DIMENSI PARTISI DARI GRAF
LOLLIPOP, GRAF
GENERALIZED
JAHANGIR, DAN GRAF
Cn
∗
2Km
oleh
MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI M0112054
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
ABSTRAK
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. DIMENSI PARTISI DARI GRAF
LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn∗2Km.
Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V(G) yang dapat dibagi menjadi beberapa partisi S. Himpunan Π dengan S ∈ Π dise-but partisi pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π dan Π merupakan himpunan dari k−partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda terhadap V(G) disebut dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G). Graf lollipop Lm,n adalah
graf lengkap Km dan graf lintasan Pn yang dihubungkan dengan sebuah bridge.
Grafgeneralized Jahangir adalah graf yang terdiri daricycle Cmndengan 1vertex
tambahan yangadjacent dengann vertex dari Cmn denganm jarak yang sama di
Cmn. Graf Cn∗2Km adalah suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge atau
menggabungkan salah satu edge pada Cn dan satu edge pada Km. Beberapa
pe-neliti telah menentukan dimensi partisi pada beberapa kelas graf. Hal ini menjadi acuhan untuk meneliti beberapa kelas graf yang belum diteliti sebelumnya.
Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi dari kelas graflollipopLm,n,
grafgeneralized JahangirJm,n, dan grafCn∗2Km. Metode penelitian yang
digu-nakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka.
Hasil penelitian menyatakan bahwa dimensi partisi dari graflollipop adalah pd(Lm,n) = m untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1. Dimensi partisi dari graf
generali-zed Jahangir terdiri dari dua kasus, yaitu pd(Jm,n) = 3 untuk n = 3,4,5 dan
pd(Jm,n) =⌊n2⌋+ 1 untuk n ≥6. Dimensi partisi dari grafCn∗2Km terdiri dari
dua kasus, yaitu pd(Cn∗2Km) = 3 untukm = 2,3,4, dan pd(Cn∗2Km) = m−1
untuk m≥5.
ABSTRACT
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION
OFLOLLIPOP GRAPH,GENERALIZED JAHANGIR GRAPH, ANDCn∗2Km
GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Univer-sity.
LetG be a connected graph with vertex set V(G), such that V(G) can be divided into any partition set S. The set Π with S ∈Π is a resolving partition of G if for each vertex in G has distinct representation with respect to Π, and Π is an ordered k−partition. The minimum cardinality of resolving k−partitions of V(G) is called a partition dimension of G, denoted by pd(G). The lollipop graph Lm,n is a graph obtained by joining a complete graph Km to a path Pn with a
bridge. A generalized Jahangir graph is a graph consisting of a cycle Cmn and
one additional vertex which is adjacent tonvertices ofCmnatmdistance to each
other on Cmn. ACn∗2Km graph is the graph obtained from edge amalgamation
or connected to one of edge of Cn and one edge of Km. Many researchers have
conducted research in determining the partition dimension for specific graph clas-ses. There are as reference to determine some of the graph classes that haven’t been studied previously.
In this research, we determine the partition dimension of a lollipop graph Lm,n, a generalized Jahangir graph Jm,n, and a Cn∗2 Km graph. The research
methods in this paper is book study.
The results of this research are as follows. We obtain the partition dimension of a lollipop graph is pd(Lm,n) = m for m ≥ 3 and n ≥ 1. The partition
dimension of a generalized Jahangir graph consists of two cases. We showed that pd(Jm,n) = 3 for n = 3,4,5 and we prove pd(Jm,n) = ⌊n2⌋+ 1 for n ≥ 6. The
partition dimension of a Cn∗2 Km graph consists of two cases. The first case,
pd(Cn∗2Km) = 3 for m= 2,3,4 and the second case, we found pd(Cn∗2Km) =
m−1 for m≥5.
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
MOTO
Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya
dipikirkan. Sebuah cita-cita juga menjadi beban, jika itu hanya
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu
penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini, dan
2. teman-teman yang telah membantu dan senantiasa memberikan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Juli 2016
DAFTAR ISI
SAH . . . iii
ABSTRAK . . . iii
ABSTRACT . . . iv
PERSEMBAHAN . . . v
MOTO . . . vi
KATA PENGANTAR . . . vii
DAFTAR ISI . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . x
DAFTAR NOTASI . . . xi
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 3
1.3 Tujuan . . . 3
1.4 Manfaat . . . 3
III METODE PENELITIAN 15
IV PEMBAHASAN 16
4.1 Dimensi Partisi dari Graf Lollipop . . . 16 4.2 Dimensi Partisi dari Graf Generalized Jahangir . . . 17
4.3 Dimensi Partisi dari Graf Cn∗2Km . . . 22
V PENUTUP 26
5.1 Kesimpulan . . . 26
5.2 Saran . . . 26
DAFTAR GAMBAR
2.1 Graf G1 . . . 6
2.2 Graf G2 . . . 8
2.3 Graf G1, G2, dan G1∪G2 . . . 9
2.4 Operasi amalgamasi titik G∗H dan operasi amalgamasi sisi G∗2H 10 2.5 Graf Kp untuk 1 ≤p≤4 . . . 11
2.6 Graf Pn untuk 1< n ≤4 . . . 11
2.7 Graf Lollipop Lm,n . . . 11
2.8 Graf generalized JahangirJm,n . . . 12
2.9 Graf Cn∗2Km . . . 12
DAFTAR NOTASI
d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada grafG
∪ : operasi union
⌈x⌉ : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
pd(G) : dimensi partisi pada graf G Pn : graf lintasan ber-order n
Kn : graf lengkap ber-order n
Cn : grafcycle ber-order n
Kr,s : graf bipartit lengkap ber-order r+s
Wn : grafwheel ber-order n+ 1
G2n : grafgear ber-order 2n+ 1
Hn : grafhelm ber-order 2n+ 1
SFn : grafsunflower ber-order 2n+ 1
fn : graffriendship ber-order 2n+ 1
Sk,m : graf amalgamasi star ber-order km+ 1
Ln,t : graf (n, t)−kite ber-order n+t
Bn,n : grafbarbell ber-order 2n
DCn : grafdouble cone ber-order n+ 2
Cmn : grafcycle ber-order mn
Lm,n : graflollipop ber-order m+n
