CATATAN KULI AH
Pe r t e m u a n V I I : Kon se p Tot a l D e r iva t if
da n Aplik a sin ya pa da Kom pa r a t if St a t ik
A. D ife r e n sia l
• Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model?
• Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika: Y = C(Y, T0) + I0 + G0
• Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh solusi bentuk ringkas yang e k splisit. Di sini T0 dapat
mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T0) dari fungsi C
tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial.
Solusi:
• Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total.
Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total.
• Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL
• Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x), seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x.
• Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x).
• Berdasar definisi derivatif:
Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy:
dx x f dy= '( )
x y Lim x
f garis kemiringan dx
dy x f y
x ∆
∆ =
= =
=
→ ∆ 0
) ( ' )
Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx
• Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti:
• Proses mencari diferensial (dy)
– (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx) menjadi (dy) ketika dx →0
dx dx dy
dy ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
• Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau
– (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x
( )
( )
⎟⎠⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
dx dy dx
dy
Diferensial dan Elastisitas Titik
• Misal Qd = f(P) (fungsi permintaan)
• Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg:
Contoh:
1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga
perbandingannya adalah:
P P
P Q
dP dQ
d d
d
− − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ ≡=
50
ε
(
)
( )
1 ,
1 %
%
< >
− =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ = =
∆ ∆ ≡
d d
d d
d d
d d
jika inelastik jika
elastik
rata Rata Fungsi
Magjinal Fungsi
P Q
dP dQ
P dP
Q dQ
P Q
ε ε
ε
f(x0+∆x)
f(x)
f(x0)
x0 x1
y=f(x)
x
Kemiringan= f(x0+∆x)-f(x0)
(x1-x0)
dy
dx
B. D ife r e n sia l Tot a l
• Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih variabel bebas.
• Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah:
Dengan notasi yang lain:
• Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas U = U (x1, x2, …, xn)
• Diferensial total dari U adalah:
• ∂U/ ∂xi adalah utilitas marjinal dari barang xi
• dxi adalah perubahan dalam konsumsi dari barang xi
• dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang dalam fungsi konsumsi.
Contoh:
1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x1, x2) =x12+ x23 + x1 x2
Dan
C. At u r a n - a t u r a n D ife r e n sia l
• Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x1,x2) caranya :
1. Cari derivatif parsial f1 dan f2 terhadap x1 dan x2
2. Substitusi f1 dan f2 dalam persamaan dy = f1.dx1 + f2.dx2
• Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial. Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x1); v = v(x2)
1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan)
2. d(c.un) = c.nun-1.du (Aturan Fungsi Pangkat)
3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian)
2 2 1
1dx f dx
f dy= +
n n
dx x U dx
x U dx x U dU
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ + + +
= 2 "
2 1 1
2 2 1 1
dx x
y dx x
y dy
∂ ∂ ∂
∂
+ =
2 1 1 1
2x x
U x U
+ = = ∂ ∂
1 2 2 2 2
3x x
U x U
+ = = ∂ ∂
2 1 2 2 1 2
1 ) (3 )
2
( x x dx x x dx
5. (Aturan Pembagian)
Contoh:
1. Cari diferensial total dari
2
b. Dengan Aturan diferensial:
2
v udv vdu v
yxdx dx
x dy x x
yxdx dx
D . D e r iv a t if Tot a l
• Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan fungsi eksplisit.
• Cara mencari derivatif total dari diferensial total adalah : • Diberikan fungsi y = f (x1, x2, …, xn)
• Selanjutnya Diferensial Total dy adalah:
• Maka Derivatif Total dari y terhadap x2 didapat dengan
membagi kedua sisi dengan dx2
• INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu : derivatif total
2
dx dy
dan diferensial total
2
x y ∂
∂
. Simbol yang terakhir
hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama.
• Contoh:
1. 3
2 2
1 2
1, ) 5 3 4
(x x x u v x u v
f
y= = + = −
Carilah dy/du dan dy/dv !
a. 1 2
2
1
dx
f
dx
f
dy
=
x+
x
1
.
10
.
2 1
2 1
2 1
x x
x x
f
u
f
du
dx
f
du
dx
f
du
dy
+
=
+
=
b. 1 2
2 1
dx
f
dx
f
dy
=
x+
x
)
12
.(
3
.
22 1
2 1
2 1
v
f
f
dv
dx
f
dv
dx
f
dv
dy
x x
x x
−
+
=
+
=
n n
n n
dx f dx
f dx f dy
dx x
y dx
x y dx x
y dy
+ + +
=
+ + +
=
...
2 2 1 1
2 2 1
1 ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
"
2 2
2 1 1
2 dx
dx f f
dx dx f dx
dy n
n
+ + +
2. y= f(x,w)=3x−w2 x=g(w)=2w2 +w+4
Carilah dy/dw !
dy= fxdx+ fwdw
3 10 ) 2 ( ) 1 4 .(
3 + + − = +
=
+ =
w w
w f dw dx f dw dy
w x
E. D e r iva t if da r i Fu n gsi- fu n gsi I m plisit
• Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari fungsi implisit.
• Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti.
• Contoh fungsi implisit F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran) • Fungsi Implisit F(y, x1 …, xm) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi
eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu :
a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu Fy, F1, …, Fm and Fy≠0
b) Jika pada titik (y0, x10, …, xm0), dapat dikonstruksi lingkungan
(neighborhood) N dari (x1 …, xm), contohnya dengan membatasi
jangkauan (range) y = f(x1 …, xm), sehingga setiap vektor (x1 …,
xm) dipetakan tepat satu nilai y.
Maka:
i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x1 …, xm) dan
ii) Masih memenuhi F(y, x1 …, xm) untuk setiap titik di N sedemikian
sehingga F ≡ 0
• Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit:
1. Untuk F(y,x)=y2+x2 -9 =0 (Persamaan lingkaran),
2 2 2
9 9
x y
x y
− ± =
− =
Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0)
(0,∞) Æ 2
9 x
y+ =+ − dan
(-∞,0) Æ 2
9 x
y− =− −
Derivatif dari Fungsi Implisit
Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara : 1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan 2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya
Contoh :
1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y2+x2 -9 =0
a. Diketahui fungsi eksplisitnya :
(0,∞) Æ 2
9 x
y+ =+ −
+
+ −
= − − = − − =
y x
x x x
x dx
dy
2 2
9 ) 2 ( 9
1 2 1
dan
(-∞,0) Æ 2
9 x
y− =− −
−
− −
= − = − − −
=
y x
x x x
x dx
dy
2 2
9 ) 2 ( 9
1 2 1
b. Dengan diferensial total
dy
F
dx
F
dF
=
x+
ydx
dy
F
F
dx
dF
y x
+
=
y x y x F
F dx dy
dx dy F F
y x y x
− = − = − =
+ =
2. Jika F(z, x, y) = x2z2 + xy2 – z3 + 4yz = 0, maka
F. St a t ik a Kom pa r a t if da r i M ode l- m ode l Fu n gsi Um u m 1. Model Pasar (Market Model)
Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah:
Semua turunan bersifat kontinu. Variabel Endogen : Q, P Carilah
Total derivatif nya :
0
Atur sehingga :
0
Ubah dalam bentuk matriks :
Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya :
Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y0 dan T0 dari
matriks di atas:
⎥
Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers :
a. ;
Sehingga di dapat :
; dan D
Sehingga didapat :
