Kombinasi Penggunaan Input. Dr. Agr. Sc. Ernoiz Antriyandarti, SP, MP, M.Ec

Kombinasi Penggunaan Input

Dr. Agr. Sc. Ernoiz Antriyandarti, SP, MP, M.Ec

Teori Produksi

• Teori produksi adalah teori yang mempelajari bagaimana menggunakan kombinasi

input/faktor-faktor produksi untuk menghasilkan output yang optimum.

• Sebagaimana teori konsumsi, dalam teori produksi akan dibahas mengenai perilaku produsen dalam menggunakan input yang tersedia untuk mencapai tujuannya.

• Proses produksi memerlukan faktor

produksi/input seperti tenaga kerja manusia, modal, dan bahan mentah.

• Input dapat dikategorikan menjadi dua

golongan, yaitu input tetap (fixed input) dan input variabel.

• Input tetap adalah input yang tidak dapat diubah jumlahnya dalam jangka pendek

(shortrun), seperti lahan dan gedung.

• Input variabel adalah input yang dapat diubah jumlahnya dalam jangka pendek, seperti

tenaga kerja, bibit dan pupuk.

Fungsi Produksi dengan Satu Input

• Fungsi produksi menunjukkan hubungan input dan output maksimum yang dapat dihasilkan pada teknologi tertentu dalam bentuk tabel, grafik atau persamaan, misal produksi output q dengan input x:

q = f (x)

• Persamaan di atas menunjukkan bahwa

dengan teknologi tertentu, tingkat output q yang dihasilkan hanya ditentukan oleh tingkat input x saja.

Produksi dengan Satu Input

x q AP MP

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 3 8 12 15 17 17 16 13

3 4 4 3,75

3,4 2,83 2,29 1,38

3 5 4 3 2 0 -1 -3

Produksi dengan Satu Input

• TP = Total Product

• MP = Marginal Product = Produksi Marginal

• MP = Perubahan produksi perkesatuan perubahan input

• MP = ^∆𝑞_∆𝑥 = ^𝜕𝑞

𝜕𝑥 = Slope Fungsi Produksi

• AP = Average Product = Produksi rata-rata

• AP = ^𝑞_𝑥 = slope garis yang menghubungkan titik 0 dengan titik pada fungsi produksi

Elastisitas produksi (output elasticity)

= 𝜔 = persentase perubahan produksi dan input 𝜔 = ∆𝑞/𝑞

∆𝑥/𝑥 = ∆𝑞

∆𝑥 𝑥

𝑞 ≈ 𝜕𝑞

𝜕𝑥 𝑥

𝑞 = 𝑀𝑃 𝐴𝑃

• Pada daerah I tambahan input lebih

menguntungkan, merupakan daerah tidak rasional (irrational) untuk berproduksi.

𝜔 = ^𝑀𝑃_𝐴𝑃 ⇒ 𝑀𝑃 > 𝐴𝑃 ⇒ 𝜔 > 1 (Produksi elastis)

• Pada daerah II, efisiensi input variabel

mencapai puncaknya, merupakan daerah rasional

MP < AP ⇒ 𝜔 < 1 (Produksi inelastis)

• Pada daerah III, tambahan input menurunkan produksi, merupakan daerah tidak rasional

(irrational)

MP < 0 ⇒ 𝜔 < 0

‘The Law of Diminishing Return’

• Kurva TP pada mulanya naik dengan lambat kemudian naik dengan cepat, ditandai dengan kenaikan MP dan AP. Kenaikan TP mulai

melambat setelah MP mencapai titik maksimum.

𝑀𝑃_𝑚𝑎𝑥 = Inflection Point = Titik Balik y = f (x)

MP = ^𝜕𝑦_𝜕𝑥 = 𝑓¹(𝑥); 𝑀𝑃_𝑚𝑎𝑥 ∶ ^{𝜕(𝑀𝑃)}_𝜕𝑥 = 0; 𝑓¹¹(x) = 0 MP = 0 pada 𝑇𝑃_𝑚𝑎𝑥 : ^𝜕𝑦_𝜕𝑥 = 0

𝐴𝑃_𝑚𝑎𝑥= MP, pada titik perpotongan MP dan AP

Produksi Optimum Pada Fungsi Produksi

dengan Satu Input

• TVP = Total Value Product = TP.p (p harga produksi)

• AVP = Average Value Product = APp (nilai produksi rata- rata)

• VMP = The Value of Marginal Product = MPp (nilai marginal produk)

• r = Harga input = tambahan biaya perkesatuan tambahan input

• Jika VMP > r, berarti input perlu ditambah, sebaliknya jika VMP < r, berarti input perlu dikurangi. Dapat

disimpulkan bahwa optimum produksi terjadi pada saat:

- Nilai marginal product (VMP) sama dengan harga input (r)

- Marginal product (MP) sama dengan perbandingan harga input dan output _𝑝^𝑟

Pengaruh Perubahan Harga Input dan Output

• Kenaikan harga input (r↑)mengakibatkan titik optimum bergeser kekiri, sehingga

penggunaan input berkurang (𝑥 ↓) dan produksi (q↓).

• Jika harga input turun, maka 𝑟 ↓⇒ 𝑥 ↑⇒ 𝑞 ↑

• Jika harga output naik, maka 𝑝 ↑⇒ 𝑥 ↑⇒ 𝑞 ↑

• Jika harga output turun, maka 𝑝 ↓⇒ 𝑥 ↓⇒ 𝑞 ↓

Contoh:

Diketahui suatu fungsi produksi komoditas 𝑞 = 15𝑥² − 𝑥³

1. Berapa penggunaan input pada 𝑀𝑃_𝑚𝑎𝑥, 𝐴𝑃_𝑚𝑎𝑥, 𝑇𝑃_𝑚𝑎𝑥?

2. Jika harga input 27 dan harga output 1, berapa input dan produksi optimum?

Jawab:

𝑀𝑃 = ^𝜕𝑞_𝜕𝑥 = 30𝑥 − 3𝑥² 𝑀𝑃_𝑚𝑎𝑥: ^{𝜕(𝑀𝑃)}_𝜕𝑥 = 0

𝜕(𝑀𝑃)

𝜕𝑥 = 30 − 6𝑥 = 0

x= 5

𝐴𝑃 = ^𝑞_𝑥 = 15𝑥 − 𝑥² 𝐴𝑃_𝑚𝑎𝑥: ^{𝜕(𝐴𝑃)}_𝜕𝑥 = 0

^𝜕𝐴𝑃_𝜕𝑥 = 30 − 2𝑥 = 0

x= 7,5 𝑇𝑃_𝑚𝑎𝑥: ^𝜕𝑞_𝜕𝑥 = 0 ^𝜕𝑞_𝜕𝑥 = 30𝑥 − 3𝑥² = 0

3x ( 10 - x ) = 0 x = 10

Syarat Optimum : 𝑀𝑃 = 𝑟

𝑝 ⇒ 30𝑥 − 3𝑥² = 27 1

30𝑥 − 3𝑥² − 27 = 0 3𝑥² − 30𝑥 + 27 = 0 𝑥² − 10𝑥 + 9 = 0 (x – 9) (x – 1) = 0

𝑥₁= 9 ; 𝑥₂ = 1

Syarat orde II :

𝜕²𝑞

𝜕𝑥² < 0 atau ^𝜕_𝜕𝑥^2𝜋₂ < 0

𝜕²𝑞

𝜕𝑥² = 𝑝𝑓¹¹ 𝑥 < 0 𝑓¹¹ < 0 𝑓¹¹ = 𝜕²𝑞

𝜕𝑥² = 𝜕(𝑀𝑃)

𝜕𝑥 = 30 − 6𝑥

𝑓¹¹ 9 = 30 − 6 9 = 30 − 54 = −24 < 0 𝑓¹¹ 1 = 30 − 6 = 24 > 0 , sehingga diperoleh x = 9

𝑞 = 15(9)²− 9 ³ = 15 81 − 729 = 486

LATIHAN

1. Diketahui suatu fungsi produksi komoditas 𝑞 = 24𝑥² − 𝑥³

a. Berapa penggunaan input pada 𝑀𝑃_𝑚𝑎𝑥, 𝐴𝑃_𝑚𝑎𝑥, 𝑇𝑃_𝑚𝑎𝑥?

b. Jika harga input 360 dan harga output 2, berapa input dan produksi optimum?

2. a. Carilah AP dan MP Tenaga Kerja

b. Gambarlah grafik TP, AP dan MP Tenaga kerja

Tanah 1 1 1 1 1

Tenaga Kerja

1 2 3 4 5

TP

Tenaga Kerja

10 18 24 28 30

Fungsi Produksi dengan Dua Input

• Sebagian besar proses produksi menggunakan dua input atau lebih untuk menghasilkan

barang/jasa. Misalnya, untuk memproduksi output q digunakan input x₁ dan x₂.

q = f (x₁, x₂)

Perubahan output q merupakan fungsi dari input variabel x₁ dan x₂.

Tabel Produksi dengan Dua Input

𝑥₂ 8 7 6 5 4 3 2 1

Produksi 9

13 16 15 13 10 6 3

46 46 42 37 30 24 12 6

69 69 66 60 54 39 17 8

92 91 88 80 72 52 21 9

109 108 106 100 85 61 24 10

124 123 120 113 93 66 26 10

136 134 128 120 95 66 25,5

9

144 140 132 121 95 64 24,5

7

x₁ 1 2 3 4 5 6 7 7

Grafik Steriometrik Fungsi Produksi

dengan Dua Input

Isoquant

• Fungsi produksi pada gambar dalam dimensi tiga merupakan bidang melengkung 𝑞₀ dapat dihasilkan sepanjang garis pada bidang fungsi produksi setinggi 𝑞₀ yang merupakan garis

trans. Garis trans ini diproyeksikan kebidang dasar, disebut isoquant.

• Isoquant adalah kurva yang menggambarkan semua kemungkinan kombinasi input untuk menghasilkan output tertentu.

Isoquant

Penggantian Input (Input Substitution)

• Suatu kondisi dimana salah satu input harus digantikan oleh input lain untuk

mempertahankan tingkat output disebut

Marginal Rate of Technical Substitution (Daya Substitusi atau Daya Pengganti Teknis

Marginal/MRTS).

Tabel Marginal Rate of Technical Substitution

Isoquant I Isoquant II Isoquant III 𝑥₁ 𝑥₂ MRTS 𝑥₁ 𝑥₂ MRTS 𝑥₁ 𝑥₂ MRTS

2 1 2 3 4 5 6 7

11 8 5 3 2,3 1,8 1,6 1,8

-3

3 2 0,7 0,5 0,2 -0,2

4 3 4 5 6 7 8 9

13 10 7 5 4,2 3,5 3,2 3,5

-3

3 2 0,8 0,7 0,3 -0,3

6 5 6 7 8 9 10 11

15 12 9 7 6,2 5,5 5,3 5,5

-3

3 2 0,8 0,7 0,2 -0,2

• 𝑀𝑅𝑇𝑆 = − ^∆𝑥_∆𝑥²

1 = − ^𝑑𝑥_𝑑𝑥²

1

• 𝑞 = 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂

• 𝑑𝑞 = 𝑓₁𝑑𝑥₁ + 𝑓₂𝑑𝑥₂

• Pada suatu isoquant dq = 0 0 = 𝑓₁𝑑𝑥₁ + 𝑓₂𝑑𝑥₂ − ^𝑑𝑥_𝑑𝑥²

1 = ^𝑓_𝑓¹

2 ⇒MRTS = ^𝑀𝑃_𝑀𝑃¹

2

MRTS sama dengan perbandingan marginal product. MRTS merupakan negatif dari slope isoquant. Isoquant selalu berslope negatif dan berkurva cembung (convex) yang menunjukkan bahwa MRTS menurun.

Isocost

• Isocost menunjukkan berbagai kombinasi

input yang dapat dibeli dengan sejumlah biaya tertentu. Jika input yang digunakan x₁ dengan harga r₁ dan x₂ dengan harga r₂, maka

kombinasi input yang dapat diperoleh dengan biaya sebesar C₀ adalah:

𝐶₀ = 𝑟₁𝑥₁ + 𝑟₂𝑥₂ ⇒ 𝑥₂ = 𝐶₀

𝑟₁ − 𝑟₁

𝑟₂ 𝑥₁

kurva isocost

Keseimbangan Produsen

• Titik A merupakan titik optimum (producer equilibrium).

Persamaan garis isocostnya adalah:

𝐶₀ = 𝑟₁𝑥₁ + 𝑟₂𝑥₂ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥₂ = 𝐶₀

𝑟₁ − 𝑟₁ 𝑟₂ 𝑥₁ 𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 = − 𝑟₁

𝑟₂

3 kemungkinan optimasi, yaitu :

1. Memaksimumkan produksi dengan kendala biaya akan dicapai keuntungan maksimum.

Mencapai isoquant terjauh yang terjangkau budget space, yaitu isoquant𝑞₁. A merupakan

titik optimum, titik singgung antara isoquant dan isocost, sehingga slope isoquant sama dengan

slope isocost (merupakan syarat pertama atau syarat yang diperlukan/ necessary condition).

−𝑀𝑅𝑇𝑆 = − ^𝑟_𝑟¹

2 ⟹ MRTS = ^𝑟_𝑟¹

2

Syarat kedua atau syarat mencukupi/sufficient condition adalah convexity of isoquant.

Dicari dengan calculus, secara Lagrange:

Memaksimumkan q = 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂) dengan kendala biaya : 𝐶₀ − 𝑟₁𝑥₁ − 𝑟₂𝑥₂ = 0

𝐿 = 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ + 𝜆(𝐶₀ − 𝑟₁𝑥₁ − 𝑟₂𝑥₂) 2. Meminimumkan biaya dengan kendala

produksi

Pada produksi 𝑞₀ dicari isocost yang terdekat dengan 0 yaitu titik A pada C, titik singgung, slope sama dengan MRTS = ^𝑟_𝑟¹

1

Meminimumkan C₀ = r₁x₁ + r₂x₂ dengan kendala

𝑞₀ − 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = 0: 𝑍 = 𝑟₁𝑥₁ + 𝑟₂𝑥₂ + 𝜇*𝑞₀ − 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ +

3. Tanpa Kendala

Optimasi produksi tanpa kendali berarti memaksimumkan keuntungan dengan persamaan berikut:

𝜋 = 𝑅 − 𝐶

𝜋 = 𝑃_𝑞 − 𝑟₁𝑥₁ − 𝑟₂𝑥₂

𝜋 = 𝑃𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ − 𝑟₁𝑥₁ − 𝑟₂𝑥₂ 𝜋_𝑚𝑎𝑥: _𝜕𝑥^𝜕𝜋

1 = 𝜋₁ = 0 _𝜕𝑥^𝜕𝜋

2 = 𝜋₂ = 0

Isocline

Isocline adalah tempat kedudukan titik-titik pada isoquant yang mempunyai slope yang sama

Isocline

Expansion path

• Expansion path merupakan isocline yang istimewa karena slopenya sama dengan

perbandingan harga input (slope budget line atau isocost).

• Expansion path adalah tempat kedudukan titik-titik optimum pada berbagai isoqunt.

Semua titik pada expansion path memenuhi syarat MRTS = ^𝑟_𝑟¹

2

expansion path

Ridge line

Ridge line (garis tembereng) juga merupakan isocline yang istimewa karena merupakan

tempat kududukan titik pada isoquant yang mempunyai slope nol atau tak terhingga

(horisontal dan vertikal).

Ridge line

Skala Produksi (Return to Scale)

• Perubahan output karena perubahan input secara proporsional disebut Return to Scale.

• Derajat homogenitas atau koefisien fungsi (k)

menunjukkan bagaimana hubungan isokuan dan total produksi, sehingga dapat diketahui sifat skala

produksinya.

• Fungsi produksi bersifat homogen derajat satu (k = 1), berarti isokuan berjarak sama (bersifat constant return to scale). k > 1 berarti isokuan merapat saat output

naik (bersifat increasing return to scale), sebaliknya, k <

1 berarti isokuan merenggang saat output naik (bersifat decreasing return to scale). Suatu fungsi

disebut bersifat homogen derajat k jika semua variabel dikalikan a, maka fungsi tersebut menjadi berlipat a^k.

y = f (x₁, x₂,…,x_n)

y = f (ax₁, ax₂,…,ax_n) = a^ky