MATERI MATEMATIKA MATERI MATEMATIKA MATERI MATEMATIKA

MATERI MATEMATIKA : PERSAMAAN

DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 _{+ bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.} a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2_{+ bx+ c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x}

1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 _{– 4 x + 3 = 0}

Jawab: x2 _{– 4 x + 3 = 0}

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 _{– 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.}

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2_{+ bx+ c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x +}

p)2 _{= q.}

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 _{– 6 x + 5 = 0.}

Jawab: x2 _{– 6 x + 5 = 0}

x2 _{– 6 x + 9 – 4 = 0}

x2 _{– 6 x + 9 = 4}

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2_{+ bx+ c = 0 adalah}

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 _{+ 7x – 30 = 0.}

Jawab: x2 _{+ 7x – 30 = 0}

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}. 2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2_{+ bx+ c = 0 dengan akar-akarnya , b}2 _–

4ac disebut diskriminan (D). Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x2 _{+ 5 x + 2 = 0}

Jawab :

1. x2 _{+ 5 x + 2 = 0} a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 _{– 4ac = 5}2 _{– 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17}

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 _{+ 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.}

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 1. Persamaan kuadrat ax2 _{+ bx + c = 0 mempunyai akar x}

x2_{+x+ = 0}

Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi, , . Contoh:

Akar-akar x2 _{– 3x + 4 = 0 adalah x}

1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut,

hitunglah nilai: 1. x1 + x2 d.

2. x1.x2 e. x13 + x23

3. x12 + x22

Jawab: x2 _{– 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4}

a. x1 + x2 = 3

b. x1.x2 = 4

c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12x2 + 3 x1x22 + x23

= x13 + 3 x1x2 (x1 + x2) + x23

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1x2 (x1 + x2)

= 33 _{– 3 . 4 (3)}

= 27 – 36 = –9

4. Menyusun Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat dapat disusun dengan: v menggunakan perkalian faktor,

v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian

jika akar-akar

persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2. Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0 (x – 3) (x + 2) = 0

x2 _{– 3 x + 2 x – 6 = 0}

x2 _{– x – 6 = 0.}

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar Persamaan .

Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1x2 = , maka akan diperoleh persamaan:

x2 _{– (x}

1 + x2)x + x1x2 = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3. Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5

x1x2 = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x2 _{– (–5)x + 6 = 0 atau x}2 _{+ 5x + 6 = 0.}

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 _{– 2x}

Misal akar-akar persamaan x2 _{– 2x + 3 = 0 adalah x}

1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1x2 = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3 p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6 = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 _{– (p + q) + pq = 0.}

Persamaan kuadrat baru adalah x2 _{– 8x + 18 = 0.}

B. Fungsi Kuadrat 1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2_{+ bx+ cdengan a, b, dan c bilangan real dan}

disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2_{+ bx+ c = 0. Nilai-nilai x yang}

memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f. Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 _{+ bp + c.}

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2 _{– 6x – 7}

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f 2. nilai f untuk x = 0 , x = –2 Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 _{– 6 x – 7 = 0}

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut: 1) f(x) = x2 _{– 2x – 3}

= x2 _{– 2x + 1 – 4}

=(x – 1)2 _{– 4}

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 _{mempunyai nilai paling kecil}

(minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 _{– 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –}

4.

Jadi, f(x) = x2 _{– 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.}

2) f(x) = –x2 _{+ 4x + 5}

= –x2 _{+ 4x – 4 + 9}

= –(x2 _{– 4x + 4) + 9}

= –(x – 2)2 _{+ 9}

Nilai terbesar dari – (x – 2)2 _{sama dengan nol untul x = 2.}

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 _{+ 9 adalah 0 + 9 = 9.}

Jadi, f(x) = –(x – 2)2 _{+ 9 atau f(x) = –x}2 _{+ 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9}

untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 _{+ bx + c}

Dengan uraian di atas, diperoleh: Fungsi kuadrat f(x) = a x2_{+ bx+ c}

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 _{+ 4x + 7}

Jawab:

f(x) = 2x2 _{+ 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7}

Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2_{+ bx+ c grafiknya berbentuk parabola.}

 Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.  Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.  Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.

 Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri. Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x2_{+ bx+ c = 0. Karena a x}2_{+ bx+ c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka}

banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).

D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).

D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X. 2) Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3) Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4) Titik Puncak/ Balik Koordinat titik puncak Catatan:

 Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x2 _{– 2x – 3 untuk x e R.}

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x2 _{– 2x – 3 = 0}

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3 dan x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0) Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0 y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3) Sumbu simetri, garis

Titik puncak ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi

y = x3 _{– 2x – 3.}

4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ). Jawab :

Misal persamaan grafik adalah y = a x2_{+ bx+ c}

Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 _{+ b (–1) + c}

0 = a – b + c ………. (1)

8 = a + b + c ………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 _{+ b (2) + c}

6 = 4 a + 2 b + c ……… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi. (1) a – b + c = 0(2) a + b + c = 8 a – b + c = 0

(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0 –2b = –8 3a – b = 2 c = 6

b = 4 – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 _{+ 4x + 6.}

b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2_{+ bx+ c sehingga 0= ap}2_{+ bp+c dan}

0= aq2_{+ bq+c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:}

0 = a(p2 _{– q}2_{) + b(p – q)}

b(p – q) = –a(p2 _{– q}2₎

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2_{+ bp+c = 0}

ap2_{+ (– a(p + q)) p+c = 0}

ap2 _{– ap}2 _{– pqa + c = 0}

c = pqa

Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka

y = a x2_{+ bx+ c Û y = ax}2 _{– a(p + q)x+ pqa}

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1) = a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti –8 = a(–3+5) (–3 – 1)

= –8a a = 1

Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 _{+ 4x – 5.}

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 _{+ 4x – 5.}

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2_{+ bx+ c adalah .}

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2_{+ bx+ c dapat}

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 _{+ q}

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 _{+ 3}

0 = a(0 – 1) + 3 0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 _{+ 3 maka diperoleh}

y = –3 (x – 1)2 _{+ 3}

y = –3 (x2 _{– 2x + 1) + 3}

y = –3x2 _{+ 6x}

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 _{+ 6x.}

d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 _{– 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau}

terendah adalah (,0). Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)2

Grafik melalui titik (0,4) berarti : 4 = a(0 – 2)2 _{= 4a}

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 _{atau y = x}2 _{– 4x + 4.}

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 _{+ bx + c = 0 yaitu}

D = b2 _{–4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.}

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan : 1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

2. tanda-tanda fungsi kuadrat 3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah). 1. Berdasarkan tanda D = b2 _{– 4 a c}

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-Xdi dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-Xdi dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-Xdan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Untuk a > 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) > 0 untuk x< x1 dan x > x2

f(x) < 0 untuk x1< x < x2

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x)= 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif. Untuk a < 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1) (x – x2)

f(x) < 0 untuk x< x1 dan x > x2

f(x) > 0 untuk x1< x < x2

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x1)2

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x)= 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif. Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 _{– 4 x – m + 2 definit positif.}

Jawab:

f(x) = x2 _{– 4 x – m + 2}

a = 1 bilangan positif

D = (–4)2 _{– 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8}

= 4 m + 8

D < 0 « 4 m + 8 < 0

m < –2