CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

CATATAN KULIAH

Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif

dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

A. Diferensial

• Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model?

• Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika: Y = C(Y, T0) + I0 + G0

• Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh solusi bentuk ringkas yang eksplisit. Di sini T0 dapat

mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T0) dari fungsi C

tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial.

Solusi:

• Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total.

Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total.

• Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL

• Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x), seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x.

• Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x).

• Berdasar definisi derivatif:

Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy: dx x f dy= '( ) x y Lim x f garis kemiringan dx dy x f y x ∆ ∆ = = = = → ∆ 0 ) ( ' ) (

Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx

• Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti:

• Proses mencari diferensial (dy)

– (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx)

menjadi (dy) ketika dx →0 dx dx dy dy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

• Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau

– (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x

( )

( )

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dx dy dx dy

Diferensial dan Elastisitas Titik

• Misal Qd = f(P) (fungsi permintaan)

• Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg:

Contoh:

1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga perbandingannya adalah: P P P Q dP dQ d d d − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≡= 50 ε

(

)

( )

1 , 1 % % < > − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∆ ∆ ≡ d d d d d d d d jika inelastik jika elastik rata Rata Fungsi Magjinal Fungsi P Q dP dQ P dP Q dQ P Q ε ε ε f(x0+∆x) f(x) f(x0) x0 x1 y=f(x) x Kemiringan= f(x0+∆x)-f(x0) (x1-x0) dy dx f’(x)

B. Diferensial Total

• Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih variabel bebas.

• Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah:

Dengan notasi yang lain:

• Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas U = U (x1, x2, …, xn)

• Diferensial total dari U adalah:

• ∂U/ ∂xi adalah utilitas marjinal dari barang xi

• dxi adalah perubahan dalam konsumsi dari barang xi

• dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang dalam fungsi konsumsi.

Contoh:

1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x1, x2) =x12+ x23 + x1 x2

Dan

C. Aturan-aturan Diferensial

• Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x1,x2) caranya :

1. Cari derivatif parsial f1 dan f2 terhadap x1 dan x2

2. Substitusi f1 dan f2 dalam persamaan dy = f1.dx1 + f2.dx2

• Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial. Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x1); v = v(x2)

1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan)

2. d(c.un_{) = c.nu}n-1_{.du (Aturan Fungsi Pangkat)}

3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian)

2 2 1 1dx f dx f dy= + n n dx x U dx x U dx x U dU ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _{+ + +} = ₂ " 2 1 1 2 2 1 1 dx x y dx x y dy ∂ ∂ ∂ ∂ + = 2 1 1 1 2x x U x U + = = ∂ ∂ 1 2 2 2 2 3x x U x U + = = ∂ ∂ 2 1 2 2 1 2 1 ) (3 ) 2 ( x x dx x x dx dU = + + +

5. (Aturan Pembagian) Contoh:

1. Cari diferensial total dari ₂

2x y x z= + a. Maka: dx x y x dy x dz _{2 3} 2 2 2 1 = − +

b. Dengan Aturan diferensial:

2 v udv vdu v u d ⎟= − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y x x y x y x x y y z dx x z dy y z dz = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ =

( )

( )

3 4 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 1 x y x x x y x x x x x y x y x x x x y x x x z + − = + − = ∂ ∂ + − + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

[

]

[

]

[

]

[

]

dx x y x dy x dx x yx x dy x x yxdx dx x dy x x yxdx dx x dy x dx x x xdx y x dy dx x x x d y x y x d x x x y x d 3 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 2 4 2 4 2 2 4 1 4 4 2 2 4 1 4 ) ( ) ( 2 4 1 ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 1 2 + − = + − = − − = − − + = + − + = + − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

D. Derivatif Total

• Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan fungsi eksplisit.

• Cara mencari derivatif total dari diferensial total adalah : • Diberikan fungsi y = f (x1, x2, …, xn)

• Selanjutnya Diferensial Total dy adalah:

• Maka Derivatif Total dari y terhadap x2 didapat dengan

membagi kedua sisi dengan dx2

• INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu : derivatif total

2

dx

dy _{dan diferensial total}

2

x y ∂

∂ _{. Simbol yang terakhir} hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama. • Contoh: 1. 3 2 2 1 2 1, ) 5 3 4 (x x x u v x u v f y= = + = −

Carilah dy/du dan dy/dv ! a.

dy

=

f

x₁

dx

1

+

f

x₂

dx

2

1

.

10

.

2 1 2 1 2 1 x x x x

f

u

f

du

dx

f

du

dx

f

du

dy

+

=

+

=

b.

dy

=

f

x1

dx

1

+

f

x2

dx

2

)

12

.(

3

.

2 2 1 2 1 2 1

v

f

f

dv

dx

f

dv

dx

f

dv

dy

x x x x

−

+

=

+

=

n n n n dx f dx f dx f dy dx x y dx x y dx x y dy + + + = + + + = ... 2 2 1 1 2 2 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ " 2 2 2 1 1 2 dx dx f f dx dx f dx dy n n + + + = "

2. y= f(x,w)=3x−w2 x=g(w)=2w2 +w+4 Carilah dy/dw ! dy= f_xdx+ f_wdw 3 10 ) 2 ( ) 1 4 .( 3 + + − = + = + = w w w f dw dx f dw dy w x

E. Derivatif dari Fungsi-fungsi Implisit

• Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari fungsi implisit.

• Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti.

• Contoh fungsi implisit F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran) • Fungsi Implisit F(y, x1 …, xm) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi

eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu :

a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu Fy, F1, …, Fm and

Fy≠0

b) Jika pada titik (y0, x10, …, xm0), dapat dikonstruksi lingkungan

(neighborhood) N dari (x1 …, xm), contohnya dengan membatasi

jangkauan (range) y = f(x1 …, xm), sehingga setiap vektor (x1 …,

xm) dipetakan tepat satu nilai y.

Maka:

i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x1 …, xm) dan

ii) Masih memenuhi F(y, x1 …, xm) untuk setiap titik di N sedemikian

sehingga F ≡ 0

• Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit:

1. Untuk F(y,x)=y2_+x2 _{-9 =0 (Persamaan lingkaran),}

2 2 2 9 9 x y x y − ± = − =

Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0)

(0,∞) Æ 2 9 x y+ =+ − dan (-∞,0) Æ 2 9 x y− =− −

Derivatif dari Fungsi Implisit

Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara : 1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan 2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya

Contoh :

1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y2_+x2 _{-9 =0}

a. Diketahui fungsi eksplisitnya :

(0,∞) Æ 2 9 x y+ =+ − ₊ + ₋ = − − = − − = y x x x x x dx dy 2 2 9 ) 2 ( 9 1 2 1 dan (-∞,0) Æ 2 9 x y− =− − − = −₋ − = − − − = y x x x x x dx dy 2 2 9 ) 2 ( 9 1 2 1

b. Dengan diferensial total

dy

F

dx

F

dF

=

_x

+

_y

dx

dy

F

F

dx

dF

y x

+

=

y x y x F F dx dy dx dy F F y x y x − = − = − = + = 2 2 0

2. Jika F(z, x, y) = x2_z2 _{+ xy}2 _{– z}3 _{+ 4yz = 0, maka}

F. Statika Komparatif dari Model-model Fungsi Umum 1. Model Pasar (Market Model)

Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah:

(

)

(

,

)

( 0; 0) ) 2 ) 0 ; 0 ( , ) 1 / / 0 / / 0 0 0 < > = > < = T P s Y P d S S T P S Q D D Y P D Q

Di mana Y = Pendapatan, T0 = pajak dan P = harga

Semua turunan bersifat kontinu. Variabel Endogen : Q, P Variabel Eksogen : Y₀,T₀ 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 Q ) – , T P S( ) , T (P, Q; Y F Q ) – , Y P D( ) , T (P, Q; Y F ≡ = ≡ = 0 * 0 * 0 * 0 * dT dP , dY dP , dT dQ , dY dQ Carilah

Total derivatif nya :

0 0 0 / / 0 / / 0 0 = − + = − + Q d dT S P d S Q d dY D P d D T P Y P Atur sehingga : 0 / / 0 / / 0 0 dT S Q d P d S dY D Q d P d D T P Y P − = − − = −

Ubah dalam bentuk matriks : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 0 / / / / 0 0 1 1 0 dT dY S D Q d P d S D T Y P P y z z x z xy F F dy dz z y 4 3 2 4 2 2 2 − + + − = − =

Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya :

Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y0 dan T0 dari

matriks di atas: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − / 0 0 / / / 0 0 / / 0 0 0 1 1 0 1 1 T P P Y P P S dT Q d dT P d S D D dY Q d dY P d S D

Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers :

a. ; 0 1 1 1 0 0 / / / / / 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − dY Q d dY P d D D S D S Y P P P P Sehingga di dapat : ; ; 0 ; 0 _{/ /} / / 0 / / / 0 0 0 > − = > − = P P Y P P P Y D S D S dY Q d dan D S D dY P d b. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 / / / / / 0 0 1 1 1 dT Q d dT P d S D S D SP P P P T Sehingga didapat : 0 ; 0 _{/ /} / / 0 / / / 0 0 0 < − − = > − − = P P T P P P T D S S D dT Q d dan D S S dT P d 0 1 1 _{/ /} / / > − = − − = _{P P} P P D S S D J