GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI
Denik Agustito
1, Sriwahyuni
2Mahasiswa S2, Jurusan Matematika, Universitas Gajah Mada : Yogyakarta e_mail: agusto_ugm@yahoo.co.id
Abstrak
Dalam tulisan ini hasil yang diperoleh adalah jika X adalah ruang terhubung lintasan maka , jika X adalah ruang topologi dan adalah komponen lintasannya maka
serta jika X adalah ruang topologi dan adalah himpunan semua subset kompaknya maka .
Kata kunci: kompak, terhubung lintasan, topologi.
PENDAHULUAN
Dalam tulisan ini akan disurvei beberapa sifat dari grup homologi dari ruang topologi tertentu, terutama ruang topologi terhubung lintasan dan sembarang ruang topologi bersama dengan subset kompaknya. Sifat grup homologinya memiliki peranan penting dalam teori homologi singular diantaranya adalah untuk menghitung grup homologi dari sphere, sell dan manifold. Batasan masalah dalam tulisan ini terfokus pada tiga ruang yaitu ruang topologi terhubung lintasan, komponen lintasan dari suatu ruang topologi dan himpunan semua subset kompak pada suatu ruang topologi.
Teori kategori dalam tulisan ini akan memainkan peranan penting. Pertama dengan bahasa kategori,kategori dari ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinyunya akan dinotasikan dengan TOP, kategori dari grup abelian bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan dengan GRP, kategori dari kompleks rantai singular bersama dengan pemetaan rantai singularnya akan dinotasikan dengan CC dan kategori dari grup graded bersama dengan homomorfismanya akan dinotasikan dengan GG. Kedua akan diberikan salah satu dari struktur internal dalam suatu kategori yaitu mengenai direc limit.
PEMBAHASAN
1. Fungtor Homologi Singular
Diberikan sebuah ruang topologi X maka sebuah p-simpleks singular pada ruang topologi X
adalah sebuah pemetaan kontinyu dengan .
Kemudian dengan fungtor grup bebas dibentuk sebuah grup abelian bebas yang dibangkitkan melalui himpunan semua p-simpleks singular pada ruang topologi X yang dinotasikan dengan . Karena p bergerak secara membesar maka didapat sebuah grup graded yang dinotasikan dengan .
Selanjutnya dengan grup graded dapat dikonstruksi sebuah operator batas yang memenuhi sifat untuk . Grup graded
yang dilengkapi dengan operator batas dinamakan kompleks rantai singular dan dinotasikan dengan
. Selanjutnya diberikan dua buah kompleks singular rantai dan
maka dikatakan pemetaan rantai singular
(morfisma diantara kompleks rantai singular) jika adalah sebuah koleksi homomorfisma grup
[gambar 1]
Jadi diperoleh sebuah kategori yang objek-objeknya adalah kompleks rantai singular dan morfismanya adalah pemetaan rantai singular yang dinotasikan dengan CC. Akibatnya terdapat sebuah fungtor kovariant dari TOP ke CC yang membangkitkan sebuah ruang topologi X menjadi sebuah kompleks rantai singular dan membangkitkan sebuah pemetaan kontinyu
menjadi sebuah pemetaan rantai singular .
Fungtor tersebut dinamakan fungtor rantai singular.
Sekarang diberikan sebuah kompleks rantai singular . Kompleks rantai singular tersebut dapat diilustrasikan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya (operator batas) yaitu sebagai berikut
[gambar 2]
Pada kompleks rantai singular dalam gambar 2 bahwa operator batas memenuhi sifat untuk dan sifat ini ekuivalen dengan . Sekarang tulis dan . Jelas bahwa dan adalah subgroup dari grup abelian bebas . Subgrup dinamakan boundaries berdimensi p-1 dan subgrup
dinamakan cycle berdimensi p-1. Karena p bergerak secara membesar maka boundaries dan cycles berturut-turut dapat dipandang sebagai grup graded dan dinotasikan dengan
dan .
Diperoleh fakta bahwa adalah subgrup dari maka dapat dikonstruksi sebuah grup baru yaitu grup faktor . Grup faktor dinamakan grup homologi singular bedimensi-p. Karena p bergerak secara membesar maka grup homologi singular dapat dinotasikan dengan . Jika diberikan dua buah grup homologi dan maka
pemetaan dikatakan pemetaan diantara grup homologi singular jika
terdiri dari koleksi dengan adalah homomorfisma grup. Pemetaan
merupakan homomorfisma grup graded berderajat-0.
Jadi terdapat sebuah kategori yang objek-objeknya adalah grup homologi singular dan morfismannya adalah homomorfisma grup berderajat-0 yang disebut dengan kategori grup homologi singular. Karena grup homologi singular adalah grup graded maka kategori tersebut akan dinotasikan dengan GG. Jadi terdapat sebuah fungtor dari CC ke GG yang membangkitkan sebuah kompleks rantai singular menjadi grup homologi dan membangkitkan sebuah pemetaan rantai singular menjadi homomorfisma grup berderajat-0. Fungtor tersebut dinamakan fungtor homologi singular.
2. Grup Homologi dari Ruang Topologi Terhubung Lintasan
Pada bagian ini akan diaplikasikan fungtor homologi singular dari ruang topologi tertentu. Sekarang diberikan suatu ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik dan dinotasikan dengan
. Himpunan semua p-simpleks singular dari X hanya ada satu. Jadi untuk nilai p manapun diperoleh sebuah grup abelian bebas dan bila dinyatakan dalam barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya menjadi
Barisan tersebut menghasilkan sebuah grup homologi sebagai berikut
Grup homologi dari ruang topologi yang hanya terdiri dari satu titik digunakan untuk menghitung grup homologi dari ruang topologi yang bisa dikontraksi (contractible). Selanjutnya akan diaplikasikan fungtor homologi singular untuk ruang topologi terhubung lintasan. Pengertian ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam definisi berikut ini.
Definisi 1. Misalkan X adalah ruang topologi, titik x dan y berada pada X. Sebuah lintasan dalam X dari titik x ke titik y adalah sebuah pemetaan kontinyu sedemikian hingga dan . Ruang topologi X dikatakan terhubung lintasan jika setiap dua titiknya dapat dihubungkan melalui sebuah lintasan dalam X.
Sebuah ruang topologi terhubung lintasan dapat dijumpai pada sebuah sel tertutup satuan dari
ruang Euclidean yang dinotasikan dengan
dengan karena untuk setiap dua titik dan y dalam maka terdapat sebuah lintasan dari x ke y yaitu yang didefinisikan dengan untuk . Begitu juga setiap himpunan bagian dari ruang Euclidean yang konveks adalah sebuah ruang topologi terhubung lintasan dengan topologinya dibangkitkan melalui topologi pada .
Diberikan sebuah ruang topologi terhubung lintasan X. Maka 0-simpleks singular pada X dapat diidentifikasi dengan sebuah tittik pada X, akibatnya adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua titik-titik pada X. Kemudian untuk 1- simpleks singular pada X dapat diidentifikasi sebagai sebuah lintasan dari suatu titik pada X ke titik yang lain, akibatnya adalah grup abelian bebas yang dibangun oleh semua lintasan dalam X. Kemudian pandang barisan grup abelian bebas bersama dengan homomorfismanya berikut ini.
[gambar 4]
Dari gambar 4 jelas bahwa . Jadi untuk setiap dapat dinyatakan secara tunggal sebagai hampir semua . Selanjutnya grup homologi berdimensi-0 dari ruang topologi terhubung lintasan akan diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 1.1. Misalkan X adalah ruang topologi terhubung lintasan. Maka . Bukti.
Bukti dari Teorema ini adalah mundur dengan mengaplikasikan teorema fundamental homomorfisma grup, untuk menghitung cukup ditunjukkan terdapat sebuah epimorfisma grup dengan . Pilih pemetaan yang didefinisikan dengan . Ambil sembarang dan dalam .
Maka .
Jadi dengan mendefinisikan sebuah homomorfisma grup. Ambil sembarang . Maka untuk sembarang berlaku . Jadi dengan adalah pemetaan surjektif. Akibatnya dengan adalah sebuah epimorfisma grup. Kemudian ditunjukkan bahwa . Ambil sembarang 1- simpleks singular pada X yaitu . Karena diidentifikasi sebagai sebuah lintasan dalam X katakan dari titik x ke titik y maka
dan akibatnya . Karena berakibat
maka . Selanjutnya ambil sembarang . Maka Pilih dan karena X adalah terhubung lintasan, untuk setiap terdapat 1- simpleks singular
dan .
Akibatnya . Karena dan maka . Karena
maka .
Contoh 1. Grup homologi berdimensi-0 dari sebuah sel tertututp satuan
dengan dan himpunan konveks dalam ruang Euclidean isomorfik ke grup siklik tak hingga.
4. Grup Homologi dari Komponen Lintasan dalam suatu Ruang Topologi
Untuk mengetahui sifat homologi dari komponen lintaan dalam suatu ruang topologi
terlebih dahulu kembali mengkaji beberapa hal mengenai kompleks rantai singular yang
terkait dengan hasil tambah langsung.
Definisi 2. Misalkan X adalah ruang topologi dan dengan adalah
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka hasil tambah langsung dari untuk dinotasikan dengan .
Hasil tambah langsung dari kompleks rantai singular yaitu adalah sebuah kompleks
rantai singular dengan operator batasnya didefinisikan dengan .
Teorema 2.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan dengan adalah
koleksi berideks dari kompleks rantai singular. Maka . Bukti.
Diketahui adalah koleksi berindeks dari kompleks rantai singular. Maka
dan . Jadi
.
Diberikan sebuah ruang topologi X dan didefinisikan suatu relasi ekuivalen diantara titik x dan titik y dalam X yaitu sebagai berikut: jika dan hanya jika terdapat sebuah lintasan dalam ruang topologi X dari x ke y.
Teorema 2.2. Miaslkan X adalah ruang topologi. Maka relasi adalah relasi ekuivalen. Bukti.
(i). Ambil sembarang titik x dalam X. Pilih pemetaan kontinyu yang didefinisikan dengan untuk . Jelas bahwa . Jadi relasi bersifat refleksif.
(ii). Ambil sembarang x dan y dalam X. Tulis adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan . Kemudian pilih yang didefinisikan dengan untuk
. Jelas dan . Jelas . Jadi relasi bersifat simetris. (iii). Ambil sembarang titik x, y dan z dalam X. Misalkan adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan dan adalah suatu lintasan dalam X yang menjadikan .
Pilih sebuah lintasan yang didefinisikan dengan . Jelas
dan . Akibatnya . Jadi relasi bersifat transitif.
Kelas ekuivalensi terhadap relasi yang memuat suatu titik x pada X dikatakan komponen lintasan dari X.
Teorema 2.3. Misalkan X adalah ruang topologi dan adalah komponen lintasan dari X,
maka .
Bukti.
Definisikan pemetaan dengan . Dibuktikan
bahwa pemetaan tersebut adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang dan
anggota maka
. Jadi
adalah homomorfisma grup. Ambil sembarang anggota . Jelas
. Akibatnya . Jadi haruslah . Jadi dan
. Jadi monomorfisma. Ambil sembarang p- simpleks singular pada X yaitu . Karena adalah terhubung lintasan (karena konveks) maka termuat dalam suatu . Karena termuat dalam suatu maka terdapat secara tunggal
dengan . Jadi adalah epimorfisma. Akibatnya
adalah isomorfisma dan tulis . Berdasarkan Teorema 2.1
dipeoleh .
Contoh 3. Mengacu pada Contoh 2, dengan mengaplikasikan Teorema 2.3 dan homologi dari
ruang topologi yang terdiri dari satu titik maka dengan adalah banyaknya komponen lintasan dari .
5. Grup Homologi dari Ruang Topologi bersama dengan Subset Kompaknya
Pada bagian ini akan digunakan suatu struktur internal dari suatu kategori yang
dinamakan sebagai
direct limit
. Sebelum mendefinisikan
direct limit
terlebih dahulu
didefinisikan sebuah
directed set
pada suatu himpunan yaitu sebagi berikut.
Definisi 3. Himpunan I dikatakan directed set dengan relasi terurut sebagian sedemikian hingga untuk setiap a dan b dalam I terdapat c di I dengan dan .
Kemudian setelah mendefinisikan directed set maka didefinisikan direct system dari suatu himpunan yaitu sebagai berikut.
Definisi 4. Sebuah direct system dari suatu himpunan adalah keluarga dari himpunan
dimana I adalah directed set, dan sebuah fungsi apabila yang mengikuti pernyataan berikut:
(i). adalah pemetaan identitas pada untuk setiap ;
(ii). Jika maka .
Dari Definisi 4, sebuah direct system akan diaplikasikan pada keluarga subgrup dari grup abelian. Diberikan adalah keluarga subgrup dari grup abelian A , adalah homomorfisma grup dan adalah direct system dari subgrup dari grup abelian A bersama dengan homomorfismanya. Kemudian definisikan sebuah subgrup R dari dengan
.
Definisi 5. Misalkan A adalah grup abelian dan adalah direct system dari subgrup dari grup abelian A bersama dengan homomorfismanya. Maka direct limit dari sistem adalah
Catat: Jika dan maka mereka akan sama dalam direct limit jika untuk suatu k dalam
I, dan dan .
dengan grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.1. Misalkan X adalah ruang topologi dan adalah keluarga dari semua subset kompaknya dengan relasi terurut sebagian. Maka keluarga grup homologi membentuk sebuah direct system dimana homomorfismanya dibangkitkan melalui pemetaan inklusi.
Bukti.
(i). Untuk sembarang maka mendefiniskan pemetaan identitas. Dengan fungtor homologi singular diperoleh adalah homomorfisma identitas diantara grup homologi. Untuk setiap .
(ii). Untuk sembarang i,j dan k dalam I yang memenuhi sifat . Maka terdapat sebuah
komposisi dari pemetaan . Dengan fungtor homologi singular diperoleh sebuah
komposisi dari homomorfisma diantara grup homologi yaitu . Jadi membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya.
Setelah menunjukkan bahwa membentuk sebuah direct system bersama dengan homomorfismanya, akan ditunjukkan bahwa grup homologi dari ruang topologi X isomorfik ke direct limit dari grup homologi dari semua subset kompaknya.
Teorema 5.2. Misalkan X adalah ruang topologi dan adalah keluarga dari semua subset kompaknya dengan relasi terurut sebagian. .Maka .
Bukti.
Untuk setiap subset kompak dari X yaitu maka dengan fungtor homologi singular pemetaan inklusi membangkitkan homomorfisma inklusi diantara grup homologi .
Selanjutnya pandang . Sekarang andaikan bahwa dalam R. Maka terdapat subset kompak dari X yang memenuhi sifat untuk setiap k dan
dalam . Pandang diagram komutatif berikut ini.
g
[gambar 5]
Jelas bahwa dan R termuat dalam . Jadi g membangkitkan sebuah
homomorfisma . Dibuktikan bahwa
adalah isomorfisma. Pertama dibuktikan bahwa
adalah surjektif. Ambil sembarang kelas homologi dalam
. Maka x bisa dinyatakan melalui sebuah cycle . Karena adalah kompak maka kompak dalam X untuk setiap j. Maka adalah “supported” pada himpunan , yang mana adalah kompak karena jumlahnya adalah berhingga. Jadi untuk suatu I dan menjadi suatu kelas homologi dalam . Akibatnya dan x adalah peta dari
. Jadi adalah surjektif. Kedua dibuktikan bahwa adalah
injektif. Misalkan dalam dengan . Setiap dapat dinyatakan dalam cycle . Karena cycle ini terbatas maka terdapat sejumlah n + 1 dari dalam X
dengan Definisikan sebuah subset X dengan .
maka adalah boundary dalam dan dalam . Jadi dalam R dan R adalah maka adalah injektif.
Jadi adalah isomorfisma grup.
KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari tulisan ini adalah jika X adalah ruang topologi yang hanya
terdiri dari satu titik maka struktur grup homologinya adalah . Jika X adalah
ruang topologi terhubung lintasan maka . Jika X adalah ruang topologi dan
adalah komponen lintasan dari X, maka .Terakhir jika X adalah ruang topologi dan adalah koleksi semua subset kompaknya maka .
DAFTAR PUSTAKA
Agustito., D, Fungtor Homologi Singular, Prosiding Seminar Nasional Aljabar, Universitas Negeri Yogyakarta, 2009.
Schubert., H, Categories, Springer-Verlag, Berlin Heiderberg, 1972.
Spanier., E. H, Algebraic Topology, Tata McGraw-Hill, New-York, 1966.
