DEKOMPOSISI
PRA
A*-ALJABAR
SKRIPSISARJANAMATEMATIKA
OLEH:
RAHMIATI ABAS
BP.0810432036
JURUSAN
MATEMATIKA
FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM
UNIVERSITASANDALAS
PADANG
TANDA
PERSETUJUAN
SKRIPSI
telahdiujidandisetujuiskripsinyasebagaisalahsatusyaratuntukmemperoleh
gelar Sarjana Sains (S.Si) melalui ujiansarjanayangdiadakanpadatanggal
19Juli2012berdasarkanketentuanyangberlaku.
Pembimbing, Penguji,
1. 1.
Dr.AdmiNazra Dr.LyraYulianti
NIP.197303301999031002 NIP.197507061999032003
2. 2.
NovaNolizaBakar,M.Si Zulakmal,M.Si
UCAPAN
TERIMAKASIH
SyukurAlhamdulillahatasnikmatyangtelahAllahSWTberikansehinggasaya dapatmenyelesaikantugasakhirini. Shalawatdansalamsenantiasadicurahkan kepadaNabiMuhammadSAWyangtelahmembawaumatnyadarialamkebodohan kealamyangpenuhdenganilmupengetahuan.
TerimakasihkepadayangtercintaAyahandaHasanBasri,IbundaJawahiryang telahmemberikanbegitubanyakDoa,dorongan,danpengorbananyangtidakakan mampudigantikanolehapapun.KepadaKakak-kakakkuNurza/Amrizal,Ahmad AfdalAbas/Khairani,danSafrizal/Yeniyangtelahmemberikanpengajarandan pertolonganyangtakterhingga.
Dosenpembimbing,BapakDr.AdmiNazra,danIbuNovaNolizaBakar,M.Si beributerimakasihatasbimbingan,sarandanwaktunyadalampenyelesaiantugas akhirini.
Dosen penguji, IbuDr.LyraYulianti, BapakZulakmal, M.SidanBapakDr.
DodiDevianto,terimakasihataspengarahandansarandalampenyelesaiantugas akhirini.
Dosen-dosen jurusan Matematika,PakSyafrizal,PakBudi,PakNarwen, PakWerman,PakMade,PakIqbal,PakYudi,PakJon,PakEfendi,Pak E endi, PakMuhafzan,PakSyafruddin,BuYozza,BuAyu,BuIza,BuMonik,BuSil, BuNova,BuRiri,danBuMaiyastri.Terimakasihatasilmunyayangberharga.
StafdanpegawaijurusanMatematika,MamaCun,BuEli,PakSyamsir,
BuDona,BuOpi,MamidankakDebidiperpustakaan,sertaibuCS,terimakasih karenatelahmembantuselamapenulismelaksanakanstudidijurusanMatematika UniversitasAndalas.
KeluargabesarHIMATIKA,semangatdanperjuanganbersama-samaselalu menjadikenangandikemudianhariyangtakterhingganilainya.
KeluargabesarKopmaUnand,terimakasihatasilmudanpengalaman ten-tangkoperasinya.Selalubanggabisamenjadibagiandarikalian.
Teman-teman GeCha,Rere,Elin(Dadok),TikaKhairawati(tikok),Manda,
Teman-temanangkatan2008O’Laplace,Ivone,Liza,Via,Virza(komting yangrajin),Nurma,Vebby,Elza,Iin(makasihkonsumsibuatseminardan sidan-gnya),TikaYuliana(temansatukos),Eed,Ica,Mimi,Sari,KakSuyangselalu ketawa,Anggi,Oji,Ichel,Cintaalias tri,Erik,Shandayangudahpindahke Ke-dokteranGigi,KakAdeyangselalungasihizinutangpulsa,Tere,Hasan,Dinny, Desi,Helcy,Lindo,Yuli,Opa,Ana,Mezi,Wili,Enid,Elvi,Cesa,DinaIrawati, Ririn,Meta,Rika,DinaYelni,Uthe,Wiwiek,KakNini,Eris,Sarti,Bayu,Oni, Tama,Neli,Putri,Rara,Lia,danYolwi.Terimakasihuntuksemuapengalaman yangkitalewatisejaktahunpertama.
Untuksemuayangtidakbisadisebutkansatupersatu,terimakasihuntuk
semua kebaikan yang pernah diberikan. Semoga Allah SWT membalas dengan kebaikanpula,aminyarabbalalamin...
KATA
PENGANTAR
Syukuralhamdulillah,segalapujiPenulishaturkanataskehadiratAllah
SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis
da-patmenyelesaikanskripsiinidenganjudul”DekomposisiPraA*-Aljabar”.
Sha-lawatdansalamsemogaselalutercurahkankepadaBagindaRasulullahSAWyang
telahmenebarkanilmudanimandalamcahayaIslamyangbeliaubawa.Penulis
menyampaikanungkapanterimakasihdanpenghargaanyangtuluskepadayang
terhormat:
1. BapakDr. SyafrizalSy,sebagaiketuajurusanpadajurusanMatematika
FMIPAUniversitasAndalas.
2. BapakDr. AdmiNazradanIbuNovaNolizaBakar, M.Sisebagai
pem-bimbingyangtelahtelahbersediameluangkanwaktuuntukmemberikan
bimbingan,pengarahan,dansarankepadapenulissampaiselesainyaskripsi
ini.
3. IbuDr. LyraYulianti,BapakZulakmal,M.SidanBapakDr. Dodi
De-viantosebagaipengujiyangtelahmemberikanpengarahandansaranuntuk
perbaikanpenulisanskripsiini.
4. BapakBudiRudianto,M.Siselakupembimbingakademisyangtelah
mem-berikannasehatdanmotivasikepadapenulis.
5. SeluruhstafpengajarjurusanMatematikaUniversitasAndalasyangtelah
banyakmemberikanilmuyangbermanfaatbagipenulisdanseluruhstaf
tatausahajurusanMatematikayangtelahbanyakmembantuselamapenulis
melaksanakanstudidijurusanMatematikaUniversitasAndalas.
6. Seluruh teman-teman yang telah mendukung dan memberikan semangat
kakak-kakakseniordanadik-adikjunioryangtidakbisadisebutkansatu
persatudiHimpunanMahasiswaMatematika(HIMATIKA)jurusan
Mate-matikaUniversitasAndalas.
7. Semuapihakyangtelahmembantupenulisyangtidakdapatdisebutkan
satupersatu.
Selesainyaskripsiinitidaklepasdarido’ayangtulus,motivasi,dorongan
semangat, danbantuanyangsenantiasadiberikanolehkeduaorangtua,
Aya-handaHasanBasridanIbundaJawahir,kakandaNurza/Amrizal,AhmadAfdal
Abas/Khairani,danSafrizal/Yenisertaseluruhkeluargabesarpenulis.
Penulis menyadari penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan.
Olehkarenaitu,dengankerendahanhatipenulismengharapkankritikdansaran
agarkedepannyadiperolehhasilyanglebihbaik. Penulisberharapagarskripsi
inidapatbermanfaatbagisemuapihakyangmembutuhkannya.Amin.
Padang, Juli2012
=
ABSTRAK
Suatusistemmatematika(A, , ,(·)∼)dinamakanPraA*-Aljabar,bila anggota-anggotanya memenuhi sifat-sifat tertentu. Untuk selanjutnya, sistem (A, , ,(·)∼)ditulisAyangmenyatakanPraA*-Aljabar.
Misal dide nisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardenganx≤y jikadanhanyajikay x=x y=x.Selanjutnyamisalkanterdapatsuatusistem matematika(Mx, , ,∗)denganMx={s ∈ A|s≤x}.
MisalkanterdapathimpunanB(A)={x ∈ A|x x∼=1}yangdisebut senter(centre)dariA,dandide nisikanMa={s ∈ B(A)|s≤a}danMa∼={t ∈
B(A)|t≤a∼}.
Padaskripsiinidikajisifat-sifatdariMx,yaitu:suatusistem(Mx, , , ∗)
adalahPraA*-Aljabardenganunsuridentitas1,Mx={x s|s ∈A},Mx=My
jikadanhanyajikax=y,Mx∩My =Mx y,(Mx)x y =Mx y,danpemetaan αx:A→Mxadalahsebuah homomor sma pada. Kemudianjugadikajibahwa
Amonomor kdenganMa×Ma∼danB(A)∼Ma×Ma∼.
DAFTAR
ISI
KATAPENGANTAR v
ABSTRAK vii
DAFTARISI viii
DAFTARTABEL x
PENDAHULUAN
1
1.1 LatarBelakangMasalah . . . .1
1.2 PerumusanMasalah . . . .2
1.3 Tujuan. . . .2
1.4 SistematikaPenulisan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
LANDASAN
TEORI
4
2.1 Fungsi,FungsiSatu-satu,danFungsiPada . . . . . . . . . . . . .42.2 AljabarBoolean. . . .5
2.3 PraA*-AljabardanPoset(PartiallyOrderetSet) . . . .6
DEKOMPOSISI
PRA
A*-ALJABAR
12
3.1 PraA*-AljabarMx . . . .12KESIMPULAN
23
DAFTAR
TABEL
2.3.1 OperasiBiner padaA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.3.2 OperasiBiner padaA . . . .8
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1
Latar
Belakang
Masalah
GagasanPraA*-Aljabardiperkenalkanpadatahun2000olehJ.Venkateswara
Rao. PraA*-Aljabaradalahsuatusistemmatematika(A, , ,(·)∼)dimanaA
adalahhimpunantakkosongdengan (meet)dan (join)adalahoperasibiner
dan(·)∼(tilda)adalahoperasitunggal,yangmemenuhi: x∼∼=x,x x=x,
x y=y x,(x y)∼=x∼ y∼,x (y z)=(x y) z,x (y z)=(x y) (x z),
dan(x y)=x (x∼ y),untuksetiapx,y,z,∈ A.
Misalkan dide nisikan sebuahrelasi”≤”padaPraA*-Aljabardengan
s≤xjikadanhanyajikas x=x s=s.Selanjtunyamisalkanterdapatsuatu
sistemmatematika(Mx, , , ∗)denganMx={s ∈ A|s≤x}.
MisalkanterdapathimpunanB(A)={x ∈ A|x x∼=1}yangdisebut
senter(centre)dariA. Kemudian dide nisikan Ma = {s ∈ B(A)|s ≤ a}dan
Ma∼={t ∈ B(A)|t≤a∼}.
Padatulisaniniakandikajisifat-sifatdarisistem(Mx, , , ∗)dankaitan
PraA*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa×
Ma∼.
1.2
Perumusan
Masalah
Berdasarkanlatarbelakangmasalahdiatas,makapermasalahanyang
diba-haspadatulisaniniadalah:
1. Bagaimanasifat-sifatdarisistem(Mx, , ,∗)?
2. BagaimanakaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra
A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa×Ma∼?
1.3
Tujuan
Adapuntujuandaritulisaniniadalah:
1. Untukmengkajisifat-sifatdarisistem(Mx, , ,∗).
2. UntukmengkajikaitanantarasuatuhimpunanAdengandekomposisiPra
A*-AljabarMa×Ma∼danB(A)dengandekomposisiPraA*-AljabarMa×
1.4
Sistematika
Penulisan
PenulisanskripsiiniakandibagimenjadiempatBab. BabIPendahuluan
terdiridarilatarbelakangmasalah,perumusanmasalah,tujuan,dansistematika
penulisan.BabIImerupakanlandasanteoriyangberisitentangmateridasardan
penunjang,yangakandigunakandalammenyelesaikanpermasalahanpadaskripsi
ini.BabIIImemuatpembahasanmengenaiPraA*-AljabarMxdandekomposisi
