( ) Misalkan f dan g mempunyai faktor

Harjito1), R. Heri SU2), dan Karuniawati DR3) Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, S.H, Semarang 50275

Abstract. Let f,g∈K[x] be polynomials where K is a field. To determine whether two

polynomials have a common factor without doing any divisions in K[x] can be seen from its resultant, that is determinant from Sylvester matrix. Two polynomials will have a common factor if and only if its resultant is zero. If its resultant isn’t zero so two polynomials have not a common factor. Wants to be look for resultant f1,L,f_s where s≥3 in C

[

x1,L,xn

]

where C is the

set of all complex numbers. To make the easy resultant computations is used by maple 8.

Keywords: field, Sylvester matrix, resultant.

1. PENDAHULUAN

Misalkan akan dicari apakah dua polinomial f,g∈K[x] mempunyai faktor persekutuan, artinya terdapat polinomial

] [x K

h∈ dengan derajat positif yang membagi f dan g. Salah satu cara adalah dengan memfaktorkan f dan g menjadi tak tereduksi. Sayangnya, pemfaktoran mem-butuhkan proses yang lama. Metode yang lebih efisien untuk menghitung Pembagi Persekutuan Terbesar (PPT) dari f dan g adalah dengan menggunakan algoritma Euclidean. Kekurangannya adalah algorit-ma Euclidean memerlukan pembagian dalam K[x]. Oleh karena itu, akan dicari cara untuk menentukan apakah terdapat faktor persekutuan tanpa melakukan pem-bagian dalam K[x].

Resultan yang merupakan determinan dari matriks Sylvester mempunyai peranan penting dalam teori eliminasi. Dengan ban-tuan resultan dapat diketahui apakah dua polinomial atau lebih mempunyai faktor persekutuan.

2. PEMBAHASAN

Lemma 2.1

Misalkan f,g∈K[x] adalah polino-mial dengan deg(f)=l>0 dan

. 0 )

deg(g =m> Polinomial f dan g mem-punyai faktor persekutuan jika dan hanya

jika ada polinomial A,B∈K[x] sedemiki-an sehingga:

1. A dan B keduanya tidak nol.

2. deg (A) ≤m – 1 dan deg (B) ≤ l – 1. 3. Af + Bg = 0.

Bukti.

( )

⇒ Misalkan f dan g mempunyai faktor persekutuan h∈K[x]. Maka f = hf1 dan

1 hg

g = , dengan f1,g1∈K[x]. Sehingga 1

)

deg(f1 ≤l− , dan deg(g1)≤m−1. Maka

(

1

)

1. 1 1. 1 0

1f + − f g = g hf − f hg = g

Dengan demikian A = g1 dan B = – f1. Jadi, ketiga sifat dipenuhi.

( )

⇐ Misalkan A dan B memenuhi ketiga sifat di atas. Dengan bagian 1, misalkan B ≠ 0. Andaikan f dan g tidak mempunyai faktor persekutuan, maka PPTnya adalah 1, sehingga dapat ditemukan polinomial

] [ ~ , ~ _{B K x} A ∈ sedemikian sehingga . 1 ~ ~_{f +Bg =}

A Kalikan dengan B dan guna-kan Bg = – Af :

(

Af Bg

) (

B AB BA

)

f

B= ~ + ~ = ~ − ~

Karena B ≠ 0, persamaan ini menunjukkan bahwa B mempunyai derajat paling sedikit l, kontradiksi dengan bagian 2. Jadi, f dan g mempunyai faktor persekutuan dengan derajat positif. ■

Lemma 2.1 merupakan salah satu cara untuk menentukan apakah ada faktor persekutuan dari dua polinomial

] [ ,g K x

f ∈ tanpa melakukan pembagian dalam lapangan K. Akan tetapi, cara ini mungkin belum memuaskan. Dari Lemma 2.1 kemudian menimbulkan pertanyaan apakah keberadaan A dan B benar-benar diperlukan. Untuk menjawab pertanyaan keberadaan A dan B dilakukan dengan me-ngubah Af + Bg = 0 menjadi sistem persamaan linear. Tulis

1 1 0 1 1 0 − − − − + + = + + = l l m m x d d B x c c A L L _, dengan l+m koefisien : 1 0 1 0, ,cm− ,d , ,dl− c L L tidak diketahui. Selanjutnya akan dicari c_i,d_i∈K , yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga dipenuhi persamaan

Af + Bg = 0 (2.1) Sehingga secara otomatis A dan B diperlu-kan dalam lemma 1.

Untuk mendapatkan sistem persama-an linear, tulis f dan g sebagai berikut:

0 , 0 , 0 0 ≠ + + = ≠ + + = m m m l l l b x b b g a x a a f L L dengan a_i,b_i∈K . Substitusikan f, g, A, dan B ke persamaan (2.1) dan bandingkan dengan koefisien dari pangkat x, maka diperoleh sistem persamaan linear dengan

i i d

c , tidak diketahui dan kofisien a_i, b_i dalam K: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 1 = + = + + + = + − − − − − − − − d b c a d b d b c a c a d b c a l m l m m l m l l m m l M O O (2.2)

Sehingga didapat sistem persamaan linier homogen dengan l+m persamaan dan

m

l+ variabel yang tidak diketahui. Sistem persamaan linier homogen di atas mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks koefisien-nya sama dengan nol.

Definisi 2.1

Misalkan polinomial f,g∈K[x] dengan derajat positif, yaitu:

0 , 0 + + ≠ = l l lx a a a f L dan 0 , 0 + + ≠ = m m mx b b b g _L .

Maka matriks Sylvester dari f dan g terhadap x, ditulis Syl

(

f,g,x

)

adalah matriks koefisien dari sistem persamaan linier yang diberikan di persamaan (2.2). Jadi, Syl(f,g,x) adalah matriks bujur sangkar berukuran

(

l+m

) (

× l+m

)

: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , , ( b a b b a a b b a a b a b b a a b a x g f Syl m l m l m l m m l l m l L L M O M M M O M M L L O M O M M O M M M O M M O M O M M O M O L L

Resultan dari f dan g terhadap x, ditulisRes(f,g,x) adalah determinan dari matriks Sylvester. Dengan demikian,

(

( , , )

)

det ) , , ( Res f g x = Syl f g x

Dari definisi ini didapatkan sifat-sifat resultan. Selanjutnya suatu polinomial disebut polinomial integer jika semua koefisiennya integer.

Proposisi 2.1. Jika polinomial f,g∈K[x] dengan derajat positif, maka:

1. Res (f,g,x)∈K adalah polinomial integer dengan koefisien dari f dan g. 2. f dan g mempunyai faktor persekutuan

dalam K[x] jika dan hanya jika Res(f,g,x)=0.

Bukti.

Formula standar untuk determinan matriks s s× A=

( )

a_{ij 1≤i,j≤s} adalah

( )

_{1 (1) 2 (2) ( )} } ,..., 1 { daripermutasi . ) det( _{s s} s a a a Sgn A _{σ σ σ} σ σ _L

∑

=

dimana Sgn(σ) adalah +1 jika σ adalah permutasi genap dan -1 adalah permutasi koefisien dari xl + m - 1

koefisien dari xl + m – 2

koefisien dari x0

minannya merupakan polinomial integer, dan pernyataan pertama proposisi 2.3 terbukti.

Pernyataan kedua dibuktikan sebagai berikut: Res

(

f,g,x

)

=0 ⇔ matriks koefisien dari persamaan (2) mempunyai determinan nol ⇔ persamaan (2) mem-punyai solusi tidak nol. Ini ekuivalen dengan keberadaan A dan B pada lemma 1 sedemikian sehingga Af + Bg = 0, dan lemma 1 melengkapi bukti dari proposisi tersebut. Jadi, terbukti f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K[x]. ■ Suatu kesulitan menggunakan resultan adalah determinan matriks yang besar sulit dihitung. Akan tetapi, seiring dengan perkembangan teknologi, banyak software yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks yang besar sekalipun.

Untuk menghubungkan resultan de-ngan eliminasi, akan ditunjukkan dede-ngan menghitung resultan dari polinomial

2

2

2 _{− +}

=x y

f dan g = xy – 4. Dengan menyatakan f dan g sebagai polinomial dalam x dengan koefisien polinomial dalam y didapat:

(

)

16 2 . 4 0 2 4 0 0 1 , , Res 4 2 2 y y y y y x g f = − + − + − − =

Umumnya, jika f dan g adalah polinomial dalam K[x,y] dengan x mem-punyai pangkat positif, maka dapat di-hitung Res(f,g,x) dengan cara yang sama. Karena koefisiennya polinomial dalam y, proposisi 2.3 menjamin bahwa

) , , (

Res f g x adalah polinomial dalam y. Jadi, jika diberikan f,g∈K

[ ]

x,y, maka dapat digunakan resultan untuk meng-eliminasi x.

Proposisi 2.2. Jika polinomial f,g∈K[x]

dengan derajat positif, maka terdapat polinomial A,B∈K[x] sedemikian sehingga

Af + Bg = Res

(

f,g,x

)

.

Selanjutnya, koefisien A dan B adalah polinomial integer dengan koefisien dari f dan g.

Bukti.

Definisi dari resultan didasarkan pada persamaan Af + Bg = 0. Dalam bukti ini akan diperoleh metode yang sama untuk persamaan 1A~f +B~g = .

Jika Res

(

f,g,x

)

=0, pilih A = B = 0 sehingga Af + Bg = 0. Jadi diasumsikan

(

, ,

)

0.

Res f g x ≠ Karena Res

(

f,g,x

)

≠0 maka f dan g tidak mempunyai faktor persekutuan dalam k[x], atau

1 ) , ( PPT f g = sehingga .A~f +B~g =1 Misalkan 1 1 0 1 1 0 0 0 ~ ~ , 0 0 , − − − − + + = + + = ≠ + + = ≠ + + = l l m m m m m l l l x d d B x c c A b x b b g a x a a f L L L L dimana koefisien c0,L,cm−1,d0,L,dl−1

dalam K dan c0,L,cm−1,d0,L,dl−1 tidak

diketahui. Jika formula di atas disubstitusi ke 1A~f +B~g = dan dibandingkan koefisien dari derajat x, maka didapatkan sistem persamaan linear dengan ci, di tidak

diketahui dan koefisien ai, bi dalam K

sebagai berikut: 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 1 = + = + + + = + − − − − − − − − d b c a d b d b c a c a d b c a l m l m m l m l l m m l M O O (2.3)

Persamaan di atas sama dengan persamaan (2.2) kecuali di ruas sebelah kanan dari persamaan terakhir. Oleh karena itu, matriks koefisien dari persamaan di atas (2.3) adalah matriks Sylvester dari f dan g. Karena Res

(

f,g,x

)

≠0 maka persamaan (2.3) mempunyai solusi tunggal dalam lapangan K.

Sehingga,

koefisien dari xl + m - 1

koefisien dari xl + m – 2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det ) , , ( Res b a b b a a b b a a b a b b a a b a x g f m l m l m l m m l l m l L L M O M M M O M M L L O M O M M O M M M O M M O M O M M O M O L L .

Dengan cara Cramer dapat dicari ci

dan di, yaitu: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − − − 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det ) , , ( Res 1 b a b b a a b b a b a b b a b x g f c m l m l m l m m l m m L L M O M M M O M M L L O M O M M O M M M O M M O M O M M O M O L L .

Karena elemen-elemen dari determinannya adalah polinomial integer, maka

) , , ( Res integer polinomial 1 x g f ,b a c i i m− = .

Analog untuk ci dan di yang lain. Karena

, ~ 1 1 0 − − + + = m m x c c A L maka A x g f A ) , , ( Res 1 ~₌ ,

dengan A∈K[x] dan koefisien A adalah polinomial integer dalam a_i,b_i. Analog B~ dapat ditulis : B x g f B ) , , ( Res 1 ~_{= ,}

dengan B∈k[x] dan koefisien B adalah polinomial integer ai, . bi

Karena A~f +B~g=1, maka

(

f g x

)

Bg

Af + =Res , , .

Sehingga proposisi 2.4 terbukti. ■ Definisi 2.2

Misalkan diberikan polinomial ] , , , [ ,g K x1 x2 xn f ∈ L dengan derajat

positif dalam x₁ yaitu :

0 , 0 , 1 0 1 0 ≠ + + = ≠ + + = m m m l l l b x b b g a x a a f L L _{, (4)}

dimana ]ai,bi∈K[x2,L,xn , dan resultan

dari f dan g terhadap x1 didefinisikan seba-gai : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det ) , , ( Res b a b b a a b b a a b a b b a a b a x g f m l m l m l m m l l m l L L M O M M M O M M L L O M O M M O M M M O M M O M O M M O M O L L . Proposisi 2.3. Jika ]f,g∈K[x1,x2,L,xn

mempunyai derajat positif dalam x1, ma-ka :

1. Res

(

f,g,x₁

)

adalah anggota ideal eli- minasi tingkat 1= f,g ∩K

[

x₂,L,x_n

]

. 2. Res

(

f,g,x₁

)

=0 jika dan hanya jika f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K[x1,x2,L,xn] dengan derajat positif dalam x1.

Bukti.

Jika f, g ditulis dalam suku x1, maka koefisien ai, bi terletak dalam K[x₂,_L,x_n]. Karena resultan merupakan polinomial integer dalam a_i,b_i dan

[

_n

]

i i b K x x a , ∈ ₂,_L, maka

(

f,g,x

)

K

[

x , ,xn

]

Res 1 ∈ 2 L . Karena Af + Bg = Res

(

f,g,x₁

)

, dengan A dan B adalah polinomial dalam x1 yang koefisien-nya juga polinomial integer dalam

, , _i i b a maka ] , , [ ] ][ , , [ ,B K x₂ x_n x₁ K x₁ x_n A ∈ _L = _L

sehinggaAf +Bg =Res

(

f,g,x1

)

menyata-kan Res

(

f,g,x₁

)

∈ f,g . Karena

(

f,g,x

)

K

[

x , ,xn

]

Res ₁ ∈ _{2 L} dan

(

, ,

)

, , Res f g x1 ∈ f g maka m kolom l kolom m kolom l kolom

(

, ,

)

,

[

, ,

]

. Res f g x₁ ∈ f g ∩K x_{2 L} x_n

Sehingga bagian 1 dari Proposisi 2.3 terbukti.

Untuk membuktikan bagian 2 akan digunakan Proposisi 2.1 untuk men-jelaskan mengapa resultan bernilai nol jika terdapat suatu faktor persekutuan. Sebe-lumnya telah dibahas polinomial dalam satu variabel dengan koefisien dalam suatu lapangan K. Karena f dan g adalah poli-nomial dalam x1 dengan koefisien dalam

[

x xn

]

K 2,L, , maka Proposisi 2.1 berlaku untuk .f,g∈K(x₂,_L,x_n)[x₁] Dengan Proposisi 2.1 Res

(

f,g,x1

)

=0 jika dan ha-nya jika f dan g mempunyai faktor per-sekutuan dalam K

(

x₂,_L,x_n

)

[ ]

x₁ dengan derajat positif dalam x1. Selanjutnya diperoleh f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K

[

x₁,_L,x_n

]

dengan derajat positif dalam x1. Bagian 2 dari Proposisi 2.3 terbukti. ■

Dalam himpunan bilangan kompleks, dua polinomial dalam C[x] mempunyai faktor persekutuan jika dan hanya jika f dan g mempunyai akar persekutuan, sehingga diperoleh akibat dari Proposisi 2.3.

Akibat 2.1

Jika f,g∈C

[ ]

x , maka Res

(

f,g,x

)

= 0 jika dan hanya jika f dan g mempunyai akar persekutuan dalam C.

Proposisi 2.4. Misalkan

[

x x_n

]

C g f, ∈ ₁,_L, dengan , 1 0 alxl a f = +L+ a_l ≠0 dan , 1 0 bmxm b g = +L+ b_m ≠0 dengan a_l,b_m ] , , [x₂ x_n C L ∈ .

Jika Res (f,g,x₁)∈C

[

x₂,_L,x_n

]

sama dengan nol pada

(

)

1

2, , − ∈ n n C c c _L maka: 1. al = 0 atau bm = 0 pada

(

c2,L,cn

)

,

2. terdapat c1∈C sedemikian sehingga f dan g sama dengan nol pada

(

)

n n C c c1,L, ∈ . Bukti. Misalkan c=

(

c₂,_L,c_n

)

dan . ) , , , ( ) , (x1 c f x1 c2 cn f = L Akan

ditunjukkan bahwa f(x₁,c) dan g(x₁,c) mempunyai akar persekutuan ketika

0 ) (c ≠

al dan bm(c)≠0 . Untuk

membuktikan ini tulis

( )

( )

( )

( )

, ()

( )

,

( )

0 0 , ) ( , 1 0 1 1 0 1 ≠ + + = ≠ + + = c b x c b c b c x g c a x c a c a c x f m m m l l l L L _{, (2.5)}

dan h=Res(f,g,x₁) pada c. Sehingga jika dihitung determinan yang diberikan oleh h pada titik c diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

. det 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = c b c a c b c a c b c a c b c a c h l m m l M O M O M M M M O M O M (2.6) Dari persamaan (2.5), resultan dari

) , (x1 c

f dan g(x1,c) terhadap x1 adalah determinan seperti diperlihatkan pada persamaan (2.6), sehingga

Res

(

f(x₁,c),g(x₁,c),x₁

)

= h(c) = 0 Dengan Akibat 1 berarti f(x₁,c) dan

) , (x₁ c

g mempunyai akar persekutuan. ■ Teorema 2.1 (Teorema Perluasan untuk Dua Polinomial).

Misalkan I = f,g ⊂C

[

x₁,_L,x_n

]

, I1 adalah ideal eliminasi tingkat 1 dari I,

[

n

]

m

l b C x x

a , ∈ ₂,_L, seperti dalam (4) dan solusi parsial

(

c2,L,cn

)

∈V

( )

I1 . Jika

(

c₂,_L,c_n

)

∉V

(

a_l,b_m

)

, maka terdapat C

c1∈ sedemikian sehingga

(

c1,L,cn

) ( )

∈V I . Bukti.

Misalkan c=

(

c2,L,cn

)

. Dari proposisi

2.6 diketahui bahwa Res

(

f,g,x₁

)

∈I₁ sehingga resultan sama dengan nol pada solusi parsial c. Jika a0 =0 atau b0 =0

pada c, maka berdasarkan Proposisi 2.4 diperlukan keberadaan c1. Sayangnya, hipotesis pada c hanya mengijinkan

( )

c =0

a_l atau b_m

( )

c =0. Misal a_l

( )

c ≠0 dan bm

( )

c =0, maka g

(

x1,c

)

mempunyai

derajat dalam x1 kurang dari m. Dalam hal ini determinan persamaan (6) mempunyai ukuran

(

l+m

) (

× l+m

)

yang terlalu besar untuk menjadi resultan dari f

(

x₁,c

)

dan

(

x c

)

g ₁, .

Karena solusi V

(

f,g

)

bergantung pada ideal f,g , maka dapat digunakan basis yang berlainan dari ideal f,g ketika a_l

( )

c ≠0 dan b_m

( )

c =0 . Jika N sebarang integer positif, maka

(

)

[

]

( )

( )

[

]

(

)

( )

[

]

[

]

. , , , , , , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g f x x K qx p r qg rf x x K qx p g q f qx p x x K qx f qx g q pf x x K q p f x g q pf f x g f n N n N N n N N n N N = ∈ + = + = ∈ + + + = ∈ + + = ∈ + + = + L L L L (2.7) Pilih N cukup besar sehingga xNf

1

mempunyai derajat lebih besar dalam x1 daripada g. Karena koefisien awal dari

f x

g N

1

+ terhadap x1 adalah a0 dengan

( )

c ≠0

al maka terdapat c1∈C dengan

(

c c

)

V

(

f g xNf

)

1

1, ∈ , + . Dengan (2.7), ini

menyatakan

(

c₁,c

)

∈V

(

f,g

)

dan teorema terbukti.

Bukti di atas tidak berlaku jika al dan bm

bernilai nol pada solusi parsial c, sebab jika al dan bm bernilai nol pada solusi

parsial mungkin tidak dapat diperluas. ■ Himpunan semua solusi dari polinomial f = 0 dan g = 0 dinotasikan dengan V(I) dengan I = f,g .

Selanjutnya akan dibuktikan teorema perluasan untuk sebarang ideal

[

n

]

s C x x

f

f₁,_L, ⊂ ₁,_L, . Kemudian akan dibahas resultan untuk f₁,_L, f_s jika s≥3.

Misalkan u₂,_L,u_s adalah variabel baru dan bentuk f₂,_L,f_s menjadi polinomial tunggal sebagai berikut.

[

s n

]

s sf Cu u x x u f u_{2 2} +_L+ ∈ ₂,_L, , ₁,_L, , Maka f1 dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam ring yang sama, yaitu

[

u₂, ,u_s,x₁, ,x_n

]

.

C _{L L} Dengan proposisi

2.6, resultan dari f1 dan u2f2+L+usfs

terletak pada C

[

u₂,_L,u_s,x₂,_L,x_n

]

. Untuk mendapatkan polinomial dalamx2,L,xn,

resultan diperluas dalam suku-suku dari pangkat u2,L,us, sehingga ditulis

(

, ,

)

, ) , , ( Res 1 2 2+ + 1 =

∑

2 α α α x x u h x f u f u f L s s L n (2.8)

dimana uα adalah monomial s s

u uα2L α

2

dan h_α ∈C

[

x₂,_L,x_n

]

untuk semua α. Polinomial hα disebut sebagai generalisasi

resultan dari f₁,_L, f_s.

Teorema 2.2 (Teorema Perluasan) Misalkan

[

n

]

s C x x f f I = ₁,_L, ⊂ ₁,_L, dan I1 adalah ideal eliminasi tingkat 1 dari I. Untuk setiap 1≤i≤s, fi ditulis dalam bentuk

(

)

Ni n i i g x x x f = 2,L, 1 + suku dengan derajat x₁ <N_i dimana 0N_i ≥ dan g_i∈C

[

x₂,_L,x_n

]

bukan nol. Misalkan didapat solusi parsial

(

c₂,_L,c_n

)

∈V

( )

I₁. Jika

(

c2,L,cn

)

∉V

(

g1,L,gs

)

maka terdapat C c₁∈ sedemikian sehingga

(

c₁,c₂,_L,c_n

) ( )

∈V I . Bukti.

Misalkan c=

(

c₂,_L,c_n

)

.Akan dicari akar persekutuan c1 dari f1

(

x1,c

)

,L,f_s

(

x1,c

)

. Untuk kasus s = 2 telah dibahas pada teorema 9, yang juga berlaku untuk kasus s = 1, karena V

( )

f₁ =V

(

f₁, f₁

)

. Sekarang tinggal membuktikan teorema jika s≥3.

Karena c∉V

(

g₁,_L,g_s

)

, maka dapat diasumsikan bahwa g₁(c)≠0 . Misalkan

[

x xn

]

C

h_α ∈ ₂,_L, sebagai generalisasi resultan dari f1,L,fs. Jadi,

+ + =

∑

α α αu h x f u f u f , _{s s}, ) ( Res _{1 2 2 L 1} . (2.9) Akan ditunjukkan bahwa hα terletak pada ideal eliminasi tingkat 1 dari I1. Karena resultan dihitung pada ring

[

u us x xn

]

C ₂,_L, , ₁,_L, , maka sesuai dengan proposisi 6 bahwa

(

, ,

)

. Res ) (_{22 1 2 2 1} 1 Bu f u f f u f u f x Af+ +_L+ _{s s} = +_L+ _{s s} (2.10)

untuk suatu polinomial

[

u us x xn

]

C B A, ∈ ₂,_L, , ₁,_L, . Tulis

∑

= α α αu A A dan =

∑

β β βu , B B dimana

[

, ,

]

. ,B C x₁ x_n A_{β β} ∈ _L Akan dibuktikan I f f h_α ∈ ₁,_L, _s = dengan membanding-kan koefisien dari uα dalam (2.10). Karena

[

x xn

]

C

hα ∈ 2,L, maka hα ∈I1.

Untuk membandingkan koefisien, dibutuhkan penggunaan notasi monomial.

Untuk itu, jika

(

1,0, ,0

)

, ,

(

0, ,0,1

)

2 = L L es = L e maka . 2 2 2

∑

≥ = + + i i e s sf u f u f u _L i Sehingga

persamaan (2.10) dapat ditulis

. , 2 1 2 1 α α α β β β α β β β α α α α α α u f B f A f u u B f u A u h i i e i i i i e ∑ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∑ = ∑ = + ≥ ≥

Jika koefisien dari uα disamakan, maka diperoleh

∑

= + ≥ + = α β β β α α i e i i f B f A h , 2 1 .

Yang membuktikan bahwa h_α ∈I. Telah dilihat sebelumnya, ini menunjukkan bahwa hα ∈I1 untuk semua α.

Karena c∈V

( )

I1 , maka hα(c)=0 untuk semua α. Kemudian (9)

menunjuk-kan bahwa resultan

(

1, 2 2 , 1

)

Res f u f u f x

h= +_L+ _{s s} akan ber-nilai nol ketika ber-nilai c ditentukan. Jika

(

cu us

)

h , ₂,_L, merupakan polinomial yang diperoleh dalam C

[

x1,u2,L,u_s

]

, dengan mensubtitusikan c=

(

c2,L,cn

)

untuk

(

x2,L,xn

)

, maka didapat

(

c,u2, ,us

)

=0

h L . (2.11) Dibuat asumsi untuk f2 sebagai berikut:

( )

0

2 c ≠

g dan f2 mempunyai derajat dalam x1 yang lebih besar daripada

s f f₃,_L, , (2.12) Ini berarti,

(

c,u2, ,u

)

Res

(

f1

( ) ( )

x1,c,u2f2x1,c uf

( )

x1,c,x1

)

h L _s = +L+ _{s s} (2.13) Untuk membuktikannya hampir sama dengan argumen pada persamaan (2.6). Yaitu, jika dihitung determinan yang

mendefinisikan nilai

(

1, 2 2 , 1

)

Res f u f u f x

h= +_L+ _{s s} pada c, ini mengikuti bahwa h

(

c,u2,L,us

)

merupa-kan suatu determinan tertentu. Selanjutnya, determinan ini adalah resultan (2.13) yang membuktikan koefisien awal dari f1 dan

s sf u f

u_{2 2}+_L+ tidak sama dengan nol pada c. Ini benar untuk f1 karena g1

( )

c ≠0. Pandang u₂f₂+_L+u_sf_s, asumsi (2.12) menyatakan bahwa koefisien awalnya adalah u₂g₂ , dan (2.12) juga menyatakan bahwa koefisien awal tidak sama dengan nol karena g2

( )

c ≠0. Ini melengkapi bukti (2.13). Jika (2.11) dikombinasikan dengan (2.13), maka diperoleh

( )

( )

( )

(

, , , , ,

)

0. Resf₁ x₁ c u₂f₂ x₁ c +_L+u_sf_s x₁ c x₁ = Polinomial f1

(

x1,c

)

dan

(

x c

)

u f

(

x c

)

f u2 2 1, +L+ s s 1, terletak pada

[

x u us

]

C ₁, ₂,_L, , sehingga dengan proposisi 2.6 Res

(

f,g,x1

)

=0 menyatakan bahwa keduanya mempunyai faktor persekutuan F dengan derajat positif dalam x1. Karena F

membagi f1

(

x1,c

)

, maka F adalah polinomial dalam C

[ ]

x1 . Karena F

membagi u2f2

(

x1,c

)

maka

( ) (

x Ax u u

)

u f

( )

x c u f

( )

x c F 1 1, 2,L, s = 2 2 1, +L+ s s 1, (2.14) untuk suatu

[

x₁,u₂, ,u_s

]

. C A∈ _L Perbandingan koefisi-en u2,L,us berarti F membagi

(

x c

)

f

(

x c

)

f_{2 1}, ,_L, _{s 1}, .Karena F juga membagi f₁

(

x₁,c

)

maka F adalah faktor persekutuan dengan derajat positif untuk semua fi

(

x1,c

)

. Misalkan c1 adalah akar dari F (diketahui c1 ada karena semestanya bilangan kompleks). Maka c1 otomatis merupakan akar persekutuan dari semua

(

x c

)

fi 1, , yang membuktikan kebenaran

Teorema Perluasan jika (2.12) benar. Terakhir, jika (2.12) tidak benar untuk f₁,_L,f_s, maka dapat ditemukan basis baru yang membuat (2.12) terpenuhi/ bernilai benar. Ide dasarnya adalah menempatkan kembali f2 dengan

1 1

2 x f

f ₊ N _{, dimana N adalah bulat positif.}

Ternyata _{I f ,f x}N _{f , f , ,fs} 3 1 1 2 1 + L = .

Jika N cukup besar, koefisien awal dari

1 1

2 x f

f ₊ N _{adalah g1, yang diketahui tidak}

nol pada c. Buat N lebih besar bila perlu, sehingga dapat diasumsikan bahwa

1 1

2 x f

f ₊ N _{mem-punyai derajat lebih besar}

dalam x1 daripada f3,L,fs . Kemudian

argumen sebelumnya memberikan c1 yang merupakan akar persekutuan dari

( ) ( )

x c f x c x f

( ) ( )

x c f x c f

( )

x c f _{, , ,} N _{, , , , , s ,} 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 + L .

Ternyata c1 merupakan akar persekutuan untuk semua fi

(

x1,c

)

. Ini melengkapi bukti teorema perluasan. ■ 3. PENUTUP

1. Polinomial f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam K[x] jika dan hanya jikaRes(f,g,x)=0.Selanjutnya f dan g mempunyai faktor persekutuan dalam

] , , [x1 xn

K _L dengan derajat positif

. 0 ) , , ( Res f g x1 = Jika 0 ) , , (

Res f g x1 ≠ maka f dan g tidak

mempunyai faktor persekutuan dalam K[x₁,_L,x_n].

2. Untuk f1,L,fs dengan s≥3 dalam

] , , [x₁ x_n

C _L , maka pencarian resultan dengan menggunakan variabel baru

s u

u₂,_L, dan bentuk f₂,_L, f_s menjadi

polinomial tunggal . 2 2f usfs u f = +_L+ Selanjutnya, dapat digunakan resultan untuk menentukan ada tidaknya akar persekutuan dari polinomial-polinomial tersebut.

3. Jika resultan = 0 pada solusi parsial, maka solusi sistem persamaan polino-mial dapat diperoleh dengan memper-luas solusi parsial menjadi solusi leng-kap. Tetapi resultan tidak dapat men-jamin keberadaan solusi sistem per-samaan polinomial jika resultan tidak bernilai nol pada solusi parsial.

4. Untuk selanjutnya bisa dilakukan penelitian untuk mencari faktor per-sekutuan dari dua polinomial atau lebih dengan n-indeterminate setelah di-ketahui bahwa polinomial polinomial dengan n-indeterminate tersebut mempunyai faktor persekutuan. 4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, H. (1997), ‘Aljabar Linear Elementer’, Fifth edition, Alih bahasa Pantur Silaban, Ph.D dan Drs. I. Nyoman Fusila, M.Sc, Erlangga, Jakarta.

[2] Cox, D., Little, J., Shea, D.O. (1996), ‘Ideal, Varieties, and Algorithms : An Introduction to Computational Algebra Geometry and Commutative Algebra’, Second edition, Springer-Verlag, New York.

[3] Fraleigh, J.B. (1994), ‘A First Course in Abstract Algebra’, Fifth edition, Addison – Wesley Publishing

Company, Inc., US of America.

[4] Gilbert, J., Gilbert, L. (1998), ‘Element of Modern Algebra’, Second edition,