DEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR

(1)

DEKOMPOSISI

PRA

A*-ALJABAR

SKRIPSISARJANAMATEMATIKA

OLEH: RAHMIATI ABAS

BP.0810432036

JURUSAN

MATEMATIKA

FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM UNIVERSITASANDALAS

PADANG

(2)

TANDA

PERSETUJUAN

SKRIPSI

Denganinidinyatakanbahwa:

Nama : RahmiatiAbas No.BukuPokok : 0810432036 Jurusan : Matematika Bidang : Aljabar

JudulSkripsi : DekomposisiPraA*-Aljabar

telahdiujidandisetujuiskripsinyasebagaisalahsatusyaratuntukmemperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) melalui ujiansarjanayangdiadakanpadatanggal

19Juli2012berdasarkanketentuanyangberlaku.

Pembimbing, Penguji,

1. 1.

Dr.AdmiNazra Dr.LyraYulianti

NIP.197303301999031002 NIP.197507061999032003

2. 2.

NovaNolizaBakar,M.Si Zulakmal,M.Si

NIP.196311041992032002 NIP.196711081998021001 3.

Dr. Dodi Devianto

NIP.197712272000121002 Mengetahui,

(3)

UCAPAN

TERIMAKASIH

SyukurAlhamdulillahatasnikmatyangtelahAllahSWTberikansehinggasaya dapatmenyelesaikantugasakhirini. Shalawatdansalamsenantiasadicurahkan

kepadaNabiMuhammadSAWyangtelahmembawaumatnyadarialamkebodohan kealamyangpenuhdenganilmupengetahuan.

TerimakasihkepadayangtercintaAyahandaHasanBasri,IbundaJawahiryang telahmemberikanbegitubanyakDoa,dorongan,danpengorbananyangtidakakan mampudigantikanolehapapun.KepadaKakak-kakakkuNurza/Amrizal,Ahmad AfdalAbas/Khairani,danSafrizal/Yeniyangtelahmemberikanpengajarandan pertolonganyangtakterhingga.

Dosenpembimbing,BapakDr.AdmiNazra,danIbuNovaNolizaBakar,M.Si beributerimakasihatasbimbingan,sarandanwaktunyadalampenyelesaiantugas akhirini.

Dosen penguji, IbuDr.LyraYulianti, BapakZulakmal, M.SidanBapakDr.

DodiDevianto,terimakasihataspengarahandansarandalampenyelesaiantugas akhirini.

Dosen-dosen jurusan Matematika,PakSyafrizal,PakBudi,PakNarwen,

PakWerman,PakMade,PakIqbal,PakYudi,PakJon,PakEfendi,Pak Eﬀendi,

PakMuhafzan,PakSyafruddin,BuYozza,BuAyu,BuIza,BuMonik,BuSil, BuNova,BuRiri,danBuMaiyastri.Terimakasihatasilmunyayangberharga. StafdanpegawaijurusanMatematika,MamaCun,BuEli,PakSyamsir,

BuDona,BuOpi,MamidankakDebidiperpustakaan,sertaibuCS,terimakasih karenatelahmembantuselamapenulismelaksanakanstudidijurusanMatematika UniversitasAndalas.

KeluargabesarHIMATIKA,semangatdanperjuanganbersama-samaselalu menjadikenangandikemudianhariyangtakterhingganilainya.

KeluargabesarKopmaUnand,terimakasihatasilmudanpengalaman ten-tangkoperasinya.Selalubanggabisamenjadibagiandarikalian.

Teman-teman GeCha,Rere,Elin(Dadok),TikaKhairawati(tikok),Manda,

Welly (teman seperjuangan selama pembuatan skripsi sampe nilai pun sama),

(4)

Teman-temanangkatan2008O’Laplace,Ivone,Liza,Via,Virza(komting yangrajin),Nurma,Vebby,Elza,Iin(makasihkonsumsibuatseminardan sidan-gnya),TikaYuliana(temansatukos),Eed,Ica,Mimi,Sari,KakSuyangselalu ketawa,Anggi,Oji,Ichel,Cintaalias ﬁtri, Erik,Shandayangudahpindahke Ke-dokteranGigi,KakAdeyangselalungasihizinutangpulsa,Tere,Hasan,Dinny, Desi,Helcy,Lindo,Yuli,Opa,Ana,Mezi,Wili,Enid,Elvi,Cesa,DinaIrawati, Ririn,Meta,Rika,DinaYelni,Uthe,Wiwiek,KakNini,Eris,Sarti,Bayu,Oni, Tama,Neli,Putri,Rara,Lia,danYolwi.Terimakasihuntuksemuapengalaman yangkitalewatisejaktahunpertama.

Buat Julhami Yose, makasihatassemangatdanpangorbanannya, yangtak

bisadilupakan.Mudah-mudahancepatnyusulyaa...

Keluarga Besar KKN Lakitan,yaituLuky,Ali(aconk),Dini,Nina,Tari,

Elsa, Nila, Deny, Bang Dipo, Kak Novi, Veby, Wilda, Ade, Rano, Adi, Riko,

Bang Rehan, Rangga, terima kasih karena telah memberikan banyak kenangan

indahselamamasaKKNkita.

Untuksemuayangtidakbisadisebutkansatupersatu,terimakasihuntuk

semua kebaikan yang pernah diberikan. Semoga Allah SWT membalas dengan

kebaikanpula,aminyarabbalalamin...

(5)

KATA

PENGANTAR

Syukuralhamdulillah,segalapujiPenulishaturkanataskehadiratAllah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis

da-patmenyelesaikanskripsiinidenganjudul”DekomposisiPraA*-Aljabar”.

Sha-lawatdansalamsemogaselalutercurahkankepadaBagindaRasulullahSAWyang telahmenebarkanilmudanimandalamcahayaIslamyangbeliaubawa.Penulis menyampaikanungkapanterimakasihdanpenghargaanyangtuluskepadayang terhormat:

1. BapakDr. SyafrizalSy,sebagaiketuajurusanpadajurusanMatematika

FMIPAUniversitasAndalas.

2. BapakDr. AdmiNazradanIbuNovaNolizaBakar, M.Sisebagai

pem-bimbingyangtelahtelahbersediameluangkanwaktuuntukmemberikan bimbingan,pengarahan,dansarankepadapenulissampaiselesainyaskripsi ini.

3. IbuDr. LyraYulianti,BapakZulakmal,M.SidanBapakDr. Dodi

De-viantosebagaipengujiyangtelahmemberikanpengarahandansaranuntuk perbaikanpenulisanskripsiini.

4. BapakBudiRudianto,M.Siselakupembimbingakademisyangtelah

mem-berikannasehatdanmotivasikepadapenulis.

5. SeluruhstafpengajarjurusanMatematikaUniversitasAndalasyangtelah

banyakmemberikanilmuyangbermanfaatbagipenulisdanseluruhstaf tatausahajurusanMatematikayangtelahbanyakmembantuselamapenulis melaksanakanstudidijurusanMatematikaUniversitasAndalas.

6. Seluruh teman-teman yang telah mendukung dan memberikan semangat

(6)

kakak-kakakseniordanadik-adikjunioryangtidakbisadisebutkansatu persatudiHimpunanMahasiswaMatematika(HIMATIKA)jurusan Mate-matikaUniversitasAndalas.

7. Semuapihakyangtelahmembantupenulisyangtidakdapatdisebutkan

satupersatu.

Selesainyaskripsiinitidaklepasdarido’ayangtulus,motivasi,dorongan semangat, danbantuanyangsenantiasadiberikanolehkeduaorangtua,

Aya-handaHasanBasridanIbundaJawahir,kakandaNurza/Amrizal,AhmadAfdal Abas/Khairani,danSafrizal/Yenisertaseluruhkeluargabesarpenulis.

Penulis menyadari penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan.

Olehkarenaitu,dengankerendahanhatipenulismengharapkankritikdansaran agarkedepannyadiperolehhasilyanglebihbaik. Penulisberharapagarskripsi

inidapatbermanfaatbagisemuapihakyangmembutuhkannya.Amin.

Padang, Juli2012

(7)

=

ABSTRAK

Suatusistemmatematika(A,∧,∨,(·)∼)dinamakanPraA*-Aljabar,bila

anggota-anggotanya memenuhi sifat-sifat tertentu. Untuk selanjutnya, sistem

(A,∧,∨,(·)∼)ditulisAyangmenyatakanPraA*-Aljabar.

Misal dideﬁnisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardenganx≤y jikadanhanyajikay∧x=x∧y=x.Selanjutnyamisalkanterdapatsuatusistem

matematika(Mx,∧,∨,∗)denganMx={s∈A|s≤x}.

MisalkanterdapathimpunanB(A)={x∈A|x∨x∼=1}yangdisebut

senter(centre)dariA,dandideﬁnisikanMa={s∈B(A)|s≤a}danMa∼={t∈ B(A)|t≤a∼}.

Padaskripsiinidikajisifat-sifatdariMx,yaitu:suatusistem(Mx,∧,∨,∗)

adalahPraA*-Aljabardenganunsuridentitas1,Mx={x∧s|s∈A},Mx=My

jikadanhanyajikax=y,Mx∩My =Mx∧y,(Mx)x∧y =Mx∧y,danpemetaan

αx:A→Mxadalahsebuah homomorﬁsma pada. Kemudianjugadikajibahwa

AmonomorﬁkdenganMa×Ma∼danB(A)∼Ma×Ma∼.

KataKunci:AljabarBoolean,PraA*-Aljabar,Pra A*-Homomorﬁsma, Dekom-posisiPraA*-Aljabar.

(8)

DAFTAR

ISI

KATAPENGANTAR v

ABSTRAK vii

DAFTARISI viii

DAFTARTABEL x

PENDAHULUAN

1

1.1 LatarBelakangMasalah . . . .1

1.2 PerumusanMasalah . . . .2

1.3 Tujuan. . . .2

1.4 SistematikaPenulisan. . . .3

LANDASAN

TEORI

4

2.1 Fungsi,FungsiSatu-satu,danFungsiPada . . . .4

2.2 AljabarBoolean. . . .5

2.3 PraA*-AljabardanPoset(PartiallyOrderetSet) . . . .6

DEKOMPOSISI

PRA

A*-ALJABAR

12

3.1 PraA*-AljabarMx . . . .12

(9)

KESIMPULAN

23

(10)

DAFTAR

TABEL

2.3.1 OperasiBiner∧padaA . . . .8

2.3.2 OperasiBiner∨padaA . . . .8

(11)

BAB

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar

Belakang

Masalah

GagasanPraA*-Aljabardiperkenalkanpadatahun2000olehJ.Venkateswara Rao. PraA*-Aljabaradalahsuatusistemmatematika(A,∧,∨,(·)∼)dimanaA

adalahhimpunantakkosongdengan∧(meet)dan∨(join)adalahoperasibiner

dan(·)∼(tilda)adalahoperasitunggal,yangmemenuhi:x∼∼=x,x_∧x=x,

x∧y=y∧x,(x∧y)∼=x∼_∨y∼,x_∧(y_∧z)=(x_∧y)_∧z,x_∧(y_∨z)=(x_∧y)_∨(x_∧z),

dan(x∧y)=x∧(x∼_∨y),untuksetiapx,y,z,_∈A.

Misalkan dideﬁnisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardengan s≤xjikadanhanyajikas∧x=x∧s=s.Selanjtunyamisalkanterdapatsuatu

sistemmatematika(Mx,∧,∨,∗)denganMx={s∈A|s≤x}.

MisalkanterdapathimpunanB(A)={x∈A|x∨x∼=1}yangdisebut

senter(centre)dariA. Kemudian dideﬁnisikan Ma = {s ∈ B(A)|s ≤ a}dan

Ma∼={t∈B(A)|t≤a∼}.

Padatulisaniniakandikajisifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗)dankaitan

(12)

PraA*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa× Ma∼.

1.2 Perumusan

Masalah

Berdasarkanlatarbelakangmasalahdiatas,makapermasalahanyang diba-haspadatulisaniniadalah:

1. Bagaimanasifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗)?

2. BagaimanakaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra

A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa×Ma∼?

1.3 Tujuan

Adapuntujuandaritulisaniniadalah:

1. Untukmengkajisifat-sifatdarisistem(Mx,∧,∨,∗).

2. UntukmengkajikaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra

A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa× Ma∼.

(13)

1.4 Sistematika

Penulisan

PenulisanskripsiiniakandibagimenjadiempatBab. BabIPendahuluan

terdiridarilatarbelakangmasalah,perumusanmasalah,tujuan,dansistematika penulisan.BabIImerupakanlandasanteoriyangberisitentangmateridasardan penunjang,yangakandigunakandalammenyelesaikanpermasalahanpadaskripsi ini.BabIIImemuatpembahasanmengenaiPraA*-AljabarMxdandekomposisi