METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES
PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN
ANNI FITHRIYATUL MAS’UDAH
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ix
RINGKASAN
ANNI FITHRIYATUL MAS’UDAH. Metode Regresi Least Trimmed Squares pada Data yang Mengandung Pencilan. Dibimbing oleh ANANG KURNIA dan DIAN KUSUMANINGRUM.
Regresi merupakan metode statistika yang digunakan untuk menduga pola hubungan antara dua atau lebih peubah. Metode pendugaan parameter yang umum digunakan dalam analisis regresi linier adalah metode kuadrat terkecil atau Ordinary Least Squares (OLS), namun metode ini tidak baik digunakan apabila data pada peubah respon mengandung pencilan. Adanya pencilan akan mengakibatkan pendugaan parameter yang dihasilkan bersifat bias dan interpretasi kesimpulan tidak valid. Pada kasus terdapatnya pencilan, alternatif metode yang dapat digunakan adalah regresi kekar. Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah Least Trimmed Squares (LTS) dengan dua kriteria pemangkasan yang berbeda (LTS dan LTS1). LTS melalukan pemangkasan berdasarkan teori Rousseeuw dan Van Driessen, sedangkan LTS1 merupakan aplikasi pemangkasan yang dilakukan pada mutlak sisaan baku lebih dari dua. Untuk mengetahui tingkat kekekaran metode LTS dan LTS1 dibandingkan dengan OLS dilakukan kajian simulasi dan penerapan data riil. Simulasi dilakukan untuk ukuran contoh yang berbeda (15, 30, 100, dan 200) dan tingkat persentase pencilan yang berbeda (0%, 5%, 10%, 15%, dan 20) dengan ulangan sebanyak 1000 kali pada masing-masing kombinasi ukuran contoh dan persentase pencilan, sedangkan data riil memiliki ukuran contoh 35 dan pencilan delapan persen. Hasil yang didapatkan dari simulasi dan data riil metode LTS lebih baik dibandingkan metode OLS dan LTS1 dalam menduga parameter regresi. LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG yang relatif konstan dan kekar untuk berbagai kondisi pencilan dan ukuran contoh.
METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES
PADA DATA YANG MENGANDUNG PENCILAN
ANNI FITHRIYATUL MAS’UDAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
xi
Judul Skripsi : Metode Regresi Least Trimmed Squares pada Data yang Mengandung Pencilan Nama : Anni Fithriyatul Mas’udah
NIM : G14080044
Menyetujui,
Pembimbing I
Dr. Anang Kurnia NIP. 19730824 199702 1 001
Pembimbing II
Dian Kusumaningrum, M.Si
Mengetahui, Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si. NIP. 19650421 199002 1 001
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat, rahmat dan hidayah-Nya serta sholawat serta salam semoga tetap terlimpahkan pada Rosululloh SAW, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi dengan judul “METODE REGRESI LEAST TRIMMED SQUARES PADA DATA
YANG MENGANDUNG PENCILAN”.
Penulis telah dibantu oleh banyak pihak dalam penyusunan skripsi ini, oleh karena itu penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada :
1. Bapak Dr. Anang Kurnia dan Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen pembimbing atas bimbingan dan arahan selama penyusunan karya ilmiah.
2. Ibu Dr. Ir. Indahwati, M.Si selaku dosen penguji luar yang telah memberikan masukan dan arahan kepada penulis.
3. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika serta seluruh staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu penulis.
4. Kedua orang tuaku Bapak Drs. H. Moch Djahid, M.A, Ibu Hj.Siti Munawaroh, S.PdI serta
mas Noor Faiz Hidayatulloh dan mbak Riza Hanif Farida yang telah memberikan do’a, kasih sayang, semangat dan dukungan you are my life and my inspiration.
5. Muhtadin Amri thanks forsupport and everything, always wish all the best for us.
6. Sartika Lestari, Rizki Fadhilah, dan Mia Amelia yang telah memberikan dukungan selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini.
7. Anita Pratiwi dan Nuril Anwar selaku teman satu bimbingan yang telah berjuang bersama dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.
8. Teman-teman statistika 45 atas bantuan, dukungan dan kebersamaan yang diberikan.
9. Teman-teman kost SQ (Fitra, Orin, Ia, Nia, Hana, Lina, Fida, Upe, K’Dayu, K’Septi, Hana dongse, Mita dan Nurul) terimakasih atas semangat dan dukungannya.
10. Teman-teman omda Manggolo Putro atas kebersamaan dan semangat yang diberikan. 11. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan kotribusi yang nyata bagi para pembaca dan ilmu pengetahuan.
Bogor, September 2012
xiii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Ponorogo pada tanggal 15 April 1990 sebagai anak bungsu dari pasangan Drs. H. Moch Djahid, M.A. dan Hj. St. Munawaroh, S.PdI. Jenjang perguruan tinggi penulis dimulai pada tahun 2008 dengan diterimanya penulis di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan memilih Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun 2009. Sebelum masuk perguruan tinggi, penulis telah berhasil menyelesaikan pendidikan di SMAN 1 Ponorogo, SMPN 1 Jetis, dan SDN 1 Wonoketro. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai staf Beta Club 2009, staf Department of Human Resource and
Development pada periode 2011. Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum Metode Statistika
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL………...
DAFTAR GAMBAR………....
DAFTAR LAMPIRAN………...
PENDAHULUAN………...
Latar Belakang………....
Tujuan ………....
TINJAUAN PUSTAKA………....
Regresi Linier Sederhana………...
Pencilan………...
Regresi Kekar………...
Least Trimmed Square...………......
Model Based Simulation...
BAHAN DAN METODE………...
Bahan………...
Metode………....
HASIL DAN PEMBAHASAN………...
Kajian Simulasi………...
Penerapan Pada Data Riil...………...
KESIMPULAN ………...
DAFTAR PUSTAKA………....
LAMPIRAN………...
xv
DAFTAR TABEL
Halaman 1. Tabel data evaluasi pendugaan dan ………... 5
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1.
2. 3.
Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n=100... Karakteristik pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan untuk n=100... Diagram pencar antara ketinggian bukit dengan waktu yang diperlukan untuk
pendakian... 4 5 5
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Bagan prosedur simulasi... Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Grafik evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Grafik evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan... Output pada penerapan data riil... Data kriteria pendugaan dan untuk keseluruhan data...
8 9 10 11 13 15 17
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Regresi merupakan suatu metode statistika yang digunakan untuk menduga pola hubungan antara dua peubah atau lebih. Pada keadaan riil tidak menutup kemungkinan bahwa peubah yang digunakan memiliki nilai dengan pola yang berbeda dibandingkan dengan pola umum lainnya. Keadaan tersebut didefinisikan sebagai pencilan (Aunuddin 1989).
Menurut Ryan (1997) pencilan merupakan salah satu penyebab tidak terpenuhinya salah satu asumsi regresi linier dengan metode Ordinary Least Square (OLS) yaitu homoskedastisitas. Pada OLS semua data akan mendapatkan bobot yang sama. Namun keberadaan pencilan akan mengakibatkan pengamatan mengandung informasi yang lebih dibandingkan yang lain, sehingga pengamatan tersebut seharusnya mendapatkan bobot yang lebih kecil dibandingkan pengamatan yang lain.
Pencilan dapat teridentifikasi dengan melihat besarnya sisaan yang dibakukan antara peubah tak bebas dengan dugaannya. Apabila nilai mutlak sisaan tersebut lebih dari dua maka disebut pencilan. Keberadaan pencilan mengakibatkan parameter yang dihasilkan bersifat bias dan interpretasi kesimpulan tidak valid sehingga dapat menimbulkan kesalahan dalam pengambilan keputusan dan kesimpulan. Masalah tersebut dapat diatasi dengan menggunakan alternatif pendugaan yang bersifat kekar. Salah satu metodenya adalah Least Trimmed Square (LTS) (Drapper & Smith 1992).
LTS dan LTS1 merupakan suatu penduga untuk menghasilkan dugaan yang kekar terhadap pencilan dengan karakteristik pemangkasan yang berbeda, sehingga relatif tidak terpengaruh oleh perubahan karena adanya pencilan yang terjadi. Untuk mengetahui kekekaran metode LTS, LTS1, dan OLS tersebut maka perlu dilakukan simulasi terhadap data yang mengandung pencilan. Selain menggunakan simulasi penelitian ini juga menggunakan analisis terhadap data riil.
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengevaluasi kekekaran metode Least
Trimmed Squares dalam menduga parameter
regresi pada berbagai proporsi pencilan dan berbagai ukuran contoh.
TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linier Sederhana
Menurut Ryan (1997) regresi linier sederhana adalah regresi yang memiliki satu peubah bebas dan memiliki parameter model yang linier. Model regresinya adalah :
Pada dasarnya rancangan ini menggunakan metode OLS yang digunakan untuk menduga
Pada analisis regresi linier sederhana untuk mendapatkan penduga parameter yang baik maka sisaan harus memenuhi asumsi Gauss-Markov, yaitu :
1. (nilai harapan/rataan sisaan sama dengan nol)
2. (ragam sisaan homogen untuk setiap nilai x)
3. ( dan saling bebas).
Selain itu sisaan juga merupakan peubah acak yang menyebar normal dengan rataan nol dan ragam .
Pencilan
Pencilan merupakan nilai ekstrim dari suatu pengamatan. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi pencilan adalah dengan melihat sisaan yang dibakukan yaitu :
2
Regresi Kekar Least Trimmed Squares Regresi kekar diperkenalkan oleh Andrews pada tahun 1972. Regresi kekar merupakan metode regresi yang digunakan ketika distribusi dari sisaan tidak normal dan atau adanya beberapa pencilan yang berpengaruh pada model (Ryan 1997). Metode kekar merupakan metode yang dapat menghasilkan model yang relatif tidak terpengaruh oleh adanya pencilan. Menurut Rousseeuw dan Leroy (1987) dengan menggunakan pendekatan regresi kekar maka adanya pencilan tidak akan mempengaruhi pendugaan parameter.
Metode LTS merupakan salah satu model regresi kekar dengan adanya pencilan. Metode ini akan memangkas (memberi bobot nol) pada sisaan yang terbesar pada saat meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Metode ini menduga koefisien regresi dengan meminimumkan jumlah h kuadrat sisaan (fungsi objektif) :
dengan dimana :
: Kuadrat sisaan yang diurutkan dari kecil ke terbesar
n : banyaknya pengamatan p : banyaknya parameter regresi h : subset data dengan yang diambil.
Penentuan subhimpunan h terbaik dilakukan dengan menggunakan algoritma FAST-Minimum Covariance Determinant (MCD) (Rousseeuw & Van Driessen 1999). Adapun algoritma tersebut sebagai berikut : a. Ambil sejumlah h pengamatan dari subset
data yang berbeda. Dari n pengamatan akan dihasilkan himpunan baru. Nilai h yang optimal memenuhi (n + p + 1)/2.
b. Definisikan himpunan pertama sebagai H1. Berdasarkan himpunan H1 hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam . Selanjutnya hitung det(S1).
c. Definisikan himpunan kedua H2. Berdasarkan himpunan H2 hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam
. Selanjutnya hitung det(S2). d. Bandingkan det(S2) dengan det(S1). Bila
det(S2) ≠ det(S1) simpan yang mempunyai nilai terkecil, ulangi langkah untuk himpunan Hnew. Berdasarkan himpunan Hnew hitung vektor rata-rata dan matrik ragam peragam , selanjutnya
hitung det(Snew) berikutnya sampai dipenuhi kondisi det(Sm+1) = det(Sm). e. Tetapkan anggota himpunan Hm sebagai
himpunan dengan determinan matrik ragam peragam terkecil.
f. Berdasarkan Hm data selanjutnya diberi bobot.
g. Meregresikan Hm pengamatan yang mendapatkan bobot satu.
Selain LTS yang dikembangkan oleh Rousseeuw dan Van Drisen dengan pemangkasan pada h akan dilakukan pendugaan parameter LTS1. Pemangkasan LTS1 dilakukan pada nilai mutlak ri (sisaan yang dibakukan) lebih dari dua.
Model Based Simulation
Model Based Simulation merupakan suatu
metode simulasi yang dilakukan dengan menentukan model terlebih dahulu. Model ditetapkan dengan parameter tetap pada setiap ulangan. Pada setiap ulangan akan menghasilkan populasi yang berbeda dengan parameter yang tetap (Stinstra 2006).
BAHAN DAN METODE
Bahan
Data yang digunakan adalah data hasil simulasi dengan parameter regresi ( dan ) yang telah ditentukan. Data simulasi yang dibangkitkan terdiri dari satu peubah bebas dan sisaan yang kemudian digunakan untuk mencari peubah responnya. Peubah bebas dibangkitkan dari sebaran normal dengan nilai harapan dan ragam sebanyak 1000. Sisaan yang dibangkitkan terdiri dari dua bagian yaitu sisaan untuk pencilan dan bukan pencilan. Kedua sisaan dibangkitkan dari sebaran normal dengan proporsi 200 untuk data pencilan dan 800 untuk data bukan pencilan. Simulasi dilakukan menggunakan
software R dengan paket robustbase.
Selain simulasi dilakukan evaluasi pendugaan parameter regresi pada data riil yang diperoleh dari Chatterjee & Hadi (2006) halaman 112 tentang data hubungan jarak ketinggian bukit dengan waktu yang diperlukan untuk pendakian.
Metode
Simulasi
Prosedur simulasi yang dilakukan adalah menggunakan Model Based Simulation dengan algoritma sebagai berikut (bagan dapat dilihat di Lampiran 1):
diambil contoh acak berukuran n=15, 30, 100, dan 200 dengan masing-masing proporsi pencilan 0%, 5%, 10%, 15%, dan 20%.
6. Eksplorasi data untuk melihat banyaknya pencilan dengan diagram pencar.
7. Meregresikan semua gugus data dengan menggunakan OLS, LTS, dan LTS1 Adapun langkah LTS seperti pada Tinjauan Pustaka, sedangkan LTS1 dapat diperoleh dari algoritma dibawah ini :
a. Mengitung penduga parameter bawal dengan OLS.
b. Menghitung n residual ( yang bersesuaian dengan bawal.
c. Menentukan t residual ( * untuk pengamatan yang bersesuaian dengan .
9. Ulangi langkah 1-8 sebanyak 1000 kali. 10.Menentukan bias relatif, bias relatif
mutlak, KTG relatif, dan KTG dari kombinasi n dan proporsi pencilan yang berbeda.
11.Menentukan metode yang menghasilkan dugaan paling baik berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, Penerapan Pada Data Riil
Tahapan yang dilakukan dalam penelitian untuk contoh aplikasi adalah :
1. Eksplorasi data.
2. Menduga parameter menggunakan OLS.
3. Menduga parameter dengan menggunakan LTS dan LTS1.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Kajian Simulasi
Pencilan yang digunakan dalam simulasi ini ditentukan sebesar 0%, 5%, 10%, 15%, dan 20%. Metode pendugaan parameter regresi yang digunakan adalah OLS, LTS, dan LTS1 yang masing-masing mempunyai kriteria tersendiri untuk menghasilkan pendugaan yang kekar terhadap pencilan. Evaluasi penentuan metode yang terbaik adalah menggunakan bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG.
Pendugaan Parameter
4
Apabila persentase pencilan lebih besar dari 5% metode LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG yang stabil yaitu selalu mendekati nilai nol atau konsisten pada nilai nol, artinya nilai biasnya kecil atau nilai dugaannya mendekati nilai parameternya. Pada ukuran data 30, jika dilihat dari nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG, LTS dan LTS1 memiliki nilai yang hampir sama pada persentase pencilan 0% sampai 15%. Sedangkan untuk persentase pencilan lebih dari 15% grafik LTS1 cenderung naik. Namun untuk metode LTS lebih konstan pada nilai mendekati nol (Lampiran 4).
Berdasarkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG pada ukuran data 100 dengan banyaknya pencilan 0%, sampai 15% nilainya hampir sama dengan ukuran contoh 30 yaitu metode LTS dan LTS1 memiliki nilai hampir sama, hal ini dapat dilihat pada garisnya yang saling berhimpit (Lampiran 4). Pada ukuran data ini metode LTS tetap menunjukkan kestabilannya dengan garis yang lurus pada daerah yang mendekati nol. Tidak jauh berbeda dengan ukuran contoh 100, pada ukuran contoh 200 dengan persentase pencilan 0%, 5%, 10%, dan 15% metode LTS memiliki nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG terkecil yaitu hampir sama dengan metode LTS1. Sedangkan pada persentase pencilan lebih dari 15% metode LTS lebih baik dibandingkan OLS dan LTS1. Hal tersebut ditunjukkan oleh
garis merah yang selalu berada pada selalu konstan pada nilai nol (Lampiran 4).
Apabila dilihat secara keseluruhan untuk penduga parameter , LTS memiliki nilai bias yang relatif stabil dibandingkan dengan LTS1, sehingga metode LTS lebih kekar terhadap pencilan. Hal tersebut tidak terjadi pada ukuran data yang relatif rendah (15) cenderung memiliki pola yang berbeda dibandingkan ukuran contoh yang lainnya yaitu cenderung lebih tidak stabil.
Penduga Parameter
Pada pendugaan parameter dengan ukuran contoh 15 dan persentase pencilan 0% sampai 5% dihasilkan nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG dari masing-masing persentase pencilan relatif sama untuk LTS dan LTS1. Namun, jika persentase pencilan lebih dari 5% maka nilai evaluasi tersebut menunjukkan perbedaan, yaitu angka terendah dihasilkan oleh metode LTS.
Berbeda dengan jumlah pengamatan 15, pada ukuran contoh 30 nilai bias relatif dan bias relatif mutlak untuk persentase pencilan 0% sampai 10% LTS1 memiliki nilai yang lebih rendah dibandingkan LTS dan OLS. Hal ini menunjukkan bahwa pada kombinasi ukuran contoh dan persentase pencilan tersebut metode LTS1 merupakan metode terbaik. Hal tersebut terlihat pada
grafik Lampiran 5, namun pada persentase pencilan lebih besar dari 15% nilai bias LTS1 naik di atas nilai LTS sehingga LTS merupakan metode yang terbaik.
Pada grafik ukuran contoh 100 pada Lampiran 5 nilai bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG metode LTS1 cenderung berada dibawah LTS pada persentase pencilan 0% sampai 10%. Namun, pada persentase pencilan lebih dari 10% metode LTS1 cenderung naik dan berada di atas LTS. Sedangkan metode LTS lebih konsisten pada nilai yang mendekati nol, artinya nilai biasnya kecil atau nilai dugaannya mendekati nilai parameternya, sehingga pada kombinasi ukuran contoh dan pencilan tersebut metode LTS merupakan metode yang terbaik. Pada Lampiran 5 menunjukkan bahwa nilai bias relatif LTS cenderung memiliki nilai lebih besar dari LTS1 untuk ukuran data 200. Namun, untuk bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG konstan hampir sama dengan LTS1.
Apabila dilihat secara keseluruhan untuk penduga parameter , LTS memiliki nilai bias yang relatif stabil dibandingkan dengan LTS1, sehingga metode LTS lebih kekar terhadap pencilan. Pada pendugaan parameter untuk ukuran contoh yang relatif rendah (15) cenderung memiliki pola yang tidak stabil, artinya LTS merupakan pendugaan parameter regresi yang baik pada ukuran data yang relatif besar.
Sesuai dengan teori LTS, pada pendugaan parameter dan untuk perubahan persentase pencilan terutama pada ukuran contoh lebih besar dari 30 bias akan menghasilkan pola yang relatif sama. Semakin
besar persentase pencilan, apabila menggunakan metode OLS maka bias yang dihasilkan akan semakin besar. Pada ukuran contoh 200 dan persentase pencilan lebih besar dari 5% maka bias relatif mutlak dari dan
yang dihasilkan masing-masing lebih besar dari 10%. Apabila ukuran contoh kurang dari 200 maka nilai bias relatif mutlak akan semakin besar. Hal tersebut dapat dilihat pada Lampiran 2 dan Lampiran 3. Dengan demikian metode OLS tidak efektif untuk menduga parameter dengan data yang mengandung pencilan.
Penerapan Pada Data Riil
Data yang digunakan dalam contoh penerapan data riil ini adalah waktu yang dibutuhkan dalam pendakian (y) dengan ketinggian dari suatu bukit (x) pada 35 bukit dan pencilan sebesar delapan persen. Peubah pendukung yang digunakan ini diasumsikan mempunyai hubungan. Tahap pertama yang dilakukan adalah melakukan eksplorasi antara peubah bebas dan peubah responnya.
Pada eksplorasi data menggunakan diagram pencar dapat dilihat bahwa garis OLS dan LTS1 berada di sebelah kiri LTS. Hal ini dikarenakan keberadaan pencilan pada OLS dan LTS1 yang berada di sebelah kiri menarik garis OLS dan LTS1 tersebut ke kiri. LTS berbeda dengan OLS dan LTS1, garisnya cenderung berada di sebelah kanan karena tidak terpengaruh adanya pencilan-pencilan yang ada di sebelah kiri. Eksplorasi tersebut dapat menggambarkan kekekaran metode LTS dibandingkan OLS dan LTS1.
6 diperlukan untuk pendakian. Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai koefisien regresi yang didapatkan dari 3 metode (OLS, LTS, dan LTS1) nilainya menunjukkan perbedaan yang tidak terlalu besar. Apabila dilihat dari nilai simpangan menunjukkan bahwa dengan menggunakan model dengan metode LTS akan dapat menerangkan keragaman data sebesar 99.4%. Berdasarkan kelima kriteria nilai tersebut metode LTS merupakan metode yang baik digunakan jika data tersebut mengandung pencilan.
Tabel 1 Data Evaluasi Pendugaan dan .
kriteria OLS LTS* LTS1* *Dihitung berdasarkan pada data yang digunakan untuk penentuan dan
Berdasarkan data kriteria pendugaan dan aplikasi yang didapatkan sejalan dengan hasil simulasi yang telah dilakukan. LTS merupakan metode yang lebih kekar dalam menduga kasus regresi untuk data yang mengandung pencilan.
KESIMPULAN
Metode LTS lebih baik dibandingkan metode OLS dan LTS1 dalam menduga parameter regresi pada data yang mengandung pencilan. Kajian simulasi menunjukkan bahwa nilai bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif, dan KTG metode LTS menghasilkan nilai yang lebih konstan untuk kombinasi pencilan dan ukuran contoh yang besar. Pada aplikasi data yang digunakan juga menunjukkan hasil yang sama dengan simulasi. Namun, metode ini masih memiliki kelemahan jika digunakan untuk ukuran data yang kecil.
DAFTAR PUSTAKA
Aunuddin. 1989. Statistika: Rancangan dan
Analisis Data. Bogor: IPB Press.
Chatterjee S & Hadi AS. 2006. Analysis
Regression by Example Four Edition.
Canada : A Wiley-Interscience Publication.
Draper, NR. & Smith.H. 1992. Analisis
Regresi Terapan Edisi ke 2. Sumantri B,
penerjemah. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama: Terjemahan dari : Applied Regression Analysis.
Hines & Montgomery. 1992. Introduction to
Linear Regression Analysis. New York :
Regression and Outlier Detection.
Belgium : John Wiley &Sons.
Rousseeuw,PJ & Van Driessen .1999. A fast algorithm for the minimum covariance determinant estimator. Technometrics 1999; 41: 212–223.
Stinstra E. 2006. The Model Meta-Model Approach for Simulation-Based Design
Optimization. [Desertasi]. Nederlands,
8
Lampran 1 Bagan prosedur simulasi
Tetapkan dan
Data Populasi
Dibangkitkan dari sebanyak 1000 dan yang
bersesuaian dengan dengan
Tentukan nilai Yi
Ukuran contoh acak n=15
Ukuran contoh acak n=30
Ukuran contoh acak n=100
Ukuran contoh acak n=200
Meregresikan semua gugus data dengan menggunakan OLS,LTS, dan LTS1
Ulangi langkah-langkah di atas untuk setiap ukururan contoh n dan masing-masing proporsi pencilan dan Simpan nilai bo, b1, R2 , JKG, dan KTG dari tiap gugus data
Menentukan bias relatif, bias relatif mutlak, KTG relatif dan KTG dari tiap kombinasi ukuran data dan pencilan
Lampiran 2 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan
n p BIAS RELATIF (%) BIAS RELATIF MUTLAK (%) KTG RELATIF KTG
OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1
15 0 0.00 0.00 0.00 0.11 0.22 0.12 0.02 0.09 0.02 2.10 8.94 2.31
5 0.26 0.02 0.00 0.57 0.21 0.12 0.52 0.08 0.02 51.86 7.76 2.16
10 0.49 0.00 0.17 0.78 0.21 0.35 0.99 0.08 0.45 98.96 7.75 44.64
15 0.50 0.01 0.15 0.76 0.21 0.34 0.94 0.08 0.43 94.39 7.86 42.88
20 0.65 0.01 0.62 0.91 0.20 1.05 1.38 0.07 1.75 138.19 7.39 174.62
30 0 0.00 0.01 0.00 0.08 0.17 0.09 0.01 0.05 0.01 1.06 4.73 1.26
5 0.14 0.00 0.00 0.40 0.17 0.08 0.25 0.05 0.01 24.58 5.10 1.01
10 0.23 0.01 0.01 0.49 0.16 0.09 0.37 0.04 0.02 36.54 4.22 1.70
15 0.30 0.00 0.05 0.57 0.16 0.19 0.50 0.04 0.13 49.58 4.48 12.61
20 0.48 0.00 0.40 0.68 0.16 0.90 0.73 0.04 1.14 72.77 4.26 114.48
100 0 0.00 0.00 0.00 0.04 0.11 0.04 0.00 0.02 0.00 0.26 1.87 0.31
5 0.10 0.00 0.00 0.20 0.11 0.04 0.06 0.02 0.00 6.34 1.90 0.28
10 0.19 0.00 0.00 0.28 0.11 0.04 0.13 0.02 0.00 12.65 1.80 0.33
15 0.31 0.00 0.01 0.38 0.10 0.11 0.23 0.02 0.03 22.79 1.71 3.46
20 0.37 0.00 0.21 0.45 0.10 0.60 0.30 0.02 0.52 30.11 1.60 51.90
200 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.08 0.03 0.00 0.01 0.00 0.13 1.10 0.16
5 0.10 0.00 0.00 0.15 0.08 0.03 0.03 0.01 0.00 3.48 0.97 0.14
10 0.20 0.00 0.00 0.24 0.08 0.03 0.09 0.01 0.00 8.60 1.10 0.14
15 0.30 0.00 0.00 0.33 0.08 0.06 0.16 0.01 0.01 15.61 0.97 0.86
20 0.40 0.00 0.24 0.42 0.08 0.49 0.24 0.01 0.34 24.12 0.89 33.90
Keterangan : n = banyaknya data contoh p = persentase pencilan
10
Lampiran 3 Tabel evaluasi pendugaan nilai pada berbagai proporsi pencilan
n p BIAS RELATIF (%) BIAS RELATIF MUTLAK (%) KTG RELATIF KTG
OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1 OLS LTS LTS1
15 0 0.00 0.01 0.00 0.11 0.22 0.12 0.02 0.09 0.02 0.08 0.34 0.09
5 -0.12 -0.02 0.00 0.55 0.21 0.12 0.46 0.07 0.02 1.86 0.30 0.08
10 -0.23 0.00 -0.15 0.71 0.21 0.34 0.80 0.08 0.40 3.21 0.31 1.58
15 -0.23 -0.01 -0.13 0.68 0.21 0.32 0.75 0.08 0.39 3.01 0.31 1.56
20 -0.24 0.00 -0.26 0.80 0.20 0.97 1.02 0.07 1.44 4.10 0.29 5.75
30 0 0.00 -0.01 0.00 0.08 0.16 0.09 0.01 0.04 0.01 0.04 0.18 0.05
5 -0.01 0.00 0.00 0.38 0.17 0.08 0.23 0.05 0.01 0.90 0.20 0.04
10 -0.03 -0.01 -0.01 0.45 0.16 0.08 0.31 0.04 0.02 1.25 0.16 0.06
15 -0.03 -0.01 -0.04 0.52 0.16 0.18 0.41 0.04 0.12 1.63 0.17 0.47
20 -0.08 0.00 -0.10 0.58 0.16 0.84 0.51 0.04 1.00 2.04 0.16 4.00
100 0 0.00 0.00 0.00 0.04 0.11 0.04 0.00 0.02 0.00 0.01 0.07 0.01
5 0.00 0.00 0.00 0.19 0.11 0.04 0.05 0.02 0.00 0.22 0.07 0.01
10 0.01 0.00 0.00 0.24 0.10 0.04 0.09 0.02 0.00 0.36 0.07 0.01
15 -0.01 0.00 0.00 0.29 0.10 0.11 0.13 0.02 0.03 0.54 0.07 0.14
20 0.03 0.00 0.04 0.33 0.10 0.59 0.17 0.02 0.48 0.67 0.06 1.91
200 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.08 0.03 0.00 0.01 0.00 0.01 0.04 0.01
5 0.00 0.00 0.00 0.13 0.08 0.03 0.03 0.01 0.00 0.10 0.04 0.01
10 0.00 0.00 0.00 0.17 0.08 0.03 0.05 0.01 0.00 0.18 0.04 0.01
15 0.00 0.00 0.00 0.21 0.08 0.06 0.07 0.01 0.01 0.27 0.04 0.03
20 0.00 0.00 0.00 0.23 0.07 0.44 0.08 0.01 0.28 0.34 0.03 1.13
Keterangan : n = banyaknya data contoh p = persentase pencilan
Lampiran 6 Output pada penerapan data riil
Plot sisaan untuk y
4000
Normal Probability Plot Versus Fits
16
Plot sisaan untuk y
500
Normal Probability Plot Versus Fits
c. LTS1
Plot sisaan untuk y
2000
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Lampiran 7 Data Kriteria Pendugaan dan untuk Keseluruhan data
kriteria OLS LTS LTS1 KTG 1433638 4622769 2742161
