DEKOMPOSISI
PRA
A*-ALJABAR
SKRIPSISARJANAMATEMATIKA
OLEH: RAHMIATI ABAS
BP.0810432036
JURUSAN
MATEMATIKA
FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM UNIVERSITASANDALAS
PADANG
TANDA
PERSETUJUAN
SKRIPSI
Denganinidinyatakanbahwa:
Nama : RahmiatiAbas No.BukuPokok : 0810432036 Jurusan : Matematika Bidang : Aljabar
JudulSkripsi : DekomposisiPraA*-Aljabar
telahdiujidandisetujuiskripsinyasebagaisalahsatusyaratuntukmemperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) melalui ujiansarjanayangdiadakanpadatanggal
19Juli2012berdasarkanketentuanyangberlaku.
Pembimbing, Penguji,
1. 1.
Dr.AdmiNazra Dr.LyraYulianti
NIP.197303301999031002 NIP.197507061999032003
2. 2.
NovaNolizaBakar,M.Si Zulakmal,M.Si
NIP.196311041992032002 NIP.196711081998021001 3.
Dr. Dodi Devianto
NIP.197712272000121002 Mengetahui,
UCAPAN
TERIMAKASIH
SyukurAlhamdulillahatasnikmatyangtelahAllahSWTberikansehinggasaya dapatmenyelesaikantugasakhirini. Shalawatdansalamsenantiasadicurahkan
kepadaNabiMuhammadSAWyangtelahmembawaumatnyadarialamkebodohan kealamyangpenuhdenganilmupengetahuan.
TerimakasihkepadayangtercintaAyahandaHasanBasri,IbundaJawahiryang telahmemberikanbegitubanyakDoa,dorongan,danpengorbananyangtidakakan mampudigantikanolehapapun.KepadaKakak-kakakkuNurza/Amrizal,Ahmad AfdalAbas/Khairani,danSafrizal/Yeniyangtelahmemberikanpengajarandan pertolonganyangtakterhingga.
Dosenpembimbing,BapakDr.AdmiNazra,danIbuNovaNolizaBakar,M.Si beributerimakasihatasbimbingan,sarandanwaktunyadalampenyelesaiantugas akhirini.
Dosen penguji, IbuDr.LyraYulianti, BapakZulakmal, M.SidanBapakDr.
DodiDevianto,terimakasihataspengarahandansarandalampenyelesaiantugas akhirini.
Dosen-dosen jurusan Matematika,PakSyafrizal,PakBudi,PakNarwen,
PakWerman,PakMade,PakIqbal,PakYudi,PakJon,PakEfendi,Pak Effendi,
PakMuhafzan,PakSyafruddin,BuYozza,BuAyu,BuIza,BuMonik,BuSil, BuNova,BuRiri,danBuMaiyastri.Terimakasihatasilmunyayangberharga. StafdanpegawaijurusanMatematika,MamaCun,BuEli,PakSyamsir,
BuDona,BuOpi,MamidankakDebidiperpustakaan,sertaibuCS,terimakasih karenatelahmembantuselamapenulismelaksanakanstudidijurusanMatematika UniversitasAndalas.
KeluargabesarHIMATIKA,semangatdanperjuanganbersama-samaselalu menjadikenangandikemudianhariyangtakterhingganilainya.
KeluargabesarKopmaUnand,terimakasihatasilmudanpengalaman ten-tangkoperasinya.Selalubanggabisamenjadibagiandarikalian.
Teman-teman GeCha,Rere,Elin(Dadok),TikaKhairawati(tikok),Manda,
Welly (teman seperjuangan selama pembuatan skripsi sampe nilai pun sama),
Teman-temanangkatan2008O’Laplace,Ivone,Liza,Via,Virza(komting yangrajin),Nurma,Vebby,Elza,Iin(makasihkonsumsibuatseminardan sidan-gnya),TikaYuliana(temansatukos),Eed,Ica,Mimi,Sari,KakSuyangselalu ketawa,Anggi,Oji,Ichel,Cintaalias fitri, Erik,Shandayangudahpindahke Ke-dokteranGigi,KakAdeyangselalungasihizinutangpulsa,Tere,Hasan,Dinny, Desi,Helcy,Lindo,Yuli,Opa,Ana,Mezi,Wili,Enid,Elvi,Cesa,DinaIrawati, Ririn,Meta,Rika,DinaYelni,Uthe,Wiwiek,KakNini,Eris,Sarti,Bayu,Oni, Tama,Neli,Putri,Rara,Lia,danYolwi.Terimakasihuntuksemuapengalaman yangkitalewatisejaktahunpertama.
Buat Julhami Yose, makasihatassemangatdanpangorbanannya, yangtak
bisadilupakan.Mudah-mudahancepatnyusulyaa...
Keluarga Besar KKN Lakitan,yaituLuky,Ali(aconk),Dini,Nina,Tari,
Elsa, Nila, Deny, Bang Dipo, Kak Novi, Veby, Wilda, Ade, Rano, Adi, Riko,
Bang Rehan, Rangga, terima kasih karena telah memberikan banyak kenangan
indahselamamasaKKNkita.
Untuksemuayangtidakbisadisebutkansatupersatu,terimakasihuntuk
semua kebaikan yang pernah diberikan. Semoga Allah SWT membalas dengan
kebaikanpula,aminyarabbalalamin...
KATA
PENGANTAR
Syukuralhamdulillah,segalapujiPenulishaturkanataskehadiratAllah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis
da-patmenyelesaikanskripsiinidenganjudul”DekomposisiPraA*-Aljabar”.
Sha-lawatdansalamsemogaselalutercurahkankepadaBagindaRasulullahSAWyang telahmenebarkanilmudanimandalamcahayaIslamyangbeliaubawa.Penulis menyampaikanungkapanterimakasihdanpenghargaanyangtuluskepadayang terhormat:
1. BapakDr. SyafrizalSy,sebagaiketuajurusanpadajurusanMatematika
FMIPAUniversitasAndalas.
2. BapakDr. AdmiNazradanIbuNovaNolizaBakar, M.Sisebagai
pem-bimbingyangtelahtelahbersediameluangkanwaktuuntukmemberikan bimbingan,pengarahan,dansarankepadapenulissampaiselesainyaskripsi ini.
3. IbuDr. LyraYulianti,BapakZulakmal,M.SidanBapakDr. Dodi
De-viantosebagaipengujiyangtelahmemberikanpengarahandansaranuntuk perbaikanpenulisanskripsiini.
4. BapakBudiRudianto,M.Siselakupembimbingakademisyangtelah
mem-berikannasehatdanmotivasikepadapenulis.
5. SeluruhstafpengajarjurusanMatematikaUniversitasAndalasyangtelah
banyakmemberikanilmuyangbermanfaatbagipenulisdanseluruhstaf tatausahajurusanMatematikayangtelahbanyakmembantuselamapenulis melaksanakanstudidijurusanMatematikaUniversitasAndalas.
6. Seluruh teman-teman yang telah mendukung dan memberikan semangat
kakak-kakakseniordanadik-adikjunioryangtidakbisadisebutkansatu persatudiHimpunanMahasiswaMatematika(HIMATIKA)jurusan Mate-matikaUniversitasAndalas.
7. Semuapihakyangtelahmembantupenulisyangtidakdapatdisebutkan
satupersatu.
Selesainyaskripsiinitidaklepasdarido’ayangtulus,motivasi,dorongan semangat, danbantuanyangsenantiasadiberikanolehkeduaorangtua,
Aya-handaHasanBasridanIbundaJawahir,kakandaNurza/Amrizal,AhmadAfdal Abas/Khairani,danSafrizal/Yenisertaseluruhkeluargabesarpenulis.
Penulis menyadari penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan.
Olehkarenaitu,dengankerendahanhatipenulismengharapkankritikdansaran agarkedepannyadiperolehhasilyanglebihbaik. Penulisberharapagarskripsi
inidapatbermanfaatbagisemuapihakyangmembutuhkannya.Amin.
Padang, Juli2012
=
ABSTRAK
Suatusistemmatematika(A,∧,∨,(·)∼)dinamakanPraA*-Aljabar,bila
anggota-anggotanya memenuhi sifat-sifat tertentu. Untuk selanjutnya, sistem
(A,∧,∨,(·)∼)ditulisAyangmenyatakanPraA*-Aljabar.
Misal didefinisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardenganx≤y jikadanhanyajikay∧x=x∧y=x.Selanjutnyamisalkanterdapatsuatusistem
matematika(Mx,∧,∨,∗)denganMx={s∈A|s≤x}.
MisalkanterdapathimpunanB(A)={x∈A|x∨x∼=1}yangdisebut
senter(centre)dariA,dandidefinisikanMa={s∈B(A)|s≤a}danMa∼={t∈ B(A)|t≤a∼}.
Padaskripsiinidikajisifat-sifatdariMx,yaitu:suatusistem(Mx,∧,∨,∗)
adalahPraA*-Aljabardenganunsuridentitas1,Mx={x∧s|s∈A},Mx=My
jikadanhanyajikax=y,Mx∩My =Mx∧y,(Mx)x∧y =Mx∧y,danpemetaan
αx:A→Mxadalahsebuah homomorfisma pada. Kemudianjugadikajibahwa
AmonomorfikdenganMa×Ma∼danB(A)∼Ma×Ma∼.
KataKunci:AljabarBoolean,PraA*-Aljabar,Pra A*-Homomorfisma, Dekom-posisiPraA*-Aljabar.
DAFTAR
ISI
KATAPENGANTAR v
ABSTRAK vii
DAFTARISI viii
DAFTARTABEL x
PENDAHULUAN
1
1.1 LatarBelakangMasalah . . . .1
1.2 PerumusanMasalah . . . .2
1.3 Tujuan. . . .2
1.4 SistematikaPenulisan. . . .3
LANDASAN
TEORI
4
2.1 Fungsi,FungsiSatu-satu,danFungsiPada . . . .42.2 AljabarBoolean. . . .5
2.3 PraA*-AljabardanPoset(PartiallyOrderetSet) . . . .6
DEKOMPOSISI
PRA
A*-ALJABAR
12
3.1 PraA*-AljabarMx . . . .12KESIMPULAN
23
DAFTAR
TABEL
2.3.1 OperasiBiner∧padaA . . . .8
2.3.2 OperasiBiner∨padaA . . . .8
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar
Belakang
Masalah
GagasanPraA*-Aljabardiperkenalkanpadatahun2000olehJ.Venkateswara Rao. PraA*-Aljabaradalahsuatusistemmatematika(A,∧,∨,(·)∼)dimanaA
adalahhimpunantakkosongdengan∧(meet)dan∨(join)adalahoperasibiner
dan(·)∼(tilda)adalahoperasitunggal,yangmemenuhi: x∼∼=x,x∧x=x,
x∧y=y∧x,(x∧y)∼=x∼∨y∼,x∧(y∧z)=(x∧y)∧z,x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z),
dan(x∧y)=x∧(x∼∨y),untuksetiapx,y,z,∈A.
Misalkan didefinisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardengan s≤xjikadanhanyajikas∧x=x∧s=s.Selanjtunyamisalkanterdapatsuatu
sistemmatematika(Mx,∧,∨,∗)denganMx={s∈A|s≤x}.
MisalkanterdapathimpunanB(A)={x∈A|x∨x∼=1}yangdisebut
senter(centre)dariA. Kemudian didefinisikan Ma = {s ∈ B(A)|s ≤ a}dan
Ma∼={t∈B(A)|t≤a∼}.
Padatulisaniniakandikajisifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗)dankaitan
PraA*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa× Ma∼.
1.2
Perumusan
Masalah
Berdasarkanlatarbelakangmasalahdiatas,makapermasalahanyang diba-haspadatulisaniniadalah:
1. Bagaimanasifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗)?
2. BagaimanakaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra
A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa×Ma∼?
1.3
Tujuan
Adapuntujuandaritulisaniniadalah:
1. Untukmengkajisifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗).
2. UntukmengkajikaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra
A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa× Ma∼.
1.4
Sistematika
Penulisan
PenulisanskripsiiniakandibagimenjadiempatBab. BabIPendahuluan
terdiridarilatarbelakangmasalah,perumusanmasalah,tujuan,dansistematika penulisan.BabIImerupakanlandasanteoriyangberisitentangmateridasardan penunjang,yangakandigunakandalammenyelesaikanpermasalahanpadaskripsi ini.BabIIImemuatpembahasanmengenaiPraA*-AljabarMxdandekomposisi
