1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan dalam perkuliahan, terutama pada perkuliahan aljabar linear. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri, seperti salah satunya peranan penting pada perhitungan dalam mencari nilai eigen dan menentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen tersebut. Kemudian perolehan basis ruang eigen tersebut akan membentuk kolom-kolom matriks yang dapat diterapkan dalam pembentukan diagonalisasi matriks.
Matriks merupakan suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, yang panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris (Supranto, 2003). Pada dasarnya matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear sehingga aljabar matriks sering disebut juga sebagai aljabar linear. Pada aljabar linear sendiri banyak permasalahan yang dapat dipelajari, salah satunya adalah tentang operator linear. Operator linear yang digunakan adalah masalah diagonalisasi yang melibatkan nilai eigen dan vektor eigen, seperti yang dijelaskan dalam sebuah skripsi (Islamiyah, 2009) bahwa nilai eigen dan vektor eigen yang sangat erat hubungannya dalam pendiagonalan suatu matriks bujursangkar.
Selain dari itu, penerapan diagonalisasi matriks ini juga dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear homogen, seperti yang dijelaskan dalam sebuah skripsi (Rahmah, 2007) bahwa pada langkah-langkah menyelesaikan sistem PD dengan cara diagonalisasi matriks tersebut pada langkah kedua sampai dengan langkah kelima yakni menentukan nilai-nilai eigen
) , , ,
2 yaitu dari vektor eigen itu dibentuk sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A, mencari matriks invers dari P yaitu P1, melakukan proses diagonalisasi matriks A (DP1AP).
Permasalahan yang nanti akan dihadapi adalah tidak semua matriks bujursangkar dapat didiagonalisasikan, karena matriks Ann dapat didiagonalisasikan jika dan hanya jika matriks A mempunyai n vektor eigen. Secara khusus, jika matriks Ann mempunyai n nilai eigen maka matriks A dapat didiagonalisasikan (Mursita, 2010).
Masalah diagonalisasi dapat terjadi dalam cara yang berbeda, seperti dalam bentuk matriks yang dapat didiagonalisasi secara orthogonal. Matriks bujursangkar A disebut diagonalisasi jika ada suatu matriks P yang invertibel (dapat dibalik) sehingga P1AP(PTAP) adalah suatu matriks diagonal, jika matriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A secara orthogonal maka matriks A dikatakan simetri jika A AT, sehingga vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orthogonal. Matriks simetri (matriks yang sama dengan transposenya) merupakan matriks yang elemen-elemen pada diagonal utama adalah sebarang, sedangkan bayangan cermin dari elemen yang melintasi diagonal utama adalah sama (Anton, 2000). Seperti yang dijelaskan dalam sebuah skripsi (Arrumi, 2010) bahwa diagonalisasi matriks simetri adalah mengenai penentuan matriks pendiagonal dengan kolom-kolomnya saling orthogonal, serta penentuan matriks diagonalnya, dan salah satu tahap terpenting dari diagonalisasi ini adalah proses Gram-Schmidt, namun dalam hasil yang diperoleh dari diagonalisasi matriks simetri dapat diterapkan untuk menentukan bentuk irisan kerucut dari persamaan irisan kerucut berupa persamaan kuadrat.
Untuk membentuk diagonalisasi matriks, terlebih dahulu mencari polinom karakteristik matriks untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen, kemudian menerapkan proses Gram-Schmidt untuk mencari basis ortonormal. Hal ini sejalan dengan apa yang dijelaskan pada skripsi (Selamed, 2008) bahwa pengkaji juga menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap masing-masing basis untuk mendapatkan basis ortonormal bagi masing-masing ruang eigen, namun
3 melanjutkan langkah tersebut sampai pada bentuk diagonalisasi matriks secara uniter pada matriks Hermite.
Suatu matriks dapat didiagonalisasikan jika vektor eigen dari matriks tersebut bersesuaian dengan nilai eigen yang merupakan vektor taknol (non trivial) dalam ruang pemecahan dari persamaan (IA) , ruang pemecahan tersebut dinamakan sebagai ruang eigen (eigenspace) tetapi tidak semua vektor eigen yang diperoleh merupakan vektor taknol (nontrivial). Oleh karena itu tidak semua matriks dapat didiagonalisasikan sehingga untuk menyelesaikannya, matriks tersebut diubah menjadi DP1AP, matriks P disebut sebagai matriks yang mendiagonalisasikan matriks A, sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari matriks A, dan matriks P merupakan matriks nn yang kolom-kolomnya merupkan vektor-vektor eigen dari matriks A. Karena dalam diagonalisasi matriks tersebut melibatkan vektor-vektor eigen, maka akan diperoleh suatu basis dari ruang eigen tersebut.
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Didalam proses Gram-Schmidt terdapat pembentukan langkah-langkah untuk mengubah sebarang basis ke basis ortonormal. Proses Gram-Schmidt adalah langkah-langkah untuk mengubah sebarang basis di suatu ruang vektor menjadi basis ortonormal (Anton, 2005).
Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt adalah cara membentuk basis ortonormal suatu ruang vektor atau bagian ruang vektor dari himpunan vektor yang diketahui (Sidi, 2010). Seperti yang dijelaskan dalam tugas akhir (Anestasia, 2007) bahwa ortogonalisasi Gram-Schmidt merupakan algoritma standar untuk mendapatkan basis orthogonal, misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan himpunan vektor { } adalah basis bagi V.
Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Salah satu cara dalam memfaktorkan suatu matriks adalah dengan faktorisasi QR, di mana Q tersebut
4 adalah sebuah matriks dengan kolom-kolom ortonormal dan R adalah sebuah matriks yang merupakan matriks segitiga atas dan dapat dibalik (Leon, 2001).
Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear. Pada dasarnya matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear sehingga aljabar matriks sering disebut juga sebagai aljabar linear. Salah satu permasalahan pada bidang aljabar linear adalah menyelesaikan masalah kuadrat terkecil dari suatu sistem persamaan yang penyelesaian dalam mencari solusinya adalah dengan menggunakan eliminasi Gauss atau eliminasi Gauss-Jordan, namun dalam mencari solusi dari masalah kuadrat terkecil dapat diselesaikan dengan faktorisasi QR. Seperti yang dijelaskan dalam jurnal (Salaki, 2008) bahwa salah satu alternatif metode faktorisasi QR yaitu transformasi Householder dalam menentukan solusi dari masalah kuadrat terkecil.
Berdasarkan dari hasil yang ada, maka pengkaji termotivasi untuk mengkaji tentang diagonalisasi matriks dan menerapkan proses Gram-Schmidt yang lebih mengarahkan kedalam pembentukan faktorisasi matriks. Salah satu tujuan faktorisasi matriks ini adalah membentuk matriks yang lebih sederhana dan memiliki jumlah komponen yang lebih sedikit dengan hasil dari faktorisasi matriks ini adalah matriks diagonal dimana setiap komponennya bernilai 0 (nol) kecuali komponen pada diagonal utamanya. Perolehan hasil faktorisasi tersebut pengkaji terlebih dahulu membentuk suatu diagonalisasi matriks dengan melibatkan mencari nilai eigen dan vektor eigen, tentunya perolehan vektor eigen dari matriks tersebut merupakan vektor taknol (nontrivial), sehingga dari vektor eigen diperoleh suatu basis dari ruang eigen tersebut yang akan diterapkan kedalam proses orthogonalisasi Gram-Schmidt, yang kemudian akan dilanjutkan dalam membentuk faktorisasi matriks untuk menyelesaikan solusi dari masalah kuadrat terkecil. Oleh karena itu akan dikaji lebih lanjut tentang diagonalisasi matriks dan penerapan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam membentuk faktorisasi QR.
5 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian pada latar belakang masalah di atas, maka dapat dirumuskan pokok permasalahan yaitu :
1. Bagaimana penerapan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam membentuk faktorisasi QR?
2. Bagaimana penerapan dari faktorisasi QR dalam mencari solusi kuadrat terkecil?
1.3 Pembatasan Masalah
Tugas akhir ini menggunakan matriks simetri yang berukuran 44 dan
dalam mendiagonalisasikan matriks tersebut melibatkan pencarian nilai eigen dan vektor eigen, dimana vektor eigen dari matriks tersebut bersesuaian dengan nilai eigen yang merupakan vektor taknol (nontrivial) sehingga dari vektor eigen diperoleh suatu basis dari ruang eigen tersebut yang kemudian diterapkan kedalam proses orthogonalisasi Gram-Schmidt serta faktorisasi QR yang kemudian diterapkan dalam mencari solusi kuadrat terkecil.
1.4 Tujuan Kajian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari kajian ini adalah untuk mengetahui serta mengkaji tentang penerapan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam membentuk faktorisasi QR dan penerapan dari faktorisasi QR dalam mencari solusi kuadrat terkecil.
1.5 Manfaat Kajian
Melalui kajian tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat dalam bidang matematika khususnya pada kajian tentang aljabar linear. Adapun manfaat kajian ini adalah sebagai berikut :
6 1. Memberikan wawasan atau ilmu pengetahuan dibidang matematika khususnya tentang diagonalisasi matriks dapat melibatkan nilai eigen dan vektor eigen yang pemecahannya merupakan vektor taknol (nontrivial)
2. Perolehan basis dari ruang eigen dapat diterapkan pada proses orthogonalisasi Gram-Schmidt, sehingga akan diperoleh suatu himpunan vektor orthogonal yang dapat membentuk suatu basis ortonormal
3. Basis dari ruang eigen tersebut juga dapat diaplikasikan untuk membentuk suatu faktorisasi matriks
4. Dapat dijadikan referensi tambahan dalam pendiagonalisasi matriks dan penerapan proses Gram-Schmidt untuk membentuk matriks yang lain.
5. Faktorisasi QR dapat diterapkan dalam menyelesaiakan solusi dari masalah kuadrat terkecil.
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam tugas akhir ini terdiri dari empat bab, yaitu sebagai berikut :
Bab I Pendahuluan
Pada bab ini diuraikan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan kajian, manfaat kajian, dan sistematika penulisan. Bab II Tinjauan Pustaka
Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep yang bersangkutan diantaranya konsep tentang basis, nilai eigen serta vektor eigen, diagonalisasi matriks, proses orthogonalisasi Gram-Schmidt, dan faktorisasi QR.
Bab III Pembahasan
Pada bab ini akan dijelaskan tentang penerapan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt dalam membentuk faktorisasi QR dan akan ditunjukkan tentang menyelesaikan masalah dalam mencari solusi kuadrat terkecil menggunakan faktorisasi QR.
Bab IV Kesimpulan dan Saran
Pada bab ini akan dijelaskan dengan kesimpulan hasil dari pembahasan dan diberikan saran untuk kajian selanjutnya.
7 1.7 Definisi Operasional
Definisi operasional ini merupakan rumusan tentang ruang lingkup suatu konsep yang menjadi pokok pembahasan dalam kajian yang diperlukan. Adapun beberapa istilah yang perlu dijelaskan, diantaranya :
a. Proses Orthogonalisasi Gram-Schmidt
Proses orthogonalisasi Gram-Schmidt adalah cara membentuk basis orthonormal suatu ruang vektor atau bagian ruang vektor dari himpunan vektor yang diketahui (Sidi, 2010).
b. Faktorisasi QR
Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Salah satu cara dalam memfaktorkan suatu matriks adalah dengan faktorisasi QR, di mana Q tersebut adalah sebuah matriks dengan kolom-kolom ortonormal dan R adalah sebuah matriks yang merupakan matriks segitiga atas dan dapat dibalik (Leon, 2001). c. Himpunan Orthogonal
Misalkan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V . Jika 〈 〉 bilamana , maka { } dikatakan sebagai sebuah himpunan orthogonal dari vektor-vektor (Leon, 2001).
d. Himpunan Ortonormal
Sebuah himpunan ortonormal dari vektor-vektor adalah sebuah himpunan orthogonal dari vektor-vektor satuan. Himpunan { } akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika 〈 〉 di mana
{
Jika diberikan himpunan orthogonal dari vektor-vektor taknol { }, maka dimungkinkan untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan mendefinisikan
(
‖ ‖) untuk
Sehingga himpunan { } merupakan basis ortonormal untuk V (Leon, 2001).
8 e. Solusi Kuadrat Terkecil
Merujuk pada hasil kali dalam Euclidean, jumlah ‖ ‖ dipandang sebagai suatu ukuran dari kesalahan yang terjadi akibat memandang x sebagai solusi aproksimasi dari sistem linier . Jika sistem konsisten dan x
adalah solusi eksaknya, maka kesalahannya adalah nol, karena ‖ ‖ ‖ ‖ . Secara umum, semakin besar nilai ‖ ‖ , semakin buruk nilai vektor x sebagai aproksimasi solusi sistem tersebut. Vektor semacam itu merupakan solusi kuadrat terkecil (least square solution) dari (Rianthi, 2010).
