i
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh: Gigih Adiguna NIM: 063114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
ii
NUMERICAL INTEGRATION
USING GAUSS-LEGENDRE METHODS
A PAPER
Presented As Partial Fulfillment Of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree Of
Mathematics Study Program
Written by: Gigih Adiguna Student ID: 063114005
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
"if you think you are too small to
make a difference, try sleeping
with MOSQUITO"
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 31 Januari 2013 Penulis
vii
ABSTRAK
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi berderajat n. Salah satu metode Newton-Cotes bentuk tertutup adalah metode trapesium. Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan nilai fungsi pada batas awal dan batas akhir.
viii
ABSTRACT
Numerical integration is a kind of method which is used by some scientists in gaining approaches to solve a certain integral, which cannot be solved analytically. There are some of numerical integral methods; they are Newton-Cotes method and Gauss method. Newton-Newton-Cotes method is a kind of numerical integration method, in which integral function is approached by n degrees interpolated polynomial. One of the Newton-Cotes closed methods is trapezoid method. Geometrically, trapezoid method is a kind of method which approaching the wide area of trapezoid below the straight line connecting the function numbers on the first limit and the last limit.
In the Newton-Cotes method, the condition before conducting integration we must decide the points with the same space limit. Those points have to start and stop on the points of interval between first and last limit. It becomes different when in Newton-Cotes method, in the Gauss method, to evaluate the wide area below the lines, it’s chosen a random point. One of the special formulas from Gauss is Gauss-Legendre. In the Gauss-Legendre method, before conducting
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama
Nomor Mahasiswa
: Gigih Adiguna : 063114005
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 31 Januari 2013 Yang menyatakan
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.
Dalam menulis makalah ini banyak hambatan dan kesulitan yang penulis temukan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya makalah ini dapat selesai. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus dosen pembimbing makalah yang telah meluangkan waktu, pikiran, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam menyusun makalah ini.
3. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing akademik sekaligus dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan masukan dan saran.
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
xi
7. Teman-teman angkatan 2006 tanpa terkecuali yang telah memberikan semangat kepada penulis.
Yogyakarta, 31 Januari 2013
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………..
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………
HALAMAN PENGESAHAN ………
HALAMAN PERSEMBAHAN ……….
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………
i iii iv v vi
ABSTRAK ………..
ABSTRACT ………
HALAMAN PUBLIKASI ………..
KATA PENGANTAR ………
DAFTAR ISI ………...
DAFTAR GAMBAR ………..
vii viii
ix x xii xiv
BAB I. PENDAHULUAN ………..
A. Latar Belakang ………... B. Perumusan Masalah ………... C. Pembatasan Masalah ……….. D. Tujuan Penulisan ………...
E. Manfaat Penulisan ………..
F. Metode Penulisan ………... G. Sistematika Penulisan ………
xiii
BAB II. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE
NEWTON-COTES……….
A. Fungsi dan Integral Fungsi ..……….. B. Metode Newton-Cotes ………... C. Metode Trapesium………..
6 6 33 38 BAB III. PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE
GAUSS-LEGENDRE ……….………
A. Metode Gauss-Legendre………... B. Metode Koefisien Tak Tentu...………... C. Metode Gauss-Legendre Dua Titik……… D. Metode Gauss-Legendre Tiga Titik ………..
BAB IV. PENUTUP ………
A. Kesimpulan ………
B. Saran ………..
DAFTAR PUSTAKA .……….
LAMPIRAN .………...
xiv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 ………... 7
Gambar 2.2 ………...
Gambar 2.3 ………...
Gambar 2.4 ………...
Gambar 3.1 ………...
Gambar 3.2 ………...
Gambar 3.3 ………...
Gambar 3.4 ………...
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Integrasi numeris adalah metode yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian intergral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku, yakni rumus-rumus yang sudah dibuktikan kebenarannya dan memberikan hasil sebenarnya yang memiliki galat sama dengan nol. Integrasi numeris dilakukan dengan mengevaluasi integral tentu pada batas integrasi. Ada beberapa metode pengintegralan numeris, yaitu metode Newton-Cotes dan metode Gauss. Metode Newton-Cotes terdiri dari metode trapesium dan metode Simpson. Cara kerja metode tersebut biasanya diawali dengan membagi interval integrasi menjadi beberapa subinterval dengan ukuran yang sama, kemudian mencari pendekatan luas dari setiap daerah yang terbentuk pada subinterval dan kemudian menjumlahkannya. Jika perhitungan dilakukan secara manual pada umumnya dipilih sehingga ujung setiap interval jatuh pada nilai yang mudah dihitung.
merupakan rumus paling sederhana untuk integrasi numeris. Galat rumus ini lebih besar dibandingkan dengan semua metode integrasi yang lainnya, tetapi karena kemudahan pada tekniknya, yakni fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan fungsi linear, membuat aturan ini menjadi menarik. Metode ini penting pada setiap kasus karena menunjukkan ide dasar rumus pengintegrasi dengan ukuran interval tertentu, yakni menghampiri fungsi
) (x
f dengan garis lurus yang menghubungkan f(a) dan f(b). Dalam penerapannya, metode ini membagi seluruh interval menjadi sub-subinterval dan mendekati kurva dalam beberapa subinterval dengan kurva yang lebih sederhana, yakni kurva linear, sehingga nilai integralnya dapat dihitung secara analitis.
relatif lebih teliti dan rumusnya tidak lebih kompleks daripada metode trapesium , yakni mendekati fungsi yang akan diintegralkan dengan parabola (polinom interpolasi berderajat dua atau tiga). Karakteristik inilah yang menyebabkan metode Simpson lebih luas penggunaannya.
Berbeda dengan metode Newton-Cotes, metode Gauss dalam menghitung luas daerah di bawah garis dipilih titik sembarang secara bebas. Titik-titik tersebut dipilih untuk meminimalkan galat. Jika galat minimum, maka nilai hampirannya akan mendekati nilai sebenarnya.
B. PERUMUSAN MASALAH
Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud metode Gauss-Legendre?
2. Bagaimana mengintegralkan secara numeris dengan metode Gauss-Legendre?
C. PEMBATASAN MASALAH
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre dan untuk memperoleh pendekatan penyelesaian integral tentu yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami pengintegralan numeris dengan metode Gauss-Legendre yang memberikan ketelitian yang lebih tinggi dalam mendapatkan pendekatan penyelesaian integral tentu.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik makalah ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH B. RUMUSAN MASALAH
D. TUJUAN PENULISAN E. MANFAAT PENULISAN F. METODE PENULISAN G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB II PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE NEWTON-COTES
A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI B. METODE NEWTON-COTES
C. METODE TRAPESIUM
BAB III PENGINTEGRALAN NUMERIS DENGAN METODE GAUSS- LEGENDRE
A. METODE GAUSS-LEGENDRE B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK D. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK BAB IV PENUTUP
6
BAB II
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE NEWTON-COTES
A. FUNGSI DAN INTEGRAL FUNGSI
Definisi 2.1
Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari satu himpunan dengan
elemen-elemen dari suatu himpunan kedua. Fungsi adalah relasi di mana setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f dan f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.
Daerah asal adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi, sedangkan daerah hasil adalah himpunan komponen keduanya. Fungsi belum dapat ditentukan bila daerah asalnya belum diberikan.
Contoh 2.1
Jika f(x)x34, tentukan daerah hasilnya untuk x2,x3,x4 dan 5
Penyelesaian
Gambar 2.1
Dari gambar 2.1 di atas himpunan
2,3,4,5
menunjukkan daerah asal fungsi, sedangkan himpunan
4,23,60,121
menunjukkan daerah hasil fungsi.Definisi 2.2
Contoh 2.2
Buktikan fungsi f dengan f(x)4x, pada interval 1x1 adalah terbatas
Penyelesaian
Jelas f(x) 5,x
1,1 . Jika dipilih M 5 maka f(x) 5 )(x f
terbatas untuk x
1,1Definisi 2.3
Missal AR, fungsi f adalah fungsi dari A ke R. Dikatakan bahwa
L x f
c
x ( )
lim berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
L
x
f( ) asalkan bahwa 0 xc ; yakni,
x c f(x) L
0
Teorema 2.1
Andaikan n bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c. Maka
1. k k
c x
2. x c
c x
lim ,
3. kf
x k f
xc x c
x lim
lim ,
4.
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
lim ,
5.
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
lim ,
6.
f
x g x
f
x g
xc x c x c
x . lim .lim
lim ,
7. Jika g
x Lc x
lim dan lim f
x f(L)c
x , maka limxc f
g
x f(L)8.
g
x x f xg x f
c x
c x c
x
lim
lim
lim asalkan lim
0cg x
x ,
9. lim
xcf x
( )
n= lim
xc f(x)
n
,
10. lim
xc f x
( )
n = lim xc f(x)
n asalkan lim
0c f x
x jika n genap.
Bukti
1. Akan dibuktikan 0 0 sehingga
0 xc kk
Ambil sebarang 0, akan dicari 0 sehingga
x R 0 x c k k
Diketahui 0 xc bila
1 jadi
k 0x c 0.1
k
Menurut definisi 2.3, maka
k k
c
x
lim
2. Akan dibuktikan 0 0 sehingga
0 xc xc
Ambil sebarang 0, akan dicari 0 sehingga
x R 0 x c x c
Ambil 0, perhatikan bahwa xc 1xc
Diketahui 0 xc bila jadi xc 1xc 1 Menurut definisi 2.3, maka
c x
c
x
lim
3. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga
x c kf(x) kL
0
ambil sebarang 0 pilih
k
sehingga untuk 0 xc
Maka
k k L x f k kL x
kf( ) ( )
x k f
x kfc x c
x
lim lim
4. Missal f x L
c
x ( )
lim dan g x K
c
x ( )
lim
Akan dibuktikan 0 1 0 sehingga
2 )
(
0 xc 1 f x L
Akan dibuktikan 0 2 0 sehingga
2 ) ( 0 2 g x K c x x Perhatikan bahwa K x g L x f K L x g x f K L x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K x g L x
f
( ) ( )
Ambil sebarang 0, jika dipilih min
1,2
maka 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
(x g x L K f x L g x K
f
Menurut definisi 2.3, maka
f x g x
f
x g
xc x c
x c
x
lim lim lim
5. Akan dibuktikan
f
x g x
f
x g
xc x c
x c
x lim lim
Menurut Teorema 2.1 ) ( lim ) ( lim ) 3 ( ) ( lim ) 1 ( ) ( lim ) 4 ( ) ( ) 1 ( lim ) ( lim )) ( ) 1 ( ) ( ( lim )) ( ) ( ( lim x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f c x c x c x c x c x c x c x c x
6. Akan dibuktikan 0 1 0 sehingga
lim
xc f(x)=L dan limxcg(x)=M
) 1 ( 2 ) ( 0 1 M L x f c
x
Akan dibuktikan 0 2 0 sehingga
L M x g c x 2 ) (
0 2
Perhatikan bahwa
f(x)g(x)- LM
LM x Lg x Lg x g x
f
( ) ( ) ( ) ( ) LM x Lg x Lg x g x
f
( ) ( ) ( ) ( ) M x g L L x f x
g
( ) ( ) ( )
Akan dibuktikan g(x) M 1
- e < g(x)- M <e
M x
g
M ( )
- M - 1<M- e <g(x)<M+e < M +1
1 )
(x M g
Sehingga
f(x)g(x)- LM £ M +1 f(x)- L +L g(x)- M
Ambil sebarang 0, Jika dipilih min
1,2
maka
L L M
M
M x g L L x f M LM x g x f c
x
2 1 2
1
) ( )
( 1 )
( ) ( 0
Menurut definisi 2.3, maka
f
x g x
f
x g
xc x c x c
x . lim .lim
lim
7. Akan dibuktikan 0 0 sedemikian hingga
x c f g(x) f L
0
Dari f
y Lc
x
Dari g
x Lc
x
lim ambil sebarang 0 pilih 0 sehingga untuk
x c
0 Maka g
x L 1 atau yL 1 dimana
xg y
Dari (1) dapat dilihat bahwa
Jika 0 xc maka f
g
x f L f y f L 8. Misalkan g x L
c x ( )
lim dan lim
xc f(x)=M
Akan dibuktikan 0 $
d
>0 sedemikian hingga0< x- c <d Þ f(x) g(x)
-M L <e
Ambil sebarang 0
Akan dibuktikan lim
xc
1
g(x)= 1
L
Diketahui 0
$
d
1>
0
sedemikian hingga 0< x- c <d 1Þ g(x)- L <aPerhatikan bahwa
- a < - g(x)- L < g(x)- L
Dipilih 0
2 1
L
- a + L < g(x)
g(x) >1 2 L 1
g(x) < 2
L
Jadi 1
g(x) -1
L =
L- g(x)
Lg(x) = 1
Lg(x) L- g(x) = 1
g(x) 1
L L- g(x)
< 2
L2 L- g(x)
Diketahui "
e
>0 $ d 2 >0 sedemikian hingga0< x- c <d 2 Þ 0< g(x)- L <1
2 L 2
e
Ambil sebarang 0, Jika dipilih d =max
{
d 1,d 2}
maka 1g(x) -1
L <
2
L2 L- g(x) <
2
L2.
1 2 L
2 .e =e
jadi terbukti bahwa \ lim
xc
1
g(x)= 1
L
Sehingga menurut Teorema 2.1 no. 6, misal 1
lim
xc f(x).h(x)=limxc f x
( )
. limxch x( )
=M.1
L
= M
L
=lim
xc f(x)
g(x)
c x
c x c
x g x
x f x
g x f
lim lim
lim asalkan lim
0cg x x
9. Misal
lim
xc
f
(
x
)
=
L
Untuk n1 lim
xc
[
f(x)]
1 =lim
xc f(x)
= lim
xc f(x)
(
)
1=
( )
L 1=L
Pn yaitu lim
xc
[
f(x)]
n= lim
xc f(x)
n
benar untuk n1
Diasumsikan Pn benar untuk n=kÎ N, yaitu lim
xc
[
f(x)]
k= lim
xc f(x)
k
=Lk, kN
1 1
.
) ( lim . ) ( lim
) ( lim . ) ( lim
) ( . ) ( lim )
( lim
k k
c x k c x
c x k c
x
k c
x k c
x
L L L
x f x
f
x f x
f
x f x f x
f
jadi Pn benar untuk n=k+1, maka menurut induksi matematika
f x
f x
n n Nc x n c
x
lim ( ) lim ( )
10. Misalkan n=2k, k=1 lim
xcg(x)=L
k k
c
x g x L
2 2 ( )
lim
f(x)=2kx
Menurut Teorema 2.1 no 7 maka lim
xc g(x)
2k =lim
xc f(g(x))
= f lim
xcg(x)
(
)
= lim
xcg(x)
Contoh 2.3
Buktikan lim(3 7) 5
4
x
x
Penyelesaian
Menurut Teorema 2.1 lim
x4(3x- 7)=limx43x- limx47 (5) =3lim
x4x- 7 (3)dan(1) =3.4- 7 (2)
=12- 7 =5
Definisi 2.4
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat c. Dikatakan bahwa f kontinu di c jika
lim f(x) f(c)
c
x .
Contoh 2.4
Apakah
2 4 )
(
2
x x x
f kontinu di titik x2
Penyelesaian
maka f(2) tidak terdefinisi Jadi f tidak kontinu di x2
Definisi 2.5
Fungsi f adalah kontinu di kanan di a jika lim
xa+ f(x)= f(a) dan kontinu di
kiri pada b jika lim
xb- f(x)= f(b)
Dikatakan bahwa f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut. Ia kontinu pada selang tertutup
[ ]
a,b jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di bContoh 2.5
x x
f( )1 kontinu pada I (0,1)
Definisi 2.6
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f yang nilainya pada sebarang ' bilangan x adalah
h x f h x f x
f
h
) ( ) ( lim ) ( '
0
Jika limitnya ada, dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x. Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Secara umum turunan fungsi f , ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n1),n1,2,3,... dengan f(0)(x) f(x).Turunan ke-
n dari fungsi pada titik x dapat dihitung dengan definisi
) ( ) ( ,..., 3 , 2 , 1 , ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( x f x f n h x f h x f x t x f t f x f n n h n n x t n Contoh 2.6
Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x)13x6, untuk x4
Penyelesaian
Turunan pertama dari fungsi f(x)13x6 untuk x4 adalah
Teorema 2.2
Jika f' c( ) ada, maka f kontinu di c.
Bukti
Akan ditunjukan lim f(x) f(c)
c
x .
c x c x c x c f x f c f x
f
( ) ( ) ( ).( ), ) (
oleh karena itu, jika diambil limitnya di xc
) ( 0 ). ( ' ) ( ) ( lim . ) ( ) ( lim ) ( lim ) .( ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim c f c f c f c x c x c f x f c f c x c x c f x f c f x f c x c x c x c x c x
Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f'. Misalnya, jika f(x)x2
Teorema 2.3
Jika f(x)k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f'(x)0, yakni
0 ) (k Dx
Bukti
0 0 lim lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0
0
h h
h
h k k
h x f h x f x
f
Teorema 2.4
Jika f(x)x, maka f'(x)1, yakni
1 ) (x Dx
Bukti
1 lim lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0
0
h h h
x h x
h x f h x f x
f
h h
Teorema 2.5
Jika n
x x
f( ) , dengan n bilangan bulat positif, maka '( ) n1
nx x
f , yakni
1
) ( n n
x x nx
D Bukti h h nxh h x n n nx h h x h nxh h x n n h nx x h x h x h x f h x f x f n n n n h n n n n n n h n n h h 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 0 ... 2 ) 1 ( lim ... 2 ) 1 ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( '
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h
mendekati nol. Jadi
1
) (
' x nxn f
Teorema 2.6
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka ) ( ' . ) ( )'
k.f(x)
k.D f(x)Dx x
Bukti
Andaikan F(x)k.f(x). Maka
) ( ' .
) ( ) ( lim .
) ( ) ( . lim
) ( . ) ( . lim
) ( ) ( lim ) ( '
0 0 0 0
x f k
h x f h x f k
h x f h x f k
h
x f k h x f k
h x F h x F x
F
h h h h
Teorema 2.7
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka )
( ' ) ( ' ) ( )'
(f g x f x g x yakni, Dx
f(x)g(x)
Dxf(x)Dxg(x)Bukti
) ( ' ) ( ' ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 0 0 x g x f h x g h x g h x f h x f h x g h x g h x f h x f h x g x f h x g h x f x F h h h h Teorema 2.8Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka ) ( ' ) ( ' ) ( )'
(f g x f x g x yakni, Dx
f(x)g(x)
Dxf(x)Dxg(x)Bukti
) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( x g D x f D x g D x f D x g D x f D x g x f D x g x f D x x x x x x x x Teorema 2.9Misalkan f C
a,b dan f terdeferensial pada
a,b . Jika f(a) f(b) , maka ada paling sedikit satu bilangan c
a,b sedemikian sehinggaBukti
Karena f(x) kontinu pada selang a xb, berarti f(x) mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam
a,b , jadi m f(x)M dalam
a,b . Bila mM, maka f(x)= konstan, berarti f(x)0.Karena mM dan f(a) f(b), maka paling sedikit salah satu m atau M
tidak sama dengan f(a) f(b), misalnya M f(a). Maka nilai maksimum
M tidak pada titik akhir dari
a,b , melainkan terletak di xc , (acb)dan berarti f'(c)0.
Teorema 2.10
Jika f kontinu pada selang tertutup
a,b dan terdefinisikan pada titik-titik dalam dari
a,b , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam
a,bdengan
) ( ' ) ( ) (
c f a
b a f b f
Bukti
) ( ) ( ) ( ) ( )
( x a
a b
a f b f a f x
g
Selisih antara grafik f dan g pada x adalah
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( x a
a b
a f b f a f x f x g x f x
h
Dari persamaan tersebut, maka h(a)h(b)0. Oleh karena fungsi-fungsi
) (x
f dan (xa) adalah kontinu dalam a xb dan terdeferensial dalam
)
(a xb , maka menurut Teorema 2.9 ada nilai x yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk xc, a cb berlaku h'(c)0.
diperoleh
a b
a f b f x f x h
( ) ( ) ( ) )
( '
'
Untuk persamaan xc, menjadi
a b
a f b f c f c h
( ) ( ) ( ) )
( '
'
a b
a f b f c f
( ) ( ) ( )
0 '
a b
a f b f c f
( ) ( ) )
( '
Definisi 2.7
Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika )
( ) (
' x f x
F untuk semua xdi I .
Leibniz menggunakan lambang
...dxuntuk menunjukkan anti turunan terhadap x, sama seperti Dx menunjukkan turunan terhadap x. Perhatikan bahwa Dx
f(x)dx f(x).Teorema 2.11
, 1
1
1 1
n c x n dx
xn n
Bukti
Untuk menunjukkan hasil berbentuk
f(x)dxF(x)cmaka ditunjukan
F(x) c
f(x)Dx
n
n n
x
x n n c n
x Dx
) 1 ( 1 1 1
1
c
n x dx x
n
n
11
Teorema 2.12
Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta maka
kf(x)dxk
f(x)dx.Bukti
Berdasarkan Teorema 2.6
) (
) ( )
(
x kf
x f kDx dx
x f k Dx
Teorema 2.13
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
f(x)g(x) dx
f(x)dx
g(x)dx.Bukti
Diferensialkan ruas kanan Berdasarkan Teorema 2.7
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
x g x f
dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx
Teorema 2.14
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka
f x g x
dx f xdx g xdxBukti
Berdasarkan Teorema 2.8
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
x g x f
dx x g Dx dx x f Dx dx x g dx x f Dx
Definisi 2.8
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup
a,b . Jika
n
i
i i
P f x x
1 0 ( )
lim ada maka f dikatakan terintegralkan pada
a,b .selanjutnya
ba
dx x
f( ) disebut integral tentu f dari a ke b dan diberikan oleh
n
i
i i P
b
a
x x f dx
x f
1 0 ( ) lim
)
(
Teorema 2.15
Andaikan f kontinu pada
a,b dan andaikan F sebarang anti turunan dari f di selang
a,b . Maka) ( ) ( )
(x dx F b F a f
b
a
Bukti
Andaikan P:a x0x1x2...xn1xn b adalah partisi sebarang dari
a,b . Maka
n i i i n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F 1 1 0 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( .... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Menurut Teorema 2.10 yang diterapkan pada F pada selang
xi1,xi
, i i i i i ii F x F x x x f x x
x
F( ) ( 1) '( )( 1) ( )
untuk suatu pilihan xi dalam selang terbuka
xi1,xi
. Jadi
n i i i x x f a F b F 1 ) ( ) ( ) (Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk P 0, diperoleh
b a n i i iP f x x f x dx
a F b
F( ) ( ) lim ( ) ( ) 1
0
Contoh 2.7
Tentukan
x2dx dan
30 2
Penyelesaian
c x dx
x
2 33 1
dan
3
0
3 3
9 0 3 3 1
dx x
B. METODE NEWTON-COTES
Metode Newton-Cotes merupakan metode integrasi numeris, dimana
fungsi yang akan diintegralkan didekati dengan polinom interpolasi pn(x).
Definisi 2.9
Misal n0. Diberikan fungsi bernilai real f, terdefinisi dan kontinu pada selang tertutup
a,b , dan titik-titik interpolasinya xi
a,b,i0,...,n, polinomial pn didefinisikan dengan
n
k
h k
n x L x f x
p
0
dengan
n
i k i
i k
k i
x x
x x x
L
0
Contoh 2.8
Akan disusun polinom interpolasi Lagrange berderajat 2 untuk fungsi
x x
f: 3 pada interval
1,1 , dengan titik-titik interpolasi1 , 0 ,
1 1 2
0 x x
x
Penyelesaian
Karena n2, maka
12 1
2 0 1 0
2 1
0
x x
x x x x
x x x x x L
21 x 1 x
L
12 1 2 x x x
L
Oleh karena itu
1312 1 0 3 1 1 3 1 2
1 2
2 x x x x xx
p
12 3 1 2
3
2 x x x xx
p
Teorema 2.16
ada dan kontinu pada
a,b . Maka untuk setiap x
a,b , terdapat
a bx c
c ( ) , sedemikian hingga
) ( )! 1 (
) ( )
( )
( 1
1
x n
c f x p x
f n
n
n
(2.1)
dengan
) )...( (
)
( 0
1 n
n x xx xx
(2.2)
Bukti
Jika xxi, untuk suatu i, i0,1,...,n, kedua ruas pada persamaan (2.1) sama dengan 0, dan persamaan tersebut akan dipenuhi secara trivial. Misalkan x
a,b dan x xi,i0,1,...,n. Untuk nilai x yang demikian,pertimbangkan sembarang fungsi tg
t , yang terdefinisi pada interval
a,b dengan
( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1
1
t x
x p x f t p t f t
g n
n n
n
(2.3)
Jelas bahwa g(xi)0,i0,1,...,n dan g(x)0. Jadi fungsi g akan
Khususnya, jika n0, maka berdasarkan Teorema Rolle, ada cc
xpada interval
a,b sehingga g'
c 0. Karena p0
x f x0 dan
01 t tx
, menurut persamaan (2.3) maka
) ( ) ( ' ) ( ' 0 ) ( ) ( ' ) ( ' 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 x x p x f c f c g x x f x f c f c g c x x f x f x f c f c g t x x p x f t p t f t g Sekarang misalkan n1. Karena g' t( ) bernilau nol pada n1 titik di
a,b , berdasarkan Teorema Rolle, g" bernilai nol di n titik yang berbeda. Jika langkah ini dilakukan sebanyak n1 maka g(n1) akan bernilai nol di suatu titik c
a,b , nilai dari ctergantung pada nilai x. Dengan menurunkan fungsi g(t) sebanyak n1kali maka
1!) ( ) ( ) ( 0 1 0 ) 1 (
1
Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. Gagasannya adalah menghampiri fungsi f(x) dengan polinom interpolasi pn
x . Secara umum integral suatu fungsi didekati dengan persamaan berikut
b a
b
a
n x dx
p dx x f
I ( ) ( ) (2.4) dimana
n n n n
n x a a x a x a x a x
p ( ) 0 1 2 2... 1 1 (2.5) adalah polinomial berderajat n.
(a) M Newton-Cotes tertutup (b) M Newton-Cotes terbuka
Gambar 2.3
Salah satu metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk terbuka adalah metode titik tengah, sedangkan metode yang termasuk metode Newton-Cotes bentuk tertutup adalah metode Simpson, Boole, dan trapesium. Selanjutnya akan dibahas metode Newton Cotes bentuk tertutup, yaitu metode trapesium.
C. METODE TRAPESIUM
Gambar 2.4 Metode Trapesium
Secara Geometris, metode trapesium adalah metode yang menghampiri luas daerah berbentuk trapesium di bawah garis lurus yang menghubungkan
) (a
f dan f(b) seperti pada Gambar 2.4. Rumus untuk menghitung luas daerah trapesium adalah dengan mengalikan tinggi dengan rata-rata alasnya. Dalam kasus metode trapesium ini integral dapat ditafsirkan dengan Luas
)
(I = lebar x rata-rata tinggi, dimana lebar ditafsirkan sebagai (ba) dan rata-rata tinggi ditafsirkan sebagai
f(a) f(b)
/2 karena rata-rata tinggi adalah rata-rata dari nilai fungsi pada titik batas.Teorema 2.17
3 ) )( ( '' 12 1 2 ) ( ) ( ) ( )
(x b a f a f b f c b a
f b a
, dengan c( ba, ) (2.6)Bukti
Pada Gambar 2.4 fungsi f(x) dihampiri dengan garis lurus yang melalui titik
a,f(a)
dan
b, f(b)
. Persamaan garis lurus yang melalui kedua titik tersebut adalah a b a x a f b f a f x f ) ( ) ( ) ( ) ( atau
f(x) f(a)
ba
xa
f(b) f(a)
x a
bf ba
f a
a f x f ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( x a
a b a f b f a f x f
(2.7)
dengan demikian persamaan 2.4 dapat ditulis sebagai
dx a x a b a f b f a f dx x f I b a b a
( ) ( ) ( ) ( )( ) b a a x a b a f b f x a f 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) )(( b a
2 ) ( ) ( ) ( )
(b a f a f b f a
2 ) ( ) ( )
(ba f b f a
sehingga menghasilkan persamaan
2 ) ( ) ( )
(b a f a f b
I (2.8)
Persamaan (2.8) disebut metode Trapesium.
Ketika bekerja pada daerah integral di bawah garis lurus untuk menghampiri integral di bawah kurva, akan memunculkan sebuah galat. Penafsiran untuk galat pemotongan dari penggunaan metode trapesium adalah
( ) ( )
2)
(x dx h f a f b f
E
b
a
t
, dengan hbaMenguraikan f(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xa a diperoleh
... '' )' ( 6 1 ' )' ( 2 1 )' ( ) ( )
( 2 3
a f x a f x a xf a f x f
Menguraikan f(b) f(xb) f(h) ke dalam deret Taylor di sekitar xa a diperoleh
( )''2 1 ) ( ) ( )
( )
(b f x f h f a hf a ' h2f a
f b +...
... ' )' ( 2 1 )' ( ) ( 2 ) ( 2 ... '' )' ( 6 1 | ' )' ( 2 1 )' ( ) ( 2 3 2 a f h a hf a f h a f h dx a f x a f x a xf a f E b a ... )" ( 4 1 )' ( 2 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( 3 2 3 2 3 2 a f h a f h a hf a f a a f a a af a f b a f b a bf ( )" ...
4 1 )' ( 2 ) ( ... )" ( 6 1 )' ( 2 1 ) ( 3 2 3 2 a f h a f h a hf a f h a f h a hf ... )" ( 12 1 3
h f a
b c a c
f
h
"( ), 12 1 3 Jadi 3 '' ) )( ( 12 1 a b c f
Et (2.9)
Contoh 2.9
Gunakan metode trapesium untuk menghampiri nilai integral 5 4 3 2 400 900 675 200 25 2 . 0 )
(x x x x x x
f
dari a 0ke b0.8
Penyelesaian
Nilai fungsi f(x) di titik a 0dan b0,8 masing-masing adalah 5 4 3 2 ) 0 ( 400 ) 0 ( 900 ) 0 ( 675 ) 0 ( 200 ) 0 ( 25 2 . 0 ) 0 ( f 2 . 0 dan 5 4 3 2 ) 8 . 0 ( 400 ) 8 . 0 ( 900 ) 8 . 0 ( 675 ) 8 . 0 ( 200 ) 8 . 0 ( 25 2 . 0 ) 8 . 0 ( f 232 . 0 072 . 131 64 . 368 6 . 345 128 20 2 . 0
Bila kedua hasil diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8) maka diperoleh 1728 . 0 2 232 . 0 2 . 0 ) 0 8 . 0 ( I
Bila
8 , 0 0 ) (xf ditentukan secara analitik maka diperoleh
x x x x x dx
0,8
0 6 5 4 3 2 6 400 5 900 4 675 3 200 2 25 2 .
0 x x x x x x
6438 , 1 48 , 17 9824 , 58 12 , 69 13 , 34 8 16 ,
0
Dengan demikian nilai analitiknya adalah 1,6438
Menghampiri nilai galat sangat diperlukan agar dapat diketahui besar kesalahan perhitungan. Untuk mendapatkan nilai hampiran galat tersebut, turunan kedua fungsi pada interval dapat ditentukan dengan menurunkan fungsi asli dua kali sehingga menghasilkan
4 512 1728 1620 400 ) 8 . 0 , 0 ( ), 4 . 0 ( 8000 ) 4 . 0 ( 10800 ) 4 . 0 ( 4050 400 8000 10800 4050 400 ) ( 3 2 3 2 '' x dengan x x x x f 1706 . 0 ) 8 . 0 )( 4 ( 12
1 3
t E Sehingga 00213 . 0 1706 . 0 1728 .
0
Et
45
BAB III
PENGINTEGRALAN NUMERIS
DENGAN METODE GAUSS-LEGENDRE
Metode yang umum untuk memperoleh nilai hampiran dengan metode integrasi numeris adalah metode Newton-Cotes. Metode ini dijabarkan dengan mengintegralkan polinom interpolasi. Polinom interpolasi digunakan karena suku-suku polinom mudah diintegralkan dengan rumus integral yang sudah baku. Metode Newton-Cotes memiliki 3 metode integrasi numeris yaitu metode trapesium, metode Simpson 1/3, dan metode Simpson 3/8 yang masing-masing menghampiri fungsi f(x)dengan polinom interpolasi derajat 1, derajat 2, dan derajat 3. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Dalam metode Newton-Cotes sebelum melakukan integrasi harus menentukan titik-titik yang berjarak sama. Titik-titik tersebut harus berawal dan berakhir di ujung-ujung selang a yang disebut batas awal dan b yang disebut batas akhir. Selanjutnya akan dibahas metode integrasi numeris yang juga digunakan untuk memperoleh nilai hampiran, metode tersebut adalah metode Gauss.
Titik- titik x1,x2,...,xn pada interval
a,b dan koefisien c1,c2,...,cn dipilih untuk meminimalkan galat sehingga diperoleh rumus hampiran
b
an
i
i if x
c dx x f
1
) ( )
( (3.1)
Salah satu rumus khusus Gauss adalah Rumus Gauss-Legendre.
A. METODE GAUSS-LEGENDRE
Gambar 3.1
Pada metode Gauss-Legendre sebelum melakukan integrasi ditentukan terlebih dahulu garis lurus yang menghubungkan titik-titik sembarang pada kurva dengan menetapkan titik-titik tersebut secara bebas. Jika menggunakan dua titik x1 dan x2 yang berada di dalam interval
1,1 maka garis yang melalui dua titik (x1,f(x1))dan
x2,f
x2
memotong kurva dan luas daerahGambar 3.2
Dalam metode Gauss-Legendre tidak lagi ditentukan titik-titik diskret yang berjarak sama seperti pada metode Newton-Cotes. Pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan mengenai pemilihan titik-titik tersebut untuk memperkecil kesalahan memperoleh nilai hampiran.
B. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Persamaan garis yang melalui dua titik (a,f(a))dan
b,f
b
adalaha b
a x a f b f
a f y
) ( ) (
) (
(3.2)
atau
a b
a f b f a x a f y
dan luas daerah trapesium di bawah garis adalah
2
b f a f a b
I (3.4) Persamaan (3.4) dapat dinyatakan sebagai
) ( )
( 1 2 2
1f x c f x
c
I (3.5) dimana c1 dan c2 adalah konstanta.
Metode trapesium dapat menghasilkan hasil yang tepat ketika fungsi yang diintegrasikan tersebut adalah suatu konstanta atau garis lurus. Dua persamaan yang sederhana ditunjukan pada kasus y1 dan y x. Keduanya diilustrasikan pada Gambar 3.3.
Gambar 3.4. Metode Trapesium untuk nilai y x
Konstanta c1 dan c2 tersebut akan ditentukan dengan menggunakan
metode koefisien tak tentu yang dipaparkan sebagai berikut. Untuk f(x)1, persamaan (3.5) menjadi
2 1 2 / ) (
2 / ) (
1dx c c
a b
a b
(3.6)
dan untuk f(x) xpersamaan (3.5) menjadi
2
2 2
1 2
/ ) (
2 / ) (
a b c a b c xdx
a b
a b
(3.7)
2 2
2 1
a b a b c
c a b c
c1 2 (3.8)
dan untuk persamaan (3.7) menjadi
2 2
2 1
2 2 1 2
2 1 2
2
c b a c b a b a b a
0 2
2 2
1
c b a c b a (3.9)
Persamaan (3.8) dan (3.9 ) merupakan dua persamaan dengan dua koefisien yang tidak diketahui. Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut untuk c1danc2adalah
2
2 2
1
a b c a b
c
2 1 c
c
2 2 c
c a b
2 2c a b
2
2 c
a b
2 2 1
a b c
c (3.10)
) ( 2 ) (
2 1 f x2
a b x f a b
I (3.11)
Persamaan tersebut ekuivalen terhadap metode trapesium.
C. METODE GAUSS-LEGENDRE DUA TITIK
Seperti halnya metode trapesium, tujuan metode Gauss-Legendre 2-titik adalah menentukan koefisien sebuah persamaan dalam bentuk
) ( )
( 1 2 2
1f x c f x
c
I (3.12)
Teorema 3.1 Gauss-Legendre Dua Titik
Jika f fungsi kontinu pada
1,1 maka dengan metode Gauss-Legendre2-titik ) ( )
3 1 ( ) 3 1 ( )
( 2
1
1
f E f
f dx x
f
, dimana
135 ) ( )
(
) 4 ( 2
c f f
E , dengan
) 1 , 1 ( c
Bukti
Persamaan (3.12) merupakan persamaan metode Gauss-Legendre. Persamaan tersebut mengandung empat peubah yang tidak diketahui. Maka harus dipilih
2 1 2 1,x ,c ,c
Misalnya untuk f(x)1 dan f(x)x maka dari dua fungsi tersebut diperoleh dua persamaan, yaitu
a) untuk f(x)1
1 2 1 1 2 ) 1 ( 1
1dx c c
b) untuk f(x)x
2 2 1 1 1 1 2 2 0 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 x c x c
xdx
Masih diperlukan dua fungsi lagi agar x1,x2,c1,c2 dapat ditentukan maka dipilih f(x)x2dan f(x) x3 untuk menambah dua persamaan, yaitu
c) untuk f(x)x2
2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 x c x c dx
x
d) untuk f(x)x3
3 2 2 3 1 1 1 1 4 4 3 0 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1 x c x c dx
x
dengan demikian sudah didapatkan empat buah persamaan, yaitu 2
2 1c
c (3.13)
2 2 1
1x c x
c (3.14)
3 2 2 2 2 2 1
1x c x
3 2 1 3 1
1x c x
c (3.16)
Persamaan (3.14) dikalikan dengan x12dan dieliminasi dari persamaan (3.16) memberikan hasil ( 22) 0
2 1 2
2x x x
c
Solusi persamaan di atas adalah 0
2
c , atau/dan 0
2
x , atau/dan 2
1 x
x , atau/dan 2
1 x
x
a. Bila dipilih c2 0 dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan c1 2, 0
1 1x
c ,
3 2 2 1 1x
c , dan c1x13 0. Tetapi karena c1 2, maka dari 0
1 1x
c akan menghasilkan x10 sehingga akan bertentangan dengan
3 2 2 1 1x
c .
Dengan demikian c2 0 tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).
b. Bila dipilih x2 0 dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan 2
2 1c
c , c1x1 0,
3 2 2 1 1x
atau x1 haruslah bernilai nol. Tetapi ini bertentangan dengan 0
3 2 2 1
1x
c
Dengan demikian x2 0 tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).
c. Bila dipilih x1 x2 dari persamaan (3.13-3.16) akan menghasilkan 2
2 1c
c , c1x1 c2x1 0,
3 2 2 1 2 2 1
1x c x
c , dan c1x13 c2x13 0. Jika 0
1
x , maka dari persamaan c1x1c2x1 0 diperoleh c1 c2 0. Tetapi ini bertentangan dengan c1c2 2. Jika x10, maka bertentangan
dengan 0
3 2 2 1 2 2 1
1x c x
c .
Dengan demikian x2 0 tidak memenuhi persamaan (3.13-3.16).
Dari solusi persamaan tersebut hanya satu solusi yang memenuhi yaitu 2
1 x
x .
Bila persamaan c1x1c2x2 dibagi dengan x1 di ruas kiri dan x2 di ruas kanan didapatkan c1 c2
Dengan mensubtitusikan persamaan c1 c2 ke dalam c1c2 2 maka mengakibatkan c2 c2 2. Sebab itu c1c2 1. Bila disubtitusikan ke persamaan (3.15) akan dihasilkan
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1x c x x x
c atau
3 1 2 2
atau
577350269 .
0 3 1 1
x (3.17) maka
577350269 .
0 3 1 2
x (3.18) Jadi diperoleh persamaan akhir
) 3 1 ( ) 3 1 ( ) (
1
1
f f
dx x
f (3.19) Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik dapat diperoleh c1c2 1 dan x10.577350269, x2 0.577350269. Persamaan (3.19) tersebut dinamakan metode Gauss-Legendre 2-titik. Batas-batas integral pada persamaan tersebut adalah dari -1 sampai dengan 1, sehingga memudahkan hitungan dan membuat rumus yang dapat digunakan secara umum.
Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 2-titik dapat ditentukan dengan
) ( )
( (2 2)
2 f K f c
E n n
(3.20)
Teorema 2.16 menjelaskan tentang galat dari selisih nilai fungsi dengan polinomial hampirannya, maka f(x) pn(x)E2(f)
menurut Teorema 2.16
x x x x x x dx n c f f E n n 2 1 0 2 2
2 ( )( )...( )
)! 2 2 ( ) ( ) (
x x x x x x dx
n c
f2n 2 ( 0)( 1)...( n) 2
)! 2 2 ( 1 ) (
dengan
x x x x x x dx
n
Kn ( 0)( 1)...( n)2 )!
2 2 (
1
jadi E2(f) Knf(2n 2)(c)
Untuk metode Gauss-Legendre 2-titik, maka ditentukan n1, sehingga dari persamaan (3.20) dapat ditentukan
) ( )
( 1 (4) 2 f K f c
E dengan
1 1 2 1 01 ( )( )
! 4 1 dx x x x x K
1 1 2 ) 3 1 )( 3 1 ( ! 4 1 dx x x
1 1 2 2 3 1 ! 4 1 dx x
1 1 2 4 9 1 3 2 ! 4 1 dx x x 1 1 3 5 9 1 9 2 5 1 ! 4 1
9 1 9 2 5 1 9
1 9 2 5 1 24
1
45 5 9 45
5 9 24
1
45 4 45
4 24
1
45 8 24
1
135 1
Dengan demikian ( )
135 1 ) ( )
( (2 2) (4)
2 f K f c f c
E n n
Contoh 3.1
Hitunglah
11
dx
ex dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik
Penyelesaian
Dengan menggunakan metode Gauss-Legendre 2-titik diperoleh 1
1
c , x1 0,577350269 1
2
342696087 , 2 4 1,78131217 561383913 , 0 ) 577350269 , 0 ( ) 577350269 , 0 ( 1 1
e e dx exSedangkan dengan menggunakan metode analitik, hasilnya adalah
350402387 , 2 367879441 , 0 718281828 , 2 1 1 1 1
e e dx exBila menggunakan rumus galat metode Gauss-Legendre 2-titik, maka menurut Teorema 3.1 02013542 , 0 135 135 ) 1 ( ) ( 1 ) 4 (
2
e f
f E
dengan c
1,1 Sehingga 362831508 , 2 02013542 , 0 342696087 , 2 ) ( 342696087 , 2 2 1 1
f E dx exD. METODE GAUSS-LEGENDRE TIGA TITIK
Teorema 3.2 Gauss-Legendre Tiga Titik
Jika f fungsi kontinu pada
1,1 maka dengan metode Gauss-Legendre3-titik
( 3/5) ( )9 5 0 9 8 5 / 3 9 5 ) ( 3 1 1 f E f f f dx x
f
, dimana 15750 ) ( ) ( ) 6 ( 3 c f fBukti
Metode Gauss-Legendre 3-titik bernilai tepat untuk 6 buah fungsi yang mengandung peubah x1,x2,x3,c1,c2,c3. Enam buah fungsi tersebut adalah
1 ) (x
f , f(x)x, f(x) x2, f(x) x3, f(x)x4, f(x)x5
Dari enam fungsi tersebut diperoleh persamaan: untuk f(x)1
1 2 3
1 1 2 ) 1 ( 1
1dx c c c
untuk f(x)x
3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 0 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 x c x c x c
xdx
untuk f(x)x2
2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 x c x c x c dx
x
untuk f(x)x3
3 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 4 4 3 0 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1 x c x c x c dx
x
untuk f(x) x4
5 5 1 14 2 24 3 34
1 1 4 5 2 ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 5 1 x c x c x c dx
x
5 3 3 5 2 2 5 1 1 6 6 1 1 5 0 ) 1 ( 6 1 ) 1 ( 6 1
0 c x c x c x
dx
x
Sudah didapatkan enam buah persamaan, yaitu 3
2 1
2c c c (3.21)
3 3 2 2 1 1
0c x c x c x (3.22)
2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 x c x c x
c
(3.23)
3 3 3 3 2 2 3 1 1
0c x c x c x (3.24)
4 3 3 4 2 2 4 1 1 5 2 x c x c x
c
(3.25)
5 3 3 5 2 2 5 1 1
0c x c x c x (3.26)
Persamaan (3.22) dikalikan dengan x12dan dieliminasi dari persamaan (3.24) memberikan hasil
0 ) (
)
( 32
2 1 3 3 2 2 2 1 2
2x x x c x x x
c (3.27)
Persamaan (3.24) dikalikan dengan x12dan dieliminasi dari persamaan (3.26) memberikan hasil
0 ) (
)
( 32
2 1 3 3 3 2 2 2 1 3 2
2x x x c x x x
c (3.28)
Persamaan (3.27) dieliminasi dengan persamaan (3.28) memberikan hasil
0 ) )(
( 12 32 22 32
3
3x x x x x
c (3.29)
Solusi persamaan di atas adalah
0
3
0
3
x , atau 3 2 x
x , atau 3
2 x
x , atau 3
1 x
x , atau 3
1 x
x
Didapatkan persamaan x1 x3 yang menghasilkan persamaan 3
2 1
2c c c (3.30)
1 3 2 2 1 1
0c x c x c x (3.31)
2 1 3 2 2 2 2 1 1 3 2
x c x c x
c
(3.32)
3 1 3 3 2 2 3 1 1
0c x c x c x (3.33)
4 1 3 4 2 2 4 1 1 5 2
x c x c x
c
(3.34)
5 1 3 5 2 2 5 1 1
0c x c x c x (3.35)
Persamaan (3.31) dikalikan x22 dan dieliminasi dengan persamaan (3.33)
memberikan hasil x1(x22 x12)(c1c3)0
Dari persamaan di atas tersebut, diperoleh solusi persamaannya yaitu 0
1
x , atau 1 2 x
x , atau 3 1 c
Didapatkan persamaan c1 c3 yang menghasilkan persamaan 0 1 1 2 2 1
1x c x c x
c , jadi c2x2 0 sehingga x2 0 Karena x2 0, maka 1 12 1 12
3 2 x c x c
dan 1 14 1 14
5 2 x c x c sehingga 3 1 2 1 1x
c dan
5 1 4 1 1x
c Dari 3 1 2 1 1x
c dan
5 1 4 1 1x
c memberikan hasil x1 3/5
Karena x1 x3 maka x3 3/5
Dari x1 3/5, x2 0, dan x3 3/5diperoleh persamaan 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 x c x c x
c
Karena c1 c3 maka 9 5 3
c
Dengan memasukkan
9 5 3 1 c
c ke dalam persamaan (3.30) diperoleh
9 8 2
c
Sehingga didapatkan 6 buah persamaan simultan, yaitu
5 / 3 ,
9 5
1 1 x
c
0 , 9 8
2 2 x
c
5 / 3 ,
9 5
3 3 x
c
Jadi diperoleh persamaan akhir
( 3/5)9 5 0 9 8 5 / 3 9
5 ) (
1
1
f f
f dx x
f
(3.36)
Dengan demikian, menggunakan metode Gauss-Legendre 3-titik dapat diperoleh
9 / 5 1
c , c2 8/9, c3 5/9 dan x1 0,774596669, x2 0,000000000,
774596669 ,
0
3
x .
Berdasarkan Teorema 2.16, galat dari metode Gauss-Legendre 3-titik dapat ditentukan dengan
) ( )
( (2 2)