APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER
SKRIPSI
MANGARA TUA SITANGGANG 080801035
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MANGARA TUA SITANGGANG 080801035
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA
SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER
Kategori : SKRIPSI
Nama : MANGARA TUA SITANGGANG
Nomor Induk Mahasiswa : 080801035
Program Studi : SARJANA (SI) FISIKA
Departemen : FISIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Juli 2013
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Tenang Ginting, MS Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si NIP.194806101976031003 NIP. 197211152000121001
Departemen Fisika FMIPA USU Ketua
PERNYATAAN
APLIKSI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2013
PENGHARGAAN
Puji, syukur serta hormat penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang atas berkat dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan kajian tulisan ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Sesungguhnya hanya Karena berkat dan rahmat yang telah dicurahkanNyalah sehingga tulisan dengan judul APLIKSI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER dapat diselesaikan dengan baik.
Penulis juga menyadari akan bimbingan, dukungan, motivasi, saran serta doa dari berbagai pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:
1. Yth. Bapak Dr. Sutarman selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam beserta seluruh jajaran staff dan pegawai Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
2. Yth. Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua Departemen Fisika beserta seluruh dosen, staff dan pegawai departemen Fisika FMIPA USU
3. Bapak Drs. Tenang Ginting, MS dan Bapak Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis sangat berterimakasih buat setiap bimbingan, masukan, saran serta waktu yang senantiasa diberikan kepada penulis sampai pada akhir penulisan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Kurnia Sembiring, MS, Ibu Dra.Ratna Askiah S,M.Si, Ibu Dra.Manis Sembiring, MS selaku dosen penguji. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya atas saran-saran yang diberikan kepada penulis dalam penulisan skripsi ini.
5. Tidak terlupakan Orangtua yang sangat saya cintai yakni Bapak ( Alm. H.Sitanggang) dan mamak ( K. Br. Sipakkar),buat kakak tersayang ( Seselia Dormauli Sitanggang) dan adek tersayang (Parsaoran Paulinus Sitanggang). Penulis mengucapkan terimakasih buat setiap dukungan, doa, dan motivasi yang diberikan kepada penulis di setiap waktu, kiranya Tuhan semakin melimpahkan berkat dan sukacita bagi kita semua. Serta buat seluruh keluarga yang selalu mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga Tuhan senantiasa melimpahklan berkatNya kepada kita semua.
Ervina Novaria Tambunan dan tante Theresia Novita Pangaribuan) yang turut serta membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
7. Abang-abang dan kakak-kakak senior Fisika yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu. Penulis mengucapkan terimakasih banyak buat setiap kebersamaan dan cinta kasih yang abang/kakak berikan selama ini.
8. Kelompok MANA KUNCI (Bg Jona Benhart Hutajulu, Bg Anderson Ginting, Bg Erick Rumahorbo, Roni Sinaga, Istas Pratama Manalu, Andico Sihaloho, Natanael Saragih, Zainaludin Rambe dan Timbul Mulya David Panjaitan). Penulis mengucapkan terimakasih buat kebersamaan, motivasi dan doa yang diberikan kepada penulis.
9. Ito-ito yang sangat penulis sayangi ( Rieni Kalesta Sitanggang, Widya Susanti Sitanggang, Roindah Simbolon, Valentina Ginting, Silviana Simbolon, Sermauli Sitanggang dan Ancela Simbolon). Penulis mengucapkan terimakasih buat seluruh dukungan yang diberikan selama perkuliahan, motivasi dan kebersamaan dalam suka duka selama ini.
10.Adek-adek junior yang tersayang : stambuk 2009 ( Poltak Simarmata, Agus P Siahaan, Sabam Simbolon, Sony Togatorop, Endra Tambunan, Ferdi A, Monora Panca Bakara, Emi A Tarigan, Stevani A Sigiro, Helen M Manurung, Agus Ningsih, Sukria Novianti,dkk), stambuk 2010 ( Juan Roy Saragih, Roni Tambi, Faisal Sibuea, Ronald Naibaho, michu/Rumianto Manurung, Lamhot Sihaloho, Jantiber siburian, Gunawan B sitorus, Riady P Sitanggang, Jakson Sitanggang, Fransiskus Waruwu, Rika E, dkk), stambuk 2011( Dosni sipahutar, Simon Sihombing, Steven Sitorus, Intan, dkk), stambuk 2012 ( Marta M Nainggolan, dkk)
11.Teman-teman alumni SMA N 1 Berastagi , SMP N 2 Berastagi dan SDN Sindang Sari I Bandung yang senantiasa memberikan motivasi kepada penulis dalam penulisan skripsi ini.
12.Teman-teman kost KCC ( Robin Siregar, Haendri, Salman dan Ranto). Terimakasih buat doa-doa nya.
ABSTRAK
Telah dilakukan perhitungan secara analitik mengenai sistem persamaan fisis pada massa pegas shock absorber dengan menggunakan metode fungsi green dan metode koefisien tak tentu. Dalam hal ini akan didapatkan solusi yang sama dari persamaan fisis massa pegas dengan shock absorber dengan menggunakan metode yang berbeda tersebut. Perbedaannya hanya terletak pada nilai konstanta yang dihasilkan dari penyelesaian tersebut. Telah dilakukan juga verifiksi terhadap hasil yang didapat dengan menggunakan perangkat lunak mathematica 8.
ABSTRACT
Analytical calculated about shock absorber physical system form had been done by green function method and indeterminate coefficients method. The same solution of shock absorber physical system form had been obtained by use this different methods. The difference lies only in the constant value resulting from the settlement. Verification has been carried out also on the results obtained by using the software Mathematica 8.
2.2 Orde dan Derajat Suatu Persamaan Diferensial 7
2.3 Persamaan Diferensial linier 7
2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan 8 2.5 Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak Homogen Dengan
Koefisien Konstan 9
2.6 Determinan Wronski 10
2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan
Metode Variasi Parameter 11
4.1 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green 22 4.2 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu 25 4.3 Perbandingan Antara Metode Fungsi Green dengan Metode
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Detail struktur shock absorber 16
DAFTAR TABEL
Halaman
DAFTAR SIMBOL
�� : Resultan gaya � : konstanta pegas � : konstanta redaman
�� : Gaya luar yang diberikan kepada sistem
� : simpangan � : kecepatan sudut
� : waktu
ABSTRAK
Telah dilakukan perhitungan secara analitik mengenai sistem persamaan fisis pada massa pegas shock absorber dengan menggunakan metode fungsi green dan metode koefisien tak tentu. Dalam hal ini akan didapatkan solusi yang sama dari persamaan fisis massa pegas dengan shock absorber dengan menggunakan metode yang berbeda tersebut. Perbedaannya hanya terletak pada nilai konstanta yang dihasilkan dari penyelesaian tersebut. Telah dilakukan juga verifiksi terhadap hasil yang didapat dengan menggunakan perangkat lunak mathematica 8.
ABSTRACT
Analytical calculated about shock absorber physical system form had been done by green function method and indeterminate coefficients method. The same solution of shock absorber physical system form had been obtained by use this different methods. The difference lies only in the constant value resulting from the settlement. Verification has been carried out also on the results obtained by using the software Mathematica 8.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam berbagai permasalahan fisika, matematika memegang peranan yang sangat penting.
Banyak permasalahan fisika yang harus diselesaikan dengan menggunakan model
matematika. Salah satu model matematika yang cukup penting adalah persamaan differensial.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi
yang tidak diketahui. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam permasalahan fisika
yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan
hipotesa-hipotesa yang dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung
persamaan diferensial. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam fisika muncul sebagai
kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan. Keadaan inilah yang
merupakan persoalan pada banyak kasus fisika, sehingga untuk memperoleh suatu persamaan
diferensial yang melukiskan suatu persoalan dalam kehidupan nyata, biasanya diambil
permisalan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum-hukum yang sangat sederhana
yang biasanya sering dibuat permisalan yang ideal.
Persamaan diferensial yang terbentuk dari permasalahan yang ada tersebut juga
bermacam-macam. Ada dua macam persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa
dan persamaan diferensial parsial. Berdasarkan bentuknya, terdapat persamaan diferensial
homogen dan persamaan diferensial tak homogen. Di samping itu, berdasarkan orde
(tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua,
persamaan diferensial orde tiga, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi).
Sedangkan berdasarkan koefisiennya, terdapat persamaan diferensial dengan koefisien
konstan dan persamaan diferensial dengan koefisien variabel (peubah). Serta berdasarkan
kelinearannya, terdapat persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial tidak linear.
Oleh karena banyaknya jenis persamaan diferensial, maka banyak pula cara mencari
penyelesaiannya. Sebagai contoh, persamaan diferensial biasa orde satu, selesaiannya dapat
persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan, dapat diubah menjadi
masalah pencarian akar persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial itu. Akan tetapi,
masalahnya sekarang pada persamaan diferensial linear tak homogen, untuk mencari
selesaian umumnya, selain harus mencari selesaian persamaan homogen pautannya, juga
harus dicari selesaian khususnya. Oleh karena itu diperlukan suatu metode tertentu.
Dalam penulisan proposal ini, akan dikemukakan suatu metode untuk menyelesaikan
persamaan diferensial linear tak homogen yaitu dengan mengkonstruksi fungsi green.
Kemudian akan kita selesaikan suatu permasalahan fisika yaitu pada sistem fisis massa pegas
dengan shock absorber dengan mempergunakan fungsi green. Dalam hal ini, permasalahan
tersebut juga akan diselesaikan dengan metode lain, yakni dengan metode koefisien tak tentu
sehingga kita mendapatkan perbandingan dari kedua metode tersebut.
Dari uraian di atas, maka dalam penulisan skripsi ini, penulis mengambil judul
“APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER”.
1.2. Permasalahan
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi
ini adalah sebagai berikut:
• Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen dengan mengkonstruksi fungsi green.
• Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode
koefisien tak tentu.
• Sangat rumitnya untuk menyelesaikan beberapa persamaan differensial
1.3. Tujuan Penulisan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk:
• Menyelesaikan kasus osilasi harmonik teredam dengan mengkonstruksi fungsi green
• Membuat perbandingan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan
metode fungsi green dengan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan skripsi ini untuk mengemukakan suatu metode baru sebagai
alternatif untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen yaitu dengan
mengkonstruksi fungsi green.
1.5. Batasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini, pembahasannya hanya dibatasi pada:
• Masalah yang diselesaikan hanya persamaan diferensial linear tak homogen dengan koefisien konstan yang dikhususkan pada osilasi teredam pada shock absorber mobil
• Fungsi green yang dimaksud adalah fungsi green khusus pada suatu integral
transformasi atau substitusi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial linear tak homogen.
• Metode yang digunakan untuk mengkonstruksi fungsi green adalah metode variasi
parameter.
• Metode pembanding yang dipergunakan adalah metode koefisien tak tentu
1.6. Metode Penulisan
Metode merupakan cara utama yang akan ditempuh untuk menemukan jawaban dari
suatu permasalahan. Berdasarkan hal tersebut, maka dalam penulisan proposal ini, penulis
menggunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu penelitian yang dilakukan di
perpustakaan yang bertujuan untuk mendapatkan informasi dengan bermacam materiil yang
terdapat di perpustakaan. Buku-buku fisika yang relevan dengan pembahasan merupakan
referensi pendukung yang digunakan oleh penulis.
Adapun langkah-langkah penulisan yang dilakukan adalah sebagai berikut:
• Merumuskan masalah. Sebelum penulis memulai kegiatannya, penulis membuat
rancangan terlebih dahulu mengenai suatu permasalahan yang akan dibahas.
• Mengumpulkan sumber informasi. Dengan menggunakan metode kepustakaan, penulis mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan
memahami literatur yang berkaitan dengan persamaan diferensial dan tentang fungsi
• Menyelesaikan contoh. Di sini, penulis menyelesaikan soal dengan cara mengaitkan materi yang sedang dikaji.
• Membuat kesimpulan. Kesimpulan merupakan gambaran langkah dari pembahasan
atas apa yang sedang ditulis. Kesimpulan didasarkan pada data yang telah
dikumpulkan dan merupakan jawaban dari permasalahan yang dikemukakan.
• Membuat laporan
1.7 Sistematika penulisan
Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:
BAB I Pendahuluan
Bab ini mencakup latar belakang penelitian, rumusan masalah,
tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan
tugas akhir ini.
BAB II Tinjauan pustaka
Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian.
BAB III Metodologi Penelitian
Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan
diagram alir penelitian.
BAB IV Hasil dan pembahasan
Bab ini membahas tentang hasil penelitian
BAB V Kesimpulan dan Saran
Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian dan
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini akan dikemukakan teori-teori yang mendukung pembahasan
penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan menggunakan metode fungsi
green antara lain: persamaan diferensial, orde dan derajat suatu persamaan diferensial,
persamaan diferensial linear, persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien
konstan, persamaan diferensial linier orde-n tak homogen dengan koefisien
konstan,determinan wronski, selesaian khusus persamaan tak homogen dengan metode
variasi parameter, dan sistem fisis persamaan osilasi harmonik teredam
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu (atau
beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Ada dua macam persamaan diferensial, yaitu:
a. Persamaan diferensial biasa yaitu persamaan dimana fungsi yang belum
diketahui hanya memuat satu variabel bebas saja.
Contoh
1. ��
�� =�+ 6, (dimana hanya mengandung satu variabel bebas yaitu �)
2. �2�
��2+ 3
��
�� + 2� = 0
3. ��′+�= 3
4. �′′′+ 2(�′′)2+�′=����
b. Persamaan diferensial parsial yaitu persamaan diferensial dimana fungsi yang
belum diketahui memuat dua atau lebih variabel bebas. Contoh:
1. ��
2. .�
2.2 Orde dan Derajat Suatu Persamaan Diferensial
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan
derajat persamaan diferensial dapat ditulis sebagai polynomial dalam turunan, adalah derajat
turunan tingkat tertinggi yang terjadi.
Contoh:
1. ��
�� =�+ 6 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1).
2. �2�
��2+ 3 ��
�� + 2�= 0 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 derajat 1).
3. ��′+�= 3 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1).
�� (merupakan persamaan diferensial parsial orde 1 derajat 1).
7. ��2
��2+ ��2 ��2 =�
2+� (merupakan persamaan diferensial parsial orde 2 derajat 1).
2.3 Persamaan Diferensial Linier
Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi
dua hal berikut:
1. Variabel-variabel terikat dan turunannya tertinggi berpangkat 1
2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel
terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan yang lainnya, atau variabel
terikat dengan sebuah turunan.
Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan
diferensial itu, peubah-peubah y, y',…, y(n) berderajat 1 atau nol.
Contoh:
1. ��′+�= 3
2. �′′′ + 2��′ ′�2+�′ = �
jadi bentuk umum persamaan diferensial linier orde- n adalah
keterangan:
Jika �(�) = 0, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan diferensial linier homogeny
orde−�
Jika �(�) ≠ 0, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan diferensial linier non homogen
orde−�. jika semua koefisien �0(�),�1(�), … ,��(�) adalah tetap, maka persamaan (2.3.1)
disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. jika semua koefisien
�0(�),�1(�), … ,��(�) adalah berupa fungsi, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan
diferensial linier dengan koefisien variabel (peubah).
2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan:
�0�� +�1�(�−1)+⋯+��−1�′ +��� = 0 (2.4.1) dimana �0,�1,…,�� adalah konstanta.
Untuk menentukan selesaiannya yaitu dengan mensubstitusi y = etx, kemudian menentukan bilangan tetap t sehingga etx sehingga persamaan (2.4.1) karena y = etx , y’ = t etx , y”=t2 etx
dan seterusnya hingga yn =tn etx. Bila disubstitusikan ke persamaan (2.4.1) akan didapatkan suatu persamaan dalam t, yaitu:
���(�0�� +�1��−1+�2��−2 +⋯+��) = 0 (2.4.2)
karena etx≠0, maka
(�0�� +�1��−1+�
2��−2+⋯+��) = 0 (2.4.3)
Persamaan (2.4.3) tersebut disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (2.4.1)
dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Ada tiga kemungkinan selesaian yang bebas
linier dari persamaan (2.4.1), yaitu:
1. Bila akar-akarnya real dan berlainan, maka selesaian bebas liniernya
yaitu: ��1�,��2�, … ,����
2. Bila akar-akarnya real dan sama, maka selesaian bebas liniernya yaitu:
���,����, … ,��−1���
3. Bila akar-akarnya kompleks, maka selesaian bebas liniernya yaitu:�(�−��)� atau
���(cos��+ sin��)
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
���� + ��−1��−1+ ��−2��−2 +⋯+ �1�′+ �0� =�(�) (2.5.1)
Solusi umum �(�) akan didapatkan bila solusi umum �ℎ� dari Persamaan Diferensial
Homogen diketahui, dimana bentuk umum persamaan diferensial homogenya orde-n adalah
sebagai berikut :
Dalam hal ini kita membahas penyelesaian untuk mendapatkan persamaan partikulirnya
dengan melalui metode fungsi green dan dengan melalui metode koefisien tak tentu.
2.6 Determinan Wronski
tiap fungsi yang muncul dalam determinan ini dihitung pada x.
Contoh
Diketahui�1(�) =�2 dan �
Penyelesaian: Dari defenisi di atas dan dari fungsi-fungsi yang telah diketahui, maka dapat
dihitung:
�(�2, cos�;�) =��2 cos�
2� −sin��= −�
2sin� −2�cos�
Misalkan bahwa �1,�2, … ,�� merupakan n buah penyelesaian persamaan diferensial
(2.4.1). Misalkan juga bahwa fungsi-fungsi tersebut bebas linier pada selang defenisi
persamaan diferensial ini. Dikatakan bahwa fungsi-fungsi itu membentuk himpunan
fundamental (atau sistem fundamental) penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Sebagai
contoh fungsi cos� dan fungsi sin� merupakan suatu himpunan fundamental penyelesaian
persamaan diferensial �′′ +� = 0 . Juga fungsi ��dan �−� membentuk suatu himpunan
fundamental penyelesaian persamaan diferensial �′′ − �= 0.
2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan Metode Variasi Parameter
Metode variasi parameter adalah metode yang dapat digunakan untuk menentukan
selesaian khusus PD linier takhomogen dengan koefisien variabel, sehingga lebih umum
daripada metode koefisien tak tentu.
Perhatikan PD linier orde 2 yang mempunyai bentuk
�′′ +�(�)�′ +�(�)�=�(�) (2.7.1)
dengan p, q, dan r fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval buka I. Kita akan menentukan
selesaian khusus dari (2.7.1) dengan metode variasi parameter seperti berikut. Kita
mengetahui bahwa PD homogen yang bersesuaian, yaitu
�′′ +�(�)�′ +�(�)�= 0 (2.7.2)
mempunyai suatu selesaian umum �ℎ(�) pada I yang berbentuk
�ℎ(�) =�1�1(�) +�2�2(�) (2.7.3)
Metode variasi parameter terdiri dari penggantian �1dan �2dengan fungsi �(�) dan �(�)
yang akan ditentukan sedemikian hingga fungsi penggantinya, yaitu
merupakan selesaian khusus dari (2.7.1) pada I. dengan menurunkan (2.7.3) diperoleh
��′ = �′�1+��1′ +�′�2+��2′ (2.7.5)
Persamaan (2.7.3) memuat dua fungsi � dan �, tetapi syarat bahwa �� memenuhi (2.7.1)
mengakibatkan bahwa hanya ada satu syarat pada � dan �. . Karena itu kita bisa menerapkan
kondisi (syarat) sebarang yang ke dua. Perhitungan berikut akan menunjukkan bahwa kita
dapat menentukan � dan � sedemikian hingga �� memenuhi (2.7.1) dan � dan � memenuhi,
Dengan mensubstitusikan (2.7.3), (2.7.5) dan (2.7.6) ke dalam (2.7.1) dan mengumpulkan
suku-suku yang memuat � dan � akan diperoleh
�(�1” +��1’ +��1) +�(�2” +��2’ +��2) +�’�1’ +�’�2’ = � (2.7.9)
Karena �1dan �2selesaian dari PD homogen (2.7.6), maka persamaan di atas mereduksi ke
bentuk
(i) �’�1’ +�’�2’ = �
(ii)�’�1+�’�2 = 0
Persamaan (i) dan (ii) merupakan sistem dua persamaan aljabar linier dari fungsi-fungsi
�’ dan �’ yang tidak diketahui. Selesaian diperoleh dengan aturan Cramer:
� =− ∫��2� ��
Dari suatu sistem persamaan diferensial linear tak homogen orde-n:
�0(�)�(�)+�1(�)�(�−1)+⋯+��−1(�)�′ +��(�)�=�(�) (2.8)
dengan fungsi �(�) merupakan fungsi yang kontinyu. Fungsi �(�,�) dikatakan sebagai
fungsi green untuk masalah nilai awal persamaan diferensial di atas jika memenuhi kondisi
berikut ini:
Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi ��
berdasarkan bentuk fungsi �(�) di ruas kanan.
Bentuk persamaan umum:
���� + ��−1��−1 + �
Fungsi �(�) yang merupakan bentuk solusi pertikular ��(�) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari
beberpa fungsi
�(�) berisikan koefisien tak tentu
Turunkan �� sesuai persamaan umum di atas
Subtitusikan �� dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Bentuk �(�) Pilihan untuk ��
��� ����
��� (� = 0,1, … ) �
��� +��−1��−1+⋯+�1�+�0
���� ���� + �����
sin�� �sin��+�cos��
cos�� �sin��+�cos��
Tabel 2.1 Metode Koefisian Tak Tentu
Misal �(�) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus atau cosines. Maka solusi ��
dimisalkan sebagai jumlah dari �(�) dan semua turunannya. Selanjutnya �� ��′ dan ��′′
disubstitusikan ke persamaan awal untuk menghitung nilai dari koefisiennya.
2.10 Sistem Fisis Persamaan Osilasi Harmonik Teredam
Sampai saat ini masih banyak anggapan bahwa tidak ada gaya gesekan yang
bekerja pada osilator. Jika anggapan ini dipegang, maka bandul atau beban pada pegas akan
berosilasi terus menerus. Pada kenyataannya, amplitudo osilasi berkurang sedikit demi sedikit
sampai akhirnya menjadi nol karena pengaruh gesekan. Dikatakan bahwa geraknya teredam
oleh gesekan dan disebut osilasi teredam. Gesekan seringkali muncul dari gesekan udara atau
gesekan sebanding dengan kecepatan, tetapi arahnya berlawanan. Contoh dari osilasi teredam
misalnya adalah pada shock absorber mobil.
Shock absorber merupakan komponen penting suatu kendaraan yaitu dalam sistem
suspensi, yang berguna untuk meredam gaya osilasi dari pegas. Shock absorber berfungsi
untuk memperlambat dan mengurangi besarnya getaran gerakan dengan mengubah energi
kinetik dari gerakan suspensi menjadi energi panas yang dapat dihamburkan melalui cairan
hidrolik.
Peredam kejut (shockabsorber) pada mobil memiliki komponen pada bagian atasnya
terhubung dengan piston dan dipasangkan dengan rangka kendaraan. Bagian bawahnya,
terpasang dengan silinder bagian bawah yang dipasangkan dengan as roda. Fluida kental
menyebabkan gaya redaman yang bergantung pada kecepatan relatif dari kedua ujung unit
tersebut. Hal ini membantu untuk mengendalikan guncangan pada roda.
Konstruksi shock absorber itu terdiri atas piston, piston rod dan tabung. Piston adalah
komponen dalam tabung shock absorber yang bergerak naik turun di saat shock absorber
bekerja. Sedangkan tabung adalah tempat dari minyak shock absorber dan sekaligus ruang
untuk piston bergerak naik turun. Dan yang terakhir adalah piston rod adalah batang yang
menghubungkan piston dengan tabung bagian atas (tabung luar) dari shock absorber. Untuk
lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut:
Piston Roo
Piston
Tabung
Oriface
Saluran Besar
Keterangan:
Katup
Shock absorber bekerja dalam dua siklus yakni siklus kompresi dan siklus ekstensi.
Siklus kompresi (penekanan)
Saat shock absorber ditekan karena gaya osilasi dari pegas suspensi, maka gerakan
yang terjadi adalah shock absorber mengalami pemendekan ukuran. Siklus kompresi terjadi
ketika piston bergerak ke bawah, menekan fluida hidrolik di dalam ruang bawah piston. Dan
minyak shock absorber yang berada dibawah piston akan naik keruang atas piston melalui
lubang yang ada pada piston. Sementara lubang kecil (orifice) pada piston tertutup karena
katup menutup saluran orifice tersebut. Penutupan katub ini disebabkan karena peletakan
katup yang berupa membran (plat tipis) dipasangkan dibawah piston, sehingga ketika minyak
shock absorber berusaha naik ke atas maka katup membran ini akan terdorong oleh shock
absorber dan akilbatnya menutup saluran orifice. Jadi minyak shock absorber akan menuju ke
atas melalui lubang yang besar pada piston, sementara minyak tidak bisa keluar melalui
saluran oriface pada piston. Pada saat ini shock absorber tidak melakukan peredaman
terhadap gaya osilasi dari pegas suspensi, karena minyak dapat naik ke ruang di atas piston
dengan sangat mudah.
Siklus ekstensi (memanjang)
Pada saat memanjang piston di dalam tabung akan begerak dari bawah naik ke atas.
Gerakan naik piston ini membuat minyak shock absorber yang sudah berada diatas menjadi
tertekan. Minyak shock absorber ini akan mencari jalan keluar agar tidak tertekan oleh piston
terus. Maka minyak ini akan mendorong katup pada saluran oriface untuk membuka dan
minyak akan keluar atau turun ke bawah melalui saluran oriface. Pada saat ini katup pada
lubang besar di piston akan tertutup karena letak katup ini yang berada di atas piston. Minyak
shock absorber ini akan menekan katup lubang besar, piston ke bawah dan mengaakibat
katup ini tertutup. Tapi letak katup saluran oriface membuka karena letaknya berada di bawah
piston, sehingga ketika minyak shock menekan ke bawah katup ini membuka. Pada saat ini
minyak shock absorber hanya dapat turun ke bawah melalui saluran orifice yang kecil.
Karena salurannya yang kecil, maka minyak shock absorber tidak akan bisa cepat turun ke
bawah alias terhambat. Di saat inilah shock absorber melakukan peredaman terhadap gaya
Tipikal mobil atau truk ringan akan memiliki lebih banyak perlawanan selama siklus
ekstensi daripada siklus kompresi. Semua peredam kejut modern adalah kecepatan-sensitif –
suspensi semakin cepat bergerak, semakin banyak perlawanan yang shock breker sediakan.
Hal ini memungkinkan guncangan untuk menyesuaikan diri dengan kondisi jalan dan untuk
mengontrol semua gerakan yang tidak diinginkan yang dapat terjadi dalam kendaraan yang
bergerak. Secara sederhana shock absorber merupakan pengaplikasian dari gerak osilasi
harmonik yang teredam.
m
k c
y Fo cos wt
Gambar 2.2 Sistem fisis pada shock absorber
Bila peredaman diperhitungkan, maka gaya peredam juga berlaku pada massa. Bila
bergerak dalam fluida benda akan mendapatkan redaman karena kekentalan fluida. Gaya
akibat kekentalan ini sebanding dengan kecepatan benda. Konstanta akibat kekentalan
(viskositas) adalah c dengan satuan N s/m (SI)
Persamaan osilasi teredam diberikan oleh hokum gerak kedua,� =�� , dengan F
merupakan jumlah dari gaya pemulih – �� dan gaya redaman –���/�� ; dalam hal ini c
adalah konstanta positif. Kita peroleh bahwa
��= �� (2.10.1)
atau
−�� − ����� =��2�
��2 (2.10.2)
atau
�� 2�
��2 +�
��
Dalam osilasi teredam sebenarnya masih terdapat gaya lain yang bekerja berupa gaya
paksaan. Dalam hal ini, dimisalkan gaya paksaan yang diberikan terhadap sistem yang telah
disebutkan adalah�0cos��. Di sini �0 adalah harga dari gaya eksternal dan � adalah
frekuensi sudutnya. Untuk jelasnya, dapat kita bayangkan bahwa gaya eksternal tersebut
diberikan langsung pada massa yang digantungkan pada pegas. Maka kita peroleh persamaan:
��= ��
diperoleh
−�� − ���
�� +�0cos�� =� �2�
��2 (2.10.4) atau
��2�
��2 +�
��
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Rancangan Penelitian
Langkah awal yang dilakukan adalah memecahkan permasalahan fisika dengan menggunakan metode fungsi green dan juga metode koefisien tak tentu dan kemudian membandingkan kedua hasil yang didapat dari kedua metode tersebut. Pada bagian akhir, akan digunakan program mathematic 8 untuk membuktikan hasil yang didapatkan sebelumnya.
3.2 Diagram Alir Penelitian
Gambar 3.1 Diagram alir penelitian
Metode Fungsi Green
Sistem Dinamis Osilasi
Persamaan Fisis pada shock
Metode Koefisien Tak Tent
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green
Persamaan yang kita dapatkan dari system fisis-massa pegas shock absorber yang telah dibahas sebelumnya adalah:
��2�
��2 +�
��
�� +�� =�0cos�� (4.1.1) Atau dapat kita tuliskan dalam bentuk lain yakni:
�2�
Maka untuk mendapatkan solusi dari persamaan (4.1.2) di atas kita selesaikan terlebih dahulu penyelesaian homogennya Kemudian kita selesaikan persamaan partikulernya melalui metode fungsi green:
= −��−����� +��−����� (4.1.18)
�� =� �0 Dengan � merupakan solusi dari persamaan (4.1.2) yang didapatkan melalui metode fungsi green
4.2 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu
Sebagaimana diketahui bahwa persamaan dari gerak osilasi teredam pada schok mobil adalah sebagai berikut: Maka ketiga persamaan (4.2.2),(4.2.3) dan (4.2.4) kita substitusikan ke persamaan (4.2.1) sehingga didapatkan: Kemudian persamaan (4.2.12) ini disubstitusikan ke persamaan (4.2.9), sehingga didapatkan:
(−�2�+�)�−�2�+��� Nilai P dan Q yang telah didapatkan seperti pada persamaan (4.2.12) dan (4.2.17) kemudian disubstitusikan ke persamaan (4.2.2) untuk mendapatkan nilai �� sebagai berikut:
�� = �−�
Sehingga didapat nilai � yang merupakan solusi dari persamaan (4.2.1) dengan menjumlahkan nilai dari �ℎ dan �� yakni:
4.3 Perbandingan Antara Metode Fungsi Green dengan Metode Koefisien Tak Tentu
Dengan memperhatikan persamaan (4.1.46) dan (4..2.21), kita mendapatkan perbandingan antara metode Fungsi Green dengan metode Koefisien Tak Tentu. Kesamaan yang kita dapatkan dari kedua metode tersebut adalah penyelesaian dengan menggunakan kedua metode tersebut untuk sistem fisis- massa pegas dengan shock absorber yang dihasilkan adalah dalam bentuk sinusoidal. Sedangkan untuk perbedaannya dapat kita lihat pada tabel di bawah ini:
Metode Fungsi Green Metode Koefisien Tak Tentu
• Pengerjaan lebih rumit
Tabel 4.1 Perbedaan penyelesaian dengan metode fungsi green dengan metode koefisien tak tentu
4.4 Verifikasi Dengan Menggunakan Program Mathematica 8
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada bab IV adalah:
• Melalui metode fungsi green didapatkan solusi persamaan dari persamaan fisis-massa pegas dengan shock absorber. Dalam hal ini, hasil yang didapatkan melalui metode fungsi green tersebut adalah bersesuaian dengan hasil yang didapatkan melalui metode koefisien tak tentu.
• Perbandingan solusi yang dihasilkan dengan metode fungsi green dan dengan metode koefisien tak tentu adalah terletak pada perbedaan konstantanya saja. Dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa solusi yang didapat dari kedua metode tersebut adalah sama.
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, Fank, 1972, Differential Equations , McGraw-Hill Book Company, New York.
Barton,G.1989. Elements of Green Fuctions and Propagation. Clarendon Press, Oxford
Herdiana,Heris, 2002, Persamaan Differensial, CV Pustaka Setia, Bandung.
Holzner,Steven,2008,Differential for Dummies Wiley Publishing,Inc,Indianapolis
Narayan,Shanti,2006,Integral Calculus, S.Chand & Company LTD, New Delhi
Soedojo,Peter,Asas-Asas Matematika Fisika dan Teknik, Gadjah Mada University Press:
Yogyakarta
Sugiarto,Iwan,2002, Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Differensial Linier Orde-n
