LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MATEMATIKA EKONOMI 2

(1)

(2)

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MATEMATIKA EKONOMI 2

ATA 2021/2022

NAMA :

NPM / KELAS :

MATA KULIAH :

HARI / SHIFT :

WAKTU PRAKTIKUM :

PERTEMUAN TANGGAL PRAKTIKUM MATERI

(3)

iii SUSUNAN TIM

LITBANG MATEMATIKA EKONOMI 2

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022

TIM PENYUSUN LITBANG MATEMATIKA EKONOMI 2

ATA 2021/2022

SUSUNAN TIM LITBANG

OKTAVIA ANNA RAHAYU, SE.,MM RATNA SUSILOWATI, SE.,MM

STAF PENANGGUNG JAWAB

TASYA WULANDARI PENANGGUNG JAWAB

 Fadilla Lutfiani

 Nadia Afifah Nurzihan

 Alfina Damayanti

 Rahmalia Kamila Dewi

 Dhania Eka Sofie

DERIVATIF

 Yunia Azhari

 Berliana Rahmadia

 Fadyah Zahra Dita

 Nadira Althoof

 Regita Zahra Cahyani

INTEGRAL TAK TENTU

 Aguni Nadiyah Ginting

 Annisya Rahmelia

 Dwi Nurfitriyani

 Kumala Setyawati

 Nitis Wening Nurul A.H

INTEGRAL

TERTENTU TRANSENDENTAL

 Ika Kamilatun Zakia

 Faradilla Kemala

 Dinara Jazlyn Nuriz

 Adila Okti Dertiyana

 Violita Marta Cintani

(4)

iv KATA PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI 2

Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat, rahmat dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam rangka meningkatkan mutu pembelajaran dalam perkuliahan, modul dapat menjadi salah satu penunjang yang efektif. Modul ini disusun sebagai panduan kegiatan praktikum Laboratorium Manajemen Dasar Universitas Gunadarma.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum khususnya Matematika Ekonomi 2, serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian- penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Penyusun sangat menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, maka kritik dan saran untuk penyajian modul ini kedepan sangat diperlukan.

Akhir kata penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini.

Depok, 03 Maret 2022

Tim Litbang Matematika Ekonomi 2 ATA 2021/2022

KATA PENGANTAR

(5)

v DAFTAR ISI MATEMATIKA EKONOMI 2

SUSUNAN TIM LITBANG ... iii

KATA PENGANTAR ... iv

DAFTAR ISI ... v

DAFTAR GAMBAR ... vii

DERIVATIF ... 1

1. KONSEP DASAR TURUNAN ... 1

2. KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI ... 2

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA ... 7

4. PENERAPAN EKONOMI ... 9

4.1 ELASTISITAS ... 9

4.2 BIAYA... 22

4.3 PENERIMAAN ... 27

4.4 LABA MAKSIMUM ... 32

INTEGRAL TAK TENTU ... 36

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU ... 36

2. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TAK TENTU ... 37

3.1 FUNGSI BIAYA ... 39

3.2 FUNGSI PENERIMAAN... 43

3.3 FUNGSI PRODUKSI ... 47

3.4 FUNGSI UTILITAS ... 51

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN ... 52

INTEGRAL TERTENTU ... 59

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU ... 59

2.1 Surplus Konsumen ... 60

2.2 Surplus Produsen ... 73

DAFTAR ISI

(6)

vi DAFTAR ISI MATEMATIKA EKONOMI 2

TRANSENDENTAL ... 80

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TRASENDENTAL ... 80

1.1. FUNGSI EKSPONENSIAL... 81

1.2. FUNGSI LOGARITMIK ... 83

2.1. MODEL BUNGA MAJEMUK ... 85

2.2. MODEL PERTUMBUHAN ... 90

2.3. KURVA GOMPERTZ ... 94

2.4. KURVA BELAJAR (Learning Curve) ... 98

DAFTAR PUSTAKA ... 103

TATA TERTIB PRAKTIKUM ... 105

SURAT PERNYATAAN PRAKTIKUM ... 111

PENGULANGAN PRAKTIKUM ... 117

(7)

vii DAFTAR GAMBAR MATEMATIKA EKONOMI 2

Gambar 1.1 Kurva titik ekstrim minimum ... 7

Gambar 1.2 Kurva titik ekstrim maksimum ... 8

Gambar 1.3 Kurva Elastisitas ... 9

Gambar 1.4 Kurva Inelastis... 9

Gambar 1.5 Kurva Unitary Elastis ... 9

Gambar 1.6 Kurva Inelastis Sempurna ... 10

Gambar 1.7 Kurva Elastisitas Tak Hingga ... 10

Gambar 1.8 Tampilan Menu Derivatif ... 13

Gambar 1.9 Tampilan Pangkat Terbesar ... 14

Gambar 1.10 Tampilan Menu Input Data ... 14

Gambar 1.11 Tampilan Hasil Output Elastisitas Permintaan ... 15

Gambar 1.15 Tampilan Hasil Output Elastisitas Penawaran ... 18

Gambar 1.17 Tampilan Pangkat Derivatif ... 21

Gambar 1.19 Tampilan Hasil Output Elastisitas Produksi... 22

Gambar 1.23 Tampilan Hasil Output Fungsi Biaya ... 26

Gambar 1.27 Tampilan Hasil Output Fungsi Penerimaan ... 31

DAFTAR GAMBAR

(8)

viii DAFTAR GAMBAR

DERIVATIF MATEMATIKA EKONOMI 2

Gambar 1.29 Tampilan Hasil Output Fungsi Laba ... 35

Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen ... 60

Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1 ... 63

Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu ... 64

Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1 ... 64

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen... 65

Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2 ... 69

Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen ... 73

Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3 ... 76

Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1 ... 77

Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen ... 78

Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2 ... 79

Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen ... 79

Gambar 4.1 Bentuk Kurva Contoh 1 ... 80

Gambar 4.2 Bentuk Kurva Contoh 2 ... 85

Gambar 4.3 Tampilan Awal Transendental ... 88

Gambar 4.4 Tampilan Menu Model Bunga Majemuk ... 89

Gambar 4.5 Hasil Output Model Bunga Majemuk ... 89

(9)

ix DAFTAR GAMBAR

DERIVATIF MATEMATIKA EKONOMI 2

Gambar 4.7 Tampilan Model Pertumbuhan ... 92

Gambar 4.8 Hasil Output Model Pertumbuhan... 93

Gambar 4.9 Kurva Gompertz ... 94

Gambar 4.11 Tampilan Menu Kurva Gompertz ... 96

Gambar 4.12 Hasil Ouput Kurva Gompertz ... 97

Gambar 4.13 Kurva Belajar ... 98

Gambar 4.15 Tampilan Menu Kurva Belajar ... 101

Gambar 4.16 Hasil Output Kurva Belajar ... 101

(10)

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022 1 DERIVATIF MATEMATIKA EKONOMI 2

Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y

Turunan atau derivatif adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi, yang dimana diferensiasi adalah proses penurunan sebuah fungsi atau proses pendiferensiasian. Sedangkan diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

Jika dan terdapat tambahan variabel bebas (x) sebesar ∆x, maka dapat membentuk persamaan:

Y

Dimana ∆x adalah tambahan x dan ∆y adalah tambahan y, jadi timbulnya

∆y karena adanya ∆x. Apabila ruas kiri dan kanan persamaan terakhir sama- sama dibagi ∆x, maka diperoleh:

∆y = dy

∆x = dx

1. KONSEP DASAR TURUNAN

DERIVATIF

(11)

Bentuk dari ini yang disebut dengan hasil bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat (y) terhadap variabel bebas (x). Pada dasarnya penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Maka turunan fungsinya lim∆x → 0 = lim∆x → 0

Cara untuk menuliskan turunan dari suatu fungsi dapat dituliskan dengan beberapa notasi atau lambang seperti:

lim∆x → 0 =

Notasi dari dimana dy diferensiasi dari y dan dx diferensiasi dari x.

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika , dimana k adalah konstanta, maka = 0 Contoh : , maka

2. Diferensiasi fungsi linier

Jika dimana a adalah konstanta, maka

Contoh : maka

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika , dimana a adalah konstanta, maka Contoh : maka

2. KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI

(12)

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika , dimana dan , maka

Contoh :

maka

Karena , maka

5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika , dimana , maka

Contoh :

maka

Karena , maka

b. Perkalian fungsi

Jika dimana dan , maka

Contoh :

Karena

6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika dimana dan , maka

Contoh :

(13)

Karena

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika sedangkan dengan kata lain ,

maka

Contoh 1 :

Misalkan : sehingga

Maka

= .

Contoh 2 :

Misalkan : sehingga

3

(14)

Maka

8. Derivatif tingkat tinggi (derivatif dari derivatif)

Derivatif ke-n dari fungsi diperoleh dengan mendiferensikan sebanyak n kali. Derivatif ke-n dilambangkan dengan atau

atau

Contoh : maka

atau atau

9. Diferensiasi implisit

Diferensiasi implisit adalah suatu kaidah diferensiasi dengan mendiferensiasikan suku demi suku dengan memandang sebagai fungsi , kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx.

Contoh:

didiferensiasikan terhadap , maka :

(15)

10. Diferensiasi fungsi logaritmik →

Contoh : jika ,

11. Derivatif fungsi eksponensial

 →

12. Derivatif fungsi trigonometric

Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :

→

→ →

Catatan :

(16)

3.1 MENENTUKAN KEADAAN FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI MENURUN

Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linier dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah menurun pada kedudukan tertentu.

1. Fungsi menaik jika 2. Fungsi menurun jika

3. Jika derivatif pertama , berarti fungsi berada pada titik ekstrim

3.2 TITIK EKSTRIM FUNGSI PARABOLIK

Dalam sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua digunakan untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.

Jenis-jenis Titik Ekstrim Fungsi Parabolik adalah:



Jika , maka merupakan titik ekstrim minimum dimana bentuk parabolanya terbuka ke atas.

Gambar 1.1 Kurva titik ekstrim minimum

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

(17)



^Jika ^{, maka} merupakan titik ekstrim maksimum dimana bentuk parabolanya terbuka kebawah.

Gambar 1.2 Kurva titik ekstrim maksimum

Contoh soal :

Diketahui , tentukanlah titik ekstrim maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!

Jawab :

(Titik ekstrim maksimum)

Letak titik ekstrim :

Jadi letak titik ekstrim maksimum adalah pada koordinat (3,45).

(18)

D

P D

D D

D 4.1 ELASTISITAS

Elastisitas adalah perubahan persentase suatu variabel terikat (dependent variable) sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas (independent variable). Elastisitas memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

a. elastis

Contoh : Barang mewah P

Q Q

Gambar 1.3 Kurva Elastisitas

b. inelastis

Contoh : Kebutuhan pokok

Q Q

Gambar 1.4 Kurva Inelastis

c. unitary elastis

Contoh : Barang – barang elektronik

Q Q

Gambar 1.5 Kurva Unitary Elastis

4. PENERAPAN EKONOMI

P

(19)

D

d. inelastis sempurna Contoh : Bahan bakar minyak

P

Q Q

Gambar 1.6 Kurva Inelastis Sempurna

e. elastis tak hingga Contoh : Bumbu dapur

P

Q Q

Gambar 1.7 Kurva Elastisitas Tak Hingga

4.1.1 ELASTISITAS HARGA

Elastisitas harga adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen atau ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Umumnya elastisitas harga dari permintaan di setiap titik pada kurva permintaan yang menurun akan bernilai negatif, tetapi dalam mengukur koefisien elastis harga biasanya diambil dari nilai mutlaknya (absolut) sehingga nilai koefisien elastis harga paling kecil adalah 0 dan paling besar adalah ∞ (0 ≤ Ƞh

≤ ∞).

Untuk fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah:

(20)

Jika fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah:

CONTOH KASUS 1

Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh , berapakah elastisitas harga pada tingkat harga ?

Penyelesaian : Diketahui :

Ditanya : ? Jawab :

Jika , maka dan

(Inelastis)

Analisis :

Jadi, elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 2 adalah 0,6 yang memiliki arti apabila harga barang naik 1%, maka jumlah permintaan terhadap barang itu turun 0,6%.

(21)

4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN

Elastisitas permintaan adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya persentase perubahan harga. Istilah yang lengkap adalah elastisitas harga-per-permintaan.

Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan , maka elastisitas permintaannya adalah:

CONTOH KASUS 2

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan . Tentukanlah elastisitas permintaannya pada tingkat harga ! Analisislah!

Elastis

(22)

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 4,5 pada saat tingkat harga sebesar Rp3. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebanyak 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 4,5%.

Langkah - langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastisitas Permintaan.

Gambar 1.8 Tampilan Menu Derivatif

(23)

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter.

Gambar 1.9 Tampilan Pangkat Terbesar

3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal.

Gambar 1.10 Tampilan Menu Input Data

(24)

4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut.

Gambar 1.11 Tampilan Hasil Output Elastisitas Permintaan

4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN

Elastisitas penawaran adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya persentase perubahan harga. Istilahnya yang lengkap adalah elastisitas harga- per-penawaran. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan , maka elastisitas penawarannya adalah:

(25)

CONTOH KASUS 3

Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan . Tentukanlah elastisitas penawarannya pada tingkat harga per unit!

Analisislah!

Elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 1,55 pada saat harga produk sebesar Rp5. Jika harga mengalami perubahan 1% maka barang yang diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,55%.

(26)

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastisitas Penawaran.

(27)

3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui di soal.

Gambar 1.15 Tampilan Hasil Output Elastisitas Penawaran

(28)

4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI

Elastisitas produksi adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah input yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan , maka elastisitas produksinya adalah:

CONTOH KASUS 4

Diketahui fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh . Hitunglah elastisitas pada unit! Analisislah!

2

Elastis

(29)

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 2,4 pada saat jumlah masukkan (input) produksi sebanyak 2 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1% maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 2,4%.

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Elastisitas Produksi.

(30)

Gambar 1.17 Tampilan Pangkat Derivatif

(31)

Gambar 1.19 Tampilan Hasil Output Elastisitas Produksi

4.2 BIAYA

4.2.1 BIAYA TOTAL (TC)

Biaya total adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

Keterangan :

TC = Biaya Total (Total Cost) Q = Jumlah Barang (Quantity) FC = Biaya Tetap (Fixed Cost) VC = Biaya Variabel (Variable Cost)

(32)

4.2.2 BIAYA RATA-RATA (AC)

Biaya rata-rata adalah biaya untuk memproduksi satu unit barang disebut sebagai biaya rata-rata (average cost). Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total dibagi dengan jumlah unit barang yang diproduksi.

Keterangan :

AC = Biaya rata-rata (Average Cost) TC = Biaya Total (Total Cost) Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.2.3 BIAYA MARGINAL (MC)

Biaya marginal adalah tingkat perubahan biaya total sebagai akibat adanya perubahan biaya total seperti biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk yang diproduksi. Biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.

Keterangan :

MC = Biaya Marginal (Marginal Cost) TC’ = Turunan pertama dari biaya total

∆TC = Perubahan Biaya Total

∆Q = Perubahan Satu Unit Produk

(33)

CONTOH KASUS 5

Biaya total yang dikeluarkan oleh PT YOYO ditunjukkan oleh persamaan Tentukan besarnya biaya total, biaya rata – rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 2 unit! Analisislah!

2

Ditanya : TC, AC, MC, pada saat 2?

Jawab :

Analisis :

Jadi pada saat PT YOYO memproduksi sebesar 2 unit maka biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp168 dengan biaya rata – rata sebesar Rp84 dan biaya marginal sebesar Rp199.

(34)

25 DERIVATIF

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022 MATEMATIKA EKONOMI 2

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Fungsi Biaya.

Gambar 1.21 Tampilan Pangkat Terbesar

(35)

26 DERIVATIF

Gambar 1.23 Tampilan Hasil Output Fungsi Biaya

(36)

27 DERIVATIF

4.3 PENERIMAAN

4.3.1 PENERIMAAN TOTAL (TR)

Penerimaan adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual dengan harga produk per unit.

Keterangan :

TR = Penerimaan Total (Total Revenue) P = Harga (Price)

Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.3.2 PENERIMAAN RATA-RATA (AR)

Penerimaan adalah dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi average revenue sama dengan harga barang tersebut.

Keterangan :

AR = Penerimaan rata-rata (Average revenue) TR = Penerimaan Total (Total Revenue) P = Harga (Price)

Q = Jumlah Barang (Quantity)

(37)

28 DERIVATIF

4.3.3 PENERIMAAN MARGINAL

Penerimaan marginal adalah tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya tambahan satu unit produk yang terjual. Penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total.

Keterangan :

MR = Penerimaan Marginal (Marginal Revenue) TR' = Turunan pertama dari penerimaan total

∆TR = Perubahan Penerimaan Total

∆Q = Perubahan Satu Unit Produk

CONTOH KASUS 6

Fungsi permintaan PT LIBURAN ditunjukkan oleh

Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Lalu berapakah besar penerimaan total, penerimaan rata – rata, dan penerimaan marginal jika penjualannya sebesar 5 unit? Analisislah!

5

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR, dan MR pada saat 5 unit?

(38)

29 DERIVATIF

Jawab :

Jika 5, maka :

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima PT LIBURAN saat penjulan 5 unit sebesar Rp3.800 dengan penerimaan rata – rata sebesar Rp760 dan penerimaan marginal sebesar Rp2.260.

(39)

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Fungsi Penerimaan.

(40)

Gambar 1.27 Tampilan Hasil Output Fungsi Penerimaan

(41)

4.4 LABA MAKSIMUM

Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau dapat dinyatakan dengan rumus:

Keterangan : = Laba

TR = Penerimaam total (Total Revenue) TC = Biaya total (Total Cost)

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach) 3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan Marginal (MR).

Laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba Laba maksimum tercapai bila turunan

pertama fungsi sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai

turunan pertama sehingga . Dengan

demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana .

(42)

CONTOH KASUS 7

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan

dengan biaya variabel , biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 5.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut? Analisislah!

Ditanya : Q pada saat laba maksimum? Dan besar laba ? Jawab :

Perhitungan Laba Maksimum

(43)

Analisis :

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, Perusahaan harus menjual produknya sebanyak 80 unit sehingga keuntungan maksimum yang didapat sebesar Rp123.000.

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari Fungsi Laba.

(44)

2. Kemudian masukkan data-data yang ada di soal, maka akan muncul output seperti ini.

Gambar 1.29 Tampilan Hasil Output Fungsi Laba

(45)

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022 36 MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK

TENTU

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu Integral Tak Tentu (Indifinite Integral) dan Integral Tertentu (Definite Integral).

Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan Integral tertentu adalah suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas- batas limit dari area tersebut sudah tertentu.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

Keterangan :

= Tanda integral atau notasi integral = Diferensial dari F(x)

= Integral particular = Variabel integrasi

k = Konstanta pengintegralan

Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka: Untuk fungsi asal: F(x) = x² + 5. Fungsi turunannya: f(x)= = 2x Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka:

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU

2 k

INTEGRAL TAK TENTU

(46)

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022 37 INTEGRAL TAK

TENTU MATEMATIKA EKONOMI 2

Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Maka dalam mengintegralkan fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Nilai k tidak dapat diisi dengan bilangan tertentu kecuali didalam soal memang sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensial, maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi.

Kaidah 1. Formula Pangkat

Contoh :

2 d = + k = + k = 0,03 + k

Kaidah 2. Formula Logaritmis

Contoh :

Kaidah 3. Formula Eksponensial

Contoh :

∫ x

^𝒏

x

=

x

ⁿ⁺^𝟏

n + 𝟏 + k

2. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TAK TENTU

(47)

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

Contoh :

Kaidah 5. Formula Perkalian

Contoh :

Kaidah 6. Formula Subtitusi

Contoh :

Dimana u = g(x), dan merupakan subtitut bagi Contoh :

Selesaikanlah

Misalkan u = , maka

Karena pembilangnya ). Sehingga:

(48)

=

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 FUNGSI BIAYA

CONTOH KASUS 1

Diketahui fungsi biaya marginal pada perusahaan NIARI sebesar MC = 15Q²+ 12Q+ 5. Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata-rata apabila diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika kuantitasnya sebesar 10? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MC = 15Q² + 12Q + 5 k = 5

Q = 10

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC dan AC jika Q = 10

Jawab :

TC =

3. PENERAPAN EKONOMI

BIAYA TOTAL (TC) = BIAYA RATA-RATA (AC) =

(49)

TC = + k

TC =

TC = 5 + 6 + 5Q + 5

AC = AC = AC = 5

Jika Q = 10, maka:

TC = 5 + 6 + 5Q + 5

TC = 5(10)³+ 6(10)² + 5(10) + 5 TC = 5000 + 600 + 50 + 5 TC = 5.655

AC = AC = AC = 565,5

Analisis :

Apabila MC = 15Q² + 12Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total dan fungsi biaya rata-ratanya adalah TC = 5 + 6 + 5Q + 5 dan AC = 5 . Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka biaya total sebesar Rp 5.655 dan biaya rata-ratanya sebesarRp 565,5.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math

(50)

1. Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math

2. Pilih Integral Tak Tentu

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Intergral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya

(51)

Gambar 2.3 Menu Operasi Fungsi Biaya

4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC sebesar k, yaitu 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya

(52)

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 10. Kemudia klik Calculate.

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya

3.2 FUNGSI PENERIMAAN

CONTOH KASUS 2

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan MR = 10Q² + 12Q + 25, maka bentuklah persamaan TR dan AR jika k = 0?

Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang terjual sebesar 20 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MR = 10Q²+ 12Q + 25 k = 0

Q = 20

PENERIMAAN TOTAL (TR) = PENERIMAAN RATA-RATA (AR) =

(53)

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 20

Jawab :

TR =

TR = 10Q² + 12Q + 25 dQ TR = Q³ + Q²+ 25Q + k TR = 3,33Q³ + 6Q² + 25Q

AR = AR =

AR = 3,33Q² + 6Q + 25

Jika Q = 20, maka:

TR = 3,33Q³ + 6Q² + 25Q TR = 3,33(20)³+ 6(20)² + 25(20) TR = 3,33(8.000) + 6(400) + 500 TR = 26.640 + 2.400 + 500 TR = 29.540

AR = AR = AR = 1.477

Analisis:

Apabila MR = 10Q²+ 12Q + 25 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 3,33Q³ + 6Q² + 25Q dan AR = 3,33Q² + 6Q + 25. Pada saat kuantitasnya sebesar 20 unit, maka penerimaan total sebesar Rp. 29.540 dan penerimaan rata-ratanya sebesar Rp. 1.477.

(54)

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak tentu

3. Pilih Fungsi Penerimaan

(55)

Gambar 2.8 Menu Operasi Fungsi Penerimaan

4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan

(56)

5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal, yaitu 20. Kemudian klik Calculate

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan

3.3 FUNGSI PRODUKSI

Keterangan:

X = Masukkan atau Input

CONTOH KASUS 3

Produksi marginal PT. BG-12 ditunjukkan oleh persamaan MP = 25X² + 10X + 12. Bentuklah persamaan produksi total dan produksi rata-ratanya jika k = 0?

Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukkan yang digunakan sebesar 10 unit? Analisislah

Penyelesaian:

Diketahui : MP = 25X² + 10X + 12 TOTAL PRODUKSI (TP) = PRODUKSI RATA-RATA (AP) =

(57)

X = 10 k = 0

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 10

Jawab :

TP =

TP = 25X² + 10X+ 12 dX TP = X³ + X² + 12X + k TP = 8,33X³ + 5X² + 12X

AP = AP =

AP = 8,33X² + 5X + 12

Jika X = 10, maka:

TP = 8,33X³ + 5X² + 12X

TP = 8,33(10)³ + 5(10)² + 12(10) TP = 8.330 + 500 + 120

TP = 8.950

AP = AP = AP = 895

Analisis :

Apabila MP = 25X² + 10X + 12 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produksi total dan fungsi produksi rata-ratanya adalah TP = 8,33X³ + 5X² + 12X dan AP = 8,33X² + 5X + 12. Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka produksi total sebesar Rp. 8.950 dan produksi rata-ratanya sebesar Rp. 895.

(58)

(59)

3. Pilih Fungsi Produksi

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi

4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya Variabel hitung berapa banyak variable pada data soal, yaitu 2. Kemudian masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi

(60)

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai X seperti yang ada di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi

3.4 FUNGSI UTILITAS

CONTOH KASUS 4

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 30Q²+ 22Q + 5 dan konstanta sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 13? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MU = 30Q²+ 22Q + 5 Q = 13

k = 0

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 23?

UTILITAS TOTAL (TU) =

(61)

Jawab :

TU =

TU = 30Q²+ 22Q + 5 dQ TU = Q³+ Q² + 5Q + k TU = 10Q³+ 11Q² + 5Q

Jika Q = 13, maka:

TU = 10Q³+ 11Q² + 5Q

TU = 10(13)³ + 11(13)² + 5(13) TU = 21.970 + 1.859 + 65 TU = 23.894

Analisis :

Apabila MU = 30Q²+ 22Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas total TU = 10Q³+ 11Q² + 5Q. Pada saat kuantitasnya sebesar 13 unit, maka utilitas total sebesar Rp. 23.894.

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Karena, Y = C + S

Maka, S = -a + (1 – b)Y

(62)

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integrasi dari MPC dan tabungan (S) adalah integrasi dari MPS.

Keterangan:

 MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan pendapatan nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

 MPS (Marginal Propensity to Saving) = Mencerminkan besarnya tambahan tabungan akibat adanya tambahan pendapatan nasional yang mengakibatkan besarnya tabungan.

 k = a = Autonomous Consumption = Konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol.

 k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol.

Dimana:

 MPC < 1 = Menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

 MPC > 0,5 = Menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.

C = MPC dY = F(Y) + k k = +a S = MPS dY = F(Y) k k = -a

0,5 < MPC < 1

MPC + MPS = 1

(63)

CONTOH KASUS 5

Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui konsumsi otonomnya sebesar 100 miliar dan MPC = 0,53. Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional negara sebesar 520 miliar? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MPC = 0,53

k = a = 100 miliar Y = 520 miliar

Ditanya : Fungsi (C) dan Fungsi (S)?

Besarnya C dan S?

Jawab :

MPC + MPS = 1 MPS = 1 – 0,53 MPS = 0,47

Fungsi C F(Y) = F(Y) = F(Y) = F(Y) =

Fungsi S F(Y) = F(Y) = F(Y) = F(Y) =

Jika Y = 520, maka:

C = =

(64)

= 275,6 + 100 = 375,6

S = =

= 244,4 100 = 144,4

Analisis :

Apabila MPC = 0,53 dan konsumsi otonomnya sebesar 100 miliar, maka persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,53Y + 100 dan persamaan tabungannya adalah S = 0,47Y – 100. Jika pada saat pendapatan nasional sebesar 520 miliar maka konsumsi dan tabungan masyarakat Negara sebesar Rp. 375,6 miliar dan Rp. 144,4 miliar.

(65)

3. Pilih Fungsi Konsumsi

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi

(66)

4. Masukan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 100, kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,53. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi

5. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 520 pada kolom Y untuk menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi

(67)

6. Masukan nilai k atau a sebesar -100 dan MPS sebesar 0,47. Kemudian masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 520 pada kolom Y untuk menghitung nilai tabungannya, klik Calculate.

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan

(68)

59 INTEGRAL TERTENTU MATEMATIKA EKONOMI 2

Integral tertentu adalah nilai integral suatu fungsi dengan variabel bebasnya memiliki batasan rentang nilai yang tertentu. Misalnya = a dan = b dimana a < b (a sebagai batas bawah integrasi dan b sebagai batas atas integrasi). Rumusan dari integral tertentu adalah sebagai berikut:

Keterangan :

a = Batas Bawah dimana a < b

b = Batas Atas

Contoh :

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

INTEGRAL TERTENTU

(69)

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR│LITBANG ATA 2021/2022 60 INTEGRAL TERTENTU MATEMATIKA EKONOMI 2

Penerapan ekonomi dalam integral tertentu digunakan untuk mencari besarnya keuntungan konsumen (surplus konsumen) dan besarnya keuntungan produsen (surplus produsen).

2.1 Surplus Konsumen

Surplus Konsumen (Consumer’s Surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.

Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar ( ) maka bagi konsumen tertentu sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari . Hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga . Keuntungan lebih semacam ini disebut surplus konsumen oleh Alfred Marshall. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar.

2. PENERAPAN EKONOMI

Surplus Konsumen

(Qe, Pe)

P = f(Q)

Q_e Q

P

P_e

0

Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen

(70)

Rumus Surplus Konsumen :

Atau

Keterangan :

= Tingkat kuantitas keseimbangan pasar = Tingkat harga keseimbangan pasar = Tingkat harga pasar saat Q = 0

CONTOH KASUS 1

Diketahui fungsi permintaan untuk pakaian wanita adalah Pd = 15 – 2Q dan fungsi penawaran P_s = 3 + Q. Hitunglah surplus konsumen menggunakan 2 cara! Buat analisis dan kurvanya!

Penyelesaian :

Diketahui : Pd = 15 – 2Q Ps= 3 + Q Ditanya : CS?

Jawab :

=

15 – 2Q = 3 + Q P = 15 – 2Q

-2Q – Q = -15 + 3 = 15 – 2(4)

-3Q = -12 = 7

= 4

Catatan:

Untuk mencari surplus konsumen, maka menggunakan fungsi permintaan.

(71)

CARA 1 :

CARA 2 : P =

Jika Q = 0 ;

(72)

Langkah membuat kurva : 1. P_d = 15 – 2Q

Misalkan P = 0  0 = 15 – 2Q 2Q = 15 Q = 7,5 Misalkan Q = 0  P = 15 – 2Q

P = 15 – 2(0)

P = 15

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 4) dan harga keseimbangan (Pe = 7)

3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga (L = )

Analisis :

Jadi, surplus yang diterima konsumen sebesar Rp16 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp7 padahal konsumen mampu membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp7.

Area Surplus Konsumen

16 P

15

7

0 4 7,5 Q

Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1

(73)

Langkah-langkah menggunakan software : CARA 1 :

1. Buka software EC-Math pilih Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1.

Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu

2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat pada fungsi permintaan).

Pilih 1 variabel.

Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1

(74)

3. Masukkan data-data sesuai dengan soal, lalu klik Hitung maka akan muncul tampilan hasil jawaban.

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen

CARA 2 :

1. Buka software EC-Math lalu Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 2.

(75)

Pilih 1 variabel.

(76)

CONTOH KASUS 2

Jika fungsi permintaan suatu barang P = 25 – 2Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya sebesar 5, hitunglah surplus konsumennya! Analisis dan buat kurvanya!

Penyelesaian :

Diketahui : Pd= 25 – 2Q Qe = 5 Ditanya : CS?

Jawab : Pd = 25 – 2Q

= 25 – 2(5)

= 25 – 10 P_e = 15

CARA 1 :

CARA 2 :

P =

(77)

Jika Q = 0 ;

Langkah membuat kurva : 1. Pd = 25 – 2Q

Misalkan P = 0  0 = 25 – 2Q 2Q = 25 Q = 12,5 Misalkan Q = 0  P = 25 – 2(0)

P = 25

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan (Qe = 5) dan harga keseimbangan pasar (Pe = 15)

3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga (L = )

(78)

Analisis :

Jadi, surplus yang diterima konsumen sebesar Rp25 karena konsumen dapat membeli dengan harga Rp15 padahal konsumen mampu membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp15.

Area Surplus Konsumen P

25

15

Q

0 5 12,5

Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2

(79)

Langkah-langkah menggunakan software : CARA 1 :

1. Buka software EC-Math pilih Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1.

Pilih 1 variabel.

(80)

CARA 2 :

1. Buka software EC-Math lalu Integral Tertentu, lalu pilih Surplus Konsumen 2.

(81)

Pilih 1 variabel.