Perbandingan ,fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

(1)

(2)

Seorang ingin mengukur tinggi tiang bender dengan

menggunakan klinometer



(3)

Pengalaman Belajar

 Seorang siswa program keahlian bangunan ingin praktik membuat rangka atap rumah dengan

ketentuan ukuran seperti gambar berikut. Maka panjang x adalah …

x m

4 m

2 m

3

(4)

Pengalaman Belajar

 Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut _{Puncak suatu menara dilihat dari tempat A dengan sudut}

elevasi 30

elevasi 3000 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 45 dan dilihat dari B dengan sudut elevasi 450 0

seperti pada gambar. Apabila jarak A dan B adalah 20

meter, berapa tinggi menara tersebut?

300 ₄₅0

(5)

APA yang terjadi ?

Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada Apabila ada beberapa guru memberi tugas pada muridnya sbb:

muridnya sbb:

“

“Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi Segitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi AC=4, BC=6

AC=4, BC=6 dan dan AB=8AB=8. Tentukan . Tentukan besar sudut besar sudut A.”

A.”

(6)

Sekilas ???

 Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan _{Tidak ada yang aneh dalam soal yang diberikan}

oleh guru tersebut?

 Murid ya mencoba menghitung besar sudut A _{Murid ya mencoba menghitung besar sudut A}

dengan terlebih dahulu menghitung nilai Sinus A

 Guru merasa tak bersalah_{Guru merasa tak bersalah}

(7)

4M

3 M

BERAPA M TINGGI ANAK TANGGA?

(8)

Manakah bangun yang kelilingnya terpanjang?

1) 2)

(9)

Ruang

Ruang Lingkup Lingkup

2. Sudut-sudut Istimewa ( Khusus ) 3. Rumus-rumus Trigonometri

4. Koordinat Kartesius dan Kutub

5. Aturan Sinus, Kosinus dan Luas segitiga 1. Perbandingan Trigonometri suatu sudut

6. Identitas Trigonometri

(10)

SINUS

ADALAH PERBANDINGAN ANTARA SISI DIDEPAN SUDUT DENGAN

HIPOTENUSA PADA SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU

Sin AOC =

AC

OC

C

(11)

Perbandingan Trigonometri

 Cosinus adalah nilai perbandingan antara sisi disampaing sudut dengan hipotenua suatu segitiga siku-siku

O A

C

Cos AOB =

OA

(12)

Perbandingan Trigonometri

 _{Tangen adalah}_{nilai perbandingan}_{antara sisi}

didepan sudut dengan sisi disamping sudut

C

(13)

Sudut Dalam Kedudukan Baku

A

B C

θ

Sudut θ tidak dlm kedudukan baku

X Y

A B

C

θ

Sudut θ dalam kedudukan baku

Sisi AB disebut sisi permulaan dari sudut θ Sisi AC disebut sisi batas dari sudut θ

(14)

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KONSEP SINUS

... AE

EE' AD

DD' AC

CC' AB

BB'

 

(15)

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KONSEP KOSINUS

... AE

AE' AD

AD' AC

AC' AB

AB'

 

(16)

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

KONSEP TANGEN

... AE'

EE' AD'

DD' AC'

CC' AB'

BB'

 

(17)

Diketahui segitiga ABC, siku-siku di C. Panjang sisi AB = 10 cm, sisi BC = 5 cm.

Nilai cos A dan tan A berturut-turut adalah ....

didapat 5V3

C B

5

A

10

?

Maka diperoleh : sin A = ½ Jadi : cos A = ½ V3

tan A = 1/3 V3

(18)

Dikembangkan Soal

Dengan mengukur panjang

tangga BC, dan mengukur besa sudut ABC, dan menggunakan konsep sinus, maka siswa

ditugasi untuk menentukan ketinggian lantai II dari dasar lantai.

C

Tangga

(19)

Perbandingan Trigonometri

C

A _B

Tali pancang

Tiang

(20)

Sudut Khusus

Sudut khusus

S

A B

C

D P Q

R

ABC sama sisi

(21)

Perbandingan Trigonometri

Dengan menggunakan gambar di atas, tentukan nilai perbandingan :

(22)

(23)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

A. Relasi/Rumus Dasar Fungsi Trigonometri 1. a. Relasi Kebalikan:

(24)

Sudut Berelasi

2. Fungsi trigonometri sudut-sudut yang berelasi

a. sin(90 – α)o_{= cos α}o _{cos(90 – α)}o_{= sin α}o

tan(90 – α)o = cot αo cot(90 – α)o = tan αo

sec(90 – α)o_{= csc α}o _{csc(90 – α)}o_{= sec α}o

b. sin(180 – α)o_{= sin α}0 _{sin(180 + α)}o_{= –sin α}o

cos(180 – α)o = –cos α0 cos(180 + α)o = –cos αo

tan(180 – α)o_{= –tan α}0 _{tan(180 + α)}o_{= tan α}o

c. sin(360 – α)o_{= –sin α}0 _sin(–αo_{) = –sin α}o

cos(360 – α)o_{= cos α}0 _cos(–αo_{) = cos α}o

tan(360 – α)o = –tan α0 tan(–αo) = –tan αo

All Sin

Bernilai ”+”

(25)

(26)

Koordinat Kartesius dan Kutub

y x

x Y _P₍_x,y₎

o

Koordinat Kartesius



(27)

Rumus Trigonometri dalam Segitiga

1.Aturan (rumus) sinus dalam segitiga ABC:



(28)

Dari sebuah pelabuhan kapal A bertolak dengan

kecepatan 10 knot (mil/jam) ke arah 160o_{dan kapal B ke}

arah 220o dengan kecepatan 16 knot. Berapa jarak kedua

kapal 2 jam kemudian?

160o

220o

60o

20

32

O

A

AB2 = 202 + 322 – 2. 20 . 32 . cos 60o

= 400 + 1024– 640 = 784

AB = 28

Rumus Trigonometri dalam segitiga

(29)

37

51

20

A B

C

Berapakah nilai tan A dan sin B?

cos A = sehingga cos B = cos B = sehingga sin A =

(30)

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

(31)

RUMUS FUNGSI TRIGONOMETRI DUA SUDUT

(32)

Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Rumus Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali

Fungsi Sinus/Kosinus Fungsi Sinus/Kosinus

1.

1. Hasil kali sinus dan kosinusHasil kali sinus dan kosinus

 2 sin _{2 sin}αα cos cos ββ = sin( = sin(αα + + ββ) + sin() + sin(αα – – ββ))

 2 cos _{2 cos}αα sin sin ββ = sin( = sin(αα + + ββ) – sin() – sin(αα – – ββ))

 2 cos _{2 cos}αα cos cos ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ))

 –_–2 sin 2 sin αα sin sin ββ = cos( = cos(αα + + ββ) – cos() – cos(αα – – ββ))

atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)atau 2 sin α sin β = cos(α – β) – cos(α + β)

2

(33)

IDENTITAS TRIGONOMETRI

 _Identitas_Identitas_{adalah suatu kalimat terbuka yang}_{adalah suatu kalimat terbuka yang}

bernilai benar untuk setiap pengganti nilai

variabelnya, misal :

variabelnya, misal : sin2α + cos2α = 1



Buktikan !

_{Buktikan !}

(34)

(35)

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Bukti:

Alternatif I Dari ruas kiri lternatif II Dari ruas kanan

 _{Ruas kiri:} _{Ruas kanan:}

sec4_ – sec2_ tan 4_ + tan 2_

= sec2_(sec2_ – 1) = tan 2_(tan 2_ + 1) = sec 2_ x tan 2_ = (sec 2_ – 1) sec 2_ = (1 + tan 2_) x tan 2_ = sec 4_ – sec 2_

= tan 2_ + tan 4_ = ruas kiri (terbukti) = tan 4_ + tan 2_

(36)

Persamaan Trigonometri Sederhana

1). Jika sin

x

_

sin

_

maka:

x

_

+

k

. 360

_

atau

x

_

(180

_

) +

k

. 360

_

,

k

_

B

2). Jika cos

x

_

cos

_

maka :

x

_

+

k

. 360

_

atau

x

_

+

k

. 360

_

,

k

_

B

3). Jika tan

x

_

tan

_

Rumus I :

(37)

Rumus II : Pada keadaan sama dengan nol

1). Jika sin

x

_

0

0 maka:

maka:

x

_

k

.180

_

,

k

_

B

2). Jika cos

x

_

0

0 maka:

maka:

x

_

90

90 _

_

+

k

.180

_

,

k

_

B

3). Jika tan

x

_

0

(38)

Rumus III :

Rumus III : Persamaan mengandung harga negatifPersamaan mengandung harga negatif

1). Jika sin

x

_

- sin

_

_

sin (-

_

)

_

maka:

x

_

-

_

+

k

. 360

_

atau

x

_

(180

_

+

_

) +

k

. 360

_

,

k

_

B

2). Jika cos

x

_

- cos

_

_

cos (180 +



)



maka:

x

_

180 +

_

+

k

. 360

_

atau

x

_

- 180

_

-

_

+

k

. 360

_

,

k

_

B

3). Jika tan

(39)

Contoh Soal

 _{Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri} berikut: Untuk 0 ≤ x < 360:

 _{a) sin x}0 = sin 400 b) cos 2x0 =

Jawab:

 _{a) sin x}0 = sin 400 _ x = 40 + k.360 atau x = (180 – 40) + k.360

 _{untuk k = 0 x = 40 k = 0 k = 140}_→ _→  _{Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {40, 140}}

 _{adalah {30, 150, 210, 330}}

2 1

(40)

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

 _{b) cos 2x}0 =

cos 2x 0 = cos 60 0

maka 2x = 60 + k.360 atau 2x = -60 + k.360

x = 30 + k.1 80 x = -30 + k.180

 _{untuk k = 0 x = 30 Untuk k = 1 x = 210}_→ _→ 0

 _{k = 1 x = 150 k = 2 x = 330}_→ _→

 _{Jadi himpunan penyelesaiannya adalah}

{30, 150, 210, 330}

(41)

Soal :

1.Diketahui segitiga ABC, AC =25 cm, BC=40 cm, dan panjang garis tinggi dari C,yaitu CD=24 cm. Nilai cos A dan tan B berturut-turut adalah ....

2. Dua kapal meninggalkan suatu pelabuhan secara bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 030° dengan kecepatan 8

km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 090° dengan kecepatan 10 km/jam. Jarak kedua kapal itu setelah berlayar 3 jam adalah ... km

(42)

Kerangka atap suatu bangunan berbentuk seperti gambar berikut:

 Hitunglah panjang AB

35,30

B A

10,30 m

28,50

2,20 m

(43)

Perhatikan gambar:

a) Hitunglah jarak AB

b) Hitunglah jarak BC

18 cm

400 950

700

A

B

C