PARAMETER BILANGAN FUZZY SEGITIGA DAN PERSEPSI
JUMLAH RUTE PADA PEMBEBANAN LALU LINTAS FUZZY
Nindyo Cahyo Kresnanto
Fakultas Teknik Universitas Janabadra
Jalan Tentara Rakyat Mataram 57 Yogyakarta Telp: (0274) 543676
[email protected] [email protected]
Abstract
The phenomenon of concern in the trip assignment model is the reality encountered by the traveler who has since started from an origin to reach his destination will be available a lot of roads that form a network of roads, where roads should be selected sequentially until his destination. Finally, segments that have been passed is considered as the best route. The fact that the selection of the route the traveler will compare more routes simultaneously to make a decision.
The assumption in the conventional model is the driver in estimating and minimizing the cost of travel between origin-destination pairs are considered equal, then the estimated volume calculation procedure that weigh down each road segment based on this assumption (all-or-nothing). It is not very realistic (not mimic the real behavior), because in fact the perception of the different drivers. As a result of this assumption is used, for example for urban network conditions to the needs of a large movement, the loading will result in some over-burdened segments while other segments that are close to be completely empty. In fact among the traveler may occur a distribution of perceptions towards the cost of the segment that will form the route cost. Stochastic effects has been approached by a model Burrell (1968), using uniform distribution and normal distribution and Kusdian (2006) using the distribution varies according to the distance route.
In this paper, the traveler's perception of travel costs are considered different and the traveler cannot with certainty determine the cost of travel so that travel costs into a variable that is fuzzy. Travel costs are then approximated by a fuzzy number. So that needs to be studied parameters that form the fuzzy numbers and the number of routes that may be estimated as the nominations by the traveler.
Key Words: fuzzy trip assignment
PENDAHULUAN
Fenomena yang menjadi perhatian dalam model pembebanan lalulintas adalah kenyataan yang dihadapi para pelaku perjalanan bahwa sejak berangkat dari tempat asalnya untuk mencapai tempat yang ditujunya akan tersedia banyak ruas jalan yang membentuk jaringan, dimana ruas-ruas jalan harus dipilih secara beruntun sampai tempat tujuan dapat dicapai. Pada akhirnya ruas-ruas jalan yang terpilih dan dilalui ini disebut rute terpilih. Ilustrasi dari persoalan yang dimodelkan digambarkan pada Gambar 1.
Dalam model konvensional, semua pelaku perjalanan dianggap mempunyai asumsi yang sama dalam memperkirakan dan meminimumkan biaya perjalanan antar pasangan asal-tujuan, dan selanjutnya prosedur perhitungan perkiraan volume yang membebani setiap ruas jalan dihitung berdasarkan anggapan ini (all-or-nothing). Hal ini tidak begitu realistis, karena sebenarnya persepsi ini dapat berbeda antar pelaku perjalanan. Akibat dari anggapan yang digunakan
model all-or-nothing, misalnya untuk kondisi jaringan perkotaan dengan kebutuhan gerak yang besar, hasil perhitungan pembebanan akan menunjukan bahwa beberapa ruas terbebani secara berlebih sementara ruas-ruas lain didekatnya kosong sama sekali. Kenyataannya diantara pelaku perjalanan dapat terjadi suatu sebaran persepsi terhadap biaya ruas yang membentuk biaya rute. Efek stokastik ini telah didekati oleh model Burrell (1968), yang menggunakan pendekatan sebaran merata dan sebaran normal, dan Kusdian (2006) dengan pendekatan sebaran bervariasi sesuai dengan jarak rutenya.
Gambar 1 Sketsa persoalan yang dimodelkan
Pada makalah ini, persepsi orang terhadap biaya perjalanan dianggap berbeda dan pelaku perjalanan tidak dapat dengan pasti menentukan biaya perjalanan, sehingga biaya perjalanan menjadi suatu variabel yang bersifat fuzzy. Biaya perjalanan kemudian didekati dengan sebuah bilangan fuzzy. Bilangan fuzzy merupakan bilangan yang dapat menggambarkan sebuah nilai bilangan yang tidak selalu merupakan sebuah satu nilai yang memiliki sebuah parameter pembentuk. Dalam memilih rutenya, pelaku perjalanan juga diasumsikan akan membandingkan sejumlah set rute secara simultan. Sehingga, tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji pengaruh parameter bilangan fuzzy dan persepsi terhadap jumlah rute yang dapat diidentifikasi oleh pelaku perjalanan dalam model pembebanan lalulintas.
BIAYA PERJALANAN RUAS FUZZY
Biaya perjalanan ruas dinyatakan dalam himpunan fuzzy untuk menggambarkan dugaan pelaku perjalanan terhadap biaya tersebut. Dugaan terhadap biaya perjalanan sering dinyatakan secara liguistik sebagai: “sekitar t menit” atau “antara t1 sampai t2 menit”. Pernyataan kondisi
“sekitar”, “antara”, atau “kira-kira” dinyatakan dalam rentang nilai biaya perjalanan yang mempunyai batas bawah (lower-bound) dan batas atas (upper-bound) dan selanjutnya disebut dengan himpunan fuzzy “sekitar t menit” atau “antara t1 sampai t2 menit” atau bilangan
fuzzy. Dari berbagai macam kemungkinan tipe bilangan fuzzy, dalam makalah ini digunakan
tipe bilangan fuzzy segitiga L-R (L-R triangular fuzzy number) seperti pada Gambar 2a.
M adalah biaya aktual hasil perhitungan pemodel, L dan R didefinisikan merupakan fungsi
dari (paramater yang harus dikalibrasi) sebagai persamaan 1. Contoh jika terdapat sebuah biaya ruas fuzzy a (sekitar a) maka secara matematis dapat didefinisikan sebagai Gambar 2b.
Jaringan Jalan
Pelaku Perjalanan
Tujuan Asal
( )
~ ) ( ) ( ~ a a a a a a a x t x t x t (1) dengan: ) ( ~ a a xt = biaya ruas fuzzy ta(xa) = biaya ruas aktual
( )
~
a a a t x
= ta(xa).(1) = parameter yang harus dikalibrasi
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 L (Lower-Bound) R (Upper-Bound) M (Nilai Aktual) x (Biaya perjalanan) ) (x R M R x R L M L x (a) (b)
Gambar 2 Bilangan fuzzy segitiga L-R untuk biaya perjalanan ruas dan biaya ruas fuzzy a
JARINGAN FUZZY
Sebuah sistem jaringan yang direpresentasikan dengan sebuah graph akan terdiri atas satu himpunan vertices (node/vertex/simpul) v dan satu himpunan edges (Arcs/ruas) e. Dalam
graph terbobot ruas, maka bobot dalam ruas (dalam makalah ini berupa jarak ruas) dapat
dinyatakan dalam pedekatan fuzzy berupa bobot fuzzy (pernyataan linguistik) yang dinyatakan dengan sebuah bilangan fuzzy. Gambar 3 adalah contoh representasi sebuah sistem jaringan dalam graph dengan bobot ruas fuzzy. Fuzzy graph terdiri dari tiga buah graph yaitu
Lower-Bound-Graph (LBG); Graph aktual (AG); dan Upper-Lower-Bound-Graph (UBG).
FUZZY-SHORTEST-PATH
Proses pemilihan rute konvensional, setiap pengulangan hanya akan menghasilkan satu buah rute terbaik (shortest-path). Berbeda dengan pemilihan rute konvensional, dengan input biaya
fuzzy, proses pemilihan rute diharapkan akan menghasilkan beberapa rute yang dapat dijadikan
rute nominasi sebagai shortest-path. Sehingga dalam setiap pengulangan, algoritma pencarian harus menghasilkan lebih dari satu rute terbaik, mulai dari terbaik pertama, kedua, hingga ke
k. Algoritma pencari rute yang menghasilkan lebih dari satu rute dalam satu kali iterasi
dikenal dengan k-shortest-path. Dalam makalah ini, algoritma pencarian rute yang akan dipakai adalah algoritma Lawler (1976). Algoritma dasarnya adalah sebagai berikut:
1 0 ) ( a a x t ) 1 ).( ( a a x t ta(xa).(1) x (Biaya Ruas) D e ra ja t k e a n g g o ta a n a
Tempatkan: shortest-path dari simpul 1 ke simpul n dalam LIST sebagai satu-satunya masukan. Set m=1.
Langkah 1: (Keluaran shortest-path ke m) Jika LIST kosong, stop/selesai; tidak ada lagi path dari 1 ke n. Jika tidak, pindahkan shortest-path dalam LIST dan set sebagai Pm.
Jika m=M, stop; perhitungan selesai.
Gambar 3 Contoh representasi sebuah jaringan fuzzy dalam graph
Langkah 2: (Tambahan dari LIST) Misalnya, tanpa kehilangan keumumannya, bahwa Pm
terdiri dari arc/garis (1,2), (2,3), ..., (q-1,1), (q,n) dan bahwa Pm adalah
shortest-path dari simpul 1 ke simpul n mengacu dengan kondisi bahwa dipaksakan
termasuk arc/garis (1,2), (2,3), ..., (p-1,p), dan beberapa arc/garis tertentu dari simpul p diabaikan. (Kondisi ini disimpan bersama Pm sebagai bagian masukan
yang sama dalam LIST).
1 2 3 4 5 6 7 8 Sekitar 12' Sekitar 10' Sekitar 12' Sekitar 8' Sekitar 10' Sekitar 8' Sekitar 5' Sekitar 5' Sekitar 15' Sekitar 18' Sekitar 4' 1 2 3 4 5 6 7 8 (8,4;12;15,6) (0,7;10;13) (8,4;12;15,6) (5,6;8;10,4) (0,7;10;13) (5,6;8;10,4) (3,5;5;6,5) (3,5;5;6,5) (10,5;15;19,5) (12,6;18;23,4) (2,8;4;5,2)
Jika bilangan fuzzy berupa bilangan fuzzy segitiga dengan parameter =0,3, maka jaringan fuzzy dapat digambarkan sebagai berikut:
1 2 3 4 5 6 7 8 (...;...;15,6) (...;...;13) (...;...;15,6) (...;...;10,4) (...;...;13) (...;...;10,4) (...;...;6,5) (...;...;6,5) (...;...;19,5) (...;...;23,4) (...;...;5,2)
(a) graph fuzzy (b) graph aktual (AK)
(c) lower-bound-graph (LBG) (d) upper-bound-graph (UBG)
1 2 3 4 5 6 7 8 (8,4;...;...) (0,7;...;...) (8,4;...;...) (5,6;...;...) (0,7;...;...) (5,6;...;...) (3,5;...;...) (3,5;...;...) (10,5;...;...) (12,6;...;...) (2,8;...;...) 1 2 3 4 5 6 7 8 (...;12;...) (...;10;...) (...;12;...) (...;8;...) (...;10;...) (...;8;...) (...;5;...) (...;5;...) (...;15;...) (...;18;...) (...;4;...)
Jika p=q, terapkan metode Dijkstra untuk mencari shortest-path dari simpul 1 ke n, mengacu pada kondisi bahwa arc/garis (1,2), (2,3), ..., (p-1,p) dimasukan, dan bahwa (p,n) diabaikan, dalam penambahan arc/garis dari p diabaikan untuk
Pm. Jika ada seperti sebuah shortest-path, ditempatkan dalam LIST bersama
dengan catatan dari kondisi dari mana itu didapatkan.
Jika p>q, terapkan metode Dijkstra untuk mencari shortest-path dari simpul 1 ke n, mengacu pada setiap set kondisi sebagai berikut:
(1). Arc (1,2), (2,3), ..., (p-1,p) dimasukan dan arc (p,p+1) dikeluarkan,
dalam penambahan arc dari p dikeluarkan dari Pm.
(2). Arc (1,2), (2,3), ..., (p,p+1) dimasukan dan arc (p+1,p+2) dikeluarkan.
(q p 2) Arc (1,2), (2,3), ..., (q-2,q-1) dimasukan dan arc (q-1,q) dikeluarkan.
(q-p-2) Arc (1,2), (2,3), ..., (q 1,q) dimasukan dan arc (q,n) dikeluarkan.
Tempatkan setiap shortest-path hingga didapatkan dalam LIST, bersama dengan catatan kondisi dimana shortest-path itu diperoleh. Set m=m+1 dan kembali ke Langkah 1.
PEMBEBANAN FUZZY
Secara garis besar algoritma pembebanan fuzzy (dimodifikasi dari Ban 2004) adalah sebagai berikut:
1. Bangun Upper-Bound-Graph (UBG) G dan Lower-Bound-Graph (LBG) G . Pertama, bangun upper-bound-graph G dan lower-bound-graph G , berdasarkan
original-fuzzy-graph G (original-fuzzy-graph dengan biaya perjalanan aktual). UBG dan LBG merupakan satu set data
jaringan dengan biaya ruas adalah biaya batas atas dan biaya batas bawah dari setiap ruas.
Gambar 4(a) memperlihatkan contoh graph dengan biaya perjalanan aktual dan Gambar 4(b) memperlihatkan contoh graph dengan UBG dan LBG.
2. Cari shortest-path di UBG G . Temukan shortest-path pada UBG G . Simpan biaya perjalanan shortest-path tersebut sebagai κ. Gambar 5 menunjukkan rute p terpilih sebagai
shortest-path pada sebuah UBG. Gambar 6 memperlihatkan 3 buah biaya rute fuzzy p, q,
dan r, nilai batas-atas rute p yang merupakan shortest-path selanjutnya set sebagai κ.
3. Cari support dari FSPrs. Cari semua rute dalam LBG G yang menghubungkan titik asal
dan titik tujuan dengan biaya perjalanan lebih kecil dari κ. Simpan S sebagai himpunan dari rute-rute tersebut:
m M
m p
S 1,2,..., (2)
Dimana M adalah jumlah rute dalam S . Gambar 7 memperlihatkan LB rute-rute yang lebih kecil dari κ.
Untuk setiap
m
p dalam S , cari pm, yang merupakan counterpart dalam fuzzy graph G. Untuk semua pm membangun support dari FSPrs, Supp(FSPrs). Sehingga:
pmm M rs FSP Supp( ) 1,2,..., (3)
4. Membangun fungsi keanggotaan dari FSPrs. Pada tahap ini, akan dilakukan perhitungan tingkat keanggotaan untuk FSPrs, contoh, keanggotaan (membership) untuk setiap p
) (FSPrs
Supp terhadap FSPrs, ditunjukkan seperti FSP (pm)
rs . FSP (pm) rs dapat diperoleh dengan persamaan:
p q
FSP rs q rs p min ˆ ) ( , prs (4)Yang kemudian perlu untuk menghitung keanggotaan (membership) dari “≤” antara
m p dan n p , n = 1,2, …, M; n ≠ m.
Tingkat keanggotaan sebuah rute dalam FSPrs merupakan merupakan nilai titik potong antara garis pembentuk shortest-path fuzzy dengan garis lurus pembentuk biaya rute fuzzy yang lebih kecil dari κ pada sumbu vertikal (tingkat keanggotaan), dapat dilihat seperti pada Gambar 8.
Gambar 4 (a) graph dengan biaya ruas aktual; (b) graph dengan UBG dan LBG
(a) (b) 2 3 4 1 5 6 (...;15;...) (...;6;...) (...;15;...) (...;6;...) (...;4;...) (...;10;...) (...;4;...) 2 3 4 1 5 6 (10,5;15;19,5) (4,2;6;7,8) (10,5;15;19,5) (4,2;6;7,8) (2,8;4;5,2) (7,0;10;13) (2,8;4;5,2)
Gambar 5 Shortest-path pada UBG
Gambar 6 3 buah rute fuzzy dengan UB rute p sebagai κ
Gambar 7 LB rute q < κ merupakan anggota dari S
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 p q r l UB rute p = κ UB rute q UB rute r AK rute p AK rute q AK rute r 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 p q l UB rute p = κ UB rute q AK rute p AK rute q LB rute q p = κ = (1,2,5,6) 2 3 4 1 5 6 (...;...;19,5) (...;...;7,8) (...;...;19,5) (...;...;7,8) (...;...;5,2) (...;...;13) (...;...;5,2) = rute p (23,2) = rute q (26,0) = rute r (49,4)
Gambar 8 Tingkat keanggotaan rute q pada FSPrs
Proses selanjutnya adalah membebankan sejumlah arus Tid ke dalam rute-rute terpilih
bedasarkan nilai keanggotaan masing rute dalam himpunan shortest-path (himpunan ini adalah merupakan bilangan fuzzy rute terbaik pertama). Dengan arti lain bahwa tiap rute akan dicari nilai keanggotaannya kebilangan fuzzy rute terbaik pertama (rute dengan nilai upper-bound terkecil). Setelah nilai keanggotaan masing-masing rute didapatkan, arus Tid akan disebarkan
ketiap rute dengan model logit berdasarkan nilai keanggotaannya dengan metode logit seperti
Persamaan 5.
k rs k rs k id k id FSP FSP T V 1 )) ( exp( )) ( exp( . (5) dimana k idV = volume/arus dari zona asal i ke zona tujuan d melalui rute k id
T = jumlah pergerakan antara zona asal i ke zona tujuan d
)
( rs
k FSP
= tingkat keanggotan rute k terhadap himpunan shortest-path
UJI COBA MODEL
Uji coba ini ditujukan untuk mencari lebih dari satu alternatif rute dari pasangan zona asal tujuan (implementasi fuzzy-shortest-path), memperlihatkan proses pencarian banyak rute (K rute) dalam satu iterasi pemilihan rute. Selanjutnya setiap rute terpilih akan dibebankan sejumlah arus yang melintas dari zona asal ke zona tujuan berdasarkan tingkat keanggotaannya terhadap himpunan shortest-path (FSPrs).
Sistem zona dan jaringan jalan yang akan digunakan adalah 1 zona asal dan 1 zona tujuan, 12 simpul dan 17 buah ruas jalan satu arah (Gambar 9). Sistem zona dan jaringan data buatan digunakan untuk melihat pola sebaran dalam pembebanan lalulintas dengan sistem fuzzy pada beberapa kondisi parameter yang berbeda.
1 0,0 p = FSPrs q l UB rute p = κ UB rute q AK rute p AK rute q LB rute q Tingkat keanggotaan rute q pada FSPrs
Gambar 9 Sistem zona dan jaringan data buatan sederhana 1 (Sumber: Bell 1997)
Matriks asal-tujuan (MAT) antar zona (Tid) yang digunakan seperti pada Tabel 1. Tabel 1 MAT data buatan jaringan sederhana 1
Zona 1 2 Oi
1 0 1000 1000
2 0 0 0
Dd 0 1000 1000
Hasil uji coba dengan jaringan sederhana 1 dengan variasi parameter dari 0,0 sampai dengan 0,5 dengan interval 0,1 dapat dilihat pada Tabel 2. Dengan =0,0 hasil pembebanan sama dengan hasil AON karena tidak ada keraguan pelaku perjalanan terhadap biaya perjalanan. Dengan >0,0 terlihat bahwa mulai didapatkan rute-rute lain sesuai dengan tingkat keanggotaannya. Semakin besar nilai volume yang dibebankan semakin tersebar merata sesuai dengan tingkat keanggotaan masing-masing rute. Semakin besar nilai volume yang dibebankan akan semakin sama untuk setiap rute. Akan dicapai suatu keadaan stabil pada nilai tertentu (Gambar 10).
Hasil rekapitulasi uji coba metode pembebanan fuzzy pada jaringan sederhana 1 dengan variasi dan K dapat dilihat pada Tabel 3 dan Gambar 10.
Tabel 2 Hasil pembebanan fuzzy dengan beberapa variasi nilai
Volume hasil pembebanan dan K Ruas yang
dilewati rute Tingkat kenggaotaan rute = 0,0 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: - Rute 3: - Rute 1: 1 Rute 2: 0 Rute 3: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 23 17 18 19 16 22 14 17 13 24 20 26 19 7 18 17 Tujuan Asal 3 Nomor Node Pusat Zona 12 Biaya Ruas
Volume hasil pembebanan dan K Ruas yang dilewati rute Tingkat kenggaotaan rute = 0,1 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: A-1-5-9-10-11-12-B Rute 3: A-1-5-6-10-11-12-B Rute 1: 1 Rute 2: 0,8537 Rute 3: 0,7115 = 0,2 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: A-1-5-9-10-11-12-B Rute 3: A-1-5-6-10-11-12-B Rute 1: 1 Rute 2: 0,9268 Rute 3: 0,8558 = 0,3 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: A-1-5-9-10-11-12-B Rute 3: A-1-5-6-10-11-12-B Rute 1: 1 Rute 2: 0,9512 Rute 3: 0,9038 = 0,4 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: A-1-5-9-10-11-12-B Rute 3: A-1-5-6-10-11-12-B Rute 1: 1 Rute 2: 0,9634 Rute 3: 0,9279 = 0,5 K=3 Rute 1: A-1-5-6-7-8-12-B Rute 2: A-1-5-9-10-11-12-B Rute 3: A-1-5-6-10-11-12-B Rute 1: 1 Rute 2: 0,9707 Rute 3: 0,9423
Tabel 3 Rekapitulasi hasil uji coba pembebanan fuzzy dengan variasi dan K
Rute Nilai 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Rute 1 1 1 1 1 1 1 Rute 2 0 0,8537 0,9268 0,9512 0,9634 0,9707 Rute 3 0 0,7115 0,8558 0,9038 0,9279 0,9423 Rute 4 0 0,6651 0,8325 0,8884 0,9163 0,933 Rute 5 0 0,5283 0,7642 0,8428 0,8821 0,9057
Gambar 10 Nilai tingkat keanggotaan vs jumlah rute dan nilai
KESIMPULAN
Pembebanan dengan menggunakan metode ini dikontrol dengan 2 paramater utama, parameter bilangan fuzzy () untuk biaya ruasnya dan parameter jumlah rute (K) yang mungkin/bisa dipertimbangkan oleh pelaku perjalanan. Semakin besar nilai maka semakin besar kemungkinan menghasilkan banyak rute pada proses pembebanannya. Jumlah rute yang terpilih dibatasi oleh parameter K. Semakin besar K, asumsi yang digunakan adalah semakin banyak rute yang dapat dibandingkan oleh pelaku perjalanan dalam memilih rutenya.
PUSTAKA
Ban, X., Liu, H.X., Hu, B., He, R., dan Ran, B. 2004. Traffic Assignment Model With Fuzzy Travel Time Perceptions. 83rd Annual Meeting of the Transportation Research Board. Bell, M.G.H., dan Iida, Y. 1997. Transportation Network Analysis. John Wiley & Sons Ltd,
Baffins Lane, Chicchester, England.
Burrell, J.E. 1968. Multiple Route Assignment and Its Application to Capacity Restraints.
Proceedings of the 4th International Symposium on the Theory of Traffic Flow, Karlsruhe, 210219.
Inokuchi, H., dan Kawakami, S. 2002. Development of the Fuzzy Traffic Assignment Model. http://www.trans.civil.kansai-u.ac.jp/inokuchi/study/SCIS2002/153.pdf. Download
(diturunkan/diunduh) pada 26 Maret 2006.
Kresnanto, N.C., Tamin, O.Z., dan Frazila, R.B. 2008. Path Finding Algorithm on Fuzzy Travel Cost Condition. International Journal of Logistic and Transport, Volume 2 - Number 2, October 2008. The Chartered Institute of Logistics & Transport, Thailand. Kresnanto, N. C., Tamin, O.Z., dan Frazila, R.B. 2008. Fuzzy Travel Cost in Trip Assignment.
Asia Pacific Conference on Art Science Engineering Technology (ASPAC on ASET),
Juni, Solo, Indonesia.
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 00 01 02 03 04 05 Ti ng ka t Ke ang got aa n Parameter Rute 1 Rute 2 Rute 3 Rute 4 Rute 5
Kresnanto, N.C. Tamin, O.Z., dan Frazila, R.B. 2008. Pengembangan Algoritma Pencarian Rute dan Pembebanan Lalu Lintas Fuzzy. Prosiding Simposium FSTPT XI, Universitas Diponegoro, Semarang, Indonesia.
Kresnanto, N.C., dan Tamin, O.Z. 2007. Biaya Perjalanan Fuzzy Untuk Pembebanan Lalu Lintas. Jurnal FSTPT X, Universitas Tarumanegara, Jakarta, Indonesia.
Kresnanto, N.C., dan Tamin, O.Z. 2006. Kajian Model Pembebanan Jaringan Dengan Fuzzy Sistem. Jurnal FSTPT IX, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia.
Kusdian, R.D. 2006. Model Stokastik Untuk Pembebanan Lalulintas Banyak Rute Dengan
Mempertimbangkan Persepsi Biaya Perjalanan. Desertasi FTSL, Institut Teknologi
Bandung, Bandung, Indonesia.
Lawler, E.L. 1976. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Holt, Rinehart and Winston, United States of America.
Tamin, O.Z. 2008. Perencanaan, Pemodelan, dan Pemodelan Transportasi: Teori, Contoh
Soal, dan Aplikasi. Penerbit ITB, Bandung, Indonesia.
Tamin, O.Z. .2000. Perencanaan dan Pemodelan Transportasi – Edisi Kedua. Penerbit ITB, Bandung, Indonesia.
