LKS 1 ( Lembar Kerja Siswa )

(1)

LKS 1 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

KELAS / PROGRAM : XI IPA

SEMESTER : 1

MATERI : Rentang dan Simpangan kuartil

STANDAR KOMPETENSI : 1. Menggunakan aturan statistika,kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR : 1.3 Menghitung ukuran pemusatan,ukuran letak,dan ukuran penyebaran data,serta penafsirannya.

INDIKATOR : Menentukan ukuran penyebaran data:rentang dan simpangan kuartil.

RANGKUMAN MATERI :

Keragaman atau variasi setiap kumpulan data dapat diukur dengan menggunakan suatu nilai numerik yang disebut sebagai ukuran penyebaran data atau ukuran keragaman data. Ada enam ukuran penyebaran data :

1. Rentang (range atau jangkauan) 2. Rentang Interkuartil

3. Simpangan Kuartil 4. Simpangan Rata-rata 5. Ragam (variansi) 6. Simpangan Baku

a) Rentang

Rentang (range atau jangkauan) didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar dan datum terkecil.

Untuk data berkelompok yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, rentang didefinisikan sbb :

Rentang = tepi atas kelas tertinggi – tepi bawah kelas terrendah Example :

J = Xmax - Xmin

(2)

Tentukan rentang untuk distribusi frekuensi dalam tabel berikut :

Kelas Interval 3 - 7 8 - 12 13 - 17 18 - 22 23 - 27 28 – 32

Frekuensi 3 14 12 18 7 6

Jawab : tepi bawah kelas pertama (terrendah) = 3 – 0,5 = 2,5 tepi atas kelas ke-6 (tertinggi) = 32 + 0,5 = 32,5 Jadi, Rentang = 32,5 – 2,5 = 30

b) Rentang Interkuartil

Rentang Interkuartil (Interkuartil Range) diberi notasi IQR, adalah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1)

c) Simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil /Qd

Simpangan kuartil didefinisikan sebagai setengah dari rentang interkuartil

Contoh soal :

Tentukan rentang interkuartil dan simpangan kuartil untuk data berikut : 19, 12, 14, 35, 7, 15, 10, 20, 25, 17, 23

Jawab :

Statistik terurut : 7, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 23, 25, 35 n = 11

Q₁ Q₂ Q₃

IQR = Q₃ – Q₁ = 23 – 12 = 11 Qd =

2

1(Q₃ – Q₁) = 2

1(11) = 5,5 IQR = Q3 – Q1

Qd = 2 1IQR =

2

1(Q3 - Q1)

(3)

Latihan soal :

1. Tentukan rentang, rentang interkuartil dan simpangan kuartil dari data – data berikut : a) 1, 5, 7, 2, 9, 4, 10, 12, 16, 18, 13

b) 20, 5, 1, 5, 3, 9, 11, 2, 0, 1, 4, 3

c) 8, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 7, 6, 5, 6, 6, 7, 3, 7, 2, 9

2.

Berat Badan

(kg) f

26 - 30 5

31 – 35 7

36 – 40 17 41 – 45 9 46 – 50 2

3 Tentukan Simpangan kuartil dari tabel distribusi frekuensi berikut : Massa (kg) Frekuensi

50 – 52 5

53 – 55 18 56 – 58 42 59 – 61 27

62 - 64 8

Dari data disamping, tentukan : a) Rentang

b) Rentang Interkuartil c) Simpangan Kuartil

(4)

LKS 2 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATERI : Aturan perkalian

STANDAR KOMPETENSI : 1. Menggunakan aturan statistika,kaidah pencacahan,dan sifat

Sifat peluang dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR : 1.4 Menggunakan aturan perkalian,permutasi dan kombinasi

Dalam pemecahan masalah

INDIKATOR : 1. Menyusun aturan perkalian

2. Menggunakan aturan perkalian RANGKUMAN MATERI

* Aturan perkalian / Prinsip dasar mencacah / Kaidah Pengisian Tempat * Untuk memahami kaidah pengisian tempat, perhatikan ilustrasi berikut :

Kita akan melihat cara penampilan seseorang dilihat dari tas dan sepatu yang dipakainya secara bersamaan.

1. Jika seseorang memiliki sebuah tas t₁ dan sepasang sepatu s₁ maka cara penampilannya hanya satu cara, yaitu (t_1,s1).

2. Jika seseorang memiliki sebuah tas t1 dan sepasang sepatu s1 dan s2 maka cara penampilannya dapat dengan dua cara, yaitu (t1,s1) dan (t1,s2).

3. Jika seseorang memiliki dua buah tas t1 dan t2 serta sepasang sepatu s1 maka cara penampilannya dapat dengan dua cara, yaitu (t1,s1) dan (t2,s1).

4. Jika seseorang memiliki dua buah tas t1 dan t2 serta dua pasang sepatu s1 dan s2 maka cara penampilannya dapat dengan empat cara,yaitu (t1,s1), (t1,s2), (t2,s1), dan (t2,s2).

5. Jika seseorang memiliki dua buah tas t1 dan t2 serta tiga pasang sepatu s1, s2, dan s3 maka cara penampilannya dapat dengan enam cara, yaitu (t1,s1), (t1,s2), (t1,s3), (t2,s1), (t2,s2), dan (t2,s3).

6. Jika seseorang memiliki tiga buah tas t1, t2, dan t3 serta dua pasang sepatu s1 dan s2, maka cara penampilannya dapat dengan enam cara, yaitu (t1,s1), (t1,s2), (t2,s1), (t2,s2), (t3,s1), dan (t3,s2).

(5)

Perhatikan cara pengisian tempat untuk tas dan sepatu pada keenam kasus ini.

banyak

banya

k kaitan

tas

sepat

u cara hasil

Kasus 1 1 1 1 1 = 1 x

1

Kasus 2 1 2 2 2 = 1 x

2

Kasus 3 2 1 2

2 = 2 x 1

Kasus 4 2 2 4 4 = 2 x

2

Kasus 5 2 3 6 6 = 2 x

3

Kasus 6 3 2 6

6 = 3 x 2

Kaitan antara hasil di atas dapat juga digambarkan dalam diagram pohon. Untuk kasus 5 dan 6, perhatikan diagram berikut.

Kasus 5: dua tas dan tiga sepatu Kasus 6: tiga tas dan dua sepatu

(6)

2 x 3 = 6 3 x 2 = 6

Simpulan

• Jika seseorang memiliki 2 buah tas dan 3 pasang sepatu maka cara penampilannya ada 6 cara. Untuk kasus ini ada 2 pilihan untuk tas dan ada 3 pilihan untuk pasangan sepatu yang dipakainya dan seluruhnya ada 2 x 3 = 6 cara.

• Jika seseorang memiliki 3 buah tas dan 2 pasang sepatu maka cara penampilannya ada 6 cara. Untuk kasus ini ada 3 pilihan untuk tas dan ada 2 pilihan untuk pasangan sepatu yang dipakai dan seluruhnya ad

Secara umum, pengisian tempat memenuhi kaidah berikut : Kaidah Pengisian Tempat

Jika terdapat n tempat harus diisi dengan cara :

Maka banyak cara untuk mengisi n tempat adalah k₁ x k₂ x … x k_n cara, yaitu perkalian dari semua cara pengisian.

tempat Tempat tempat

ke-1 ke-2 ke-n

k₁ k₂ … k_n

banyak cara = k1 x k2 x … x kn

Contoh : 2.1

Pada suatu daerah pedalaman, setiap hari dari desa A ke B dilayani oleh 4 bus dan dari desa B ke C oleh 3 bus, yang berbeda dari 4 bus tadi. Seorang wartawan berangkat dari A ke C melalui B dan kembali lagi ke A juga melalui B. Jika pada saat kembali dari C ke B dan dari B ke A ia tidak lagi menggunakan bus yang sama, tentukan banyak cara perjalanan wartawan itu.

Jawab

• Pada saat berangkat, dari A ke B terdapat 4 cara memilih bus dan dari B ke C terdapat 3 cara memilih bus. Jadi, dari A ke C terdapat 4 x 3 = 12 cara perjalanan.

• Karena dua bus telah digunakan pada saat berangkat, maka pada saat kembali dari C ke B hanya terdapat 2 cara memilih bus dan dari B ke A hanya terdapat 3 cara memilih bus.

Jadi, dari C ke A terdapat 2 x 3 = 6 cara perjalanan.

Tempat ke-1 dapat diisi dengan k1 cara,

tempat ke-2 dapat diisi dengan k2 cara setelah tempat ke-1 diisi, tempat ke-3 dapat diisi dengan k3 cara setelah tempat ke-1 dan ke-2 diisi,

……….……….

tempat ke-n dapat diisi dengan kn cara setelah semua tempat sebelumnya diisi

(7)

• Dengan demikian banyak cara perjalanan dari A ke B, B ke C, C ke B, dan B ke A adalah 12 x 6 = 72 cara.

A B

B C C B B A

4 3 2 3

12 cara 6 cara

Total : 12 x 6 = 72 cara

Contoh : 2.2

Sebuah perusahaan akan memberi nomor kode arsip surat dengan tiga angka tanpa pengulangan, yang dipilih dari enam angka: 2, 3, 5, 6, 7, dan 9.

(a) Tentukan banyak arsip yang dapat diberi nomor dengan cara ini.

(b) Tentukan banyak arsip yang bernomor kurang dari 400 dan yang lebih dari 400.

Jawab

Terdapat tiga kotak yang harus diisi oleh angka 2, 3, 5, 6, 7, 9.

(a) ● Kotak pertama dapat diisi dengan cara memilih salah satu dari enam angka, sehingga kotak ini dapat diisi dengan 6 cara.

● Kotak kedua tidak boleh diisi angka yang sama dengan kotak pertama, sehingga kotak ini hanya dapat diisi dengan 5 cara.

● Kotak ketiga tidak boleh diisi angka yang sama dengan kotak pertama dan kedua, sehingga kotak ini hanya dapat diisi dengan 4 cara.

● Karena itu banyak arsip yang dapat diberi nomor dengan cara ini adalah 120.

ktk-1 ktk-2 ktk-3

banyak cara = 6 x 5 x 4 = 120

(b) ● Kotak pertama dapat diisi dengan cara memilih salah satu dari angka 2 dan 3 karena nomor arsipnya harus kurang dari 400, sehingga kotak ini dapat diisi dengan 2 cara.

● Kotak kedua tidak boleh diisi angka yang sama dengan kotak pertama, sehingga kotak ini hanya dapat diisi dengan 5 cara.

● Kotak ketiga tidak boleh diisi angka yang sama dengan kotak pertama dan kedua, sehingga kotak ini hanya dapat diisi dengan 4 cara.

ktk-1 ktk-2 ktk-3

6 5 4

2 5 4

(8)

banyak cara = 2 x 5 x 4 = 40

● Karena itu banyak arsip yang bernomor kurang dari 400 adalah 40.

● Karena seluruhnya terdapat 120 arsip, maka banyak arsip yang bernomor lebih dari 400 adalah 80.

LATIHAN SOAL :

1. Terdapat tiga buah kotak yang harus diisi dengan tiga angka tanpa pengulangan, sehingga membentuk bilangan ratusan. Angka yang diisikan dapat dipilih dari: 2, 3, 5, 6, 7, dan 9

a) Tentukan banyak bilangan genap yang terbentuk b) Tentukan banyak bilangan ganjil yang terbentuk

c) Tentukan banyak bilangan kelipatan lima yang terbentuk

2. Berapa banyak cara Anto, Budi, Citra, dan Desi dapat menyusun diri mereka dalam suatu antrean memanjang ?

3. Akan disusun pelat nomor mobil. Pelat ini terdiri atas empat angka, dengan ketentuan angka pertama tidak boleh angka nol. Tentukan banyak pelat nomor yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika :

a) Tidak boleh ada angka yang diulang b) Angka-angka boleh diulang

c) Hanya angka pertama yang tidak boleh diulang

Catatan : Jawaban terakhir dapat dihitung secara langsung. Kotak pertama dapat diisi oleh salah satu dari 5, 6, 7, dan 9, sehingga cara

pengisiannya 4 cara. Dengan argumentasi yang sama, kotak kedua dapat diisi 5 cara dan kotak ketiga 4 cara.

ktk-1 ktk-2 ktk-3 banyak cara = 4 x 5 x 4 = 80

Karena itu banyak arsip yang bernomor lebih dari 400 adalah 80.

4

4 5

(9)

LKS 3 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATERI : Peluang

KOMPETENSI DASAR : 1.4 Menggunakan aturan perkalian,permutasi dan kombinasi

Dalam pemecahan masalah

INDIKATOR : 1. Memahami permutasi

2. Menggunakan permutasi RANGKUMAN MATERI

A. Permutasi

Permutasi adalah suatu cara pemilihan / penyusunan k buah unsur dari n buah unsur dengan memperhatikan susunan / urutannya

nPk menyatakan permutasi dari n unsur, diambil k unsur

Jika k = n, maka nPn =

(

ⁿ⁻ⁿ^!ⁿ

)

^!⁼⁰ⁿ^!^!⁼ⁿ¹^!⁼ⁿ^!

nPn = n!

Contoh soal :

1. Tentukan : a) 5P2 = 20

! 3

! 3 4 5

! 3

!

5 = x x =

b) 5P5 = 5! = 120

2. Kelurahan Taman Sari akan memilih pengurus organisasi karang taruna yang terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Jika terdapat 6 pemuda / pemudi yang mencalonkan diri, tentukan banyak cara susunan pengurus yang dapat dibentuk

Jawab :

Karena urutan susunan pengurus perlu diperhatikan, banyak cara susunan pengurus merupakan permutasi dari n = 6 unsur yang diambil k = 4 unsur, sehingga

nPk =

(

ⁿⁿ⁻^!^k

)

^!

(10)

6P4 = 360

! 2

! 2 3 4 5 6

! 2

!

6 = x x x x =

∴banyak cara susunan pengurus yang dapat dibentuk ada 360 cara.

3. Dalam berapa cara 8 buku pelajaran berbeda dapat Anda susun pada lemari buku Anda ? Jawab :

Banyaknya cara Anda menyusun ke-8 buku pelajaran berbeda adalah

8P8 = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 cara

B. Permutasi dengan beberapa obyek / unsur yang sama

Jika n terdiri dari beberapa obyek yang sama (n1, n2, n3, …., nr) dimana n = n1+n2+n3+…..+nr, maka permutasi dari n unsur tersebut dapat dicari dengan rumus :

Contoh soal :

Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari A K S A K O S A Jawab :

Jumlah huruf : n = 8

Huruf yang sama : A = n1 = 3 K = n2 = 2 S = n3 = 2 O = n4 = 1 +

n = 8

P = 1680

2 2

!.

3

! 3 4 5 6 7 8

! 1

!.

2

!.

2

!.

3

!

8 = =

x x x x x x

∴terdapat 1680 susunan huruf yang berbeda C. Permutasi Siklis / melingkar

Banyaknya permutasi siklis dari n obyek yang ditempatkan dalam bentuk melingkar adalah :

Contoh soal :

Suatu keluarga yang terdiri atas 5 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan berbentuk bundar. Berapa banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda ?

Jawab :

Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar merupakan permutasi siklis dari 5 unsur, yaitu = (5-1)!

= 4! = 24 P =

!

!...

!.

!

2

1 n nr

n n

(n - 1)!

(11)

Latihan soal

1. Tentukan banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata S M A R T !

2. Enam pemuda dan empat gadis berjajar menonton pertunjukan dangdut. Jika tidak boleh ada dua gadis yang berdiri secara berdampingan, tentukan banyaknya cara pengaturan mereka berjajar ?

3. Tentukan banyaknya susunan semua huruf dalam kata M A T E M A T I K A !

4. Dalam suatu rapat yang dihadiri oleh 6 peserta yang duduk mengelilingi meja bundar, berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut ?

5. Kita akan menyusun suatu sinyal dari 8 bendera yang digantung secara vertikal. Tentukan banyaknya sinyal yang dapat disusun dari 4 bendera merah, 3 bendera putih, dan 1 bendera biru !

6. Tentukan n sehingga

nP2 = 56 !

7. Dari tiga huruf A, B, C dan tiga angka 1, 2, 3 akan dibuat pelat nomor motor yang dimulai dengan satu huruf, diikuti dua angka, dan diakhiri dengan satu huruf. Oleh karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat pelat nomor tidak diperbolehkan membuat pelat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya pelat nomor yang dapat dibuat adalah ……..

a) 11 b) 27 c) 45 d) 54 e) 72

(12)

LKS 4 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATERI : Peluang kejadian

KOMPETENSI DASAR : 1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan INDIKATOR : 1. Menentukan ruang sampel suatu percobaan

2. Menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi

RANGKUMAN MATERI

Jika sekepung mata uang logam dilempar 1 kali, maka hasil yang mungkin terjadi adalah A, G. Jika sebuah dadu dilempar 1 kali, maka hasil yang mungkin terjadi adalah munculnya mata :

1, 2, 3, 4, 5, 6.

{A,G} dan {1,2,3,4,5,6} pada percobaan diatas disebut Ruang Sampel (S). Jadi Ruang Sampel adalah suatu himpunan yang unsur – unsurnya merupakan hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan.

Jika pada percobaan melempar sebuah dadu kita mengharapkan keluarnya mata bilangan prima, maka {2,3,5} dinamakan kejadian /E

{2,3,5} ⊂ {1,2,3,4,5,6}

E ⊂^S

Peluang suatu kejadian dilambangkan : P (E) yang mempunyai nilai berkisar antara : 0 ≤ P (E) ≤ 1

Contoh :

1. Dua buah koin dilempar bersamaan sekali. Berapakah peluang munculnya : a) Tepat 2 gambar

b) Paling sedikit 1 gambar Jawab :

P (E) =

( ) ( )

^S

n E

n n (E) = banyaknya unsur pada suatu kejadian n (S) = banyaknya unsur pada ruang sampel

(13)

S = {AA, AG, GA, GG} n (S) = 4 a) A = kejadian muncul tepat 2 gambar

A = {G, G} n (A) = 1 P(A) =

( )

^S ⁼⁴¹

n A n

b) B = kejadian muncul paling sedikit 1 gambar B = {AG, GA, GG} n (B) = 3

P(B) =

( ) ( )

^S ⁼⁴³

n B n

2. Dua buah dadu dilempar bersama – sama sekali. Tentukan peluang bahwa jumlah angka yang dihasilkan adalah kelipatan 4

Jawab :

S =

Dadu II

Dadu I

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Jika R = jumlah angka kelipatan 4

Jumlah yang merupakan kelipatan 4 adalah : Jumlah = 4 ada 3 buah

Jumlah = 8 ada 5 buah Jumlah = 12 ada 1 buah n (D) = 9, ∴^{P (D) =}

( )

^S ⁼⁹³⁶⁼¹⁴

n D n

3. Sebuah kantong berisi 10 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah dan yang lain berwarna putih. Berapakah peluang terambilnya 2 bola berwarna putih ?

Koin II

Koin I ^A ^G

A A, A A, G

G G, A G, G

S =

(14)

Jawab :

n (S) = banyaknya cara mengambil 2 bola dari 10 bola

n (S) = 10K2 = 45

! 8 . 1 2

! 8 9 10

! 8 .

! 2

!

10 = =

x x x

n (E) = banyaknya cara mengambil 2 bola putih dari 6 bola putih

n (E) = 6K2 = 15

! 4 . 1 2

! 4 5 6

! 4 .

! 2

!

6 = =

x x x

P (2 bola putih) = P (E) =

( )

^S ⁼¹⁵⁴⁵⁼³¹

n E

n

LATIHAN SOAL :

1. Sebuah kotak berisi 5 bola berwarna merah, 2 bola berwarna putih dan 3 bola berwarna biru.

Tiga bola diambil sekaligus secara acak dari kotak tersebut.

Berapa peluang : a) Terambil semua bola berwarna merah

b) Terambil 2 bola berwarna merah dan 1 bola berwarna biru c) Terambil 3 bola dengan warna berlainan

2. Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama – sama sekali. Berapakah peluang kejadian munculnya angka pada mata uang ?

3. Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih dilemparkan bersamaan. Tentukan peluang kejadian : a) Munculnya mata dadu 4 pada salah satu atau kedua dadu

b) Munculnya jumlah kedua mata dadu 12 c) Munculnya jumlah mata dadu ≥ 6

4. Tiga keping uang logam dilemparkan bersamaan sekali. Tentukan peluang munculnya 2 angka !

5. Tentukan banyaknya anggota ruang sampel dari pelambungan sebuah dadu dan dua keeping mata uang logam secara bersamaan !

(15)

LKS 5 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATA PELAJARAN : Matematika

MATERI : Rumus jumlah dan selisih dua sudut

STANDAR KOMPETENSI : 2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

KOMPETENSI DASAR : 2.1 Menggunakan rumus sinus dan cosines Jumlah dua sudut,selisih dua sudut dan sudut

Ganda untuk menghitung sinus dan cosinus

Sudut tertentu

INDIKATOR : 1.Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih Dua sudut

2. Menggunakan rumus cosines jumlah dan selisih Dua sudut

3. Menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih Dua sudut

Rumus – rumus fungsi trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut adalah :

cos (A+B) = cos A . cos B – sin A . sin B cos (A-B) = cos A . cos B + sin A . sin B

(16)

Contoh soal :

Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari fungsi trigonometri berikut : 1. cos 75°°°° = cos (45 + 30)°°°°

= cos 45°°°° . cos 30°°°° - sin 45°°°° . sin 30°°°°

= ₂¹ ²^⋅₂¹ ³⁻₂¹ ²^⋅₂¹ ⁼ ₄¹ ⁶⁻₄¹ ² ⁼ ₄¹

(

⁶⁻ ²

)

2. sin 15°°°° = sin (45 – 30)°°°°

= sin 45°°°° . cos 30°°°° - cos 45°°°° . sin 30°°°°

= ₂¹ ²^⋅₂¹ ³⁻₂¹ ²^⋅₂¹ ⁼ ₄¹ ⁶⁻₄¹ ² ⁼ ₄¹

(

⁶⁻ ²

)

3. tg 15°°°° = tg (45°°°° - 30°°°°) =

3 3 1 1 1

3 3 1 1

30 45 1

30 45

⋅ +

= −

°

⋅

° +

°

−

° tg tg

tg tg

= 2 3

6 3 6 12 3

9

3 3 3 3 3 9 3 3

3 3 3 3

1 1 3 3 1 1

−

− =

− = +

−

= −

−

⋅ − +

= − +

−

4. Diketahui sin α = 13

12dan cos ß = 5

4(α dan ß sudut lancip)

Tentukan: a) tg α c) sin (α + ß) e) tg (α + ß) b) tg ß d) cos (α + ß) f) tg (α - ß) sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B

sin (A-B) = sin A . cos B – cos A . sin B

tg (A+B) =

tgB tgA

⋅

− +

1 tg (A-B) =

tgB tgA

⋅ +

− 1

(17)

Jawab :

a)

cos² α = 1 – sin² α

= 1 -

2

13 12



 





= 1 -

169 25 169

144 = ^{X =} 169−144 = 25=5

cos α =

513 25169 =

tg α = 2,4

5 12 5 13 13 12 513 1213

=

×

=

b) atau

sin² β = 1 – cos² β

= 1 -

925

1625= ^{y =} 25−16 =3

sin β =

35 _{sin β =}

35

tg β = 0,75

4 3 4 5 5 3 45 35

=

×

= ^{tg β =}34

c) sin (α + β) = sin α . cos β + cos α . sin β

= 65

63 65 15 65 48 35

513 45

1213⋅ + ⋅ = + =

tg α = α α cos sin

sin²α + cos²α = 1 (Rumus identitas) atau uu

Menggunakan rumus Phytagoras

L α

12 13

sin α = 13 12

cos α = 13

5

12

tg ß =

β β

cos

sin cos β =

45

L β

5

4

(18)

d) cos (α + β) = cos α . cos β – sin α . sin β

= 65

16 65

36 65 20 5 .3 13 12 5 .4 13

5 − = − =−

e) tg (α + β) =

9 , 16 3 63 16

20 20

63 1620

6320 3620

1 6320 34

125 1

34 125

1 =− =−



 



−

×

− =

⋅ =

−

= +

⋅

− +

β α

tg tg

f) tg (α - β) = 0,58

56 33 56 20 20 33 5620

3320 3620

1 3320 34

125 1

34 125

1 = = × = =

= +

⋅ +

− −

⋅ +

−

β α

tg tg

Latihan soal

1. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai fungsi trigonometri berikut : a) sin 195°

b) cos 255°

c) tg 105°

2. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri berikut : a) sin 167° cos 107° - cos 167° sin 107° =

b) sin 22° cos 23° + cos 22° sin 23° =

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan berikut : sin (x +

6

π

) – sin (x - 6

π

_{) =}

2 3

1 dalam selang 0 ≤ X ≤ 2

π

4. Tentukan nilai sin²75° - sin² 15°

5. Jika sin A = 10

1 dan sin B = 5

1 , buktikan bahwa A + B = 45°

6. Tentukan nilai untuk perbandingan trigonometri

°

⋅

°

−

° +

°

55 80 1

55 80

tg tg

7. Diketahui tg A = 2

Tentukan tg θ jika diberikan tg (θ + A) = 4

(19)

LKS 6 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATA PELAJARA : Matematika

MATERI : Persamaan lingkaran

STANDAR KOMPETENSI : 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya KOMPETENSI DASAR : 3.1 Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi per-

Syaratan yang ditentukan.

INDIKATOR : 1. Merumuskan persamaan lingkaran berpusat di (0,0) 2.Menentukan posisi titik terhadap lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Titik tertentu tsb dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari – jari lingkaran A. Persamaan Lingkaran berpusat di O (0,0) dengan jari – jari r

Gambar di samping menunjukkan sebuah lingkar berpusat di O (0,0).

Titik P (x,y) terletak pada lingkaran, jika titik P diproyeksikan pada sumbu x, diperoleh titik Q, sehingga segitiga OPQ adalah segitiga siku – siku di Q. Oleh karena ∆OPQ siku – siku di Q menurut dalil

Pythagoras :

Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkar yang berpusat di O (0,0) dan memiliki jari – jari r

Contoh soal :

a) Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari – jari 5 2 b) Tentukan persamaan lingkaran berpusat di O (0,0) dan melalui titik (- 3, 4)

Lukislah lingkaran tersebut Jawab :

x² + y² = r²

(20)

a) r = 5 2 → r² = 50

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dengan r = 5 2adalah x² + y² = 50 b) Titik (- 3, 4) terletak pada lingkaran, berarti x = - 3 dan y = 4

memenuhi persamaan x² + y² = r² (- 3)² + (4)² = r² →^r²^{= 25} Jadi x² + y² = 25

Gambar berikut menunjukkan lingkaran x² + y² = 25

Dengan pusat O (0,0) , r = 5 , titik (- 3, 4) terletak pada lingkaran

B. Posisi titik terhadap lingkaran L : x² + y² = r²

Posisi titik terhadap sebuah lingkaran ada tiga, yaitu : Di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran

Pada gambar disamping menunjukkan titik A didalam lingkaran, titik B pada lingkaran, dan titik C diluar lingkaran

Posisi titik (x1,y1) terhadap lingkaran L : x² + y² = r²

• P (x1,y1) pada lingkaran jika x1 2 + y1

2 = r²

• P (x1,y1) di luar lingkaran jika x1 2 + y1

2 > r²

• P (x1,y1) di dalam lingkaran jika x1 2 + y1

2 < r²

Contoh soal :

1. Tanpa melukis lingkaran x² + y² = 169, tentukan posisi titik P (- 1, 13) terhadap lingkaran tersebut

Jawab :

P (- 1, 13) = P (x1,y1) →^x¹^{= -1 , y}¹^{= 13} x1

2 + y1

2 = 1 + 169 = 170 > 169

jadi titik P (- 1, 13) terletak di luar lingkaran Latihan soal :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan berjari – jari 4

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0), jika lingkaran melalui titik A (5,3) 3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) melalui titik (4,3)

4. Tentukan posisi titik – titik berikut terhadap lingkaran x² + y²= 169 a) Q (5,12)

b) R (- 1,10) c) S (- 12,- 5

(21)

LKS 7 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATERI : Pusat dan jari-jari lingkaran

STANDAR KOMPETENSI : 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya KOMPETENSI DASAR : 3.1 Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi per-

Syaratan yang ditentukan

INDIKATOR : Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persama- Annya diketahui

A. Persamaan Umum Lingkaran Untuk persamaan umum lingkaran :

maka :

Pusat lingkaran = M 



 



− −

, 2 2

B A

Jari-jari : r = A B −C



 



− +



 



− ² ²

2 2

= A + B −C 4 4

2 2

x² + y² + Ax + By + C = 0

A = koefisien dari x B = koefisien dari y Keterangan : C = konstanta

(22)

Contoh soal :

1. Sebuah lingkaran memiliki persamaan 4x² + 4y² – 80x + 12y + 265 = 0 Tentukan pusat dan jari-jarinya

Jawab :

Koefisien x² dan y² harus dijadikan satu, caranya dengan mengalikan persamaan dengan 14_, sehingga persamaan menjadi :

x² + y² – 20x + 3y + 4

265= 0 → A = -20, B = 3, C = 4 265

pusat lingkaran = M 



 



− −

, 2 2

B A

= M

( )

_



 



− − −

2 , 3 2

20 = M

(

¹⁰^,⁻³₂

)

Jari-jari : r = A B −C



 



− +



 



− ² ²

2

2 ⁼

( )

4 265 2

10 3

2

2  −



 



− +

= 4

265 4

100+9− ⁼

4 265 4 9 4

400+ −

= 4 144 =

122_{= 6}

B. Posisi titik terhadap lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0

Jika pernyataan di ruas kiri disebut Kuasa Lingkaran K, maka posisi titik terhadap lingkaran ditentukan oleh kuasa k.

Posisi titik (x1,y1) terhadap lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0. Titik P (x1,y1) memiliki kuasa k = x1 2 + y1

2 + Ax1 + By1 + C

Jika k = 0 maka titik P (x1,y1) terletak pada lingkaran Jika k < 0 maka titik P (x1,y1) terletak di dalam lingkaran Jika k > 0 maka titik P (x1,y1) terletak di luar lingkaran Example

1. Tentukan posisi titik D (2,9) terhadap lingkaran dengan persamaan : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

jawab :

Kuasa D (2,9) : KD = 2²+ 9²- 4.2 - 8.9 – 5 = 4 + 81 – 8 – 72 – 5 = 0

(23)

∴D terletak pada lingkaran Latihan soal :

1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut : a) x² + y² - 2x + 4y – 20 = 0

b) x² + y² + 4x + 2y + 1 = 0

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (-1,2), (7,-2) dan (8,5) 3. Lingkaran x² + y² - 4x + 2y + c = 0, mempunyai jari-jari 3. Tentukan C ?

4. Diketahui lingkaran x² + y² + 4x + ky – 12 = 0 melalui titik (-2,8). Jari-jari lingkaran tersebut adalah ...

A. 1 B. 5 C. 6 D. 12 E. 25

5. Tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran dengan persamaan x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

a) E (-2,5) b) F (3,-1)

6. Tentukan jarak antara titik A (3,5) dengan pusat lingkaran x² + y² + 3x – 7y – 18 = 0. Kemudian selidiki posisi titik tersebut terhadap lingkaran

(24)

LKS 8 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATERI : Persamaan garis singgung

STANDAR KOMPETENSI : 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya KOMPETENSI DASAR : 3.2 Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Dalam berbagai situasi

INDIKATOR : Menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu Titik pada lingkaran

• Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran Pada gambar disamping garis singgung melalui

titik P (x1,y1) yang terletak pada lingkaran. Titik P disebut sebagai titik singgung. Jari-jari r adalah jarak titik pusat M (a,b) ke garis singgung g. Misalkan garis g dinyatakan dalam bentuk Ax + By + C = 0, maka jarak titik P (x1,y1) ke garis g : Ax + By + C = 0 adalah :

d =

2 2

1 1

B A

C By Ax

+ +

+

Example :

Jarak titik P (-3,1) ke garis 3x – 4y + 3 = 0 adalah :

d =

( )

( ) ( )

5 3 1 4 3 3 4 3

3 4 3

2 2 1

1 − − +

− = +

+

− y

x

= 2

5 10 5

10 = =

−

P (x1,y1)

Garis singgung g M (a,b)

d

P(x1,y1)

(25)

Persamaan garis singgung melalui suatu titik yang terletak pada lingkaran adalah sebagai berikut :

• Persamaan lingkaran : x² + y² = r²

Persamaan garis singgung : x1.x + y1.y = r²

• Persamaan baku lingkaran : (x-a)² + (y-b)² = r²

Persamaan garis singgung : (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r²

• Persamaan umum lingkaran : x² + y² + Ax + By + C = 0 Persamaan garis singgung : x1.x + y1.y +

2

A(x1+x) + 2

B(y1+y) + C = 0

Contoh soal :

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2,2) pada lingkaran x² + y² = 8

jawab :

Periksa dulu apakah titik (2,2) terletak pada lingkaran x² + y² = 8 (2)² + (2)² ? 8

4 + 4 = 8 (Benar)→∴titik (2,2) adalah titik singgung Persamaan garis singgungnya : x1.x + y1.y = 8→^x¹^{= 2, y}¹^{= 2}

2x + 2y = 8 x + y = 4

2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-3,-4) pada lingkaran x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0

jawab :

Periksa titik (-3,-4) terhadap lingkaran x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0 9 + 16 – 18 + 8 – 15 ? 0

0 = 0→∴^(-3,-4) adalah titik singgung Persamaan garis singgungnya :

x1.x + y1.y + 2

6(x1 + x) + 2

−2

(y1 + y) – 15 = 0→^x¹^{= -3, y}¹^{= -4}

-3.x + (-4).y + 3 (-3 + x) - (-4 + y) – 15 = 0

(26)

-3x – 4y – 9 + 3x + 4 – y – 15 = 0 -5y – 20 = 0

y = -4

Latihan soal :

1. Tunjukkan bahwa titik A (2,-4) terletak pada lingkaran x² + y² = 20, kemudian tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik tersebut

2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x+2)² + (y-3)² = 9 di titik (-2,6) 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 3x² + 3y² – 6x – 9y – 3 = 0 di titik A (-1,2) 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 4x + 2y – 8 = 0 di titik (-5,-3)

5. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 100 di titik (8,-6) menyinggung lingkaran dengan pusat (4,-8) dan jari-jari r. Tentukan nilai r

(27)

LKS 9 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / PROGRAM : XI IPA

SEMESTER : 2

MATERI : Fungsi invers dari suatu fungsi

STANDAR KOMPETENSI : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

KOMPETENSI DASAR : 5.2 Menentukan invers suatu fungsi

INDIKATOR : Menggunakan konsep,sifat dan aturan fungsi invers dalam pemecahan masalah

RANGKUMAN MATERI :

A B

f : A → B, mempunyai arti bahwa setiap a ε A mempunyai tepat 1 bayangan yaitu f(a) = a¹ g : B → A, berarti a¹ ε B mempunyai tepat 1 bayangan yaitu g(a¹) = a

jika hal tersebut berlaku dimana mempunyai hubungan timbal balik antara himpunan A ke himpunan B, dan sebaliknya maka dikatakan :

fungsi g = f ^-1 (invers dari fungsi f) fungsi f = g ^-1(invers dari fungsi g)

*Syarat agar fungsi mempunyai invers*

Perhatikan diagram berikut :

a a¹

f

>

<

g

a b c

p q

b c

p q r

a b c

p q r

A (i) B C (ii) D E (iii) F

(28)

(i) Jika anak panah dibalik maka dari himpunan B ke himpunan A bukan merupakan fungsi karena q mempunyai 2 peta, sehingga fungsi tersebut tidak mempunyai invers

(ii) Dari himpunan D ke C tidak dikatakan sebagai fungsi karena elemen p tidak mempunyai peta / bayangan sehingga fungsi tersebut tidak mempunyai invers

(iii) Dari himpunan F ke E merupakan fungsi, sehingga keadaan yang demikian dikatakan bahwa fungsi yang satu merupakan invers dari fungsi yang lain

Jadi suatu fungsi dari A ke B dikatakan mempunyai invers jika A dan B berada dalam keadaan korespondensi satu – satu, (spt. iii)

*Cara menentukan Rumus fungsi invers*

Jika f dan f ^-1 merupakan fungsi invers, maka :

Daerah asal f adalah daerah hasil dari f ^-1 dan daerah hasil f adalah daerah asal dari f ^-1 Example

Jika f : R → R masing – masing merupakan fungsi invers yang ditentukan oleh fungsi berikut, tentukan rumus untuk fungsi inversnya atau f ^-1(x) jika diketahui :

a) f(x) = 2x + 3 c) f(x) = x 4 3

2

− b) f(x) = x³ d) f(x) =

1 2

4 3

− + x x

Jawab :

a) f(x) = 2x + 3 , f ^-1(x) = ………….

2x + 3 = y f ^-1(y) = 2

1(y – 3) 2x = y – 3 ∴f ^-1(x) =

2

1(x – 3)

x = 2

1(y – 3)

b) f(x) = x³ f ^-1(y) = y^1/3 x³ = y f ^-1(x) = x^1/3 = ³ x x = ³ y= y^1/3

x

= f ^-1(y)

y

= f (x) f

>

<

f ^-1

f(x) = y f ^-1(y) = x

(29)

c) f(x) = x 4 3

2

− f ^-1(y) = 



 



3− 2y 4

1

x 4 3

2

− = y 3 – 4x =

2y _f^-1_{(x) =}₄¹

(

³⁻²_x

)

2y 3− = 4x

x = 



 



 − 2y 4 3 1

d) f(x) = 1 2

4 3

− + x

x x =

y y

2 3

4

−

1 2

4 3

− + x

x = y f ^-1(y) =

y y

2 3

4

−

− 3x + 4 = 2xy – y f ^-1(x) =

3 2

4 2

3 4

−

= +

−

x x x x 3x – 2xy = -y – 4

x(3 – 2y) = -y – 4

Catatan : Bilangan -1 pada f ^-1(x) bukanlah eksponen sehingga f ^-1(x) ≠ ) ( 1

x f Latihan soal :

1. Diketahui f : R → R dirumuskan dengan f(x) = 1

2 3

− + x

x a) Tentukan invers dari f(x)

b) Tentukan domain dan range dari f c) Tentukan p jika f ^-1(p) = 5

2. Diketahui f : R → R dirumuskan dengan f(x) = x x 2 3 −

Agar f ^-1(k) = 1 , Tentukan nilai k

3. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f(x) = 2 9

3 4

−

− x

x mempunyai fungsi invers. Range f agar fungsi tersebut terdefinisi adalah ………

4. Diketahui f(x) = 3

1 2

− + x

x , x ≠ 3. Jika f ^-1 adalah invers f(x), maka f ^-1(x – 2) = ………

5. Jika f(x) = 4x³ + 1 , Tentukan nilai c jika f ^-1(c) = 2

(30)

LKS 10 ( Lembar Kerja Siswa )

SMA PGRI 1 BEKASI

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

KELAS / PROGRAM : XI IPA

SEMESTER : 2

MATERI : Turunan fungsi aljabar

STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR : 6.3 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

INDIKATOR : Menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar

RANGKUMAN MATERI :

Aturan turunan

1. Turunan fungsi konstan

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka f ' (x) = 0 2. Turunan fungsi identitas

Jika f(x) = x maka f '(x) = 1 3. Turunan fungsi Eksponen

Jika f(x) = a xⁿ maka f '(x) = n . a x^n-1 4. Turunan jumlah atau selisih fungsi

Jika U dan V adalah fungsi-fungsi dari variabel x yang dapat diturunkan maka U + V dan U – V juga dapat diturunkan.

Misalkan f(x) = U(x) + V(x) dan g(x) = U(x) – V(x) maka f '(x) = U '(x) + V '(x) dan g(x) = U '(x) – V '(x)

Dengan demikian, turunan dari jumlah/selisih dua fungsi merupakan jumlah/selisih dari turunan –turunannya.

(31)

Contoh soal :

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut : 1. f(x) = 13

f '(x) = 0 2. f(x) = x³

f '(x) = 3x²

3. f (x) = x 2

=

12

2

x = 2. x⁻¹² f '(x) = -

1 . 2 . x2 ⁻¹²⁻²² = - x⁻³²

= -

32

1 x = -

3

1 x

= - x x

1

4. g (x ) = -2x ^-4 +

1 x5 ⁵ - ₂¹ x ^-6

g '(x) = - 4 . -2 . x ^-4-1 + 5 . ₅¹x ^5-1- 6 . (-

1 ) x 2 ^-6-1 = 8x ^-5 + x⁴ + 3x^-7

5. h (x) = 23

4 x

+

6 5

5 6

x =

13

. 2

4 x

+

56

. 5

6 x

= 4 x 2 ^-¹³ +

6 x 5 ^-⁵⁶ h '(x) = -

2 x 3 ^-⁴³ - x ^-¹¹⁶

= -

43

3 2 x

-

116

1 x

= -

3 4

3 2

x -

6 11

1 x = -

3 3

2 x

x ^- ⁶ ⁵ 1

x x

6. f (a) = 5 a5

+

23

6 a =

5

1a⁵ + 6a ^-²³

f '(a) = a⁴ – 4a^-⁵³ = a⁴ -

53

4

a = a⁴ -

3 5

4 a

= a⁴ -

3 2

4 a a

(32)

Latihan soal :

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut : 1. f (x) = 6x⁴ – 4x ^-6 +

1 x4 ⁶ - 16

− x ^-4 2. f (x) = -

1 x3 ³ + 3x ^-¹³- 3x³ + 3x + 3 3. f (x) = ⁴ x + ⁷ x²

4. f (x) = 5 ⁶ x⁵ -

12 ⁸ x⁵ 5. g (x) =

4

3 x +

5 2

8 x 6. g (x) =

33

7 x

− -

5 2

4 9

x

7. Nilai turunan f (x) = ³ x² untuk x = 8 adalah…

8. Sebuah benda bergerak sepanjang lintasan s meter dalam waktu t detik, jika

s = 2t³ + 5t² – 3t + 2 dan kecepatan adalah turunan pertama dari s, maka kecepatan benda pada detik ke 3 adalah……..

9. Jika f(x) = x³ + 2x² – 3, maka nilai a yang memenuhi f(a) = 0 adalah…….

10. Sebuah bola yang dilempar ke atas akan mencapai ketinggian h meter setelah t detik, dengan h(t) = 24t – 0,8t²

a) jika laju bola adalah turunan pertama dari h, tentukan fungsi laju bola.

b) tentukan ketinggian bola pada saat kecepatannya 0^met_det c) tentukan kecepatan bola pada saat menyentuh tanah.