ANALISIS VARIABEL KOMPLEK
ANALISIS VARIABEL KOMPLEK
kg kg
O l e h
O l e h
Dwi Purnomo
Dwi Purnomo
Oleh
Oleh
Mahasiswa Program Studi
Mahasiswa Program Studi
Pendidikan Matematika 2009
Pendidikan Matematika 2009
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
IKIP BUDI UTOMO MALANG
IKIP BUDI UTOMO MALANG
TAHUN 2012
TAHUN 2012
DAFTAR ISI DAFTAR ISI
Halaman Halaman Bab I Bab I Bab II Bab II Bab III Bab III Bab IV Bab IV Bab V Bab V Bab VI Bab VI Halaman 1 Halaman 1
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo iiiiii
BILANGAN KOMPLEK
BILANGAN KOMPLEK
Sistem Bilangan Real (R) Sistem Bilangan Real (R)
Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan d
pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut.alam daftar berikut.
1.
1. Bilangan Bilangan asli asli 1, 1, 2,2, 3, 4,3, 4,.. .. , Juga disebut, Juga disebut bilangan bilangan bulatbulat positip, positip, pertama pertama kalikali digunakan dalam
digunakan dalam menghitung.menghitung. SimbolSimbol bervariasi bervariasi dengan waktu,dengan waktu, misalnyamisalnya yangyang digunakan
digunakan bilangan bilangan Romawi I, IIRomawi I, II, III, IV., III, IV. .. ., jika., jika a dan b adalaha dan b adalah bilangan bilangan asliasli,, jumlah
jumlah a a ++ b b dandan perkalian a. perkalian a. b, b, (a) (a) (( b) atau b) atau abab juga juga disebut disebut bilangan bilangan asli. asli. UntukUntuk alasan ini
alasan ini himpunanhimpunan bilangan bilangan asliasli dikatakandikatakan tertutuptertutup di bawah operasidi bawah operasi penjumlaha penjumlahann dan perkalian
dan perkalian atauatau untuk memenuhi sifatuntuk memenuhi sifat penutupan penutupan terhadapterhadap operasi ini.operasi ini.
2.
2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkink
masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperan solusi dari persamaan sepertiti x + b = a. dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada x + b = a. dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x = a-b operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x = a-b
himpunan bilangan bulat
himpunan bilangan bulat positip, positip, negatip negatip dandan nolnol disebutdisebut himpunanhimpunan bilangan bilangan bulatbulat dan
dan tertutup di bawahtertutup di bawah operasi-opeoperasi-operasi rasi penjumlahanpenjumlahan, perkalian,, perkalian,dan pengurangan.dan pengurangan. 3.
3. Bilangan rasional danBilangan rasional dan pecahan pecahan sepertiseperti --
, , --
.. .. .. munculmuncul untuk memungkinkanuntuk memungkinkan persamaapersamaann solusi sepertisolusi seperti bx bx = a= a untuk semua bilangan bulatuntuk semua bilangan bulat a dan ba dan b di manadi mana
b≠0
b≠0
ini mengarah keini mengarah ke operasioperasi divisi ataudivisi atau inversinvers perkalian, perkalian, dan kita tulis dengandan kita tulis dengan x = a/b atau
x = a/b atau a+b [disebut hasil baga+b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adai a dan b] di mana a adalahlah pembilang da pembilang dann b adalah b adalah penyebut. Himpunan bilangan
penyebut. Himpunan bilangan bulatbulat adalah bagianadalah bagian atauatau subset darisubset dari bilangan rasional bilangan rasional,, karena
karena bilangan bulat bilangan bulat sesuai dengansesuai dengan bilangan rasiona bilangan rasionall a / ba / b dimanadimana b b = = 1. 1. HimpunanHimpunan bilangan
bilangan rasionalrasional tertutup di bawahtertutup di bawah operasi-operasi penjumlahanoperasi-operasi penjumlahan, pengurangan,, pengurangan,
perkalian,
perkalian, dan pembagiandan pembagian, selama, selama pembagian de pembagian dengan nolngan nol tidak ttidak termasukermasuk.. 4.
4. Bilangan irasional sepertiBilangan irasional seperti
√ √
=1.41423. . . dan =1.41423. . . dan
= 3. 14159. . .adalah bilangan = 3. 14159. . .adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat danadalah bilangan bulat dan
b≠0
b≠0
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan ril. diasumsikan bahwa
ril. diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui siswa sudah mengetahui dengan berbagai odengan berbagai operasi padaperasi pada bilangan real.
Representasi Bilangan Real
Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1 titik yang sesuai dengan nol disebut asal
√
-
atau 1,5
√
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Gbr.1.1sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu bilangan real. jika titik A sesuai dengan bilangan real yang terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan menulis masing-masing a > b atau b < a.
Halaman 2
Susunan dari nilai-nilai x termaksud a < x <b disebut interval terbuka,sumbu yang asli ketika
,yang mana juga termaksud nilai akhir a dan, disebut interval tertutup berarti symbol x,yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari nilai–
nilai asli ,yang disebut variabel asli.Nilai mutlak dari sebuah bilangan asli a , dinotasikan oleh
||
, yang sama untuk a jika a > 0,,untuk–a’
adalah a < 0 dan untuk 0 jika a = 0. Jarak antara dua titik a dan b disumbu yang asli adalah||
.Sistem Bilangan Komplek (C)
Tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan
untuk memberikan solusi–
solusi untuk ini dan persamaan–
persamaan yang samaPersamaan Diferensial:Dwi Purnomo v
susunan dari bilangan komplek telah di perkenalkan. Kita dapat mengangap sebuah bilangan komplek yang mana dengan bentuk a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i ,yang mana disebut bilangan imajiner ,mempunyai kelengkapan
z = a + bi , kemudian a disebut bilangan asli dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari z dan didenotasikan oleh Re*+
dan lm*+
berturut-turut, symbol z,yang mana dapat berdiri untuk semua susunan bilangan-bilangan komplek ,disebut variabel komplek.Dua bilangan komplek a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali
ditunjukan bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut.Jika a = 0 ,bilangan komplek 0 + bi atau disebut bilangan imajiner asli.
Konjuget komplek ,atau konjuget singkat , dari sebuah bilangan komplek a + bi adalah a-bi . Konjuget komplek dari sebuah bilangan komplek z sering diindikasikan oleh
atau z .Operasi dasar pada bilangan Komplek
Operasi yang ditunjukan dengan bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti aljabar dari bilangan
–
bilangan asli ,menganti
oleh -1 ketika ini terjadi .1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian
4. Pembagian
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak atau modulus dari sebuah bilangan komplek
adalah defenisinya adalah sebagai||√
Contoh:
||
√ √
Jika
,….,
adalah bilangan komplek,mengikuti sifat-sifat berikut 1.|
|
=|
||
|
atau|
| |
||
||
|
2.
=
jika
3.|
| |
| |
|
atau|
||
||
|
|
|
4.|
| |
| |
|
atau|
| |
| |
|
Halaman 3DASAR SISTEM AXIOMETIC DALAM ANGKA-ANGKA YANG KOMPLEKS
Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( a,b) dari bilangan riil a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan angka-angka rii l.
a. Persamaan (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a = c, b = d b. Penjumlahan (a,b) + (c,d) = (a+ c, b+ d)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo vii
m(a, b) = (ma, mb)
Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a,b) = a ( 1,0)+ b ( 0,1) dan kita berhubungan dengan ini a + bi di mana lambang untuk ( 0,1) dan mempunyai i 2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1) dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan riil 1. Pasangan yang diinginkan ( 0,0) sesuai dengan bilangan riil 0.
Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1, z2, z3, bagian dari S
bilangan kompleks :
1. z1 + z2 dan z1z2tergolong S Hukum Tertutupan
2. z1 + z2 = z2 +z1 Hukum Komutatif Penjumlahaan
3. z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3 Hukum Asociative Penjumlahaan
4. z1z2 = z2z1 Hukum Komutatif Perkalian
5. z1 (z2z3) = (z1z2) z3 Hukum Asosiatif Perkalian
6. z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 Hukum Penyebaran
7. z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah terpanggil identitas
berkenaan dengan tambahan, 1 adalah terpanggil identitas berkenaan dengan perkalian.
8. Untuk apa pun bilangan kompleks z1 ada z bilanganunik dalam S seperti z +
z1 = 0; z adalah terpilih searah z1untuk penjumlahan yangditunjukan oleh
–
z1.
9. Untuk apa pun z1 0 ada jumlah anuique dalam S seperti z1z = zz1= 1;
z adalah terpilih berlawanan z1 berkenaan dengan perkalian dan ditunjukan
oleh z1 -1 atau 1/z1.
.
Penyajian Grafis Dari Bilangan Kompleks
Jika perbandingan riil dipilih pada dua bagian tegak lurus X'OX dan Y'OY yang disebut x dan y bagian berturut-turut seperti 1-2, maka kita dapat menempatkan titik manapun, di dalam bidang yang ditentukan oleh bentuk ini, dengan penghembus yang ditentukan dari bilangan riil
(x,y) segi-empat yang disebut koordinat titik. Contoh-contoh lokasi titik seperti itu diindikasikan oleh P, Q, R, S and T dalam Fig. 1
–
2.Karena suatu bilangan kompleks x + iy dapat dianggap sebagai suatu pasangan berurut bilangan real, maka kita dapat menjumlahkan angka-angka yang
ditunjukan oleh xy yang terhubung pada bidang kompleks atau argand diagram. Bilangan kompleks yang diwakili oleh P, sebagai contoh, kemudian dapat dibaca sebagi ( 3, 4) atau 3+ 4i. Bagi setiap bilangan kompleks disana bersesuaian atau berpasangan satu-satu pada titik didalam bidang, dan sebaliknya bagi
masing-masing titik didalam bidang disana bersesuaian satu-satu pada satu bilangan kompleks. Oleh karena itu kita sering mengacu pada bilangan kompleks z sebagai titik z. Kadang-kadang kita melihat x dan y tampak khayal dan riil yang berturut-turut pada bidang yang kompleks ketika z dalam bidang. Jarak antar dua bilangan z1= x1+ iy1 dan z2= x2 + iy2 didalam bidang yang kompleks diberi oleh | z1- z2|=
2 2 1 2 2 1 x y y x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo ix
Halaman 4
Kadang-kadang kita menunjuk sumbu x dan y sebagai sumbu real dan imajiner masing-masing untuk bidang kompleks sebagai bidang z. Jarak antara dua titik
1 1 1 x iy
z
dan z 2
x2
iy2 pada bidang kompleks ditentukan oleh2 2 1 2 2 1 2 1 z ( x x ) ( y y ) z
. 3 4 2 1 X ’ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 r(2,5,0) P(3,4) Q(-3,3) S(2,-2) R(-2.5,-1.5) Fig. 1-2 YBENTUK POLAR DARI BILANGAN KOMPLEKS
Jika P adalah titik pada bidang kompleks sama dengan bilangan kompleks (x, y ) atau x + iy, maka kita lihat dari Gambar. 1-3 bahwa
cos r x
, y
r sin Y P(x,y) r
y X’
0 x XY’
(Gambar. 1-3)Dimana r
x2
y2
x
iy disebut nilai modulus atau nilai mutlak dari1
iy x
z
[dinotasikan dengan z atau z ]; dan , disebut amplitude atauargument(penjelasan) dari z
x
iy[dinotasikan dengan arg z ], adalah sudut yang membuat garis OP dengan sumbu x positif.Oleh karena itu,
) sin (cos 1 r i iy x z
Yang disebut bentuk polar dari bilangan kompleks, r dan
θ
disebut koordinat polar( kutub). Kadang-kadang mudah untuk menulis singkatan cisθ
untuk sin cos
i .Untuk setiap bilangan kompleks z
≠ 0
terdapat hanya satu nilai yang sesuaidengan θ
untuk 0
<2π.
Namun, interval lain dari panjang2π
, misalnya -π
<θ
π, dapat digunakan.
Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih dahulu, disebut jarak utama, dan nilaiθ
disebut nilai utamanya.THEOREMA DE MOIVRE'S
Jika z 1
x1
iy1
r 1(cos 1
isin 1)dan z 2
x2
iy2
r 2(cos 2
isin 2) kita dapat menunjukkan pada [ lihat halaman 19]Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xi )} sin( ) {cos( )} sin( ) {cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
i r r z z i r r z zSebuah pernyataan dari (2) menyebabkan
)} ... sin( ) ... {cos( ... ... 1 2 1 2 1 2 2 1 z z n r r r n n i n z
dan jika z 1
z 2
...
z n
z ini menjadi) sin (cos )} sin (cos {r i r n i n z n
n
n
Yang sering disebut Teorema De Moivre AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS
Sejumlah w disebut akar n dari bilangan kompleks z jika wn=z, dan kita tulis w=z 1/n. Dari teorema De Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif,
n n i r z 1/
{ (cos
sin )}1/
n k i n k r 1/n cos 2 sin 2 k = 0,1,2 , ..., n-1Dari yang berikut ini bahwa n adalah nilai yang berbeda untuk z 1/n, yaitu n akar
yg berbeda dari z. asalkan z ≠ 0.
Halaman 5
RUMUS EULER’S
Di asumsi oleh perluasan deret berhingga .... ! 3 ! 2 1 3 2
x x x e x hubungan dari kalkulus elementer ketika x
i ,kita dapat mengambil hasil71828 , 2 sin cos
i e ei (7)Yang mana kita sebut rumus Euler‟s yang sesuai ,bagaimanapun secara sederhana
kita mendefinisikan
.
i
e umumnya kita definisikan
cos y isin y)
e e e e
e x
xiy
x iy
x
(8)Misalnya untuk contoh dimana y = 0 turunan dari x
e
(3) (4) (5)
Dengan catatan bahwa bentuk dari(7) pada dasarnya turunan dari teorema De
Moivre‟s untuk
i n ine e
PERSAMAAN PANGKAT BANYAK
Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan solusi persamaan pangkat banyak dengan bentuk umum :
0 ... 1 2 2 1 1 0
n n n n n a z a z a z a z a (9)Dimana a0
0,a1...., anadalah bilangan kompleks dan n pangkat positif di sebut persamaan berpangkat. Sebagaimana solusi juga disebut z0 dari pangkat banyak darsebelah kiri (9) atau persamaan akar-akar.
Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema mendasar dari aljabar ( dapat dibuktikan dalam bab 5 ) bahwa setiap persamaan polynomial dari bentuk (9) mempunyai satu akar kompleks. Dari ini kita menunjukkan bahwa mempunyai factor n dari akar-akar kompleks, beberapa atau se muanya yang mungkin sama.
Jika z1,z2,
…..z
ndengan n akar-akar, dapat di tulisa0(z
–
z1)(z–
z2)…(z –
zn) = 0 (10)yang mana di sebutbentuk pemfaktoran dari persamaan polynomial ,sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10) kita dapat determinankan akar-akarnya dengan muda.
AKAR-AKAR DARI N KE UNSUR SATUAN
Solusi dari persamaan z n
1 dimana n adalah pangkat positif di sebut unit akar-akar dan di berikan oleh :1 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 2 sin 2 cos
2
e k n n k i n k z n k (11)Missal jika cos2 sin2 ,
2 n i e n i n k
dimana n akar-akar dari 1,
. ,...,
, 2 n1
secara geometri menunjukkan bahwa n vertical dari sbuah polygon teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah lingkaran dari jarak satudengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran ini mempunyai persamaan z
1 dan sering di sebut kesatuan lingkaran.Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxiii
INTERPRESTASI VEKTOR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS Bentuk bilangan kompleks z = x + iy dapat dipandang vector OP yang menunjukkan titik asal O dan titik akhir P. dengan titik (x,y) lihat gambar 1.4 kadang-kadang kita sebut OP = x+iy sebagi vector posisi dari P. dua vector ini memiliki panjang sama atau ukuran dan arahnya sama tetapi titik awalnya berbeda, sehingga OP dan AB lihat gambar1.4. hal ini menunjukkan kesamaan sehingga kita dapat menulis OP =AB = x + iy.
y B A ( x,y) O X gambar 1.4 Halaman 6
Jumlah dari bilangan kompleks berkorespondensi dengan jumlah jaja rgenjang dari jumlah untuk vector ( lihat gambar. 1-5). Dengan jumlah bilangan kompleks z1 dan
z2, kita melengkapi jajargenjang OABC dimana untuk sudut OA dan OC
berkorespondensi z1 dan z2.Untuk diagonal OB dari jajargenjang bekorespondensi
dengan z1 + z2. Lihat masalah 5.
A z2 B Z1 z1+ z2 z1 C Z2 O Gambar. 1-5
REPRESENTASI BILANGAN KOMPLEKS SECARA ROYEKSI STEREOGRAPHIC
Misalnya P (gambar 1-6) bidang kompleks dan memahami unit bulatan
( jari-jari satu) untuk tangent P di z = 0. Untuk diameter NS tegaklurus dengan P dan titik N dan S kita sebut bagian utara dan bagian selatan dari
. Beberapa korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA berpotongan dengan
pada titik A‟. setiap titik di bidang bilangan kompleks dimana korespondensi
satu-satu dan hanya satu titik dari bulatan
,dan kita dapat menggambarkan beberapa bilangan kompleks oleh bulatan di setiap titik. Kita katakan Untukmelengkapi titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari
bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang kompleks untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks, semua bidang z , atau bidang
kompleks secara luas.
Cara sulit dari untuk memetakan bidang pada bulatan disebut proyeksi stereographich. Bulatan setiap saat disebut Riemann sphere.
N
SSssss
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo xv
Misalnya z1 = x1+ iy1 dan z2= x2+ iy2 da bilangan kompleks (vector). Hasil
kali titik ( disebut juga hasil kali titik) dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Recos x x y y z z z z z z z
z z
z
(12)
Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara 0 dan .
Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
(14) ) 13 ( 2 1 Im sin 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 i e z z z z i z z z z z z z z i z z x y y x z z z x z
Jika z1dan z2 bukan nol, maka
1. Diperluan dan kondisi yang cukup dalam z1 dan z2 tegak lurus pada
0
2 1 z
z
2. Diperlukan dan kondisi yang cukup pada z1 dan z2 sejajar dengan z1 x z2 =
0.
3. Jarak proyeksi dari z1 di z2 adalah z 1
z 2 /z 2 .4. Bidang pada sebuah jajargenjang ada pada sudut z1 dan z2 adalah z 1
z 2.Halaman 7
KOORDINAT KOMPLEKS SEKAWAN
Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada koordinat tegak lurus
atau koordinat kutub
. Namun banyak juga kemungkinan yang lain. Salah satunya adalah menggunakan kenyataan bahwa
̅
,
̅
dimana
. Koordinat̅
yang menentukan letaksuatu titik dinamakan Koordinator Kompleks Sekawan atau disingkat Koordinat Sekawan dari titik tersebut (Perhatikan soal 43 dan 44).
HIMPUNAN TITIK
Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut.
Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan. 1. Lingkungan(neighbourhoods)
Suatu lingkungan delta (atau
) dari titik
adalah Himpunan semua titik
sehingga||
<
dimana
adalah suatu bilangan positif yang diberikan. Suatu lingkungan–
yang dihilangkan dari
adalah Suatu lingkungan dari
yang titik
nya dibuang, yaitu||
. 2. Titik limit (limit points)Suatu titik
disebut titik limit , titik gabung , atau titik kumpul dari himpunan titik
. Jika setiap lingkungan–
yang dihilangkan dari
memuat titik di himpunan
karena
adalah Suatu bilangan positif sebarang, maka himpunan
harus memiliki banyak titik yang tak berhingga. Perhatikan bahwa
mungkin terletak di dalam atau di luarhimpunan
.3. Himpunan tertutup (closed sets)
Sebuah himpunan
disebut tertutup jika setiap titik limit dari
termasuk di dalam
, yaiut
memuat semua titik limitnya. Sebagai contoh, himpunan semua titik
sehingga||
adalah suatu himpunan tertutup.4. Himpunan terbatas (bounded sets)
Sebuah himpunan
disebut terbatas jika kita dapat menemukan suatu konstata
sehingga||
untuk setiap titik
dan
. Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup dinamakan Kompak.5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and boundary points)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxvii
Suatu titik
disebut titik dalam dari himpunan
jika kita dapat menentukan suatu lingkungan
dari
yang semua titiknya termasuk pada
. Jika setiap lingkungan
dari
memuat titik di
dan juga titik di luar
, maka
dinamakan titik batas. Jika suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu himpunan
, maka titik ini dinamakan titik luar dari
.6. Himpunan terbuka (open sets)
Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik
sehingga||
adalah suatu himpunan terbuka.7. Himpunan tersambung (connected sets)
Suatu himpunan terbuka
disebut tersambung jika untuk setiap dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang semua titiknya terletakdi dalam
.8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains)
Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah terbuka atau domain.
9. Penutup suatu himpunan (closure of a set)
Jika suatu himpunan
kita gabungkan semua titik limitnya, maka himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan
dan merupakan suatu himpunan tertutup.10. Daerah tertutup (closed regions)
Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah tertutup. 11. Daerah (regions)
Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam buku ini bilamana kita menggunakan istilah
daerah tanpa mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah terbuka atau domain.
Halaman 8
12) Gabungan dan irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri dari semua titik yang tergabung dalam himpunan S1dan himpunan S2atau kedua-duanya yang
dinamakan union/gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan
himpunan S1+ S2/
Suatu himpunan terdiri dari semua titik yang terdapat dalam himpunan S1 dan
S2 dinamakan irisan S1dan S2 yang ditandai dengan S1, S2/
13) Komplemen sebuah himpunan. Suatu himpunan yang tergabung dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan
14) Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan himpunan kosong (
). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebutdinamakan himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 =
. Setiap himpunan yang dibentukmelalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar dari S.
15) Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka-
angka 1,2,3………maka himpunan itu
dinamakan himpunan yang dapat dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak terhingga.Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:
1. Welerstrass-Bolzano Theorem. Teori ini menyatakan bahwa setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas nilai.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxix
2. Heine-Borel Theorem. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu atau lebih himpunan A1, A2...( yang kemudian dikatakan meliputi himpunan S tak
terhingga). Kemudian akan terjadi sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang
meliputi S tak terhingga.
Soal-soal yang telah dikerjakan
Penyelesaian-penyelesaian dasar dengan bilangan kompleks. 1. Membuat penyelesaian pada masing-masing bilangan kompleks.
(a) ( 3 + 2 i) + (-7- i ) = 3
–
7 + 2i–
I = -4 = i (b) (-7- i ) + ( 3 + 2 i) = -7 +3–
I + 2i = -4 + iHasil bilangan komleks (a) dan (b) menunjukan penyelesaian yang dapat dimengerti.
(c) (8
–
6i) - (2i - 7) = 8–
6i -2i + 7 = 15–
8i(d) (5 + 3i) + {( -1 + 2i) + (7
–
5i)} = (5 + 3i) + {-1 + 2i +7–
5i} = (5 + 3i) + (6–
3i) = 11(e) {( 5 + 3i) + (-1 + 2i) } + (7
–
5i) = {5 + 3i -1 + 2i} + (7–
5i) = (4 + 5i ) + (7–
5i) = 11Hasil (d) dan (e) menunjukan hasil yang berkaitan.
(f) (2
–
3i) (4 + 2i) = 2(4 + 2i) - 3i(4 + 2i) = 8 + 4i -12i - 6i 2 = 8 + 4i -12i + 6 = 14–
8i(g) (4 + 2i) (2
–
3i) = 4(2–
3i) + 2i(2–
3i) = 8–
12i + 4i - 6i2= 8 -12i + 4i + 6 = 14–
8iHasil (f) dan (g)menunjukan hasil yang dapat dipahami. (h) (2
–
i) {(-3 + 2i)(5 - 4i)} = (2 - i){-15 + 12i + 10i–
8i2}= (2 - i)(-7 + 22i) = -14 + 44i + 7i
–
22i2 = 8 + 51i (i) {(2–
i) (-3 + 2i)} (5 - 4i) = {-6 + 4i + 3i -21i2} (5 - 4i)= (-4 + 7i) (5 - 4i) = -20 + 16i + 35i
–
28i2 = 8 + 51i Hasil (h) dan (i) menjelaskan hasil perkawinan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.Halaman 9
(j).
*+
*+
Ini memberikan penjelasan pembagian rumus yang lain. (k)
⁄
(l)
(m)
(
)
(
)
2.jika
√
|
| || ||
||
√
(b)
*
+
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxi
(c)
√
.
√
/
.
√
/
√
√
√
√
(d)
||
||
.
.
/
/
3. temukanlah bilangan real x dan y seperti yang
Kemudian berikan hubungan persamaan tertulis sebagai berikut
kemudian menyamakan bagian bilangan real dan imagenari,
kemudian pemecahan secara bersamaan,
4. Buktikan: (a)
|
| |
||
|
Misalkan =
kemudian (a)
(b)|
| |
| |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
||
|
dimana kita sudah menggunakan fakta bahwa hasil konjugasi dari dua bilangan kompleks yang sama dengan produk konjugatif yang lain (lihat Soa l 55).)
Halaman 10
UNTUK MEMENUHI TUGAS AKHIR SEMESTER VI
NAMA : ADRIANA BULU NPM : 2091000210060
JURUSAN : MATEMATIKA 2009 A
TUGAS : MENERJEMAHKAN B. INDONESIA HALAMAN 10
BILANGAN KOMPLEKS A.Gambar Grafis Dari Bilangan Kompleks
5.Mengerjakan,menunjukan pembedahan, menganalisa dan gambarkan.
(3+4)+(5+2), (6-2)-(2-5),
(-3+5)+(4+2)+(5-3)+(-4-6)
A).Menganalisis (3+4)+(5+2)=3+5+4+2=8+6
Menggambarkan grafis dua bilangan komplek nilai P1 dan P2 yang berturut
–
turutseperti gambar dibawah ini 1.7. Sempurnakan garis lintang dengan OP1 dan OP2 seperti berdekatan sisi. Nilai P menggambarkan jumlah 6+8
dari dua bilanganPersamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxiii
OP2 memperoleh vektor OP. Pertimbangan ini untuk memudahkan sebuah bilangan kompleks seperti a +b
sebuah vektor memperoleh komponen dan b kearah dari positip x dan y tanpa hubungan berturut.
у
Р
P1 3+4i 8+6i 5+2i P2O
ᵡ
P2 -2+5i P 4+3i Oᵡ
6-2i P1 (b) Menganalisa, (6+2
)-(2-5
)=6-2-2
=4+3
Grafis, (6-2
)-(2-5
)=6-2
+(-2+5
). Menjumlahkan 6-2
dan((-2+5
)seperti dibagian (a).Menunjukan hasil untuk OP didalam gambar 1.8 diatas.(C)Menganalisa.
Grafis, (-3+5
)+(4+2
)+(5-3
)+(-4-6
)=(-3+4+5-4)+(5
+2
-3
-6
)=2-2
.Menggambarkan bilangan yang ditambah untuk z1, z2,z3,z4 berturut
–
turut.Gambarlah grafis dibawah ini 1.9 untuk memperoleh jumlah yang dibutuhkan bertambah terus seperti bentuk pertama gambar dibawah ini 1.10.Sebagai nilai dari
vektor z1 konsepsi vektor z2,vektor z2konsepsi vektor z3,dan nilai dari z3 konsepsi
vektor z4.Pada suatu saat, sebagai hasil dari jumlah yang dibutuhkan adalah
memperoleh vektor OP untuk menyusun huruf awal dari nil ai z4,i. E. OP = Z1+ Z2+
Z3+ Z4=Z
–
Z
. y z1 z2O
ᵡ
z3 z4 y z2 z3 z1 z4O
ᵡ
Gambar 1.9 Gambar 1.8 Gambar 1.7 yP s
Halaman 11
Jika z 1dan z 2 adalah dua dari Bilangan Kompleks (vektor
–
vektornya) pada gambar 1- 11. Buatlah grafiknya(a) 3 z 1
2z 2 (b) 2 1 3 5 2 1 z z
(a) Pada gambar 1-12 disamping, OA
3 z 1adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 3 kali vektor z 1dan2
2 z
OB
adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang 2 kali vektor2
z dan
Dan vektor OC
OA
OB
3 z 1
2z 2y y Q 1 z 1 z x P x O 2 2 1 z 2 z R Gambar 1-11 Gambar 1-13 y C 2 1
2
3
z
z
B A 2 2 z
3 z 1 x Gambar 1.10Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxv
O Gambar 1-12
(b) Persamaan vektor (Bilangan kompleks) ditunjukkan oleh OP pada gambar 1-13 diatas
7. Buktikan :
(a). z 1
z 2
z 1
z 2 , (b). z 1
z 2
z 3
z 1
z 2
z 3 , (c). z 1
z 2
z 1
z 2dan gambarkanlah grafiknya (a). Penyelesaian
Misal z 1
x1
iy1, z 2
x2
iy2 dan kita harus menunjukkan bahwa2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( )
( x
x
y
y
x
y
x
y Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) 2 ( )( )
( x
x
y
y
x
y
x
y x
y
x
y i.e. jika x1 x2
y1 y2
( x12
y12)( x22
y22) atau jika ( Kuadratkan Kedua persamaan lagi)2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 x 2 x x y y y y x x x y y x y y
x
Atau 2 x1 x2 y1 y2
x12 y22
y12x22Tetapi ini sama untuk ( x1 y2
x2y1)2
0 jika benar. Balikkan langkah–
langkah yang reversibel. Buktikan hasilnya.Grafis. Secara grafis hasil dari fakta bahwa z 1, z 2 , z 1
z 2 ditunjukan panjang dari sisi–
sisi sebuah segitiga (lihat gambar 1-14) dan jumlah panjang dari 2 sisi dari sebuah segitiga yang lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga. y 2 z 1 z2 1 z z
x 0 Gambar 1-14 2 z z 3 1 z z 1
z 2
z 3 0 Gambar 1-15(b). Penyelesaian. Bagian (a)
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 z z z ( z z ) z z z z z z z
Grafis. Hasil dari sebuah kesepakatan fakta geometris bahwa sebuah bidang garis lurus lebih pendek diantara 2 titik O dan P (lihat Gambar 1-15)
Halaman 12
TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX
8. Misal diberikan vector posisi dari titik A( x1, y1) dan titik B( x2, y2) yang diwakili oleh z 1dan z berturut-turut.(a) gambar vector AB sebagai bilangan2
kompleks.(b) tentukan jarak antara titik A dan B
(a) Dari gambar 1.16 OA
AB
OB
)
(
)
(
2 1 2 1 1 1 2 2 1 2y
y
i
x
x
AB
iy
x
iy
x
AB
z
z
OA
OB
AB
z1 AB z2(b) Jarak antara titik A dan B dapat di cari dengan rumus
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( )
( x x i y y x x y y
AB
9. misal z 1
x1
iy1dan z 2
x2
iy2 yang diwakili dua vector non kolinear atau vector non parallelJika a dan b adalah bilangan real sedemikian sehingga az 1
bz 2
0 dengan syarat a
0 danb
0Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxvii
Diberikan kondisi az 1
bz 2
0ekuivalen dengan a( x1
iy1)
b( x2
iy2)
0 atau ax1
bx2
i(ay1
by2)
0 jadi ax1
bx2
0 dan ay1
by2
0 persamaan ini akan mempunyai solusi yang simultan a
0,b
0, jika y1 x1
y2 x2 .jika vector tersebut adalah vector non kolinear atau vector non parallel.10. buktikan bahwa diagonal jajaran genjang saling membagi dua
Pada gambar 1.17 OABC akan diberikan jajaran genjang dengan diagonal yang saling berpotongan pada titik P
Karena z 1
AC
z 2, AC
z 2
z 1 jadi AP
m( z 2
z 1) Dengan syarat 0
m
1B
Karena OB
z 1
z 2,OP
n( z 1
z 2)dengan syarat 0
n
1tapi OA
AP
OP , z 1
m( z 2
z 1)
n( z 1
z 2)atau 0) (
) 1
(
m
n z 1
m
n z 2
karenanya dari masalah 9 , , 0 1
m
n
m
n
0 atau 2 1 , 2 1
nm dan P adalah titik tengah dari kedua diagonal
11. menemukan persamaan untuk garis lurus yang melewati dua titik A( x1,y1)dan
) , ( x2 y2 B
Misal z 1
x1
iy1 dan z 2
x2
iy2 adalah vektor-vektor dari masing-masing titikA dan B.
Dari gambar 1.18
OP AP
OA
atau z 1
AP
z , AP
z
z 1OB AB OA
atau z 1
AB
z 2, 1 2 z z AB
Karena AP dan AB segaris maka AP
tAB atau z
z 1
t ( z 2
z 1)dimana t adalah bilangan real dan persaman umumnya adalah z
z 1
t ( z 2
z 1)atau2 1 ) 1 ( t z tz z
Dengan menggunakan z 1
x1
iy1, z 2
x2
iy2 dan z
x
iy, juga dapat ditulis )( 2 1
1 t x x
x
x
, y
y1
t ( y2
y1) atau1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x
Ada dua bentuk persamaan ,yang pertama disebut persamaan parametrik garis dengan t adalah parameternya.yang kedua disebut persamaan garis bentuk standar. Metode lain. Karena AP dan PB segaris dan m dan n adalah bilangan real maka,
nPB mAP
atau m( z
z 1)
( z 2
z ) Penyelesaian n m nz mz z
1 2 atau n m nx mx x
1 2 , n m ny my y
1 2Halaman 13
Dengan menggunakan
=
+
,
=
dan z =x +
dapat di tuliskan x-
= t (
-
) , y-
= t (
-
atau
=
Dua yang pertma disebut persamaan parametric garis dan t adalah parameter yang ke dua di sebut persamaan dari garis yang pertama
mAP=nPB atau m ( z -
) = n (
- z )Dapat di pecahkan z =
atau x=
, y =
Dari persamaan di atas dapat di sebut bentuk simetris12. Misal A ( 1, -2 ), B ( -3 , 4 ), C ( 2 , 2 ) menjadi kesimpulan dari segitiga ABC .Carilah panjang median dari C kesisi AB .
Vektor posisi A,B dan C di berikan oleh
= 1–
2i ,
= -3 + 4i dan
= 2 + 2i masing masing .Kemudian digambarAB =
-
= 2 + 2i - ( 1–
2i ) = 1 + 4i BC =
-
= 2 + 2i–
( -3 + 4i ) =5 -2i AB =
-
= -3 + 4i–
( 1–
2i ) = -4 + 6iAD =
AB =
( -4 + 6i ) = -2 + 3i dimana D adalah titik tengah AB AC +CD = AD atau CD =AD–
AC = -2 + 3i–
( 1 +4i ) =-3–
iMaka panjang rata rata dari CD adalah CD =
3,1
=√
B y
C
D x
A
13. Tentukan persamaan untuk (a ) lingkran berjari 4 dengan pusat ( -2 , 1 ) , (b), elips dengan sumbu utama yang panjangnya 10dan titik fokusnya di (-3, 0 ) dan ( 3, 0 ).
a) dengan di notasikan atau di tuliskan dengan bilangan kompleks -2 + I .Jika z adalah setiap titik pada lingkaran (gambar 1.20) jarak dari z -2 + I adalah
z
(
2
i)
=4Kemudian 2
2
1=4 adalah persamaan yang di perlukan dalam bentuk empat persegi panjang di berikan oleh ( x
2)
i(y
1) =4,i.e (x+2)2 + (y -1)2=16 Y
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxix y y Z z x x
b) Jumlah jarak dari setiap z titik pada elips ( gambar 1-2) untuk focus harus sama=10 maka persamaannya adalah
,
] +[z-3]=10,dalam empat persegi panjang dapat di kurangi untuk
/25 +
/16=1(lihat soal 74)Aksioma Dasar dari Bilangan Komleks
14. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga untuk membuktikan bahwa
(a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana (0,1),(0,1)=(-1,0)
=(a,c) + (c,b) =(a,b)
Halaman 14
BILANGAN KOMPLEK
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita mendapatkan
dimana
Dari identifikasi
dengan 1 dan
dengan
, kita melihat bahwa
Jika
dan
, membuktikan hukum persamaan distribusi
(
)
Kita mendapatkan
(
)
*
+
*
+
(
)
KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK
Nyatakan setiap bilangan komplek berikut dalam bentuk koordinat polara)
√
Nilai penyelesaian atau mutlaknya,
√ |√
Perluasan atau bukti,
(radians) Kemudian√
Hasilnya juga dapat ditulis sebagai
atau, menggunakan rumuseuler‟s,
y√
Gambar
4 600√
x 2 b)
||√ √
(radians) KemudianPersamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxxi
√
√ √
y 5√
5 460
x -5 Gambar
c)√ √
√√ √√
(radians) Kemudian√ √ √
√ √
y
√
x√
2√
Gambar
d)
| || |√
(radians)Kemudian
. /
y
x -3 Gambar
Grafikkan dari setiap bagian berikut:
dapat direfresentasikan secara grafik dengan OP di gambar
dibawah ini.Jika kita memulai dengan vektor OA yang besaranya adalah 6 dan yang mana arahnya adalah
, kita dapat memperoleh OP dengan merotasikan OA berlawanan dengan arah jarum jam melalui sudut 2400. Secara umum
sebanding dengan vektor yang diperoleh dengan merotasikan atau memutar vektor yang besaranya r dengan arah
axis positif, bergerak berlawanan melalui sudut
.Halaman 15
Nama : Leo marwan NPM : 2091000210059
Jurusan: Matematika, 2009. B
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxxiii
BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS
y y y 2400 6 p x 4 o 2 A O A 1080 450 p b o x 2 P Gambar 1-26 Gambar. 1-27 Gambar. 1-28(b) 4e3 i/5
4
cos3 /5
isin3 /5
4
cos1080
isin
isin1080
Diwakili oleh pada gambar diatas.1
/4
0 0
45 sin 45 cos 2 4 / sin 4 / cos 2 2 .
i
i
c e i Bilangan kompleks ini dapt dirpesentasikan oleh vector OP pada gambar. Diatas 1-28 vektor ini dapat diperolah dengan memulai dengan vector OA. Yang besarnya adalah 2 dan yang arahnya adalah bahwa dari sumbu X positif, dan
memutarnya berlawanan itu memulai sudut -450(yang sama dengan memutar secara jarum jam melalui sudut 450).
18. seorang pria perjalanan 12 mil timur laut, 20 mil barat 300dari utara, B y
dan kemudian 18 mil 600selatan barat, menentukan (a) secara analitik 60o 20
dan (b) grafis seberapa jauh dan kearah mana ia adalah dari titik tolak 18 30o
nya. C
(a). Analitis. Biarakan o menjadi titik awal (lihat gambar 1-29). Maka perp-45o x Indahan berturut-turut diwakili oleh vector OA,AB dan BC, hasil
dari ke- o
Tiga perpindahan diwakili oleh vector.
0\ 0 0 0
4 /3 3 / 2 0 0 0 0 4 / 0 0 18 60 180 sin 60 180 cos 18 20 30 90 sin 30 90 cos 20 12 45 sin 45 cos 12 i i i e i BC e i AB e OA sekarang BC AB OA OC
Kemudian
1
' 1 2 2 3 / 4 3 / 2 4 / 49 135 717 . cos / 19 2 6 cos 7 . 14 3 2 6 19 2 6 , 3 2 6 19 2 6 sin cos 3 2 6 19 2 6 2 / 3 18 2 / 3 20 2 / 2 12 2 / 1 18 2 / 1 20 2 / 2 12 240 sin 18 120 sin 20 45 sin 12 240 cos 18 120 cos 20 45 cos 12 18 20 12 o o o o o o o i i i r dari sekitar r Maka i i r Jika i i i e e e OC
Sehingga orang itu adalah 14,7 mil dari titik tolaknya dalam arah 135o49,-90o= 45o49, barat utara.
(b) grafis , menggunakan unit yang nyaman panjang seperti PQ dalam ambar 1-29 yang mewakili 2 mil,
Dan busur derajat untuk mengukur sudut, membangun vektor OA,AB dan BA kemudian dengan menentkan jumlah unit di OC dan sudut yang membuat OC dengan sumbu V, kita memper oleh hasil perkiraan (a)
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomoxxxv
1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos . sin cos sin cos : , sin cos sin cos . 19
i r r i r r i r i r z z c i r r z z b i r r z z a n Membuktika i r z dan i r z if Halaman 16 (b)
2 2
2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 sin cos sin cos sin cos sin cos i i i r i r z z
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos 2 sin cos cos sin sin sin cos cos i r r
1 2 1 2
2 1 sin cos
i r rPada syarat-syarat rumus Euler ei
cos
isin , hasilnya menyatakanbahwa jika 1 2 2 2 1 1 i i e r z dan e r z
maka 1 2 2 1 2 1
i e r r z z dan 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
i i i e r r e r e r z z .20.
Buktikan teorema De Moivre‟s :
cos
i sin
ndimana nadalah bilangan bulat positif.Kita gunakan prinsip induksi matematika. Menganggap bahwa hasilnya benar untuk bilangan bulat positif khusus k , yaitu menganggap
cos
isin
k
cosk
isink kemudian kalikan kedua sisi dengan sin
cos
i , kita dapatkan
cos
i sin
k
cosk
i sin k
cos
i sin
1 sin
1 cos
