PENENTUAN KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE LINIER
PROGRAMMING
SKRIPSI
RINA ASTRY GINTING
060823031
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : PENENTUAN KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI DENGAN METODE LINIER PROGRAMMING
Kategori : SKRIPSI
Nama : RINA ASTRY GINTING
Nomor induk Mahasiswa : 060823031
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Oktober 2008
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. H. Haluddin Panjaitan Drs. Marwan Harahap, M.Eng
NIP. 130 701 888 NIP. 130 422 443
Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
MENENTUKAN KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI DENGAN METODE LINIER PROGRAMMING
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2008
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah kurnia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Abstrak
Didalam upaya penentuan persamaan estimasi linier dengan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, jika semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik-titik pasangan data tersebar satu sama lain, maka persamaan linier yang baik untuk mengestimasi nilai variabel dependen adalah persamaan linier yang yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum antara titik estimasi dengan titik sebenarnya. Maka dari pada itu, penelitian ini menerangkan bagaimana cara untuk mendekati garis regresi dengan teknik linier programming.
Bentuk umum persamaan multiple regresi linier yang menunjukkan hubungan antara lebih dari satu variabel X sebagai variabel bebas dengan variabel Y sebagai variabel tak bebas adalah :
1 1 2 2 1 1 0 0 0... n n n i i i X X X Y X Y dengan :
Y = variabel tidak bebas ke-i
Xi = variabel bebas ke-i
β0 = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y)
βi = kemiringan (slope) kurva linier
dari data yang diperoleh, maka dapat ditentukan . Yang diharapkan sebagaimana mestinya.
i i i Y Y
e ˆ
DETERMINING MULTIPLE REGRESSION COEFFICIENT BY USING LINEAR PROGRAMMING METHOD
Abstract
In the effort determination of linear estimation with straight line method will yield good equation, if all points expressing data couple to reside in around the straight line. But, if point of data couples spread over one another, hence equation of linear which good to estimating variable value dependent is equation of linear which is the curve having mistake which a minimum of between point of estimations with pointactually. Hence from at that, this research explains how to come near regression line with linear programming technique.
Form of equation public of simple linear regression showing relation between two variables, that is variable X as independent variable and variable Y as non free variable is
1 1 2
2 1 1 0
0 0
... n n
n
i i i
X X
X Y
X Y
Where
Yi= variable is not free of ke-i
Xi = independent variable ke-i
a is intercept (curve cut point to axis Y) b is inclination (slope) linear curve.
From data obtained, hence determinable ei Yi Yˆi. What expected properly.
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
Bab I Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Kontribusi Penelitian 3
1.5 Tinjauan Pustaka 4
1.6 Metode Penelitian
Bab II Landasan Teori 6
2.1 Analisis Regresi 6
2.1.1 Regresi Linier Sederhana 6
2.1.2 Regresi Linier Ganda 10
2.1.3 Ketepatan Garis Estimasi dengan Menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil 12 2.1.4 Meminimumkan Rata-rata Deviasi Absolute 13
2.2 Linier Programming 14
2.2.1 Model Linier Programming 14
2.2.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming 20 2.2.3 Terminologi Linier Programming 21 2.2.4 Unsur-Unsur Linier Programming 22 2.3 Dualitas
Bab III Pembahasan 25
3.1 Pengunaan Teknik Linear Programming dengan Metode Simpleks 25 3.2 Komputasi Linear Programming dengan Sistem-QM 32
3.2.1 Pendahuluan 32
3.2.2 Langkah-Langkah Pengerjaan Program QM 33
3.2.3 Dualitas 41
Bab IV Kesimpulan dan Saran 45
4.1 Kesimpulan 45
4.2 Saran 45
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Tabel awal linier programming 17
Tabel 3.1 Tabel awal simpleks 27
Tabel 3.2 Simpleks 28
Tabel 3.3 Simpleks 30
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Diagram Pencar 7
Gambar 2.2 Suatu pengamatan (data) yang tidak tepat pada garis regresi 9 Gambar 2.3 Langkah-langkah dalam analisis PL dengan metode simpleks 19 Gambar 3.1 Tampilan sementara (splash)dari program QM for windows 33 Gambar 3.2 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for windows 34 Gambar 3.3 Tampilan awal modul linear programming 34 Gambar 3.4 Tampilan untuk mengisi angka-angka sesuai dengan soal 35 Gambar 3.5 Langkah-langkah pengerjaan linear programming 38 Gambar 3.6 Output dari penyelesaian contoh soal linear programming 40
Gambar 3.7 Bentuk dual dari primal 41
Abstrak
Didalam upaya penentuan persamaan estimasi linier dengan metode garis lurus akan menghasilkan persamaan yang baik, jika semua titik yang mencerminkan pasangan data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik-titik pasangan data tersebar satu sama lain, maka persamaan linier yang baik untuk mengestimasi nilai variabel dependen adalah persamaan linier yang yang kurvanya mempunyai kesalahan yang minimum antara titik estimasi dengan titik sebenarnya. Maka dari pada itu, penelitian ini menerangkan bagaimana cara untuk mendekati garis regresi dengan teknik linier programming.
Bentuk umum persamaan multiple regresi linier yang menunjukkan hubungan antara lebih dari satu variabel X sebagai variabel bebas dengan variabel Y sebagai variabel tak bebas adalah :
1 1 2 2 1 1 0 0 0... n n n i i i X X X Y X Y dengan :
Y = variabel tidak bebas ke-i
Xi = variabel bebas ke-i
β0 = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y)
βi = kemiringan (slope) kurva linier
dari data yang diperoleh, maka dapat ditentukan . Yang diharapkan sebagaimana mestinya.
i i i Y Y
e ˆ
DETERMINING MULTIPLE REGRESSION COEFFICIENT BY USING LINEAR PROGRAMMING METHOD
Abstract
In the effort determination of linear estimation with straight line method will yield good equation, if all points expressing data couple to reside in around the straight line. But, if point of data couples spread over one another, hence equation of linear which good to estimating variable value dependent is equation of linear which is the curve having mistake which a minimum of between point of estimations with pointactually. Hence from at that, this research explains how to come near regression line with linear programming technique.
Form of equation public of simple linear regression showing relation between two variables, that is variable X as independent variable and variable Y as non free variable is
1 1 2
2 1 1 0
0 0
... n n
n
i i i
X X
X Y
X Y
Where
Yi= variable is not free of ke-i
Xi = independent variable ke-i
a is intercept (curve cut point to axis Y) b is inclination (slope) linear curve.
From data obtained, hence determinable ei Yi Yˆi. What expected properly.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai hubungan antara suatu variabel
dengan satu atau lebih variabel lain. Di dalam bidang pertanian sebagai contoh, dosis
dan jenis pupuk yang diberikan berhubungan dengan hasil pertanian yang diperoleh,
jumlah makanan yang diberikan pada ternak berhubungan dengan berat badannya, dan
sebagainya. Secara umum ada dua macam hubungan antara dua atau lebih variabel,
yaitu bentuk hubungan dan keeratan hubungan. Bila ingin mengetahui bentuk hubungan dua variabel atau lebih, digunakan analisis regresi. Bila ingin melihat
keeratan hubungan, digunakan analisis korelasi.
Kata regresi diperkenalkan pertama kali oleh Sir Francis Galton tahun 1877
pada bukunya tentang hereditas. Ia menemukan bahwa tinggi badan anak dari orang
tua yang tinggi cenderung memendek menuju tinggi rata-rata populasi. Garis
matematis yang ia kembangkan dikenal sebagai garis regresi. Istilah garis regresi (line of regression) lebih sering digunakan walaupun sebenarnya yang lebih tepat adalah istilah persamaan prediksi (predictive equation) atau persamaan penduga (estimating equation).
Di dalam statistik, pendugaaan pada umumnya bersinonim dengan regresi di
beberapa format. Ada berbagai jenis regresi yang berbeda di dalam statistik tetapi ide
dasarnya adalah bahwa suatu peta model yang diciptakan oleh nilai-nilai penduga itu,
yang sedemikian sehingga kesalahan yang terjadi paling rendah membuat suatu
ramalan. Format regresi yang paling sederhana adalah regresi linier sederhana yang
Analisis regresi dikelompokkan dari mulai yang paling sederhana sampai yang
paling rumit, tergantung tujuan yang berlandaskan pengetahuan atau teori sementara,
bukan asal ditentukan saja.
Masalah (Problem) adalah sesuatu yang terjadi tidak sesuai dengan keinginan
atau harapan setiap yang timbul, pasti ada faktor penyebabnya dan umumnya lebih
dari satu. Kalau masalah kita sebut sebagai ada lebih dari satu X, katakan oleh x1, x2…
xk. Misalnya penjual menurun disebabkan karena biaya promosi, harga, mutu
pelayanan , saingan produk impor, produktivitas rendah mungkin karena upah, gaya
kepemimpinan, masa kerja (pengalaman) motivasi, lingkungan kerja. Masing-masing
faktor akan mempunyai pengaruh positif (menaik) atau negatif (menurunkan) dengan
berbagai besaran yang berbeda. Untuk mempelajari pengaruh dari beberapa variabel
bebas (X) terhadap variabel tak bebas (Y) kita menggunakan metode
ketergantungan/depensi (depency method).
Berdasarkan contoh di atas, maka tampaklah mana variabel bebas (yang
mempengaruhi) dan mana variabel terikat atau tergantung (yang dipengaruhi).
Variabel yang mempengaruhi ini dalam analisis regresi disebut sebagai variabel prediktor, dengan lambang X, sedangkan variabel yang dipengaruhi disebut veriabel kriterium dengan lambang Y.
Mengapa analisis regresi diperlukan? Jawabanya ialah karena kita sebagai
peneliti dituntut untuk mencari kebenaran secara ilmiah atau berdasarkan ilmu. Dan
salah satu fungsi ilmu ialah meramalkan (to predict). Fungsi ilmu yang lainnya adalah
menggambarkan (to describe), mengontrol (to control) dan menerangkan (to explain).
Berdasarkan fungsi ilmu tersebut, maka jika kita mempunyai dua buah
variabel atau lebih, maka sudah sewajarnyalah kalau kita ingin mempelajari
bagaimana variabel-variabel itu berhubungan atau dapat diramalkan. Hubungan yang
diperoleh biasanya dinyatakan dalam persamaan matematika yang menyatakan
hubungan fingsional antara variabel-variabel. Pelajaran yang menyangkut masalah ini
Pendekatan klasik untuk masalah regresi, tujuannya adalah untuk
meminimisasikan jumlah dari kuadrat simpangan baku dari permasalahan yang telah
diteliti dan nilai-nilai yang telah diprediksikan dari variabel yang terikat. Metode ini
lebih dikenal dengan sebutan metode kuadrat terkecil (least-squares method) yang digunakan untuk metode mathematical programming.
Pemrograman linier memakai suatu model matematis untuk menggambarkan
masalah yang dihadapi. Kata sifat ‘linier’ berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus merupakan fungsi-fungsi linier. Kata ‘pemrograman’ disini merupakan sinonim untuk kata perencanaan. Maka membuat pemrograman linier
adalah membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal,
ialah suatu hasil yang mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik
(sesuai model matematis) diantara semua alternatif yang mungkin.
1.2Perumusan Masalah
Menentukan model koefisien regresi multiple variabel dengan menggunakan linier
programming.
1.3Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini untuk menguraikan cara untuk mendekati garis regresi dengan
meminimumkan jarak atau deviasi dengan menggunakan model linier programming.
1.4Kontribusi Penelitian
a. Dengan diketahuinya bagaimana cara mendekati regresi linier dengan
menggunakan linier programming diharapkan dengan meminimumkan jarak
b. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang
berhubungan dengan multiple regresi melalui pendekatan metode linier
programming.
c. Untuk mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas (yang
tercakup dalam persamaan) terhadap variabel tak bebas.
1.5Tinjauan Pustaka
Selain penulis mendapatkan pelajaran dari bangku kuliah, penulis juga menggunakan
buku-buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya yaitu :
1 Supranto, J. 2004, Analisis Multivariat : Arti dan Interpretasi, Jakarta: Penerbit Rineka Cipta
Apabila variabel Y mempunyai hubungan linier dengan n buah variabel X, maka model matematika multiple regresinya adalah :
1 1 2 2 1 1 0 0 0... n n
n i i i X X X Y X Y
dengan : Y = variabel dependen atau respons
X = variabel independen atau prediktor
ß0 = konstanta yang merupakan titik potong kurva terhadap
sumbu Y
ßi = kemiringan kurva linier
ε = nilai kesalahan
2 Arthanari, T.S. Dodge Yadolah, Mathematical Programming in Statistic, New York : Wiley.
Meminimumkan jumlah dari selisih nilai absolut diantara deviasi yaitu :
Minimumkan :
j i j i d d
j i
j i d
d
j i
j j
i
i X Y X
Y 0 1 0 1
j i
j i j
i Y X X
Y 1
misalkan : Yij YiYj dan Xij Xi Xj ; i<j
maka diperoleh,
j i
ij ij
j i
j
i d Y X
d 1
1.6Metode Penelitian
Uraian metode yang digunakan dalam penelitian secara rinci meliputi :
1. membentuk persamaan dari jumlah deviasi kuadrat (regresi kuadrat
terkecil)
2. menganalisis persamaan dengan menggunakan linier programming
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1Analisis Regresi
Analisis regresi adalah teknik statistika yang berguna untuk memeriksa dan
memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Penerapannya dapat dijumpai
secara luas di banyak bidang seperti teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi,
ilmu-ilmu sosial, dan ilmu-ilmu pertanian. Pada saat ini, analisis regresi berguna
dalam menelaah hubungan dua variabel atau lebih, dan terutama untuk menelusuri
pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam
penerapannya lebih bersifat eksploratif.
2.1.1 Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana adalah merupakan suatu alat analisis yang digunakan untuk
mengestimasi atau mempresiksi nilai suatu variabel berdasarkan nilai variabel lain
yang diketahui. Hubungan linier antara dua variabel, dua variabel ini dibedakan
menjadi variabel bebas yang dinotasikan X dan variabel terikat yang dinotasikan Y.
Variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya selalu bergantung dengan nilai
variabel lain dalam hal ini variabel tak bebas nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel
bebas, sehingga sering disebut dengan variabel terikat sedangkan variabel bebas
adalah variabel yang nilainya tidak tergantung dengan nilai variabel lain.
Hubungan-hubungan ini bila dinyatakan dalam model matematis akan memberikan
Pembahasan kita akan terbatas pada regresi garis sederhana yaitu pada
pembahasan mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat
dinyatakan dalam suatu garis lurus.
X
Y
Gambar 2.1 Diagram Pencar
Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar pada gambar 2.1 yang
memperlihatkan adanya hubungan antara kedua variabel disebut garis regresi atau
garis perkiraan, dan yang seperti kita ketahui, persamaan yang digunakan untuk
mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi yang
merupakan suatu persamaan matematika yang mendefinisikan hubungan antara dua
variabel.
Persamaan umum garis lurus yang diperlihatkan, akan digunakan untuk
menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh. Oleh karena itu, metode kuadrat
terkecil sekali lagi akan kita gunakan untuk menempatkan garis pada data yang
diamati. Sehingga bentuk umum dari persamaan regresi adalah sebagai berikut :
i i a bX
Y , untuk i = 1,2,...n
dengan : Yi = variabel terikat ke-i
Xi = variabel bebas ke-i
a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y)
Untuk memperkirakan A dan B, maka dipergunakan metode kuadrat terkecil
Model sebenarnya : Y = A + BX + ε Model perkiraan : Y = a + bX + e
A, b dan e merupakan perkiraan/taksiran atas A, B, dan ε
Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung a dan b
sebagai perkiraan A dan B, sedemikian rupa sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematik, dapat dinyatakan sebagai berikut :
i i i a bX e
Y , i = 1,2,...,n
ii
i Y a bX
e
kesalahan (error) i
2
2i i
i Y a bX
= jumlah kesalahan kuadrat
Jadi, metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung a dan b
sedemikian rupa sehingga
ei2 = terkecil (minimum). Caranya ialah denganmembuat turunan parsial (partial differential) dari
ei2 mula-mula terhadap akemudian terhadap b dan menyamakannya dengan nol.
i i i i i X b an Y bX a Y a e 0 1 2 2 ... (2.1)
2 2
0
2 i i i i i i i
i X b X a Y X X bX a Y b e ... (2.2)
Persamaan (2.1) dibagi dengan
n X n an n Y
n
i
iY abX
sehingga ; aY bX
masukkan a ke persamaan (2.2)
2 2
i i i i i i i i i
i X b X
22 i i i i i
i b X
n X b n Y X Y X
n Y X Y X b n XXi i i i i i
2 2
2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i X X n Y X Y X n n X X n Y X Y X bmeminimalkan jumlah deviasi kuadrat (Regresi Kuadrat-Terkecil)
metode ini didasarkan pada pemilihan β0 dan β1 sehingga meminimalkan jumlah
kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan.
Jumlah dari kuadrat deviasi (SSD) dari garis adalah
n i i i n ii Y X
e SSD 1 2 1 0 1
2
... (2.3)
ε
Gambar 2.2 suatu pengamatan (data) yang tidak tepat pada garis regresi
Kemudian akan dipilih taksir 0 dan 1 sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2.3) maka jumlah deviasi kuadrat menjadi
i i
n i i n i i i X Y X SSD X Y SSD 1 0 1 1 1 1 0 0 2 2
... (2.4)
Dan karenanya
... (2.5)
n i i i i n i i i X Y X X Y 1 1 0 1 1 0 0 0 dari persamaan (2.5), diperoleh
n i n i n i i i i i n i i n i i Y X X X Y X n1 1 1
2 1 0 1 1 1 0
persamaan (2.6) disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan (2.6) diperoleh,
n X X n Y X Y X i i i i i i 2 2 1 ˆ ... (2.6)
dan ˆ0 Y ˆ1X, dimana Y dan X adalah
ni1Yi n dan
ni 1Xi n. dan yang diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari
0
ˆ
ˆ1
0
dan 1. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai,
, yang disebut persamaan prediksi.
X 1
ˆ
Yˆˆ0
2.1.2 Regresi Linier Ganda
Regresi linier ganda adalah analisis regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel
tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas X atau lebih dengan
sebuah variabel terikat Y.
Mengingat model itu :
0 1X1 ... p1Xp1
Y … (2.7)
dengan : X1,X2, …, Xp-1 diketahui konstan
βj tidak diketahi parameter untuk diestimasi
ε adalah batas error
Seperti dibagian 2.2, metode kuadrat terkecil dari estimasi β terdiri dari
minimize
i2 dengan respect ke β; bahwa, kita minimize ' YX 2 dengan respect ke β. Sekarang
'
YX
' YX
X Y X X
Y
Y' 2 ' ' ' '
Perbedaan ' dengan respect ke β dan persamaan ' 0
, kita dapatkan
-2X’Y + 2X’Xβ = 0 atau X’Xβ = X’Y … (2.8)
… (2.9)
X'X
X'Yˆ 1
Kemudian untuk β,
(Y – Xβ)’ (Y-Xβ)
Y XX
ˆ-ˆ
'
YXX
ˆˆ
Y Xˆ ' Y Xˆ ˆ 'X'X ˆ
YXˆ
'Y Xˆ
Minimum dari
YX
'
YX
adalah
Y Xˆ
' YXˆ
dicapai pada . Solusi ini untuk melihat minimize
ˆ
2.1.3 Ketepatan Garis Estimasi dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
Penentuan persamaan estimasi linier dengan menggunakan metode garis lurus akan
menghasilkan persamaan yang baik, jika semua titik yang mencerminkan pasangan
data berada di sekitar garis lurus tersebut. Namun, jika titik-titik pasangan data
tersebar satu sama lain, maka persamaan linier yang baik untuk mengestimasi nilai
variabel dependen adalah persamaan linier yang kurvanya mempunyai kesalahan yang
minimum (minimized the error) antara titik estimasi dengan titik yang sebenarnya.
Metode kuadrat terkecil (least-squares method) untuk menentukan persamaan
linier estimasi, berarti memiliki satu kurva linier dari beberapa kemungkinan kurva
linier yang dibuat dari data yang ada yang mempunyai kesalahan (error) paling kecil
(selisih antara nilai aktual dan nilai taksiran adalah paling kecil). Kriteria ini dikenal
dengan istilah prinsip kuadrat terkecil (principle of least square). Prinsip pemilihan garis regresi ini adalah sebagai berikut :
‘pilih garis yang mempunyai jumlah kuadrat deviasi nilai observasi Y terhadap
nilai Y prediksinya yang minimum sebagai garis regresi yang paling baik’.
Prinsip pemilihan garis yang mempunyai nilai a dan nilai b yang dapat meminimumkan :
n
i
i i Y
Y SSE
1
2 ˆ
Simbol SSE menunjukkan jumlah kuadrat deviasi, atau sering disebut jumlah
kuadrat untuk kesalahan (sum of square for error). Jika suatu persamaan regresi diperoleh dari mensubstitusikan nilai a dan nilai b yang meminimumkan SSE, maka
akan dihasilkan persamaan garis regresi prediksi kuadrat terkecil (least-squares prediction line) sebagai berikut :
bX a Yˆ
yang menyatakan bahwa :
Ŷ : taksiran nilai Y
b : taksiran nilai slope populasi
X : nilai tertentu X
Garis estimasi yang tepat (best fitting) adalah garis yang menghasilkan penyimpangan
nilai dalam garis estimasi dengan nilai data observasi sekecil mungkin. Untuk dapat
memperoleh garis estimasi yang tepat, harus dapat diperoleh penduga nilai β0 dan β1
sedemikian rupa sehingga tujuan di atas dapat dicapai. Permasalah tersebut dapat
diatasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.
Metode kuadrat terkecil merupakan metode yang digunakan untuk menentukan garis estimasi yang terbaik berdasarkan kriteria menghasilkan nilai
ei2yang sekecil mungkin.
2.1.4 Meminimumkan Rata-rata Deviasi Absolute
Mengingat masalah meminimumkan
di dengan pengaruh β,dengan : di = deviasi dari pengamatan
Yi = nilai perkiraan
Minimimum Z =
di … (2.10.)kendala Xβ + d = Y
d, β tanda takterbatas
Penting diperhatikan bahwa
di diMinimimum Z =
d1id2ikendala Xβ + d1 – d2 = Y
β tanda takterbatas
d1, d2 ≥ 0
2.2LINIER PROGRAMMING
2.2.1 Model Linier Programming
Linier programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Linier programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan masalah
yang dihadapi. Linier memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus
merupakan fungsi-fungsi linier, sedangkan programming/pemrograman dapat
diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linier programming dapat
didefenisikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu
model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya-sumber daya
yang terbatas secara optimal.
Model dasar atau Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut :
Cari nilai-nilai yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi
optimum (maksimum atau minimum) dari : n
X X X1, 2,...,
n nX C X C X C
Z 1 1 2 2 ...
(fungsi tujuan)
Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau
syarat-syarat ikatan sebagai berikut :
2 2 2 22 2 21 1 1 2 12 1 11 ... ... b atau X a X a X a b atau X a X a X a n n n n . . . . . . . . . . . . m n mn m
m X a X a X atau b
a 1 1 2 2 ...
atau dalam bentuk kompaknya :
optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) :
n
j i iX
C Z
1
untuk j = 1, 2, …n
dengan syarat ikatan :
n
i
i j
ijX atau b
a
1
, untuk i = 1, 2, … m
Konsep linier programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh
George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah linier programming dengan banyak variabel keputusan. Kemudian banyak ahli yang bergabung dengan
Dantzig dalam konsep pengembangan linier programming. Paper pertamanya adalah
metode solusi yang bernama metode simplex. Dalam pengembangan linier programming, Dantzig bekerjasama dengan Marshal Wood dan Alex O, dan masih
banyak para ahli yang lainnya ikut. Kemudian, setelah berhasil diterapkan pada sektor
pemerintah dan swasta, akhirnya disadari bahwa linier programming merupakan
masalah yang sangat membantu dalam analisis bidang bisnis.
Model Linier Programming ini merupakan bentuk dan susunan dari dalam
menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik linier
programming. Dalam model linier programming dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu :
1. fungsi tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan linier programming yang berkaitan
dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimal
atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan
sebagai Z.
2. fungsi batasan (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal
Tabel 2.1 Tabel Awal Linier Programming
1 2 3 4 5
1
Cj X1 X2 … Xk … Xn d1 … dl … dn B
C VB WB 0 0 … 0 … 0 w1 … wl … wn
1
d X1 b1 a11 a12
2
… a1k … a1n 1 … 0 … 0
2
d X2 b2 a21 a22 … a2k … a2n 0 … 0 … 0 … … … ……… 3
Baris 1 l
d Xl bl al1 al2 … alk … aln 0 … 1 … 0
… … … ………
n
d Xn bn anl an2 … ank … an 0 … 0 … 1
bidi: Variabel keputusan dan variabel deviasi
Kolom 5 : Nilai sebelah kanan
putusan
Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif
Kolom 1 : Faktor prioritas dan bobot untuk setiap variabel deviasi positif
(yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial
Kolom 2 : wakili jumlah total deviasi dari
Baris 2 :
fungsi objektif.
j
X di.
Kolom 3 : Koefisien variabel ke aij.
. i
d
i
P Wi
seperti ditampilkan dalam kolom 2.
Nilai total deviasi absolut, yang me
semua tujuan untuk tiap tabel sebagai interasi proses pendapatan.
Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan
Baris 3 : Bobot Wi untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam
Zj
Pada garis besarnya langkah-langkah dalam analisis persoalan linier programming dengan metode simpleks adalah seperti terlihat dalam Gambar 2.3.
Langkah 0
Langkah 1
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
Langkah 4
Konversikan semua ketidaksamaan menjadi kesamaan (bentuk baku):
Gunakan peubah disposal (slack dan surplus atau artifisial)
Tentukan penyelesaian pendahuluan yang layak
(initial basic feasible solution) :
Gunakan peubah astifisial/peubah disposal
Lakukan penyempurnaan penyelesaian kelayakan
Penyelesaian kelayakan yang dicari perlu diteruskan …?
Apakah penyelesaian kelayakan yang kini sudah layak (feasible) dan optimal …? Carilah
penyelesaian kelayakan yang lebih baik
Penyelesaian kelayakan sudah optimal
Tidak ada penyelesaian (tidak layak/tidak optimal
MULAI
SELESAI
2.2.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming
Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar
permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming
adalah sebagai berikut :
1. Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (propotional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
contoh :
a. Z C1X1C2X2C3X3 ...CnXn
Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z sebesar C1
b. a11X1a12X2a13X3 ...anXn b1
Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber
sebesar a11
2. Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat independent
(bebas/tidak saling bergantung) dan dalam linier programming dianggap
bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat
langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.
misalnya :
Z = 3X1 + 5X2
dengan X1 = 10 ; X2 = 2
sehingga Z = 30 + 10 = 40
Andaikan X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z
menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan X1 dapat langsung
ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang
diperoleh dari kegiatan 2 (X2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X1
3. Divisibility
Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka pecahan.
misalnya :
dari hasil perhitungan didapat nilai X1 = 4,5 ; X2 = 7,25 dan Z =
85.000,25
Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan menggunakan
integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak mungkin dalam
bentuk pecahan.
4. Deterministik
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model
linier programming yang berupa aij, bi dan Cj dapat diketahui secara pasti.
2.2.3 Terminologi Linier Programming
Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti
istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi
itu. Berikut ini adalah defenisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa
digunakan dalam Linier Programming.
1. Decision variabel adalah seperangkat variabel yang tidak diketahui (dilambangkan xj, dengan j =1, 2, … n) yang akan dicari nilainya (variabel
keputusan).
2. Right hand side value (RHS) adalah nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi ) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya (nilai sisi kanan).
3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan.
4. Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai
5. Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara
membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom
kunci.
6. Angka Kunci (Pivot) merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci.
2.2.4 Unsur-Unsur Linier Programming
Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen
yaitu : fungsi tujuan, dan kendala-kendala tujuan.
Fungsi Tujuan
Adapun fungsi tujuan dalam linier programming, yaitu :
Minimumkan
m
i
i i d
d Z
1
Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah tidak lain
daripada peubah-peubah slek dan surplus.
Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan
melakukannya secara tidak langsung melalui minimisasi simpangan negatif dan positif
dari nilai RHS kendala tujuan. Linier Programming mencari nilai solusi secara
langsung melalui minimisasi penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya. j
x
j
x
Kendala Tujuan
Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu
ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat
jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua
variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya
kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama
seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1
maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan
diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan
model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah
artificial variabel , seperti pada persamaan keempat. i
b
i
d
2.3 Analisis Dualitas
Setiap persoalan program linier selalu memiliki dua macam analisis, atau katakanlah
dua pakar yang menjadi satu, yaitu (1) analisis primal dan (2) analisis dual yang
biasanya disebut analisis primal-dual.
Untuk persoalan maksimisasi, maka semua rumusan fungsi kendalanya
mempunyai tanda “lebih kecil daripada atau sama dengan”. Jika persoalannya adalah
minimisasi maka tanda fungsi syarat ikatanya harus “lebih besar daripada atau sama
dengan”, ingat bahwa tidak perlu semua konstanta atau nilai sebelah kanan (disingkat
nsk)
Jika suatu persoalan dalam rumusan program liniernya memiliki fungsi
kendala kesamaan (nilai nsk-nya bertanda sama dengan), maka fungsi kendala
tersebut dapat ditukar atau diganti dengan dua fungsi lainnya yaitu :
Pertama, bertanda “lebih kecil daripada atau sama dengan”
Kedua, bertanda “lebih besar daripada atau sama dengan”,
Salah satu diantara kedua fungsi kendala lain tersebut (pilih mana saja),
kemudian diambil, dan kalikan dengan -1 unutk mendapatkan fungsi kendala baru
yang sesuai dengan aturan yang diminta.
Model Umum
Masalah primal Masalah dual
Maksimumkan
nj i iX
C Z
1
dengan kendala : i, n
j
j ijX b
a
1
Minimumkan
n i
i iY
b G
1
dengan kendala : i, m
i j ijY C
a
Apabila bentuk persamaan diatas dinyatakan dalam bentuk notasi matriks, maka kita peroleh rumusannya seperti terlihat dalam persamaan berikut :
Masalah primal Masalah dual
Minimum : Gb'Y
dengan kendala : AY ≤ C
Y ≥ 0
Maksimum : Z C'X dengan kendala : AX ≤ b
X ≥ 0
PEMBAHASAN
3.1. Penggunaan Teknik Linear Programming dengan Metode Simpleks
Andaikan suatu persoalan penentuan model multiple regresi yaitu diberikan data
sebagai berikut :
, 3 5 1 2 4 1 1 3 1 2 2 1 3 1 1 X 5 5 4 3 4 Y
dengan menentukan regresi MINMAD yang terdiri dari ,
estimasi
2 2 1 1
0 ˆ ˆ
ˆ
ˆ X X
Y 2
1 0, ,
.
i i i d d
d 1 2
i i i d d
d 1 2
bentuk umum
minimum : Z =
d1i
d2ikendala : Xd1d2 Y
bentuk standart
minimum : Z = d11 d12 d13 d14 d15 d21 d22 d23 d24 d25
kendala : 0 132 d11 d21 4
0 ij
d
misalkan : 0 X1 d11 X4 d21 X9
3 2 2 1 X X 6 13 5 12 X d X d 11 23 10 22 X d X d 8 15 7 14 X d X d 13 25 12 24 X d X d fungsi tujuan
minimum : Z X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11X12 X13
kendala : X1 X2 3X3 X4 X9 4
5 3 5 5 2 4 4 3 3 2 2 13 8 3 2 1 12 7 3 2 1 11 6 3 2 1 10 5 3 2 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 0 i X
selanjutnya, persamaan fungsi tujuan dan kendala dimasukkan ke dalam tabel awal
[image:36.595.106.483.75.423.2]simpleks sebagai berikut :
Tabel 3.1 Tabel Awal Simpleks
Cj 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
1 X4 4 1 1 3 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
1 X5 3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0
1 X6 4 1 3 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0
1 X7 5 1 4 2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0
1 8
X 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1
Zj 21 5 15 11 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1
(Cj– Zj) -5 -15 -11 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2
Kolom kunci Baris kunci
Pada tabel dapat dilihat bahwa nilai
Cj Zj
yang negatif terbesar adalah (-15), maka kolom kuncinya adalah X2 , dan rasio yang positif paling kecil dari X2 yaitu :4/1, 3/2, 4/3, 5/4, 5/5 adalah 5/5 maka baris kunci adalah X8.
Dengan demikian X2 mengganti X8 di variabel dasar.
Baris kunci baru =
pivot
1 (baris kunci lama)
=
5
1 ( 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1)
= ( 1 1/5 1 3/5 0 0 0 0 1/5 0 0 0 0 -1/5)
Baris-I baru = baris-I lama - 5
1 (baris kunci lama)
= ( 4 1 1 3 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 )
= 5
1 ( 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 )
= 3 4/5 0 12/5 1 0 0 0 -1/5 -1 0 0 0 1/5
Baris-II baru = baris-II lama - 5
2 (baris kunci lama)
= ( 3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 ) =
5
2 ( 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1)
Baris-III baru = baris-III lama - 5
3 (baris kunci lama)
= ( 4 1 3 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 ) =
5
3 ( 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 )
= 1 2/5 0 -4/5 0 0 1 0 -3/5 0 0 -1 0 3/5
Baris-IV baru = baris-IV lama - 5
4 (baris kunci lama)
= ( 5 1 4 2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 ) =
5
4 ( 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 )
= 1 1/5 0 -2/5 0 0 0 1 -4/5 0 0 0 -1 4/5
[image:38.595.106.542.402.638.2]Dengan demikian diperoleh tabel simpleks yang baru :
Tabel 3.2 Simpleks
Cj 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V WB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13
1 X4 3 4/5 0 12/5 1 0 0 0 -1/5 -1 0 0 0 1/5
1 X5 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5
1 X6 1 2/5 0 -4/5 0 0 1 0 -3/5 0 0 -1 0 3/5
1 X7 1 1/5 0 -2/5 0 0 0 1 -4/5 0 0 0 -1 4/5
0
2
X 1 1/5 1 3/5 0 0 0 0 1/5 0 0 0 0 -1/5
Zj 6 2 0 2 1 1 1 1 -2 -1 -1 -1 -1 2
(Cj– Zj) -2 0 -2 0 0 0 0 3 2 2 2 2 -1
Karena pada tabel 3.2 ini masih ada nilai
Cj Zj
yang negatif maka solusi belum optimum, nilai negatif terbesar adalah (-2) yaitu pada kolom , dengan demikiankolom kuncinya adalah dan rasio yang memiliki nilai positif terkecil yaitu 3/5
pada baris (baris kunci).
1 X
1 X
5
Sehingga X1 mengganti X5 di variabel dasar.
Baris kunci baru =
pivot
1 (baris kunci lama)
= 5 / 3
1 ( 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5 )
= 5/3 1 0 4/3 0 5/3 0 0 -2/3 0 -5/3 0 0 2/3
Baris-I baru = baris-I lama –
5 / 3 5 /
4 (baris kunci lama)
= ( 3 4/5 0 12/5 1 0 0 0 -1/5 -1 0 0 0 1/5 ) =
3
4 ( 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5 )
= 5/3 1 0 4/3 1 -4/3 0 0 1/3 -1 4/3 0 0 -1/3
Baris-III baru = baris-III lama -
5 / 3 5 /
2 (baris kunci lama)
= ( 1 2/5 0 -4/5 0 0 1 0 -3/5 0 0 -1 0 3/5 ) =
3
2 ( 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5 )
= 1/3 0 0 -4/3 0 -2/3 1 0 -1/3 0 2/3 -1 0 1/3
Baris-IV baru = baris-IV lama –
5 / 3 5 /
1 (baris kunci lama)
= ( 1 1/5 0 -2/5 0 0 0 1 -4/5 0 0 0 -1 4/5 ) =
3
1 ( 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5 ) = 2/3 0 0 -2/3 0 -1/3 0 1 -2/3 0 1/3 0 -1 2/3
Baris-V baru = baris-V lama -
5 / 3 5 /
1 (baris kunci lama)
= ( 1 1/5 1 3/5 0 0 0 0 1/5 0 0 0 0 -1/5 ) =
3
1 ( 1 3/5 0 4/5 0 1 0 0 -2/5 0 -1 0 0 2/5 )
Maka dibentuk tabel 3.3 Simpleks dan substitusikan nilai baris barunya dan masukkan
dan keluarkan X5. Dengan demikian tabel 3.3 simpleks yang baru yaitu :
[image:40.595.107.551.185.450.2]1 X
Tabel 3.3 Simpleks
Cj 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V WB 1
X X2 X3 X4 5
X X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13
1 X4 5/3 0 0 4/3 1 -4/3 0 0 1/3 -1 4/3 0 0 -1/3
0 X1 5/3 1 0 4/3 0 5/3 0 0 -2/3 0 -5/3 0 0 2/3
1 X6 1/3 0 0 -4/3 0 -2/3 1 0 -1/3 0 2/3 -1 0 1/3 1 X7 2/3 0 0 -2/3 0 -1/3 0 1 -2/3 0 1/3 0 -1 2/3
0 X2 2/3 0 1 1/3 0 -1/3 0 0 1/3 0 1/3 0 0 -1/3
Zj 8/3 0 0 -2/3 1 -7/3 1 1 -2/3 -1 7/3 -1 -1 2/3
(Cj– Zj) 0 0 2/3 0 10/3 0 0 5/3 2 -4/3 2 2 1/3
Pada tabel 3.3 masih ditemukan nilai
Cj Zj
yang negatif sehingga belum ditemukannya solusi yang optimum, maka proses harus dilanjutkan lagi. Kolom kunciadalah -4/3 yaitu pada kolom . Dan rasio yang memiliki nilai positif terkecil adalah 2/3 yaitu pada baris sebagai baris kunci.
10
X
6
X
Maka X10 mengganti X6 pada variabel dasar.
Baris kunci baru =
pivot
1 (baris kunci lama)
= 3 / 2
Baris-I baru = baris-I lama -
3 / 2 3 /
4 (baris kunci lama)
= ( 5/3 0 0 4/3 1 -4/3 0 0 1/3 -1 4/3 0 0 -1/3 ) = 2 ( 1/3 0 0 -4/3 0 -2/3 1 0 -1/3 0 2/3 -1 0 1/3 ) = 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1
Baris-II baru = baris-II lama -
3 / 2 3 / 5
(baris kunci lama)
= ( 5/3 1 0 4/3 0 5/3 0 0 -2/3 0 -5/3 0 0 2/3 ) =
2 5
( 1/3 0 0 -4/3 0 -2/3 1 0 -1/3 0 2/3 -1 0 1/3 ) = 5/2 1 0 -2 0 0 5/2 0 -3/2 0 0 5/2 0 3/2
Baris-III baru = baris-III lama - 4 2
(baris kunci lama)
= ( 1/2 0 0 -2 0 -1 3/2 0 -1/2 0 1 -3/2 0 1/2 ) =
2 1
( 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1 ) = 1 0 0 0 1/2 -1 1/2 0 0 -1/2 1 -1/2 0 0
Baris-IV baru = baris-IV lama - 4
0 (baris kunci lama)
= ( 1/2 0 0 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0 0 1/2 -1 1/2 ) = 0 ( 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1 ) = 1/2 0 0 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0 0 1/2 -1 1/2
Baris-V baru = baris-V lama - 4
1 (baris kunci lama)
= ( 1/2 0 1 1 0 0 -1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 -1/2 ) =
4
1 ( 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1 )
[image:41.595.101.534.97.781.2]= 1/4 0 1 0 -1/4 0 0 0 1/4 1/4 0 0 0 -1/4
Tabel 3.4 Simpleks
Cj 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V WB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13
0 X1 3 1 0 0 1/2 0 3/2 0 -1 -1/2 0 7/2 0 1
1 X10 1 0 0 0 1/2 -1 1/2 0 0 -1/2 1 -1/2 0 0
1 X7 1/2 0 0 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0 0 1/2 -1 1/2
2 X
0 1/4 0 1 0 -1/4 0 0 0 1/4 1/4 0 0 0 -1/4
Z j 3/2 0 0 0 1/2 -1 0 1 -1/2 -1/2 1 0 -1 1/2
(Cj– Z ) j 0 0 0 1/2 2 1 0 3/2 3/2 0 1 2 1/2
(C – Z ) tidak ada lagi yang bernilai negatif maka proses dihentikan, sehingga nilai yang didapat adalah =
Karena nilai j j
1
X 0= 3 ; X2=1= 1/4 danX3=2= 1/4. Sehingga didapat model multiple regresinya adalah : 1 2
4 1
X X
rogramming dengan Sistem-QM
putasi persoalan linier programming yang ukurannya
Guna dapat melakukan komputasi dengan komputer, maka diperlukan
program komputer.
QM for windows merupakan paket program komputer untuk
menyelasaikan persoalan-persoalan m
4 1 3 ˆ
Y
3.2 Komputasi Linier P
3.2.1 Pendahuluan
Analisis perhitungan atau kom
kecil-kecil dapat dilakukan dengan tangan atau kalkulator biasa. Semakin besar suatu
persoalan linier programming maka kita memerlukan bantuan komputer digital karena
cara manual sudah tidak efisien dan tidak layak lagi untuk dilakukan.
Program komputer berguna untuk memberikan instruksi kepada
komputer dengan bahasa komputer tertentu tentang apa yang harus dikerjakan dan
dilakukan oleh komputer. Dalam dunia teknologi tinggi dewasa ini, pada umumnya
telah disusun program-program komputer dalam bentuk paket sesuai dengan jenis dan
sistem komputer yang ada dan dapat dipergunakan sewaktu-waktu bila diperlukan.
Salah satu diantaranya adalah sistem-QM (Quantitative Methods).
Program
etode kuantitatif, manajemen sains atau riset
adalah program ini sangat fleksibel dalam arti bahwa tersedia banyak pilihan dari
modul yang dapat dipergunakan untuk menganalisis berbagai jawaban daripada suatu
persoalan linier programming yang kita hadapi.
3.2.2 Langkah-Langkah Pengerjaan Program QM
ampilan sementara (splash) setelah program QM for windows dijalankan tampak T
[image:43.595.181.474.274.430.2]pada gambar 3.1.
Gambar 3.1 tampilan sementara (splash) dari program QM for windows
Setelah tampilan sementara (splash) berakhir, akan muncul tampilan awal
seperti gambar 3.2 yang berarti program sudah siap untuk menjalankan modul-modul
Gambar 3.2 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for windows
Pilih menu File-New, sehingga muncul tampilan seperti gambar 3.3
[image:44.595.111.524.457.693.2]55
[image:45.595.108.522.129.256.2]Lalu mengisi angka-angka pada kotak sesuai dengan persoalan yang akan dikerjakan
Gambar 3.4 Tampilan untuk mengisi angka-angka sesuai dengan soal
Selesaikan persoalan dengan mengklik tombol pada toolbar maka akan
58
Gambar 3.5 Langkah-langkah pengerjaan linier programming
Dari hasil pengerjaan program QM for Windows didapat yaitu : X1 =3 ; X2 = 0,25 ; X3 = 0,25 sehingga dari perhitungan ini didapat suatu
Ada 3 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih
untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu :
1. Linear Programming Results 2. Ranging
Gambar 3.6 Output dari penyelesaian contoh soal linear programming
1. Tampilan linear programming results menunjukkan hasil perhitungan solution X1
= 3,6667 ; X2 = 0,3333 sehingga RHS = 0. Dari hasil perhitungan ini menunjukkan
nilai jumlah optimum.
2. Tampilan ranging khususnya pada kolom lower bond dan upper bond menunjukkan batas maksimal (minimum dan maksimum) pada koefisien variabel
dan pada nilai kendala, dimana pada rentang nilai antara lower bond dan upper
bond.
Dari tabel solution list didapat bahwa nilai optimal (Z) minimum adalah 0.
3.2.3 Pengujian Hipotesis
1) Hipotesis
Ha : terdapat hubungan fungsional linier & signifikan antara variabel
X1, X2, X3 dengan Y
H0 : tidak terdapat hubungan fungsional yang linier dan signifikan
2) Uji signifikansi
Cari Rhit dengan rumus :
1 1 2 22 3 3
) 3 , 2 , 1 ( y y x b y x b y x b Ry
91 0 67 25 , 0 21 25 ,0
24 , 0 91 22 91 75 , 16 25 , 5
R = 0,49
Kuadratkan nilai R tersebut menjasi R2 = (0,49)2 = 0,24
Hitung Fsign hitung dengan menggunakan rumus :
Freg
2 2 1 1 R m m n R
107 , 0 24 , 2 1 24 , 0 24 , 0 1 3 1 3 5 24 , 0 Taraf signifikansinya (α) = 0,05
Ftabel
penyebut pembilangdk
dk
F1 ,
= F(1-0,05)(3,1)
= F(0,95)(3,1)
Ftabel = 216
Tentukan kriteria pengujian H0 yaitu :
Ha : tidak signifikan
H0 : signifikan
Ternyata 0,107 < 216 atau Fhit < Ftab, sehingga H0 diterima atau
signifikan.
3) Kesimpulan
Hipotesis nol yang berbunyi : “terdapat hubungan fungsional yang signifikan
antara variabel X1, X2 dan X3 dengan variabel Y”, diterima. Dan sebaliknya
hipotesis alternatif yang berbunyi : “tidak terdapat hubungan fungsional yang
signifikan antara variabel X1, X2, dan X3 dengan variabel Y”, ditolak.
[image:52.595.108.523.314.606.2]3.2.3 Dualitas
Gambar 3.7 Bentuk dual dari primal
fungsi tujuan
maximum : G4Y13Y2 4Y35Y4 5Y5
kendala : Y1Y2 Y3 Y4 Y5 0
0 3 2 2
3
0 5 4 3 2
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
Y Y Y Y Y
1 1 1 1 1
5 4 3 2 1
Y Y Y Y Y
1 1 1 1 1
5 4 3 2 1
Y Y Y Y Y
0 i
Y
Dalam hal ini kita akan menggunakan sistem perhitungan komputasi dengan
menggunakan program-QM. Dengan sistem pengerjaan sebagai berikut :
[image:53.595.109.522.380.578.2]mengisi angka-angka pada kotak sesuai dengan persoalan yang akan dikerjakan
Gambar 3.8 Tampilan untuk mengisi angka-angka sesuai dengan soal
Ada 3 output (tampilan) yang dihasilkan dari penyelesaian soal, dapat dipilih
untuk ditampilkan dari menu Windows yaitu :
1. Linear Programming Results 2. Ranging
1. Tampilan linear programming results menunjukkan hasil perhitungan solution Y1
= 0 ; Y2 = 0; Y3= 0; Y4= 0; dan Y5=0 sehingga RHS = 0. Dari hasil perhitungan ini
menunjukkan nilai jumlah optimum.
2. Tampilan ranging khususnya pada kolom lower bond dan upper bond menunjukkan batas maksimal (minimum dan maksimum) pada koefisien variabel
dan pada nilai kendala, dimana pada rentang nilai antara lower bond dan upper
bond.
67
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka
dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Persamaan multiple regresi linier dengan menggunakan teknik linier
programming :
2 1
4 1 4 1 3
ˆ X X
Y
2. Nilai optimal (Z) dari minimum adalah 0 dan nilai optimal (G) dari maximum
adalah 0. Ini berarti bahwa jarak deviasi dari garis regresi linier adalah 0,
sehingga titik ini tepat berada di garis regresi linier tersebut.
3. Linier programming merupakan alat analisis yang tepat dalam menentukan
model koefisien multiple regresi.
4. Analisis linier programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara titik
estimasi dengan titik sebenarnya.
4.2 Saran
Untuk dapat lebih menghemat waktu dan mempermudah penyelesaian, maka didalam
menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode linier programming dapat
DAFTAR PUSTAKA
Algifari. 2003. Statistika Induktif untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Akademi Manajemen Perusa