawannya (yang tidak memuat titik tersebut)
Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari: 3x + 4y ≤ 12 ; 5x + 2y < 10 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 Jawab : 1. Bentuk persamaan: 3x + 4y 12 3x + 4y = 12 5x + 2y 10 5x + 2y = 10 x 0 x = 0 sumbu y y 0 y = 0 sumbu x 2. Pengujian: ambil (1,1) i. 3x + 4y 12
3(1) + 4(1) = 7 12 benar arsir daerah lawan
ii. 5x + 2y 10
5(1) + 2(1) = 7 10 benar arsir daerah lawan
iii. x 0
1 0 benar arsir daerah lawan iv. y 0
1 0 benar arsir daerah lawan
Langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah Program Linier adalah:
1. menentukan model Matematika 2. menentukan daerah penyelesaian
3. menentukan titik optimum dan nilai optimumnya
Contoh:
Seseorang ingin memindahkan barang dagangannya yang berupa 1200 keramik kecil dan 400 keramik besar. Untuk itu dia menyewa truk dan colt. Muatan truk adalah 30 keramik kecil dan 20 keramik besar. Sedangkan muatan colt adalah 40 keramik kecil dan 10 keramik besar. Besar sewa truk adalah Rp 500.000,00 sedangkan sewa colt Rp 400.000,00. Berapa biaya minimal yang harus disediakan untuk memindahkan barang dagangan?
Penyelesaian:
1. Menentukan model matematika Misalkan x = banyak truk
y = banyak colt
Kendala: 20x + 10y 400 30x + 40y 1200 x 0; y 0; x,y C
Fungsi Obyektif: F(x,y) = 500.000x + 400.000y
2. Menentukan daerah penyelesaian 20x + 10y = 400 2x + y = 40 30x + 40y = 1200 3x + 4y = 120 x = 0; y = 0; x,y C 3x + 4y = 12 x 4 0 y 0 3 Keramik Besar Keramik Kecil Harga Truk 20 30 500.000 Colt 10 40 400.000 Jumlah 400 1200 Foby 3 5 2 Y X 4 daerah penyelesaian 5x + 2y = 10 x 2 0 y 0 5 x 0 40 y 30 0 x 0 20 y 40 0
6
Program Linier
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
b. Pengujian: ambil (1,1): i. 20x + 10y 400 x + y 40 2(1) + (1) 40
3 40 salah arsir daerah sendiri ii. 30x + 40y 1200
3x + 4y 120 3 (1) + 4(1) 120
7 120 salah arsir daerah sendiri iii. x 0
1 0 benar arsir daerah lawan iv. y 0
1 0 benar arsir daerah lawan
3. Menentukan titik dan nilai optimum
Mencari titik potong
2x + y = 40 8x + 4y = 160 2(8) + y = 40
y = 24
titik-titik pemeriksaan (0,40), (8,24), (40,0)
Titik optimalnya (8,24), maka pedagang tersebut harus menyewa 8 truk dan 24 colt dengan biaya minimal Rp 13.600.000,00
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa begasi 60 kg sedang untuk kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg Bila x dan y berturut turut menyatakan penumpang kelas utama dan kelas ekonomi maka model matematika dari persoalan di atas adalah ... . A. x + y 48 ; 3x + y 72 ; x 0 ; y 0 B. x + y 48 ; x + 3y 72 ; x 0 ; y 0 C. x + y 48 ; 3x + y 72 ; x 0 ; y 0 D. x + y 48 ; x + 3y 72 ; x 0 ; y 0 E. x + y 48 ; x + 3y 72 ; x 0 ; y 0 PEMBAHASAN Kelas Utama (x) Kelas Ekonomi (y) Persediaan Tp Duduk 1 1 48 Bagasi 60 40 1440 Sistim pertidaksamaan : x + y ≤ 48 60x + 20y ≤ 1440 → 3x + y ≤ 72 X ≥ 0 ; y ≥ 0 02. UAN SMK 2001 (0,6) (2,0) (10,0) (0,-4)
Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidak-samaan ... A. 5x +3 y 30 ; x - 2y 4 ; x 0 ; y 0 B. 5x +3 y 30 ; x - 2y 4 ; x 0 ; y 0 C. 3x +5 y 30 ; 2x - y 4 ; x 0 ; y 0 D. 3x +5 y 30 ; 2x - y 4 ; x 0 ; y 0 E. 3x +5 y 30 ; 2x - y 4 ; x 0 ; y 0 (0,40) (8,24) (40,0) F(x,y)=5x+4y ( Dalam ratusan ribu )
160 136 200 8 x 40 5x 120 4y 3x 40 30 40 20 Y X
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
PEMBAHASAN (0,6) (2,0) (10,0) (0,-4) 3x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 03. UAN SMK 2001 (0,8) (0,4) (4,0) (8,0)Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk 5x + 4y dari daerah penyelesaian tersebut adalah ... . A. 40 D. 20 B. 28 E. 16 C. 24 PEMBAHASAN (0,8) (0,4) (4,0) (8,0) 2x + y = 8 x1 2x + y = 8 x + 2y = 8 x2 2x + 4y = 16 3y = 8 → x + 2y = 8 x + 2 . = x = Z = 5x + 4y (4,0) Z = 5 . 4 + 0 = 20 (0,4) Z = 0 + 4 . 4 = 16 Z = 5 . + 4 . = (maks) 04. UAN SMK 2002
Harga tiket Bus Jakarta – Surabaya untuk kelas ekonomi Rp. 25.000 dan kelas eksekutif Rp. 65.000, Jika dari 200 tiket yang terjual diperoleh uang Rp. 9.600.000 maka banyaknya penumpang kelas ekonomi dan eksekutif masing masing ... .
A. 75 orang dan 125 orang B. 80 orang dan 120 orang C. 85 orang dan 115 orang D. 110 orang dan 90 orang E. 115 orang dan 85 orang
PEMBAHASAN 05. UAN SMK 2003 (2,5) (0,2) (1,1) (5,1) (3,0)
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian permasalahan program linier. Nilai maksimum dari fungsi tujuan Z = 2x + 5y adalah ... .
A. 6 D. 15 B. 7 E. 29 C. 10 6x + 10y = 6 . 10 3x + 5y = 30 -4x + 2y = -4 . 2 2x - y = 4 8x + 4y = 8 . 4 2x + y = 8 4x + 8y = 4 . 8 x + 2y = 8
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
PEMBAHASAN Z = 2x + 5y (2,5) Z =2 . 2 + 5 . 5 = 4 + 25 = 29 (maks) (0,2) Z = 0 + 5 . 2 = 10 (1,1) Z = 2 . 1 + 5 . 1 = 7 (5,1) Z = 2 . 5 + 5 . 1 = 15 (3,0) Z = 2 . 3 + 0 = 6 06. UAN SMK 2004Nilai minimum fungsi obyektif Z = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan : 2x + 3y 12 ; 5x + 2y 19 ; x 0 ; y 0 adalah ... . A. 38 D. 17 B. 32 E. 15 C. 18 PEMBAHASAN (0, ) (0,6) ( ,0) (4,0) 2x +3 y = 12 x2 4x + 6y = 24 5x + 2y = 19 x3 15x + 6y = 57 11x = 33 x = 3 x = 3 → 2x + 3y = 12 2 . 3 + 3y = 12 3y = 6 y = 2 Z = 3x + 4y (3,2) Z = 3 . 3 + 4 . 2 = 17 (4,0) Z = 3 . 4 + 0 = 12 ( minimum ) Z = 3 . 0 + 4 . = 38 07. UAN SMK 2007
Daerah yang merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : 2y–x 2 ; 4x+3y 12 ; x 0 ; y 0
I 2y – x = 2 II IV V III 4x + 3y = 12 A. I D. IV B. II E. V C. III PEMBAHASAN 2y – x ≤ 2 : III ; IV ; V 4x + 3y ≤ 12 : II ; III ; V x ≥ 0 ; y ≥ 0 : I ;II ; III ; IV 08. UAN SMK 2007
Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursi yang menggunakan bahan dari papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan 10 potong dan kursi 5 potong papan. Papan yang tersedia 500 potong. Biaya pembuatan satu meja Rp. 100.000 dan kursi Rp. 40.000 dan anggaran yang tersedia Rp. 1.000.000. Model matematika dari persoalan tersebut adalah A. x + 2y 100 ; 5x + 2y 50 ; x 0 ; y 0 B. x + 2y 100 ; 2x + 5y 50 ; x 0 ; y 0 C. 2x + y 100 ; 2x + 5y 50 ; x 0 ; y 0 D. 2x + y 100 ; 5x + 2y 50 ; x 0 ; y 0 E. 2x + y 100 ; 5x + 2y 50 ; x 0 ; y 0 PEMBAHASAN
Meja (x) Kursi (y) Persediaan
Papan 10 5 500 Biaya 100.000 40.000 1.000.000 Sistim pertidaksamaan : 10x + 5y ≤ 500 → 2x + y ≤ 100 100000x + 40000y ≤ 1000000 → 5x + 2y ≤ 50 x ≥ 0 ; y ≥ 0 09. UAN SMK 2005
Suatu tempat parkir luasnya 200 m2. untuk memarkir sebuah mobil rata rata diperlukan tempat seluas 10 m2 dan bus 20 m2. Tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika tempat 2x+3y=12 5x+2y=19
x 6 0 0
y 0 4 0
Daerah penyelesaian
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus maka x dan y harus memenuhi ... . A. x + y 12 ; x + 2y 20 ; x 0 ; y 0 B. x + y 12 ; 2x + y 20 ; x 0 ; y 0 C. x + 2y 12 ; x + 2y 20 ; x 0 ; y 0 D. x + y 12 ; x + 2y 20 ; x 0 ; y 0 E. x + y 12 ; x + 2y 20 ; x 0 ; y 0 PEMBAHASAN
Mobil (x) Bus (y) Persediaan
Lahan 10 20 200 Jumlah 1 1 12 Sistim pertidaksamaan : 10x + 20y ≤ 200 → x + 2y ≤ 20 x + y ≤ 12 x ≥ 0 ; y ≥ 0 10. UAN SMK 2006
Daerah yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan :
10 3 -2 6 A. x + 2y 6 ; 5x + 3y 30 ; - 3x + 2y 6 B. x + 2y 6 ; 5x + 3y 30 ; 3x + 2y 6 C. x + 2y 6 ; 5x + 3y 30 ; 3x - 2y 6 D. x + 2y 6 ; 3x + 5y 30 ; 3x - 2y 6 E. x + 2y 6 ; 3x + 5y 30 ; 3x - 2y 6 PEMBAHASAN 10 3 -2 6 Sistim Pertidaksamaan : x + 2y ≥ 6 ; 5x + 3y ≤ 30 ; 2x – 3y ≤ 6 x ≥ 0 ; y ≥ 0 11. UAN SMK 2007 8 5 8 10
Nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y pada daerah yang diarsir adalah ... . A. 20 D. 30 B. 24 E. 32 C. 26 PEMBAHASAN 8 5 8 10 x + 2y = 10 x + y = 8 y = 2 → x = 6 Z = 3x + 4y (6,2) Z = 3 . 6 + 4 . 2 = 26 ( maksimum ) (8,0) Z = 3 . 8 + 0 = 24 (0,5) Z = 0 + 4 . 5= 20 10x + 6y = 60 5x + 3y = 30 -2x + 3y = -6 2x - 3y = 6 3x + 6y = 18 x + 2y = 6 8x + 8y = 8 . 8 x + y = 8 5x + 10y = 5 . 10 x + 2y = 10
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
a. Vektor di R3
Misal titik A ( a1,a2,a3 ) maka OA a adalah suatu
vektor yang dapat dinyatakan dengan :
3 2 1 a a a
a atau a= a1 i + a2 j + a3 k dan jika B ( b1, b2 ,
b3 ) maka AB b a 3 3 2 2 1 1 a b a b a b AB
Panjang vektor a dinyatakan dengan
2 3 2 3 2 1 a a a a
Contoh : diketahui titik A ( 2 , 3, -1) dan B( 1, -2, 5) tentukan : a ; b ; AB Penyelesaian : 1 3 2 a ; 5 2 1 b 6 5 1 1 5 3 2 2 1 AB 62 36 25 1 6 5 1 AB 2 2 2
b. Pembagian Ruas Garis
Jika P terletak diantara AB dan AP : PB = m : n maka
n m b m a n p A m P n B a p b
Contoh : Diketahui A(1, -1, 2) dan B (4, 5, 2) titk P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 1 tentukan p Penyelesaian : n m b m a n p 3 4 10 8 2 1 1 1 2 2 5 4 2 2 1 1 1 p 2 3 3 3 6 9 9 p
c. Perkalian Skalar ( dot product ) cos b . a b .
a dimana sudut yang dibentuk
oleh vektor a dan b
Contoh : Jika a 4 dan b 6 dan sudut antara dua vektor tersebut = 60o maka tentukan a.b ?
Penyelesaian : cos b . a b . a o 60 cos 6 . 4 b . a = 24 . ½ = 12 Jika 3 2 1 a a a a dan 3 2 1 b b b b maka 3 3 2 2 1 1b a b ab a b . a Contoh : Jika : 1 3 2 a dan 5 2 1 b tentukan a.b ? Penyelesaian : 3 3 2 2 1 1b a b ab a b . a 5 . 1 2 . 3 1 . 2 b . a = 2 - 6 - 5 = - 9
Sudut antara dua vektor :
b . a b . a cos
7
V e k t o r
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Contoh : Jika 1 1 3 a dan 0 4 2 b maka kosinussudut yang dibentuk ke dua vektor tersebut adalah : Penyelesaian : b . a b . a cos 2 2 2 2 2 2 1 1 . 2 4 0 3 0 . 1 4 . 1 2 . 3 cos 55 55 2 2 20 . 11 4 6 cos 551 sifat sifat a.b b.a a.a a2 a.b c a.b a.c jika a b maka a.b 0 d. Proyeksi Orthogonal
Jika c proyeksi orthogonal vektor a pada b maka : b b . a c dan .b b b . a c 2 Contoh :
Diketahui dua vektor : a = 3i + j – 5k dan
b = - i + 2j – 2k, Proyeksi ortogonal a pada b adalah : Penyelesaian : b . b b . a c 2 k 2 j 2 i . 2 2 1 2 . 5 2 . 1 1 . 3 c 2 2 2 k 2 j 2 i 9 9 k 2 j 2 i . 4 4 1 10 2 3 c c - i + 2j – 2k
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2007
Sudut antara vektor a = 3i + 2j – k dan b = 6i + 4j – 2k adalah ... . A. 0o D. 60o B. 30o E. 90o C. 45o PEMBAHASAN 02. UAN SMK 2007 Jika vektor 1 4 3 a dan 6 3 2
b maka besar sudut
yang dibentuk vektor a dan b adalah ... . A. 0o D. 90o B. 30o E. 180o C. 45o PEMBAHASAN 03. UAN SMK 2008
Diketahui vektor a = - i + j dan b = i + k besar sudut vektor a dan b adalah ... .
A. 30o D. 150o B. 60o E. 300o C. 120o PEMBAHASAN
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
2.
a. Ukuran sudut radian = 1800 1 radian = 0 180 1 radian = 57,30 atau 1 rad = 57017’45” dan 10 = 180 radian atau 1 0 = 0,01745 radianSudut Pusat suatu lingkaran = 2 kali sudut kelililingnya :
b. Keliling dan Luas Bangun Datar Persegi s s K = 4s L = s2 Persegi Panjang l p K = 2 ( p + l ) L = p . l Jajaran Genjang s t p K = 2 ( p + s ) L = p . t Trapesium c d t b K = a + b + c + d L = ½ (a + c) . t a Lingkaran r 2 r L r 2 K
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Pada gambar di bawah ini diketahui besarnya sudut
o 310 besarnya sudut = ... . A. 100o B. 60o C. 50o D. 30o E. 25o PEMBAHASAN Sudut pusat = 360o – 310o = 50o Sudut keliling ( ) = ½ . 50o = 25o 02. UAN SMK 2002
Keliling bangun di bawah ini adalah ... . ( 7 22 ) 7 cm 10 cm A. 76,5 cm B. 82 cm C. 93 cm 14 cm D. 102 cm 20 cm E. 126 cm PEMBAHASAN + 10 + 7 + 14 03. UAN SMK 2002
Pada gambar di bawah ini nampang selembar kertas berbentuk persegi panjang yang pada setiap sudutnya terpotong seperempat lingkaran. Keliling bangun tersebut adalah ... .
2
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
14 cm 32 cm A. 92 cm D. 48 cm B. 80 cm E. 36 cm C. 64 cm PEMBAHASAN 04. UAN SMK 2003Gambar di bawah ini adalah gambar trapesium sama kaki ABCD, Jika panjang AC = 15 cm , BF = 3 cm dan DE = 9 cm, maka keliling ABCD sama dengan ... . D C A E F B A. ( 12 + 10 ) cm D. ( 29 + 6 10 ) cm B. ( 18 + 3 10 ) cm E. ( 57 + 6 10 ) cm C. ( 24 + 6 10 ) cm PEMBAHASAN AF2 = AC2 – DE2 AF2 = 152 – 92 AF2 = 225 – 81 AF2 = 144 AF = 12 BC2 = BF2 + CF2 BC2 = 32 + 92 BC2 = 9 + 81 BC2 = 90 BC = 90 = 3 10 05. UAN SMK 2004
Satu keping paping berbentuk seperti gambar di bawah ini : Luas kepingan paping tersebut adalah ... .
7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm A. 133 cm2 D. 308 cm2 B. 266 cm2 E. 397 cm2 C. 287 cm2 PEMBAHASAN 06. UAN SMK 2004
Luas Segiempat PQRS gambar di bawah ini adalah ... . R 16 cm 300 Q 18 cm S 24 cm P A. 120 cm2 D. 336 cm2 B. 216 cm2 E. 900 cm2 C. 324 cm2 PEMBAHASAN SQ2 = SP2 + PQ2 SQ2 = 242 + 182 SQ2 = 576 + 324 SQ2 = 900 SQ = 30 K = 12 + 3 + 3 6 + 9 + 3 6 K = 24 + 6 3
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
07. UAN SMK 2005
Pada gambar di bawah ini AOB 45o. Luas juring AOB = 308 cmo 227 Panjang jari jari lingkaran adalah ... . A B O PEMBAHASAN r = 784 = 28 08. UAN SMK 2006
Pada ga mbar di bawah ini AOB 60o. Panjang OA = 14 cm 227 Panjang busur AB adalah ... .
O A B PEMBAHASAN 09. UAN SMK 2007
Perhatikan gambar di bawah ini :
7cm 7cm
14 cm
9cm 7cm Keliling bangun di atas adalah ... .
A. 99 cm D. 108 cm B. 102 cm E. 110 cm C. 104 cm PEMBAHASAN 10. UAN SMK 2007
Luas sebuah juring lingkaran dengan sudut pusat 45o adalah cm2
7 44
. Panjang jari jari lingkaran tersebut
adalah ... . 7 22 A. 4 cm D. 10 cm B. 6 cm E. 16 cm C. 8 cm PEMBAHASAN r = 16 = 4 11. UAN SMK 2008
Diketahui luas suatu lingkaran adalah 314 cm2. Jika = 3,14 , maka keliling lingkaran tersebut adalah ... .
A. 3,14 cm D. 628 cm B. 31,4 cm E. 942 cm C. 62,8 cm PEMBAHASAN r = 10 12. UAN SMK 2008
Sebidang lahan pertanian yang berbentuk persegi panjang memiliki panjang 325 m dan lebar 135 m. Luas lahan pertanian tersebut adalah ... .
A. 43.675 m2 D. 44.375 m2 B. 43.785 m2 E. 44.875 m2 C. 43.875 m2 PEMBAHASAN L = p . l = 325 . 135 = 43.875 A. 7 cm B. 14 cm C. 21 cm D. 28 cm E. 35 cm A. 14,67 cm B. 84 cm C. 88 cm D. 102,67 cm E. 308 cm
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Luas Permukaan dan Volume Balok p = panjang l = lebar t = tinggi Kubus s = sisi Prisma L = K . t + 2 La V = La . t K = keliling t = tinggi La = Luas Alas Tabung r = jari jari
Limas Segi empat L = La + 4 . Lsgtg
Limas Segi empat terpacung L = La + Lt+Ls La = luas alas Lt = Luas tutup Ls = Luas selimut Kerucut Kerucut Terpacung s = apotema r = jari jari lingkaran atas r = jari jari lingkaran bawah Contoh :
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan rusuk AB = 12 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan luas limas. Penyelesaian: AB = 12 cm ; OF = EB = ½ AB = 6 cm ; TO = 8 cm. TF = Tinggi ∆ BCT = OT2 OF2 cm = 82 62 100 10 L persegi ABCD = ( 12 × 12 ) cm2 = 144 cm2. L ∆ABT = L 2 1 ∆ CDT = L ∆ADT = L ∆BCT = (21 x BC x TF) cm2 = (21 x 12 x 10) = 60 cm2
Luas T. ABCD = L alas + L seluruh sisi tegak = ( 144 +( 4 x 60 )) cm2 = 284 cm2.
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Volume limas pada gambar di bawah ini adalah ... .
13 dm 6 dm 8 dm A. 624 dm3 D. 208 dm3 B. 576 dm3 E. 192 dm3 C. 321 dm3 PEMBAHASAN t2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 t = 12 02. UAN SMK 2002
Pada gambar di bawah ini AB = 8 cm , BC = 6cm dan EA = 10 cm . Luas bidang ACGE adalah ... .
H G E F D C A B A. 100 cm2 B. 130 cm2 C. 144 cm2 D. 156 cm2 T D G C H F A E B
9
Bangun Ruang
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
E. 169 cm2 PEMBAHASAN AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 54 + 36 = 100 AC = 10 ⤳ L = AC . AE = 10 . 10 = 100 03. UAN SMK 2002Luas permukaan kerucut yang diameter alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm adalah ... .
A. 570 cm2 D. 682 cm2 B. 572 cm2 E. 704 cm2 C. 594 cm2 PEMBAHASAN L = r ( s + r ) 04. UAN SMK 2002
Diketahui panjang prisma segi empat 8 cm dan lebar 5 cm serta tingginya 6 cm. Jika bangun tersebut dibagi menjadi 3 bagian sama besar maka volume masing masing bagian adalah ... .
A. 40 cm3 D. 120 cm3 B. 80 cm3 E. 160 cm3 C. 100 cm3 PEMBAHASAN 05. UAN SMK 2003
Luas selimut tabung yang diameternya 70 cm dan tingginya 150 cm adalah ... . 7 22 A. 66.000 cm2 D. 10.500 cm2 B. 33.000 cm2 E. 5.750 cm2 C. 16.500 cm2 PEMBAHASAN 06. UAN SMK 2004
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm . Luas permukaan kubus adalah ... .
A. 36 cm2 D. 216 cm2 B. 108 cm2 E. 326 cm2 C. 200 cm2 PEMBAHASAN L = 6s2 = 6 . 62 = 216 07. UAN SMK 2004
Perhatikan gambar di bawah ini , AB = 8 cm , BC = 6 cm dan TA = 7 cm. Volume limas TABCD adalah ... . T D C A B PEMBAHASAN 08. UAN SMK 2006
Sebuah tangki minyak berbentuk kapsul seperti tampak pada gambar di bawah ini, Luas permu-kaan tangki minyak tersebut adalah ...
7 22 210 cm 400 cm A. 402.600 cm2 D. 426.000 cm2 B. 406.200 cm2 E. 460.200 cm2 C. 420.600 cm2 PEMBAHASAN A. 450,4 cm3 B. 336 cm3 C. 112 cm3 D. 96 6 cm3 E. 32 6 cm3
7
24
a2 = 242 + 72 a2 = 576 + 49 = 625 a = 25s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
09. UAN SMK 2007
Panjang garis pelukis kerucut yang jari jari alasnya 7 cm dan luas selimutnya 154 cm2 adalah ... .
A. 2 cm D. 11 cm B. 5 cm E. 14 cm C. 7 cm PEMBAHASAN 10. UAN SMK 2007
Pondasi bangunan berbentuk prisma tegak yang mempunyai ukuran seperti pada gambar di bawah ini
0,3 m 0,4 m
Jika tinggi pondasi 30 cm maka volume bangunan tersebut adalah ... . A. 3,6 cm3 D. 3.600 cm3 B. 36 cm3 E. 36.000 cm3 C. 360 cm3 PEMBAHASAN 11. UAN SMK 2007
Sebuah kap lampu dengan atap tertutup terbuat dari bahan tertentu seperti tampak pada gambar :
Luas bahan yang dipakai untuk membuat kap lampu adalah ... . A. 64 cm2 D. 525 cm2 B. 125 cm2 E. 545 cm2 C. 520 cm2 PEMBAHASAN 12. UAN SMK 2007
Perhatikan limas tegak seperti pada gambar di bawah ini :
T
D C
A 6 cm B
Jika AB = BC = 6 cm dan tinggi limas 4 cm maka volume limas tersebut adalah ... .
A. 36 cm3 D. 64 cm3 B. 48 cm3 E. 144 cm3 C. 60 cm3 PEMBAHASAN 10 cm 24 cm 30 cm 10 cm 24 cm 30 cm 10 cm 26 cm
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
a. Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup
Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Nilai kebenaran suatu kalimat adalah benar atau salah, tetapi tidak keduanya.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel.
Variabel adalah lambang untuk menyatakan anggota suatu dari semesta pembicaraan atau himpunan semesta.
Konstanta adalah lambang untuk menyatakan anggota tertentu dari semesta pembicaraan atau himpunan semesta.
b. Ingkaran
Ingkaran Kalimat berkuantor
c. Pernyataan Majemuk 1. Konjungsi
Dua kalimat yang dihubungkan dengan kata dan, yang benar apabila keduanya benar
Tabel Kebenaran : P q p q B B B B S S S B S S S S 2. Disjungsi
Dua kalimat yang dihubungkan dengan kata atau, yang benar apabila salah satu pernyataannya bernilai benar
Tabel Kebenaran : p q p q B B B B S B S B B S S S 3. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung jika ... maka ... yang bernilai salah apabila hipotesa-nya bernilai benar dan konklusinya bernilai salah Tabel kebenaran : P q P q B B B B S S S B B S S B
4. Biimplikasi atau Bikondisional
Kalimat yang berbentuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang bernilai benar apabila keduanya benar atau keduanya salah. Tabel kebenaran : p q p q B B B B S S S B S S S B
5. Ingkaran kalimat majemuk
Pernyataan Ingkaran q p ~p ~q q p ~p ~q q p p ~q
d. Invers, Konvers dan Kontraposisi Jika p q suatu implikasi maka
q p disebut konvers ~ p ~ q disebut invers, dan ~ q ~ p disebut kontraposisi
p - p
B S
S B
p - p
Jika p pernyataan bernilai benar maka ~ p pernyataan bernilai salah
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Kebenaran Implikasi sama dengan kebenaran Kontraposisi, dan Kebenaran konvers sama dengan kebenaran inversnya
e. Penarikan Kesimpulan
1) Modus Ponens
Bentuk modus ponens adalah p q
p q Contoh:
P1 : Jika Mega seorang siswa, maka rajin belajar. P2 : Mega seorang siswa.
: Mega rajin belajar.
2) Modus Tollens
Bentuk modus tollens adalah p q
~ q ~ p Contoh:
P1 : Jika Dian rajin belajar, maka nilainya selalu bagus.
P2 : Nilai Dian tidak selalu bagus. : Dian tidak rajin belajar.
3) Silogisme
Bentuk silogisme adalah P q q r p r Contoh: P1: Jika 13 + 27 = 56, maka 6: 7 = 8. P2: Jika 6: 7 = 8, maka 34 x 2 = 78. : Jika 13 + 27 = 56, maka 34 x 2 = 78.
Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik kesimpulan.
Konklusi atau kesimpulan adalah hasil dari suatu penarikan kesimpulan.
Argumen adalah rangkaian premis dan konklusi. Tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar.
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001
Negasi dari pernyataan : „Jika upah buruh naik maka harga barang naik“ adalah ... .
A. Jika upah buruh tidak naik maka harga barang tidak naik
B. Jika harga barang naik maka upah buruh naik C. upah buruh naik dan harga barang tidak naik D. upah buruh naik dan harga barang naik
E. harga barang naik jika dan hanya jika upah buruh naik
PEMBAHASAN
„Jika upah buruh naik maka harga barang naik“ Negasinya
„upah buruh naik dan harga barang tidak naik“
02. UAN SMK 2001 Diketahui :
P1 : Jika service hotel baik maka hotel itu banyak
tamu
P2 : Jika hotel itu banyak tamu maka hotel itu
mendapat untung
Kesimpulan dari argumentasi di atas adalah ... . A. Jika servis hotel baik maka hotel itu mendapat
untung
B. Jika servis hotel tidak baik maka hotel itu tidak mendapat untung
C. Jika hotel mau mendapat untung maka servisnya baik
D. Jika hotel itu tamunya banyak maka servisnya baik E. Jika hotel itu servisnya tidak baik maka tamunya
tidak banyak PEMBAHASAN
P q q r p r
Jika service hotel baik maka hotel itu banyak tamu
Jika hotel itu banyak tamu maka hotel itu mendapat untung
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
03. UAN SMK 2002
Di bawah ini yang bukan pernyataan adalah ... . A. Jakarta ibukota Republik Indonesia
B. Ada bilangan prima yang genap C. Semua bilangan prima ganjil
D. Harga dolar naik semua orang pusing E. Ada segitiga yang jumlah sudutnya tidak 180o
PEMBAHASAN
D. Harga dolar naik semua orang pusing
Bukan pernyataan karena belum dapat ditentukan kebenarannya ( tergantung orangnya )
04. UAN SMK 2002
Diketahui premis premis berikut : P1 : Jika x2 4 maka -2 x 2
P2 : x < -2 atau x > 2
Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ... . A. x2 4 D. x2 < 4 B. x2 > 4 E. x2 4 C. x2 4 PEMBAHASAN p q ~ q ~ p p q : Jika x2 4 maka -2 x 2 ~ q : x < -2 atau x > 2 ~ p : x2 > 4 05. UAN SMK 2003
Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan : „ Jika anda datang maka saya tidak pergi” adalah ... . A. Jika saya pergi maka anda tidak datang
B. Jika saya tidak pergi maka anda datang C. Jika anda datang maka saya pergi
D. Jika anda tidak datang maka saya tidak pergi E. Jika saya pergi maka anda datang
PEMBAHASAN
p q ~ q ~ p
p q : Jika anda datang maka saya tidak pergi ~ q ~ p : Jika saya pergi maka anda tidak datang
06. UAN SMK 2004 Diketahui :
P1 : Jika siti rajin belajar maka ia lulus
P2 : Jika siti lulus maka ayah membelikan sepeda
Kesimpulan dari kedua argumentasi di atas adalah ... A. Jika siti tidak rajin belajar maka ayah tidak membelikan
sepeda
B. Jika siti rajin belajar maka ayah membelikan sepeda C. Jika siti rajin belajar maka ayah tidak membelikan sepeda
D. Jika siti tidak rajin belajar maka ayah membelikan sepeda
E. Jika ayah membelikan sepeda maka siti rajin belajar PEMBAHASAN
Jika siti rajin belajar maka ia lulus
Jika siti lulus maka ayah membelikan sepeda Jika siti rajin maka ayah membelikan sepeda
07. UAN SMK 2005 Diketahui premis :
P1 : Jika supri merokok maka Ia sakit jantung
P2 : Supri tidak sakit jantung
Penarikan kesimpulan yang benar dari pernyataan di atas adalah ... .
A. Jika supri tidak merokok maka Ia sehat B. Jika supri sehat maka ia tidak merokok C. Jika supri sakit jantung maka ia merokok D. Supri merokok
E. Supri tidak merokok PEMBAHASAN
Jika supri merokok maka Ia sakit jantung
Supri tidak sakit jantung
supri tidak merokok
08. UAN SMK 2006
Negasi dari pernyataan : Ani memakai seragam atau topi adalah ... .
A. Ani tidak memakai seragam atau memakai topi B. Ani tidak memakai seragam atau tidak memakai topi C. Ani tidak memakai seragam dan tidak memakai topi D. Ani memakai seragam dan tidak memakai topi E. Ani tidak memakai seragam tetapi memakai topi
PEMBAHASAN
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
09. UAN SMK 2006
Invers Jika budi naik kelas maka dibelikan sepeda adalah ... .
A. Jika budi dibelikan sepeda maka ia naik kelas B. Jika budi tidak dibelikan sepeda maka ia tidak naik kelas C. Jika budi tidak naik kelas maka ia tidak dibelikan sepeda D. Jika budi naik kelas maka ia tidak dibelikan sepeda E. Jika budi tidak naik kelas maka ia dibelikan sepeda
PEMBAHASAN
Implikasi inversnya
Jika budi tidak naik kelas maka tidak dibelikan sepeda
10. UAN SMK 2007
Kontraposisi dari implikasi Jika sumber daya manusia baik maka hasil karyanya baik adalah ... . A. sumber daya manusia baik dan hasil karyanya baik B. Jika hasil karya baik maka sumber dayanya tidak baik C. Jika hasil karya tidak baik maka sumber dayanya baik D. Jika hasil karya tidak baik maka sumber dayanya tidak
baik
E. sumber daya manusia tidak baik dan hasil karyanya tidak baik
PEMBAHASAN
Implikasi inversnya
Jika hasil karyanya tidak baik maka sumber daya manusia tidak baik
11. UAN SMK 2007
Dari dua premis berikut ini :
„Jika lampu mati maka dia tidak belajar“ „Dia belajar“
Kesimpulannya adalah ... . A. Ia belajar dan lampu tidak mati B. lampu tidak mati
C. lampu mati D. ia tidak belajar E. ia akan belajar
PEMBAHASAN
„Jika lampu mati maka dia tidak belajar“ „Dia belajar“
lampu tidak mati
12. UAN SMK 2007
Kontraposisi dari pernyataan „jika x bil prima maka x2+1 5“ adalah ... .
A. Jika x2 + 1 5 maka x bilangan prima B. Jika x2 + 1 < 5 maka x bilangan prima C. Jika x2 + 1 5 maka x bukan bilangan prima D. Jika x2 + 1 5 maka x bilangan prima E. Jika x2 + 1 5 maka x bukan bilangan prima
PEMBAHASAN
p q ~ q ~ p
p q : jika x bil prima maka x2+1 5 ~ q ~ p : Jika x2+1 < 5 maka x bukan bil prima 13. UAN SMK 2007
Diketahui Premis premis :
„Jika panen berhasil maka kesejahteraan petani meningkat“
„Kesejahteraan petani tidak meningkat“
Kesimpulan yang dapat diambil dari pernyataan di atas adalah ... .
A. panen tidak berhasil
B. kesejahteraan petani meningkat C. panen berhasil
D. kesejahteraan petani tidak meningkat dan berhasil E. Jika kesejahteraan petani meningkat maka panen berhasil PEMBAHASAN
Jika panen berhasil maka kesejahteraan petani meningkat
Kesejahteraan petani tidak meningkat
Panen tidak berhasil
14. UAN SMK 2008
P1 : Jika tepi pantai tidak ditanami pohon baku maka
Tepi pantai akan terjadi abrasi P2 : Tepi pantai akan tidak terjadi abrasi
Dari premis di atas dapat ditarik kesimpulan ... . A. Tepi pantai ditanami pohon bakau
B. Tepi pantai tidak ditanami pohon baku C. Tepi pantai terjadi abrasi
D. Tepi pantai ditanami pohon kelapa E. Tepi pantai ditanami selain bakau
PEMBAHASAN
ika tepi pantai tidak ditanami pohon baku maka
tepi pantai akan terjadi abrasi Tepi pantai akan tidak terjadi abrasi
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
15. UAN SMK 2008
Invers ”Jika turbin berputar maka arus listrik mengalir ” adalah ... .
A. Jika turbin berputar maka arus listrik tidak mengalir
B. Jika arus listrik mengalir maka turbin berputar C. Jika arus listrik tidak mengalir maka turbin tidak berputar
D. Jika turbin tidak berputar maka arus listrik tidak mengalir
E. Jika arus listrik tidak mengalir maka turbin berputar
PEMBAHASAN
Implikasi inversnya
Jika turbin tidak berputar maka arus listrik tidak mengalir
16. UAN SMK 2008
Negasi dari implikasi ”p ⇒ (~p ⋀~r) adalah ... . A. p ⋀ (~p ⋁~r) B. p ⋀ (p ⋁r) C. p ⋁ (~p ⋁r) D. p ⋁ (p ⋁r) E. p ⋁ (~p ⋁~r) PEMBAHASAN ~( p ⋀ q) = ~p ⋁ ~q ~[p ⇒ (~p ⋀~r)] = p ⋀ ~(~p ⋀~r) = p ⋀ ( p ⋁ r ) 17. UAN SMK 2008
Negasi ” semua siswa peserta ujian dinyatakan lulus” adalah ... .
A. semua siswa tidak mengikuti ujian
B. semua siswa peserta ujian dinyatakan tidak lulus C. Ada siswa yang tidak mengikuti ujian
D. Ada siswa peserta ujian dinyatakan lulus E. Ada siswa peserta ujian dinyatakan tidak lulus
PEMBAHASAN
semua siswa peserta ujian dinyatakan lulus
ingkarannya
Ada siswa peserta ujian dinyatakan tidak lulus
A.
Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut IstimewaTabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. 0 30 45 60 90 0 16 14 3 1 2 1 sin 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan 0 1 3 ~ a. sin 1 csc f. tan90 cot b. cos 1
sec g. sin2 +cos2 1
c.
tan 1
cot h. 1 + tan2 = sec2
d. sin90 cos i. 1 + cot2 = csc2
e. cos 90 sin 3 60 30
1
2
2 451
1
mide
sa
sa de tan mi sa cos mi de sin 90o sin semua ( All ) [ 180o – A ] 180o 0o [ 180o + A ] [ 360o - A ] tan cos 270o11
Trigonometri
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Kartesius ke kutub P ( x , y ) P ( r , a ) r x2 y2 x y a tan Kutub ke Kartesius P (r , a) P (x , y) x = r cos a y = r sin a Contoh :Jika cos 22 tentukan sin dan tan Penyelesaian : C 2 A B 2 2 2 BC AC sin dan 1 2 2 AB AC tan Contoh : Hitunglah Cos 240o Penyelesaian : Cos 240o = Cos ( 180 + 60 )o = - Cos 60o = - ½ Contoh :
Tentukan koordinat kutub dari (-2,2) Penyelesaian :
jadi : (-2,2) (2 2, 135o )
Contoh : Tentukan koordinat kutubnya jika koordinat kartesiusnya ( 4 , 60o )
Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( - ) sin cos cos sin cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
tan tan 1 tan tan ) ( tan tan tan 1 tan tan ) ( tan
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap dan Setengah Sudut
sin 2 2 sin cos cos 2 cos2 sin2
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2 sin2 2 tan 1 tan 2 2 tan 2 cos 1 sin21 2 cos 1 cos21 sin cos 1 tan cos 1 sin tan 2 1 2 1
Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin Rumus Penjumlahan/Pengurangan sin + sin 2 sin ½ ( + ) cos ½ ( - ) sin + sin 2 cos ½ ( + ) sin ½ ( - ) cos + cos = 2 cos ½ ( + ) cos ½ ( - ) cos - cos = - 2 sin ½ ( + ) sin ½ ( - )
Persamaan Trigonometri sin x = sin a x = a + k. 360o
x = ( 180 – a )o + k . 360o
cos x = cos a x = ± a + k . 360o
tan x = tan a x = a + k . 180o
bentuk a cos x + b sin x = k cos ( x – a )o
2 2 b a k a b a tan
a cos x + b sin x = k cos ( x – a )o = c dapat
diselesaiakan jika c2 a2 + b2 AC2 = BC2 – AB2 = 22 – ( 2)2 = 4 – 2 = 2 AC = 2 Aturan Sinus Luas Segitiga
R 2 c sin c b sin b a sin a L = ½ ab sin C L = ½ ac sin B Aturan Cosinus L = ½ bc sin A a2 = b2 + c2 – 2 bc coa A L = ss a s b s c b2 = a2 + c2 – 2 ac coa B dengan 2 c b a s c2 = a2 + b2 – 2 ab coa C
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
Penyelesaian : x = r . Cos y = r . Sin = 4 . Cos 60o = 4 . Sin 60o = 4 . ½ = 4 . ½ 3 x = 2 = 2 3 jadi : (4,60o) (2,2 3) Contoh :Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 ; BC = 8 dan sudut C = 30o tentukan besar sudut A
Penyelesaian c sin c a sin a 4 sin a = 8 sin 30o o 30 sin 4 a sin 8 4 sin a = 8 . ½ o 30 sin 4 a sin 8 4 sin a = 4 sin a = 1 a = 90o Contoh :
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 4 ; b = 5 dan c = 6, tentukan Cos A ¿
Penyelesaian : a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A 42 = 52 + 62 – 2 . 5 . 6 cos A 60 Cos A = 25 + 36 – 16 4 3 60 45 A Cos Contoh :
Diketahui segitiga ABC dengan AB = 6 , AC = 4 dan sudut CAB = 45o , hitunglah luas segitiga tersebut Penyelesaian :
L = ½ bc sin A = ½ 4 . 6 . sin 45o = 2 . 6 . ½ 2 L = 6 2
Contoh : Hitunglah sin 75o Penyelesaian :
Sin 75o = sin ( 45 + 30 )o
= sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 = ½ 2 . ½ 3 + ½ 2 . ½ = ¼ 6 + ¼ 2 = ¼ ( 6 + 2 ) Contoh : Diketahui 12 5 A
tan hitunglah sin 2A Penyelesaian :
C 5
A 12 B
sin 2A = 2 sin A Cos A = 2 . contoh : Hitunglah 60 cos 120 cos 60 sin 120 sin Penyelesaian : 60 cos 120 cos 60 sin 120 sin = 60 120 sin 60 120 sin 2 60 120 cos 60 120 sin 2 21 2 1 2 1 2 1
= sinsin9090cossin3030
= 3 3
21 21
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari : sin 2x = ½ Untuk 0o x 360o Penyelesaian : Sin 2x = ½ Sin 2x = sin 30o 2x = 30 + k.360 # x = 15 + k. 180o x = 15o , 195o # 2x = (180-30)o + k . 360o x = 75o + k . 180o x = 75o , 255o HP { 15o, 75o, 195o, 255o)
Contoh soal dan pembahasan 01. UAN SMK 2001 Sin 75o + Sin 15o = ... . A. -1 B. 0 C. ½ 2 D. ½ 6 E. 1 AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 5 2 = 144 + 125 = 169 AC = 169 = 13
s m k n e g e r i 2 w o n o g i r i
PEMBAHASAN
Sin 75o + Sin 15o = 2 sin ½ (75 + 15)o Cos ½(75-15)o = 2 sin 45o cos 30o
= 2 . ½ 2 . ½ 3 = ½ 6
02. UAN SMK 2001
Diketahui , 0o A 90o , maka cos 2A sama dengan ... . A. D. B. E. C. PEMBAHASAN 03. UAN SMK 2004
Nilai dari sin 300o adalah ... .
A. 3 D. – ½ 2
B. ½ 3 E. – ½ 2
C. ½ 2 PEMBAHASAN
Sin 300o = sin (360 – 60)o = - sin 600 = - ½ 3
04. UAN SMK 2004
Diketahui : maka
nilai sin A . cos A = ... .
A. D.
B. E.
C.
PEMBAHASAN
05. UAN SMK 2004
Nilai dari sin 240o + sin 225o + cos 315o adalah ...
A. - 3 D. ½ 2
B. – ½ 3 E. 31 3 C. – ½
PEMBAHASAN
sin 240o + sin 225o + cos 315o
= sin (180+60)o + sin (180+45)o + Cos (360-45)o = - sin 60o – sin 45o + cos 45o
= ½ 3 – ½ 2 + ½ 2 = ½ 3
06. UAN SMK 2005
Nilai dari cos 1200o adalah ... .
A. – ½ 3 D. ½
B. – ½ 2 E. ½ 3
C. – ½
PEMBAHASAN
cos 1200o = cos (120o + 3.360o) = cos 120o = cos (180-60)o = - cos 60o = - ½
07. UAN SMK 2006
Diketahui koordinat kartesius (-5 3,5) maka koordinat kutubnya adalah ... . A. (10,30o) D. (10,150o) B. (10,60o) E. (10,330o) C. (10,120o) PEMBAHASAN jadi : (-5 3,5) (10, 150o ) 08. UAN SMK 2007
Koordinat kartesius dari titik A(6,60o) adalah ... . A. (-3,3 3) B. (3,-3 3) C. (3 3,3) D. (3,3 3) E. (-3,-3 3) 1 -2 = 5
