Penyajian Graf dan Graf Isomorfisma

(1)

Penyajian Graf dan Graf Isomorfisma

Ada banyak cara untuk menyajikan graf . Akan sangat membantu untuk bekerja dengan graf jika kita bisa memilih penyajian yang sesuai. Dalam bagian ini kita aka menunjukkan bagaimana menyajikan graf dalam berbagai cara.

Terkadang, dua graf memiliki bentuk yang sama dalam pengertian terdapat korespondesi satu-satu diantara himpunan simpulnya. Dalam hal ini, kita katakan bahwa dua graf isomorfik . Menentukan apakah dua graf isomorfik adalah persoalan penting dalam teori graf.

Daftar Ajasensi

Salah satu cara untuk menyajikan graf yang tidak memiliki sisi ganda adalah dengan mendaftar semua sisi dari graf. Cara lain untuk menyajikan graf tanpa sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar ajasensi , yang menunjukkan simpul-simpul yang

bersebelahan untuk setiap simpul pada graf.

(2)

Contoh :

Gunakan daftar ajasensi untuk mendeskripsikan graf tak berarah berikut

(3)

Contoh :

Gunakan daftar ajasensi untuk mendeskripsikan graf berarah berikut

(4)

Matrik Ajasensi

Menyajikan graf dengan daftar sisi-sisinya atau daftar ajasensi dapat rumit jika terdapat sangat banyak sisi dari graf. Untuk memudahkan komputasi, graf seringkali disajikan menggunakan matriks. Dua tipe matrik yang sering digunakan akan kita bahas di sini.

Satu berdasarkan simpul yang bersebelahan dan satu berdasarkan pada kebersisian garis dan simpul

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhan dengan 𝑉 = 𝑛 . Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, … 𝑣_𝑛. Matrik ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨_𝐺) dari 𝐺 bersesuaian dengan dafatar simpul, adalah matrik satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri 𝑖, 𝑗 jika 𝑣_𝑖dan 𝑣_𝑗bersebelahan dan 0 sebagai entri 𝑖, 𝑗 jika 𝑣_𝑖dan 𝑣_𝑗tidak bersebelahan.

Jika 𝑨 = 𝒂_𝒊𝒋 matrik ajasensi, maka 𝑎_𝑖𝑗= ቊ1

0 jika jika

𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗 adalah sisi pada 𝐺 lainnya

(5)

Contoh :

Gunakan matrik ajasensi untuk mendeskripsikan graf berikut

(6)

Contoh :

Gambarkan graf dengan matrik ajasensi seperti berikut

(7)

Matrik ajasensi dari suatu graf sederhana bergantung pada bagaimana pemilihan penyusunan simpul. Karena ada 𝑛! banyaknya susunan dari 𝑛 unsur, maka berarti ada 𝑛! Banyaknya matrik ajasensi yang berbeda

Matrik ajasensi graf sederhana adalah matrik simetri, karena 𝑎_𝑖𝑗= 𝑎_𝑗𝑖, karena kedua entri adalah 1 jika 𝑣_𝑖dan 𝑣_𝑗adalah bersebelahan dan 0 jika tidak bersebelahan. Karena graf sederhana tidak memiliki gelang maka 𝑎_𝑖𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 adalah 0

Matriks ajasensi dapat juga digunakan untuk menyajikan graf tak berarah dengan gelang dan sisi ganda. Gelang dengan simpul 𝑣_𝑖 dinyatakan dengan 1 pada posisi ke 𝑖, 𝑖 dari matrik ajasensi.

Jika terdapat sisi ganda yang mengaitkan beberapa pasangan simpul 𝑣_𝑖dan 𝑣_𝑗atau gelang ganda pada simpul yang sama, matriks ajasensi bukan lagi matriks satu-nol , entri ke 𝑖, 𝑗 dari matriks ajasensi adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan 𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗 .

Semua matriks tak berarah, termasuk graf ganda dan graf semu adalah matrik ajasensi yang simetri

(8)

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf beararah sederhan dengan 𝑉 = 𝑛 . Misal sebarang daftar simpul dari 𝐺 adalah 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, … 𝑣_𝑛. Matrik ajasensi 𝑨 ( atau 𝑨_𝐺) dari 𝐺 bersesuaian dengan daftar simpul, adalah matrik satu-nol yang berukuran 𝑛 × 𝑛 adalah 1 sebagai entri 𝑖, 𝑗 jika ada sisi dari 𝑣_𝑖ke 𝑣_𝑗dan 0 sebagai entri 𝑖, 𝑗 jika 𝑣_𝑖dan 𝑣_𝑗tidak dikaitkan.

Jika 𝑨 = 𝒂_𝒊𝒋 matrik ajasensi, maka 𝑎_𝑖𝑗 = ቊ1

0 jika jika

𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗 adalah sisi dari 𝑣_𝑖ke 𝑣_𝑗pada 𝐺 lainnya

Matrik ajasensi graf berarah tidak harus simetri, karena tidak harus ada sisi dari 𝑣_𝑗ke 𝑣_𝑖jika ada sisi dari 𝑣_𝑖ke 𝑣_𝑗

Matriks ajasensi dapat digunakan untuk menyatakan graf berarah ganda. Matrik yang demikian bukan matriks satu-nol karena ada sisi ganda yang memiliki arah yang sama dalam

menghubungkan dua simpul.

Pada matriks ajasensi untuk graf berarah ganda, 𝑎_𝑖𝑗adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan 𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗

(9)

Contoh :

Gunakan matrik ajasensi untuk mendeskripsikan graf berikut

(10)

Contoh :

Gambarkan graf dengan matrik ajasensi seperti berikut

(11)

Kelebihan dan kekurangan menggunakan daftar ajasensi dan matriks ajasensi Jika suatu matriks sederhana memiliki sedikit sisi, disebut sebagai jarang,

biasanya lebih dipilih daftar ajasensi untuk digunakan daripada matrik ajasensi dalam menyajikan graf.

Sebagai contoh , jika setiap simpul memiliki derajat melebihi 𝑐, dengan 𝑐 kurang dari suatu 𝑛 , maka setiap daftar ajasensi memuat 𝑐 atau kurang banyaknya simpul. Sehingga tidak melebihi 𝑐𝑛 item dalam daftar ajasensi. Pada sisi yang lain, matrik ajasensi untuk graf memiliki 𝑛²entri.

Catat bahwa matrik ajasensi dari graf yang jarang disebut sebagai matrik jarang.

yakni suatu matrik dengan sedikit entri tak nolnya.

(12)

Sekarang misalnya suatu graf sederhana adalah rapat , yakni memuat banyak sisi, graf yang demikian memiliki lebih dari separuh kemungkinan sisi. Dalam kasus ini, lebih dipilih

menggunakan matrik ajasensi untuk menyajikan graf daripada menggunakan daftar ajasensi.

Untuk melihat hal ini bandingkan kerumitan untuk menentukan kemungkinan sisi 𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗 yang ada.

Dengan menggunakan ajasensi matrik, kita dapat menentukan apakah suatu sisi ada dengan melihat entri ke 𝑖, 𝑗 pada matrik. Entri adalah satu jika memuat sisi dan 0 jika lainnya.

Akibatnya jika akan membuat perbandingan pada matrik-matrik padat , kita membandingkan entri 0, untuk melihat apakah sisinya ada. Di sisi lain jika kita menggunakan daftar ajasensi untuk menyajikan graf, kita membutuhkan pencarian daftar simpul yang bersebelahan untuk melihat apakah adanya sisi. Ini bisa membutuhkan sebanyak Θ 𝑉 perbandingan jika sisinya banyak.

(13)

Matrik Insiden

Cara lainnya yang biasa untuk menyajikan graf adalah dengan menggunkan matrik insiden.

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf tak berarah. Misal 𝑣₁, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛sebarang daftar simpul dari 𝐺 dan 𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒, … 𝑒_𝑚 sebarang daftar sisi dari 𝐺. Maka matrik insiden yang bersesuaian dengan urutan anggota 𝑉 dan 𝐸 adalah matrik 𝑀 − 𝑚_𝑖𝑗 yang berukuran 𝑛 × 𝑚 dimana 𝑚_𝑖𝑗=1 jika sisi 𝑒_𝑗 bersisian dengan simpul 𝑣_𝑖dan 0 lainnya

𝑀

_𝑖𝑗

= ቊ 1 0

jika jika

sisi 𝑒

_𝑗

bersisian dengan simpul 𝑣

_𝑖

lainnya

Matrik insiden dapat digunakan untuk menyatakan sisi ganda dan loop. Sisi ganda dinyatakan dalam matrik insiden menggunakan kolom dengan entri yang sama, karena sisi-sisi ini adalah bersebelahan dengan pasangan simpul yang sama. Gelang disajikan dengan menggunakan kolom yang pasti sama dengan 1, bersesuaian dengan simpul yang bersisian dengan loop

(14)

Contoh :

₁

Fungsi yang demikian disebut isomorfisma. Dua graf yang tidak isomorfik disebut

nonisomorfik

Dengan kata lain, jika dua graf sederhana isomorfik, terdapat korespondensi satu-satu

simpul-simpul dari kedua graf yang mengawetkan relasi bersebelahan. Isomorfisma dari

graf sederhana adalah suatu relasi ekivalen.

(18)

Contoh :

Tunjukkan bahwa graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 dan 𝐺 = 𝑊, 𝐹 berikut ini adalah isomorfik

(19)

(20)

Menentukan apakah dua graf isomorfik

Seringkali sulit untuk menentukan apakah dua graf isomorfik. Terdapat 𝑛! kemungkinan korespondensi satu-satu diantara dua himpunan simpul yang beranggotakan 𝑛 simpul. Dengan demikian mengecek setiap korespondensi untuk melihat apakah mengawetkan kebersebelahan atau tidak menjadi tidak praktis jika 𝑛 besar

Terkadang tidak sulit untuk menentukan apakah dua graf tidak isomorfik. Khususnya kita dapat menunjukkan dua graf tidak isomorfik jika kita menemukan suatu sifat yang hanya dimiliki oleh satu dari dua graf , yang seharusnya diawetkan jika ada isomorfisma dari kedua graf.

- Karena pada dua graf yang isomorfik terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan simpul dari kedua graf , maka banyaknya simpul dan banyaknya sisi dari kedua graf akan sama ( isomorfisma mengawetkan banyaknya simpul dan banyaknya sisi )

- Karena pada dua graf yang isomorfik setiap pasang simpul 𝑢 dan 𝑣 bersebelahan jika dan hanya jika 𝑓 𝑢 dan 𝑓(𝑣) bersebelahan , maka kedua graf akan memiliki sama banyaknya simpul pada setiap derajatnya ( isomorfisma mengawetkan derajat dari simpul )

Sifat yang diawetkan oleh isomorfisma graf dikatakan invarian graf.

Jika terdapat invariant graf dari ketiga invariant di atas tidak dipenuhi maka dua graf tidak isomorfik, tapi jika ketiga invarian graf di atas dipenuhi belum tentu dua graf isomorfik

(21)

Contoh :

Tunjukkan bahwa kedua graf berikut tidak isomorfik

(22)

Contoh :

Periksa apakah kedua graf berikut isomorfik

(23)

Cara lain untuk melihat graf 𝐺 dan 𝐻 tidak isomorfik adalah memperhatikan bahwa terdapat graf bagian dari graf 𝐺 dan 𝐻 yang terdiri dari simpul yang sama-sama berderajat tiga dan sisi-sisi yang menghubungkannya. Graf bagian tersebut seharusnya isomorfik, tapi dalam hal ini kedua graf bagian tidak isomorfik

(24)

Untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi dari suatu himpunan simpul suatu graf ke himpunan simpul graf yang lain, kita harus menunjukkan bahwa 𝑓 mengawetkan ada atau tidak adanya sisi. Salah satu cara yang membantu adalah dengan menggunakan matrik ajasensi, yakni matrik ajasensi dari graf 𝐺 sama dengan matrik ajasensi dari matrik 𝐻 jika baris dan kolom yang bersesuaian dengan bayangan dibawah 𝑓 dari simpul-simpul di 𝐺 adalah label dari baris dan kolom matrik

Contoh :

Periksa apakah kedua graf berikut isomorfik

(25)

(26)

Telah ditunjukkan bahwa terdapat 𝑓 yang merupakan isomorfisma dari 𝐺 ke 𝐻 sehingga 𝐺 dan 𝐻 adalah suatu isomorfik

Tapi ingat bahwa 𝑓 yang kita konstruksi bisa saja bukan suatu isomorfisma, tapi itu tidak berarti bahwa 𝐺 dan 𝐻 tidak isomorfik, karena korespondensi yang lain bisa jadi merupakan isomorfisma