1
Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya
ABSTRAK. Diberikan R semiring dan I himpunan bagian dari R maka I
disebut ideal pada R jika dan maka dan Pada semiring terdapat jenis-jenis ideal dimana pengertian jenis-
jenis ideal tersebut identik dengan jenis – jenis ideal pada ring. Pada semiring ( ) telah diperoleh bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn atas bilangan bulat taknegatif
Kata Kunci : ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary
1. PENDAHULUAN
Pada saat ini banyak paper yang membahas tentang semiring serta jenis-jenis ideal pada semiring. Pada paper Gupta & Chaudhari [2] telah menunjukkan bentuk ideal prima pada semiring ( ) Selanjutnya pada paper Setyawati [3] menunjukkan bentuk ideal prima pada semiring( ( ) ). Dari hasil ini, tahun, Setyawati dkk [4] melanjutkan untuk menunjukkan bentuk – bentuk ideal pada semiring ( ) yaitu ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal yaitu ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn atas bilangan bulat taknegatif . Himpunan ( ) merupakan generalisasi dari himpunan ..
2. TINJAUANPUSTAKA
Sebelumnya akan diberikan beberapa definisi yang akan digunakan untuk membahas bentuk – bentuk ideal pada semiring ( ). Berikut ini akan diberikan definisi dari semiring yang merupakan generalisasi dari ring dimana terhadap operasi penjumlahan elemennya tidak memiliki invers
Definisi 2.1
Himpunan tak kosong terhadap operasi biner + dan ditulis ( ) disebut semiring jika
(i) ( ) bersifat assosiatif, komutatif dan mempunyai elemen identitas 0 (ii) ( ) bersifat assosiatif
(iii) ( ) bersifat distributive
Selanjutnya akan diberikan definisi ideal dan jenis – jenis ideal pada semiring yang identik dengan pengertian pada ring
Seminar Nasional Matematika 2014 2 Prosiding
Diberikan semiring dan subset dari . I disebut ideal pada R jika untuk setiap dan berlaku dan
Berikut ini akan diberikan jenis-jenis ideal pada semiring yang akan digunakan pada artikel ini:
(i)
Ideal 〈 〉 { }, disebut ideal utama pada , yaitu ideal utama yang dibangun oleh .(ii)
Ideal I disebut ideal subtractive jika , , maka .(iii)
Ideal I disebut ideal prima jika , maka atau(iv)
Ideal I disebut ideal semiprima jika , maka , untuk semua .(v)
Ideal I disebut ideal primary jika dan maka untuk suatu ,(vi)
Ideal I disebut Q-ideal jika ada himpunan subset dari sehingga ⋃
dan jika , maka ( ) ( )
Selanjutnya akan diberikan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ) yang merupakan hasil dari penelitian sebelumnya.
Teorema 2.1 [4]
Setiap ideal pada semiring ( ) berbentuk dengan
Akibat 2.1 [4]
Ideal sejati I dari semiring ( ) adalah maksimal jika dan hanya jika 〈 〉 { }
Teorema 2.2 [4]
Ideal pada semiring ( ) adalah substraktif jika dan hanya 〈 〉 untuk suatu
Sebagai gambaran 〈 〉 dan 〈 〉 merupakan ideal subtraktif dari semiring ( ) tetapi 〈 〉 bukan ideal substraktif dari semiring ( ) sebab 〈 〉
tetapi 1 〈 〉 Teorema 2.3 [4]
Ideal pada semiring ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya 〈 〉 untuk
Seminar Nasional Matematika 2014 3 Prosiding
Teorema 2.4 [4]
Ideal sejati tak nol 〈 〉 untuk pada semiring ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika , adalah faktor prima yang berbeda dari x
Teorema 2.5 [4]
Ideal sejati tak nol 〈 〉 untuk pada semiring ( ) adalah primary jika dan hanya jika bilangan prima
3. HASILDANPEMBAHASAN
Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( )
Teorema 3.1 [3]
Diberikan ..., dimana i = 1, 2, 3, 4,...n dan ( ) Himpunan { | 〈 〉} merupakan ideal pada
( ) Teorema 3.2
Ideal { | } pada ( ) adalah substraktif jika dan hanya jika
dimana Bukti :
(→) Andaikan terdapat dimana
maka terdapat dimana dan maka
akibatnya sehingga N bukan ideal substraktif pada
( ) (←) Jelas
Dari teorema diatas dapat digambarkan pada contoh berikut ini : Contoh 2.1
{ | } merupakan ideal subtraktif pada ( )
Contoh 2.2
{ | } merupakan ideal subtraktif pada ( )
Contoh 2.3
{ | } bukan merupakan ideal subtraktif pada ( ) sebab [
] , [
]
Seminar Nasional Matematika 2014 4 Prosiding
[
] [
] tetapi [
] sebab
Teorema 3.3
Ideal { | } pada ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya jika 〈 〉 dimana dan
{ | {
{ } { }
}
Bukti :
(→) Andaikan terdapat dimana untuk maka anggota dari dapat diurutkan dari yang terkecil dan selisih dua elemen berurutan tidak konstan sehingga jika terdapat ( ) , ⋃ ( ) maka tidak berlaku dengan
(←) jelas dari teorema Q-ideal pada
Dari teorema diatas bisa diberikan contoh sebagai berikut : Contoh 3.4
{ | } merupakan Q-ideal pada ( ) dengan { | { } { } maka akan terbentuk 6 himpunan
dimana yaitu
(1) [ ] = ={[
] | } (2) [ ] {[
] | } (3) [ ] {[
] | } (4) [ ] {[
] | } (5) [ ] {[
] | } (6) [
] {[
] | } Terlihat bahwa
( ) ⋃
dan jika , maka ( ) ( )
Seminar Nasional Matematika 2014 5 Prosiding
Teorema 3.4
Ideal { | 〈 〉} pada ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika atau , untuk adalah faktor prima yang berbeda dari
Bukti :
Jelas dari Teorema ideal semiprima pada semiring Contoh 3.5
{ | 〈 〉 〈 〉 〈 〉 } merupakan ideal semiprima pada
( ) Contoh 3.6
{ | 〈 〉 〈 〉 〈 〉 } bukan merupakan ideal semiprima pada ( ) sebab 〈 〉 sedangkan
Dari teorema ideal primary pada maka untuk membentuk ideal primary pada
( ) , elemen - elemen pada diagonal dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang sama juga dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda.
Kasus 1 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang sama)
Diberikan himpunan ( ) dimana { | 〈 〉} . Jika terdapat
〈 〉 dimana dan maka N merupakan ideal pada ( ) tetapi tidak primary
Kasus 1 dapat dijelaskan sebagai berikut :
Tanpa mengurangi keumuman misalkan 〈 〉 maka terdapat ⟦
⟧ dan ⟦
⟧ dimana
⟦
⟧ dan tetapi untuk setiap sebab 〈 〉
Terlihat bahwa tidak primary.
Kasus 2 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda)
Diberikan himpunan ( ) dimana { | 〈 〉}. Jika terdapat 〈 〉 dan 〈 〉 dimana , dan maka N merupakan ideal pada
( ) tetapi tidak primary
Kasus 2 dapat dijelaskan sebagai berikut :
Seminar Nasional Matematika 2014 6 Prosiding
⟦
⟧ dan ⟦
⟧ dimana ⟦
⟧
dan tetapi untuk setiap sebab 〈 〉 Terlihat bahwa tidak primary.
Dari kasus 1, kasus 2 dan teorema dari ideal primary pada terbentuklah ideal primary pada ( ) sebagai berikut:
Teorema 3.5
Ideal { | 〈 〉} pada ( ) adalah primary jika dan hanya jika { | 〈 〉 } atau { | }
Bukti :
(→) Dari kasus 1 dan kasus 2 terlihat bahwa Ideal dari ( ) bukan primary jika elemen elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang sama, demikian juga elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda sehingga agar N merupakan ideal primary pada ( ) maka { | 〈 〉 } atau { | }
(←) Dari teorema ideal primary pada maka jelas bahwa
{ | 〈 〉 } atau { | } merupakan ideal primary pada ( )
Contoh 3.7
{ | 〈 〉 } merupakan ideal primary pada ( ) Contoh 3.8
{ | 〈 〉 } bukan merupakan ideal primary pada
( ) sebab [
] [
] dimana [ ] tetapi [
] sebab 〈 〉
Seminar Nasional Matematika 2014 7 Prosiding
4. KESIMPULAN
Pada paper ini telah diperoleh bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ) sebagai berikut :
(i) Ideal { | } pada ( ) adalah substraktif jika dan hanya jika
dimana
(ii) Ideal { | } pada ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya jika 〈 〉 dimana dan
{ | {
{ } { }
} (iii) Ideal { | 〈 〉} pada ( ) adalah semiprima jika dan hanya jika
atau , untuk adalah faktor prima yang berbeda dari
(iv) Ideal { | 〈 〉} pada ( ) adalah primary jika dan hanya jika
{ | 〈 〉 } atau { | }
DAFTAR PUSTAKA
[1] Chaudhari, J.N. and K.J Ingale , A Note on Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, 6, 271-275, 2012.
[2] Gupta, V. & J.N. Chaudhari, Prime Ideals in Semiring, Bulletin of Malaysian Mathematical Science Society. Http: //math. usm. my /bulletin,2009.
[3] Setyawati, D.W., Ideal Prime pada Semiring
( ), Jurnal Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang; 14: 14- 18,2011.
[4]
