CATATAN KULIAH Pertemuan VI: Aturan Derivatif, Konsep Derivatif Parsial dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

CATATAN KULIAH

Pertemuan VI: Aturan Derivatif, Konsep Derivatif

Parsial dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

REVIEW TURUNAN (DERIVATIVE)

• Diberikan fungsi y = f(x) maka turunan dari fungsi tersebut adalah :

Dalam pertemuan sebelumnya, telah dipelajari cara menentukan turunan dengan pendekatan limit, sbb:

1. Tentukan difference quotient dari fungsi dengan menggunakan persamaan :

2. Tentukan limit dari difference quotient untuk ∆x Æ 0 dengan menggunakan persamaan :

1. Dalam pertemuan ke-6 ini akan dipelajari aturan-aturan cara menentukan turunan (diferensiasi) secara praktis.

A. Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel 1. Fungsi Konstan Jika f(x) = k maka f ‘(x) = k=0 dx d 0 m 0 ) ( 0 lim ) ( ) ( lim m , Jika : Bukti f '(x) aka N f N x k k N x N f x f f '(N) k f(N) aka k f(x) N x N x = = ′ = − − = − − = = = → → x x f x x f Lim dx dy x ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( 0 x x f x x f x y ∆ − ∆ + = ∆ ∆ ( ) ( ) x x f x x f Lim dx dy x ∆ − ∆ + = → ∆ ) ( ) ( 0

2. Fungsi Pangkat (Power Function) Jika f(x) = xn _maka n = n−1 nx x dx d 3 4 4x dx dy maka , x y Jika : Contoh = =

B. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari variable yang Sama

3. Aturan Penambahan dan Pengurangan

Jika h(x) = f(x)+g(x) maka

[

f

( ) ( )

x g x

]

f

( )

x g

( )

x dx d _′ ± ′ = ± Contoh: 0 10 8 3 75 10 4 75 10 4 2 2 3 2 3 + + − = + + − = + + − = Q Q dQ dC dQ d Q dQ d Q dQ d Q dQ d dQ dC Q Q Q C 4. Aturan Perkalian Jika h(x) = f(x) g(x) maka

[

f

( ) ( )

x g x

]

g

( ) ( ) ( ) ( )

x f x f x g x dx d _′ + ′ = Contoh:

( ) (

)( )

Q dQ dR Q Q R Q Q Q Q dQ d P P dQ d Q dQ dR -Q)Q ( R -Q P PQ R 2 15 15 2 15 1 15 1 15 15 2 − = − = − = − + − = + = = = = 5. Jika f(x) = c.g(x) maka f ‘(x) = c. g‘(x) 6. Aturan Pembagian Jika h(x) = f(x)/g(x) maka

( )

_{( )}

( ) ( ) ( ) ( )

_{( )}

x g x g x f x f x g x g x f dx d 2 ′ − ′ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

Contoh:

Hubungan antara Fungsi Biaya-Marjinal dan Biaya-Rata-rata

( )

( ) ( )

( )

( )

[

]

( )

MC AC m , 0 jika 1 1 1 rata -Rata Marjinal B minimum rata -Rata Biaya Cari 2 = = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ′ = ⋅ − ′ ⋅ = = = = aka Q Q C dQ d AC MC Q Q Q C Q C Q Q Q C Q C Q Q Q C dQ d Biaya C(Q)/Q AC Biaya C'(Q) MC Total iaya C(Q) TC

C. Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi-fungsi dari Variabel yang Berbeda.

7. Aturan Rantai (Chain Rule)

( )

(

)

f

( ) ( )

y g x dx dy dy dz dx dz maka x g f z Misalkan: = , = = ′ ′ Contoh:

o Jika f(x) = [u(x)]n maka f’(x) = n.[u(x)]n-1_.u’(x) o Jika f(x) = eu(x) maka f’(x) = u’(x)eu(x)

o Jika f(x) = Ln[u(x)] maka f’(x)= u’(x)/u(x) 8. Aturan Rantai untuk multivariabel

(

)

(

)

1 0 1 1,..., , _2.. x y dy dz dx dz maka x x g f z Misalkan n dx n ∂ ∂ = = ₌

9. Aturan Fungsi Invers

unik. y nilai an menghasilk akan x nilai sembarang untuk karena inversnya fungsi dicari dapat selalu yang fungsi adalah monoton Fungsi

( )

( )

dx dy y f dy dx y f x aka x f dx dy an x f y 1 dan ) ( m x dari Naik Selalu Monoton Fungsi adalah y dimana d ), ( Misal 1 1 = ′ = = ′ = = − −

• Sifat pemetaan satu-satu adalah unik untuk fungsi monoton • Definisi fungsi:

fungsi: satu y untuk setiap x

fungsi monoton: satu y untuk setiap x dan satu x untuk setiap y (fungsi invers)

• Contoh:

Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) monoton naik

Qs = b0 + b1P Fungsi Penawaran (dimana b1 > 0) P = -b0/b1 + (1/b1)Qs Invers Fungsi Penawaran

Jika x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) monoton turun

Qd = a0 - a1P Fungsi Permintaan (dimana a1 >0) P = a0/a1 - (1/a1)Qd Invers Fungsi Permintaan

D. Deferensiasi Parsial

• Misalkan fungsi z = f(x,y), turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap x pada (x,y) adalah

• Turunan/diferensiasi parsial dari z terhadap y pada (x,y) adalah

• Interpretasi dari turunan/diferensiasi parsial

1. Fx menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG (tangent slope) yang parallel dengan bidang xz

2. Fy menyatakan ekspresi dari KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG (tangent slope) yang parallel dengan bidang yz

• Selanjutnya untuk fungsi multivariabel y= f(x₁,x₂,…,x_n)

/dP dQ /b dP/dQ b /dP dQ ) imana b ( )Q /b ( /b -b P P b b Q (Q) f P f(P) Q s s s s s -1 1 0 d 1 : Contoh • 1 1 1 1 1 0 1 0 1 = = = > + = + = = = ∆x y) f(x, y) ∆x, f(x Lim f 0 ∆x − + = → x ∆y y) f(x, ∆y) y f(x, Lim f 0 ∆y y − + = →

Maka turunan/diferensiasi parsial thd x1 adalah: 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 0 ) , , , ( ) , , , ( lim lim 1 1 f x y x x x x f x x x x f x y n n x x ≡ ∂ ∂ ≡ ∆ − ∆ + = ∆ ∆ → ∆ → ∆ … …

Dan secara umum turunan parsial thd sembarang xi adalah: 1...n i , lim 0 ∂ ≡ = ∂ ≡ ∆ ∆ → ∆ i i i x _x f y x y i • Contoh: 1. 2. y = f (x1, x2) = 3x12 + x1x2 + 4 x22 1 x f ∂ ∂ = f₁ = 6x1 + x2 2 x f ∂ ∂ = f₂ = 8x2 + x1 3. y= f(u,ν) = (u+ν) (3u+2ν)=(3u2 + u5 ν +2ν2) u f ∂ ∂ = 6u +5ν υ ∂ ∂f = 5u +4ν 4. y = f(x₁,x₂)=(2x₁+x₂)3 +(x₁+3x₂)2 1 x f ∂ ∂ = 3(2x₁+x₂)2 .2+2(x₁+3x₂).1 = 6(2 ) 2( 1 3 2) 2 2 1 x x x x + + + 2 x f ∂ ∂ = 3(2x₁ +x₂)2.1+2(x₁+3x₂).3 = 3(2x₁+x₂)2 +6(x₁+3x₂)

(

)

( )

( )

0.3 0.3 0.3 0.3 7 . 0 7 . 7 . 0 7 . 0.7 0.3 2 . 67 96 7 . 0 8 . 28 96 3 . 0 L 96K Q 1 Douglas -Cobb Produksi Fungsi − − − − = = = = = = = = + L K L K L Q MPP L K L K K Q MPP L K ∂ ∂∂ ∂ β α

E. Aplikasi pada Analisis Statis-Komparatif

Setelah memiliki pengetahuan mengenai aturan diferensiasi,

selanjutnya akan diaplikasikan untuk menganalisis: Bagaimana nilai ekuilibrium suatu variabel endogen akan berubah jika terjadi

perubahan dalam setiap variabel eksogen atau parameter. 1. Model Pasar (Market Model)

Model Pasar sederhana dengan satu komoditi:

penawaran d c dP c Q taan per b a bP a Q s d ) 0 , ( min ) 0 , ( > + − = > − =

Solusinya dengan metode matriks invers adalah:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ c a d b d b d b b d b d P Q c a b d d b P Q 1 1 1 1 1 * * * * d b c a P d b bc ad Q + + = + − = * *

Untuk mencari bagaimana perubahan yang sangat kecil dalam satu parameter akan mempengaruhi nilai P* dan Q*, kita perlu

mendiferensiasi secara parsial terhadap setiap parameter

(

)

⎥⎦=⎢_⎣⎡ ⎥_⎦⎤ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = + * * 1 1 1 1 1 P Q c a b d d b c a P Q d b C dP Q a bP Q s d

Interpretasi Geometrik dari derivatif parsial 0 < + − = ∂ ∂ d b b c Q Q S1 D P S0

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 1 0 1 2 * 2 * * * < + + − = ∂ < + + − = ∂ > + = ∂ > + = ∂ d b c a d P d b c a b P d b c P d b a P ∂ ∂ ∂ ∂

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 2 * 2 * * * > + + = ∂ < + + − = ∂ < + − = ∂ > + = ∂ d b c a b d Q d b c a d b Q d b b c Q d b d a Q ∂ ∂ ∂ ∂ 0 1 _> + = d b a P ∂ ∂ Q S D P D1

(

)

(

₊

)

2 <0 + − = d b c a d b Q ∂ ∂ Q S0 D1 D0 P Q0 Q1 ( ) ( ₊ )2 <0 + − = ∂ ∂ d b c a d P Q S0 D P S1

2. Model Pendapatan Nasional (National-income model)

Model Pendapatan Nasional dengan 3 variabel endoge, Y (Pendapatan Nasional), C (Konsumsi), dan T (Pajak):

1) t 0 0; (d MPT t tY; d T 1) b 0 0; (a MPC b T); -b(Y a C G I C Y 0 0 < < > = + = < < > = + = + + =

Solusi sistem persamaan liniernya adalah:

tb b -1 b) -d(1 ta G) t(I tb b -1 bd -a G) t)(I -b(1 tb b -1 G I bd -a Y* * * + + + + = + + + = + + + = C T

Dan diferensi parsial thd parameter G0 adalah:

3. Model Input-Output

Penyelesaian atas model input-output terbuka muncul sebagai persamaan matriks x=(I-A)-1_{.d Misalnya matrik invers (I-A)}-1 _{= [b}

ij] maka penyelesaiannya dapat ditulis sebagai:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 22 21 12 11 2 1 d d b b b x x

Tingkat perubahan nilai x thd permintaan akhir eksogen d1 dan d2 adalah: Jadi ∂x_j/∂d_k =b_jk j,k =1,2 0 1 0 1 ) 1 ( 0 1 1 * * * > + − = > + − − = > + − = bt b t G T bt b t b G C bt b G Y o o o ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 11 1 1 2 22 2 21 1 12 1 11 2 1 maka , b d / x ika d d d x d x d x d x x x j d b d b d b d b x x

F. Catatan atas Determinan Jacobian

• Gunakan Determinan Jacobian |J| untuk mengetest eksistensi dari ketergantungan fungsional antara fungsi-fungsi

Dalam bentuk umumnya adalah: 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ ... xn y ∂ ∂ 1 J = 2 2 x y ∂ ∂ 2 2 x y ∂ ∂ ... n x y ∂ ∂ ₂ 1 x y_n ∂ ∂ 2 x y_n ∂ ∂ ... n n x y ∂ ∂

• Penerapannya tidak terbata pada fungsi-fungsi linier • Jika |J| = 0 maka fungsi nonlinier atau linier adalah saling

tergantung (dependent) dan tidak ada solusi untuk sistem persamaannya.

Contoh :

1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut : Y1=2x1+3x2 Y2=4x12+12x1x2+9x22 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ 2 3 J = = 1 1 x y ∂ ∂ 2 1 x y ∂ ∂ 8x1+12x2 18x2 +12x1 = 24x1 +36x2 −(24x1 +36x2) = 0 2 1 dan y y

∴ terdapat hubungan fungsional, secara tidak linier dalam hal ini 2 1 2 y y = 2 2 1 2 2 1 1 1 x y x y x y x y J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

Latihan :

1. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :

Y1=3x12+2x22 Y2=5x1+1

2. Periksalah apakah terdapat hubungan fungsional diantara fungsi-fungsi berikut :

Y1=3x12+x2