Pengaruh Infeksi Virus pada Phytoplankton dan Racun yang Dihasilkan Phytoplankton dalam Model Interaksi Phytoplankton-Zooplankton

PENGARUH INFEKSI VIRUS PADA

PHYTOPLANKTON

_DAN

RACUN YANG DIHASILKAN

PHYTOPLANKTON

_DALAM

MODEL INTERAKSI

PHYTOPLANKTON

_-

ZOOPLANKTON

DITTA SUCIANISARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengaruh Infeksi Virus pada

Phytoplankton dan Racun yang Dihasilkan Phytoplankton dalam Model Interaksi

Phytoplankton-Zooplankton adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, November 2013

Ditta Sucianisari

ABSTRAK

DITTA SUCIANISARI. Pengaruh Infeksi Virus pada Phytoplankton dan Racun yang Dihasilkan Phytoplankton dalam Model Interaksi Phytoplankton-Zooplankton. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H NUGRAHANI.

Interaksi phytoplankton dan zooplankton adalah interaksi mangsa-pemangsa, dimana phytoplankton sebagai mangsa dan zooplankton sebagai pemangsa. Interaksi ini dimodelkan dalam persamaan matematika yang telah diteliti oleh Gakkhar & Negi (2005). Model ini mempelajari pengaruh infeksi virus pada phytoplankton serta racun yang dihasilkannya. Dalam model ini,

phytoplankton terbagi menjadi dua kelompok yaitu phytoplankton yang rentan virus dan phytoplankton yang terinfeksi virus. Bifurkasi Hopf menggambarkan perubahan sifat kestabilan populasi. Bifurkasi Hopf terjadi ketika tingkat infeksi virus pada phytoplankton berubah dan jumlah racun yang dihasilkan

phytoplankton berubah. Populasi phytoplankton dan zooplankton stabil saat tingkat infeksi virus dan jumlah racun yang dihasilkan rendah, sedangkan jika tingkat infeksi virus dan jumlah racun yang dihasilkan meningkat maka populasi

phytoplankton dan zooplankton tak stabil. Jika tingkat infeksi virus dan jumlah racun semakin tinggi maka populasi zooplankton akan menuju kepunahan.

Kata kunci: bifurkasi Hopf, infeksi virus , racun, phytoplankton, zooplankton

ABSTRACT

DITTA SUCIANISARI. The Effect of Viral Infection on Phytoplankton and the Toxin Produced by Phytoplankton in Phytoplankton-Zooplankton Interaction Model. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H NUGRAHANI.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENGARUH INFEKSI VIRUS PADA

PHYTOPLANKTON

_DAN

RACUN YANG DIHASILKAN

PHYTOPLANKTON

_DALAM

MODEL INTERAKSI

PHYTOPLANKTON

_-

ZOOPLANKTON

DITTA SUCIANISARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Pengaruh Infeksi Virus pada Phytoplankton dan Racun yang Dihasilkan Phytoplankton dalam Model Interaksi Phytoplankton-Zooplankton

Nama : Ditta Sucianisari

NIM : G54090022

Disetujui oleh

Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I

Dr Ir Endar H Nugrahani, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan karya ilmiah dengan judul Pengaruh Infeksi Virus pada Phytoplankton dan Racun yang Dihasilkan

Phytoplankton dalam Model Interaksi Phytoplankton-Zooplankton. Saya ucapkan terima kasih kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing skripsi pertama, Ibu Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku pembimbing skripsi kedua dan Bapak Dr Paian Sianturi selaku penguji. Ungkapan terima kasih juga saya sampaikan kepada ayah, ibu, adik-adik serta seluruh keluarga saya atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan selama menulis karya ilmiah ini. Kepada teman-teman matematika 46 khususnya teman seperjuangan Anne, Desy, Sevira dan Widia. Teman-teman Wisma Afifah yang telah saya anggap sebagai saudara saya selama 3 tahun ini. Semoga kita diberikan kemudahan dalam menjalani kehidupan kita di waktu yang akan datang.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, November 2013

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Karya Ilmiah 2

LANDASAN TEORI 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 5

Model Matematika 5

Penentuan Titik Tetap 6

Konstruksi Matriks Jacobi 7

Kestabilan Titik Tetap 8

Simulasi Dinamika Populasi Plankton 13

SIMPULAN 23

DAFTAR PUSTAKA 23

LAMPIRAN 24

DAFTAR TABEL

7 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh θ 15 8 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat θ = 6.0 17 9 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat θ = 0.1 18 10 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.08 19 11 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh c 19 12 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.5 20 13 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.005 21 14 Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi 22

DAFTAR GAMBAR

1 Pembuktian Criterian Routh-Hurwitz 2 24

2 Penentuan titik tetap persamaan (10) 24

3 Penentuan kestabilan titik tetap 28

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Bumi tersusun atas beberapa tipe ekosistem yang memiliki keanekaragaman di dalamnya. Dalam suatu ekosistem terjadi sebuah proses aliran energi. Secara langsung maupun tidak langsung, sumber energi setiap ekosistem berasal dari sinar matahari yang diubah oleh tumbuhan hijau menjadi energi kimia dalam bentuk zat-zat organik (makanan) melalui proses fotosintesis. Aliran energi tersebut terjadi pada peristiwa yang dinamakan rantai makanan. Rantai makanan merupakan proses makan dan dimakan antar mahkluk hidup dengan urutan tertentu. Fungsi rantai makanan dalam suatu ekosistem adalah untuk menjaga keseimbangan jumlah mahkluk hidup agar tidak terjadi kepunahan atau ledakan populasi di dalam ekosistem tersebut. Salah satu jenis ekosistem yang ada di bumi ini adalah ekosistem perairan.

Dalam ekosistem perairan kita mengenal mahluk hidup yang bernama plankton. Plankton adalah organisme yang hidup melayang bebas di permukaan air dan badan air. Plankton dianggap sebagai salah satu organisme terpenting di dunia, karena menjadi salah satu mata rantai yang paling menentukan di dalam rantai kehidupan di dalam laut. Ukuran plankton tidak lebih dari beberapa mikrometer, sehingga memerlukan alat bantu untuk melihat bentuknya secara utuh, tetapi beberapa jenis plankton dapat terlihat oleh mata telanjang ketika mereka membentuk koloni dalam jumlah yang sangat besar.

Plankton terbagi menjadi dua jenis yaitu phytoplankton dan zooplankton.

Phytoplankton adalah plankton berjenis tumbuhan, pada dasarnya berupa makhluk hidup mikroskopis bersel-satu yang melayang-layang terbawa arus air laut.

Phytoplankton memiliki sifat seperti tumbuhan pada umumnya, dapat berfotosintesis karena mengandung klorofil dan menggunakan cahaya matahari dalam poses fotosintesis. Phytoplankton menjadi sumber zat organik utama dalam ekosistem perairan dan berperan dalam penyediaan oksigen dalam air bagi organisme lain. Phytoplankton umumnya berkembangbiak pada daerah dengan kadar besi yang sangat rendah. Faktor-faktor lain yang memengaruhi laju pertumbuhan phytoplankton adalah suhu udara, kadar garam, kedalaman air, angin, dan organisme lain sebagai predator dari phytoplankton. Contoh

phytoplankton adalah diatomae, green algae, cyanobacteria, dan dinoflagellata.

Zooplankton adalah plankton berjenis hewan, pada umumnya juga tersusun dari makhluk hidup bersel satu tetapi ada juga yang bersel banyak. Zooplankton

tidak memiliki kemampuan seperti phytoplankton sehingga kelompok ini hidup sebagai pemangsa phytoplankton. Contoh zooplankton adalah Ciliata,

Foraminifera, nauplius, rotifera, dan Copepoda.

Sebagai bentuk pertahanan diri terhadap pemangsaan dari zooplankton, beberapa jenis phytoplankton mengeluarkan racun. Racun yang dihasilkan menyebabkan kematian pada zooplankton sehingga populasi phytoplankton

meledak akibat berkurangnya pemangsaan dari zooplankton. Ledakan populasi

2

Contoh phytoplankton yang mengeluarkan racun adalah Alexandrium tamarense,

Amphidinium carterae, Chrysochromulina polylepis, Dinophysis sp. dan

Gymodinium catenatum.

Dinamika interaksi phytoplankton dan zooplankton telah banyak dimodel kan ke dalam model matematika. Adanya virus yang menginfeksi phytoplankton

juga memengaruhi dinamika interaksi phytoplankton-zooplankton. Virus yang menginfeksi phytoplankton ini menyebabkan phytoplankton menjadi lemah dan lebih mudah di mangsa oleh zooplankton seperti yang telah di teliti oleh Fuhrman (1999). Chattopadhyay et al. (2002) juga telah meneliti bahwa racun yang dihasilkan phytoplankton memengaruhi pertumbuhan zooplankton.

Dalam karya ilmiah ini, dipelajari model mangsa-pemangsa antara

zooplankton dengan phytoplankton. Model ini disusun oleh Gakkhar & Negi (2005). Adanya phytoplankton yang terinfeksi virus serta racun yang dihasilkan beberapa jenis phytoplankton, membedakan model ini dengan model-model matematika sebelumnya. Model tersebut menganalisis hubungan virus dan racun dengan dinamika interaksi mangsa-pemangsa phytoplankton-zooplankton.

Tujuan Karya Ilmiah Tujuan dari karya ilmiah ini adalah :

1 Mempelajari dinamika solusi model interaksi mangsa-pemangsa

phytoplankton-zooplankton oleh Gakkhar & Negi(2005).

2 Menganalisis kestabilan titik tetap populasi dari model phytoplankton dan

zooplankton di atas.

3 Menganalisis bifurkasi Hopf yang terjadi pada sistem akibat perubahan tingkat infeksi virus pada phytoplankton dan perubahan tingkat racun yang dihasilkan oleh kedua jenis phytoplankton.

LANDASAN TEORI

Diberikan sistem persamaan diferensial sederhana dalam bentuk sebagai berikut:

3 dan , ada posisi awal dan suatu memenuhi | | , tetapi solusi memenuhi | | , untuk .

Misalkan dilakukan perluasan Taylor terhadap persamaan (1) pada titik tetapnya akan diperoleh Persamaan (3) disebut sebagai pelinearan dari persamaan diferensial (1) (Tu 1994).

Anton & Rorres (2004) menyatakan Jika A adalah sebuah matriks berukuran

n x n, maka sebuah vektor tak nol di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika

Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:

(6) Persamaan (6) adalah sebuah persamaan polinomial dalam yang dinamakan polinomial karakteristik dari A.

Dengan melihat nilai-nilai eigen (i, i = 1, 2, 3,.., n) yang diperoleh dari

4

tetap dinyatakan oleh beberapa peneliti seperti Guckenheimer & Holmes (1983) yang menyatakan bahwa kestabilan titik tetap mempunyai 3 jenis perilaku yaitu: 1 Titik tetap stabil, jika:

 Re(i) < 0, i = 1, 2, 3,.., n atau

 Ada Re(j) = 0 untuk sembarang j dan Re(i) < 0 untuk ij

2 Titik tetap tak stabil, jika terdapat paling sedikit satu j dimana Re(j) > 0

3 Titik tetap sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (ij < 0, untuk suatu i dan j ).

Sedangkan menurut Strogatz (1985) Titik tetap dengan nilai eigen kompleks yang dinotasikan sebagai berikut:

(9)

dengan asumsi , bersifat spiral stabil jika dan bersifat spiral tak stabil jika .

Lebih lanjut Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan nilai parameter sistem dinamika tersebut. Bifurkasi adalah perubahan struktur titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Titik tetap ini dapat muncul, menghilang atau berubah kestabilannya. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Secara umum, bifurkasi yang lebih banyak dibicarakan adalah bifurkasi Hopf.

Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen imajiner murni. Limit cycle adalah orbit (lintasan) tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya orbit (lintasan) di sekelilingnya tidak tertutup, orbit (lintasan) ini bergerak secara spiral menuju atau menjauhi limit cycle. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil.

Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik tetap. Secara umum menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika j > k

dengan persamaan polinomial karakteristik:

(7)

5 adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu nilai n (untuk n = 2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:

n = 2; a1 > 0, a2 > 0,

n = 3; a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3,

n = 4; a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a32 + a12a4.

Khusus untuk kasus n = 3, misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik:

(8)

adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C (Fisher 1990). Bukti: lihat Lampiran 1

HASIL DAN PEMBAHASAN

Model Matematika

Beltrami & Carroll (1994) serta Singh et al. (2004) telah memodelkan interaksi mangsa-pemangsa antara phytoplankton dan zooplankton dalam sistem persamaan diferensial dimana phytoplankton terbagi menjadi dua kelompok yaitu

phytoplankton yang terjangkit virus dan phytoplankton yang rentan terhadap virus. Gakkhar & Negi (2005) menggunakan model Beltrami & Carroll (1994) serta Singh et al. (2004) dengan mempertimbangkan adanya parameter lain yaitu efek racun yang dikeluarkan oleh phytoplankton.

Dalam model ini diasumsikan phytoplankton mengeluarkan racun sebagai cara untuk mempertahankan diri dari pemangsanya yaitu zooplankton. Tingkat racun yang dikeluarkan oleh kedua kelompok phytoplankton adalah sama. Laju pertumbuhan phytoplankton yang rentan terhadap virus tumbuh secara logistik. Laju perubahan jumlah populasi phytoplankton yang rentan terhadap virus dipengaruhi oleh infeksi virus, yang berkurang kerena adanya interaksi dengan

phytoplankton yang terjangkit virus dengan cara menulari, serta adanya pemangsaan dari zooplankton terhadap phytoplankton kelompok ini. Laju perubahan jumlah populasi phytoplankton yang terjangkit virus dipengaruhi oleh infeksi virus, pemangsaan zooplankton terhadap kelompok ini serta tingkat kematian alami dari phytoplankton yang terjangkit virus.

Laju perubahan jumlah populasi zooplankton dipengaruhi oleh adanya tingkat pertumbuhan dari zooplankton akibat memangsa kedua kelompok

phytoplankton ini, kemudian akan berkurang karena adanya tingkat kematian alami serta kematian akibat dari racun yang dikeluarkan oleh kedua jenis

6

laju perubahan jumlah populasi zooplankton (sel/hari),

jumlah populasi phytoplankton yang rentan terhadap virus pada waktu t (sel), jumlah populasi phytoplankton yang terjangkit virus pada waktu t (sel), jumlah populasi zooplankton pada waktu t (sel),

K carrying capacity (kapasitas tampung) populasi phytoplankton (sel),

r tingkat pertumbuhan phytoplankton per hari,

c tingkat infeksi virus terhadap tiap sel phytoplankton per hari,

b tingkat pemangsaan tiap sel zooplankton terhadap phytoplankton yang rentan terhadap virus per hari,

e tingkat pemangsaan tiap sel zooplankton terhadap phytoplankton yang terjangkit virus per hari,

δ tingkat kematian alami populasi phytoplankton yang terjangkit virus per hari,

g tingkat pertumbuhan tiap sel zooplankton akibat memangsa phytoplankton

yang rentan terhadap virus per hari,

h tingkat pertumbuhan tiap sel zooplankton akibat memangsa phytoplankton

yang terjangkit virus per hari,

m tingkat kematian alami zooplankton per hari,

θ tingkat racun yang dikeluarkan oleh phytoplankton per hari,

konstanta half-saturation dari racun yang dikeluarkan phytoplankton.

|

Penentuan Titik Tetap

Titik tetap dari suatu sistem persamaan diferensial digunakan untuk menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial tersebut. Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (10) didapatkan dari nilai yang memenuhi persamaan berikut:

7

Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (10) dinyatakan dalam bentuk dimana S, V, Z adalah nilai yang memenuhi persamaan (11). Titik

Penentuan titik tetap, variabel A, B dan C dapat dilihat pada Lampiran 2.

Konstruksi Matriks Jacobi

Misalkan sistem persamaan diferensial (10) dituliskan sebagai berikut:

(11)

8

Matriks Jacobi dari sistem persamaan diferensial (10) diperoleh dengan menurunkan masing-masing fungsi terhadap

Sehingga kita dapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:

[

Kestabilan dari sistem persamaan diferensial (10) dapat ditentukan dengan menganalisis nilai eigen yang diperoleh dari masing-masing matriks Jacobi setiap titik tetap.

Titik Tetap E₁

9

[

]

Nilai eigen diperoleh dari nilai yang memenuhi persamaan karakteristik berikut:

| | |

|

sehingga

maka

Karena sedangkan maka titik tetap merupakan titik sadel. Titik Tetap E2

Titik tetap disubstitusi ke dalam matriks Jacobi (13), maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:

[

]

Nilai eigen diperoleh dari nilai yang memenuhi persamaan karakteristik berikut:

| | |

( ₎ |

sehingga

( ) ( ₎ maka

10

Nilai eigen diperoleh dari nilai yang memenuhi persamaan karakteristik berikut:

11

12

Penentuan kestabilan titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 3. Bifurkasi Hopf

Nilai parameter θ menyatakan tingkat racun yang dikeluarkan oleh kedua jenis phytoplankton, misalkan θ adalah tingkat racun yang dikeluarkan pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Kondisi yang menjadi syarat perlu dan cukup agar terjadi bifurkasi Hopf menurut Gakkhar & Negi (2005) yaitu :

θ θ θ θ – θ

Sedangkan nilai parameter c menyatakan tingkat infeksi virus terhadap

phytoplankton, saat terjadi bifurkasi Hopf pada digunakan pendekatan Liu (1994 ). Liu telah membuktikan bifurkasi Hopf terjadi jika:

–

13 Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap dan

No. Kondisi Kondisi

14

Tabel 4 Nilai parameter

Simulasi 1 2 3 4 5 6 7

θ 1.5 2.4 6.0 0.1 1.5 1.5 1.5

c 0.05 0.05 0.05 0.05 0.08 0.5 0.0005

dengan parameter lain yang bernilai tetap dalam setiap simulasi yaitu: K = 100, r

= 0.9, b = 0.1, e = 0.5, δ = 0.8, g = 0.03, h = 0.35, m = 0.5 dan = 0.45.

Pengaruh antara dan c terhadap S dapat dilihat pada gambar berikut ini.

(a) (b)

Gambar 1 Pengaruh θ terhadap S (a) dan pengaruh c terhadap S (b) Pada Gambar 1 (a) saat nilai parameter lain tetap dan hanya nilai yang berubah, maka nilai S yang berubah adalah dan , artinya jumlah populasi

phytoplankton yang rentan virus tidak berubah kecuali pada titik tetap E4 dan E5. Pada Gambar 1 (b), perubahan nilai c menyebabkan perubahan jumlah populasi

phytoplankton yang rentan virus pada titik tetap E3 dan E5. Dinamika Populasi Plankton Akibat Pengaruh Racun (θ)

15

kestabilan Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral tak stabil Spiral stabil

Sedangkan titik tetap yang diperoleh saat θ = 2.4 dapat dilihat pada Tabel 6 berikut ini.

Jenis kestabilan Sadel Sadel Spiral tak stabil Sadel Spiral tak stabil

Saat θnaik menjadi 2.4perubahan kestabilan terjadi pada titik tetap E5 yang semula spiral stabil menjadi spiral tak stabil sedangkan titik tetap E4 menjadi bersifat sadel. Perubahan kestabilan pada titik tetap E5 menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf dengan kondisi menurut Gakhar & Negi (2005) yang ditunjukkan oleh Tabel 7 dibawah ini.

Tabel 7 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh θ

16

Berdasarkan nilai pada Tabel 7 dapat kita lihat bahwa θ dan f (θ) merupakan fungsi monoton turun pada selang 1.5 sampai 2.4 sehingga terdapat θb (1.5,2.4)yang menyebabkan f (θ) = 0.

Gambar berikut ini adalah dinamika populasi plankton dalam bidang fase pada Tabel 5 dan Tabel 6.

(a) (b)

Gambar 2 Bidang fase saat θ = 1.5 (a) dan bi ang fas saa θ .4 (b) Gambar 2 (a) menunjukkan kurva bergerak secara spiral menuju titik E5 sedangkan Gambar 2 (b) menunjukkan kurva bergerak secara spiral di sekitar E5 yangbersifat tak stabil. Adanya Limit cycle yang muncul kerena bifurkasi Hopf terjadi dalam kondisi ini. Kestabilan dinamika populasi plankton dalam bidang solusi dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

(a) (b)

17 Menggunakan nilai awal S(0) = 35, V(0) = 13 dan Z(0) = 26 untuk Gambar 3 (a) kestabilan populasi plankton terjadi pada titik S, V, Z = 51.99632, 1.22152, 3.59963. Gambar 3 (b) menunjukkan saat racun naik, terjadi ketidakstabilan untuk ketiga jenis plankton sehingga mengalami osilasi.

Saat tingkat racun yang dikeluarkan phytoplankton ditingkatkan menjadi 6.0, maka pengaruhnya pada dinamika populasi plankton diberikan dalam simulasi 3. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 8 berikut ini.

Tabel 8 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat θ = 6.0 Titik tetap

E1 E2 E3 E4 E5

S 0 100 16 - -

V 0 0 12.81356 - -

Z 0 0 0 - -

1 -0.8000 -0.90000 -1.44299 - -

2 -0.5000 4.20000 -0.072+0.774 i - -

3 0.9000 -3.47312 -0.072-0.774 i - -

Jenis Kestabilan Sadel Sadel Spiral stabil - -

Titik tetap yang bersifat spiral stabil pada kondisi ini adalah titik tetap E3, sedangkan 2 titik tetap tidak muncul karena tidak memenuhi syarat munculnya kedua titik tetap tersebut. Dinamika populasi plankton saat θ = 6.0 dapat dilihat pada bidang fase dan bidang solusi di bawah ini.

(a)

(b)

Gambar 4 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat

18

pada titik . Tingkat racun yang lebih besar membuat populasi zooplankton mengalami kepunahan.

Sebaliknya, saat racun yang dikeluarkan phytoplankton lebih kecil menjadi 0.1, pengaruh racun terhadap populasi plankton diberikan pada simulasi 4. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada Tabel 9 berikut ini.

Tabel 9 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat θ = 0.1 Titik tetap

0 100 16 19.92639 -

0 0 12.81356 0 -

0 0 0 7.20663 -

-0.8000 -0.90000 4.36628 -3.40699 -

-0.5000 4.20000 -0.072+0.774 i -0.090+0.649 i -

0.9000 2.40045 -0.072-0.774 i -0.090-0.649 i - Jenis kestabilan Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral stabil -

Kestabilan sistem terjadi pada titik tetap E4 dengan nilai V = 0, artinya ketika racun menjadi 0.1 maka populasi phytoplankton yang terinfeksi virus mengalami kepunahan. Berikut akan ditampilkan bidang fase dan bidang solusi dinamika populasi plankton saat tingkat racun 0.1.

(a) (b)

Gambar 5 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat

19 Dinamika Populasi Plankton Akibat Pengaruh Infeksi Virus (c)

Menurut Liu (1994) bifurkasi Hopf juga dapat terjadi karena infeksi virus pada suatu nilai c. Saat c = 0.05 pada simulasi 1 diketahui bahwa titik tetap E5 bersifat spiral stabil. Di bawah ini adalah tabel titik tetap simulasi 5 dengan nilai c

= 0.08.

Tabel 10 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.08 Titik tetap

0 100 10 66.32974 32.02264

0 0 9.10112 0 2.91490

0 0 0 3.03032 3.52362

-0.8000 -0.90000 1.51199 2.99122 -0.35705

-0.5000 7.20000 -0.045+0.804 i -0.298+0.715 i 0.344+1.678 i

0.9000 1.00672 -0.045-0.804 i -0.298-0.715 i 0.344-1.678 i

Jenis kestabilan Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral tak stabil Spiral tak stabil

Dari Tabel 10 dapat dilihat adanya perubahan kestabilan pada titik tetap E5. Saat c = 0.08 titik tetap ini menjadi bersifat spiral tak stabil. Akibat perubahan kestabilan ini, terjadi bifurkasi Hopf pada c  (0.05,0.08) dengan kondisi menurut Liu (1994) seperti pada Tabel 11 di bawah ini.

Tabel 11 Syarat nilai terjadinya bifurkasi Hopf akibat pengaruh infeksi virus (c)

0.05 0.08

51.9963 33.02264

1.22152 2.91499

3.59963 3.52362

0.46797 0.28820

1.51345 2.79176

0.55893 1.00557

0.14932 - 0.26098

Berdasarkan nilai-nilai pada Tabel 10 dapat kita lihat bahwa dan merupakan fungsi monoton turun pada selang (0.05,0.08) sehingga terdapat cb  (0.05,0.08) yang menyebabkan .

20

(a) (b)

Gambar 6 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat c = 0.08

Pada Gambar 6 (a) kurva bergerak secara spiral di sekitar titik tetap E5 yang bersifat tidak stabil, sehingga menyebabkan populasi ketiga jenis plankton berosilasi setiap waktu seperti yang terlihat pada gambar 6 (b). Bifurkasi Hopf yang terjadi pada kondisi ini menyebabkan munculnya limit cycle.

Perubahan kestabilan juga dapat disebabkan ketika tingkat infeksi virus menjadi lebih sangat tinggi. Pada simulasi 6 akan diberikan nilai c = 0.5. Titik tetap dan kestabilannya dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Tabel 12 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.5 Titik tetap

0 100 1.60000 66.32974 -

0 0 1.73988 0 -

0 0 0 3.03032 -

-0.8000 -0.90000 -1.16494 2.99122 -

-0.5000 49.20000 -0.007+0.842 i -0.298+0.715 i -

0.9000 1.00672 -0.007-0.842 i -0.298-0.715 i - Jenis kestabilan Sadel Sadel Spiral stabil Spiral tak stabil -

21

(a) (b)

Gambar 7 Bidang fase (a) dan bidang solusi (b) saat c = 0.5

Nilai awal yang digunakan yaitu S(0) = 43, V(0) = 10 dan Z(0) = 30. Kurva pada Gambar 7 (a) bergerak secara spiral menuju titik tetap E3 tetapipergerakan kurva masih belum menyentuh titik tetap E3 saat diberikan t = 100. Gambar 7 (b) menunjukkan bahwa untuk mencapai kestabilan jumlah populasi memerlukan waktu yang lama. Tingkat infeksi virus yang meningkat menjadi 0.5 mengakibatkan kestabilan populasi phytoplankton rendah dan zooplankton menjadi punah.

Selanjutnya kita akan melihat pengaruh infeksi virus dengan tingkat yang lebih kecil. Nilai yang digunakan yaitu sehingga pada simulasi 7 diperoleh titik tetap seperti pada Tabel 13 berikut ini.

Tabel 13 Titik tetap, nilai eigen dan jenis kestabilan saat c = 0.005 Titik tetap

0 100 - 66.32974 -

0 0 - 0 -

0 0 - 3.03032 -

-0.8000 -0.90000 - -1.98351 -

-0.5000 -0.30000 - -0.298+0.715 i -

0.9000 1.00672 - -0.298-0.715 i - Jenis kestabilan Sadel Sadel - Spiral stabil -

22

(a) (b)

Gambar 8 Bidang fase (a) dan bidanng solusi (b) saat c = 0.005

Kurva bergerak secara spiral menuju titik yang bersifat stabil. Menurunnya tingkat infeksi virus menyebabkan kestabilan jumlah populasi

phytoplankton yang rentan virus menjadi lebih tinggi dan phytoplankton yang terkena virus punah.

Untuk lebih mudah membandingkan pengaruh racun dan infeksi virus, berikut ini tabel yang menunjukkan kestabilan titik tetap untuk semua simulasi di atas.

Tabel 14 Kestabilan titik tetap pada masing-masing simulasi Simulasi

ke- E1 E2 E3 E4 E5

1 Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral tak

stabil Spiral stabil 2 Sadel Sadel Spiral tak stabil Sadel Spiral tak

stabil

3 Sadel Sadel Spiral stabil - -

4 Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral stabil - 5 Sadel Sadel Spiral tak stabil Spiral tak

stabil

Spiral tak stabil 6 Sadel Sadel Spiral stabil Spiral tak

stabil -

23

SIMPULAN

Racun yang dihasilkan phytoplankton dan infeksi virus terhadap

phytoplankton mempengaruhi kestabilan dinamika interaksi phytoplankton-

zooplankton di ekosistem perairan. Racun dan infeksi virus ini menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model matematika interaksi phytoplankton-

zooplankton.

Meningkatnya racun yang dikeluarkan phytoplankton menyebabkan jumlah populasi untuk ketiga populasi plankton mengalami ketidakstabilan dan untuk tingkat racun yang lebih tinggi menyebabkan kepunahan zooplankton. Sebaliknya ketika racun diperkecil maka phytoplankton yang terinfeksi virus punah. Pengaruh meningkatnya infeksi virus juga mengakibatkan ketidakstabilan untuk ketiga jenis plankton dan untuk tingkat infeksi virus yang lebih tinggi menyebabkan zooplankton punah. Tingkat infeksi virus yang sangat kecil mengakibatkan populasi phytoplankton terinfeksi virus menjadi punah.

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R, Harmein I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.

Beltrami E, Carroll TO. 1994. Modelling the role of viral disease in recurrent phytoplankton blooms. J Math Biol. 32: 857-863.

Chattopadhyay J, Sarkar R R, El Abdllaoui A. 2002. A delay differential equation model on harmful alga blooms in the presence of toxic substances. J Math Appl Med Biol. 19: 137-161.

Fisher SD. 1990. Complex Variables. Ed ke-2. California (US): Wadsworth & Brooks.

Fuhrman JA. 1999. Marine viruses and their biogeochemical and ecological effects. J Math Biol. 399: 541–548.

Gakkhar S, Negi K. 2005. A mathematical model for viral infection in toxin producing phytoplankton and zooplankton system. JAMC. 179:301-313.doi: 10.1016/j.amc.2005.11.166.

Guckenheimer J, Holmes PJ. 1983. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Berlin (DE): Springer-Verlag.

Liu WM. 1994. Criterion of hopf bifurcations without using eigenvalues. J. Math. Anal. Appl. 182: 250-256.

Singh BK, Chattopadhyay J, Sinha S. 2004. A role of viral infection in a simple phytoplankton zooplankton system, J Theor Biol. 231:153-166.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley Publishing Company.

Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

24

LAMPIRAN

Lampiran 1 Pembuktian Routh – Hurwitz kasus n = 3

Routh – Hurwitz criterion _kasus n _{= 3} : Misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik:

(i)

adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C. Bukti: Lampiran 2 Penentuan titik tetap sistem persamaan diferensial (10)

25

26

disubstitusikan ke dalam persamaan (vi) sehingga diperoleh

27

restart : with(plots) : with(DEtools) : with(linalg) : with(LinearAlgebra) : with (VectorCalculus):

Sehingga √ karena menyebabkan maka

√

28

sehingga diperoleh titik tetap

Lampiran 3 Penentuan kestabilan titik tetap persamaan (10)

Penentuan kestabilan titik tetap dilakukan dengan memasukan setiap titik tetap kedalam matriks Jacobi persamaan (13) kemudian dicari nilai eigen dari titik tetap tersebut.

 nilai eigen dan matriks Jacobi titik tetap diperoleh sebagai berikut:

[

_]

karena maka dan

sehingga:

29

nilai eigen titik tetap memenuhi persamaan karakteristik: | | ||

sehingga matrik Jacobi titik tetap dapat disederhanakan menjadi:

31

, menurut persamaan (x) karena

adalah solusi yang memenuhi persamaan (x) maka diperoleh matriks Jacobi titik tetap E5 sebagai berikut:

33

(

)

Lampiran 4 Kode program Gambar 1 Gambar (a)

34

Lampiran 5 Kode program Gambar 2

35 Gambar (b)

Lampiran 6 Kode program Gambar 3

Gambar (a)

36

Lampiran 7 Kode program Gambar 4

Gambar (a)

37

Lampiran 8 Kode program Gambar 5

Gambar (a)

Gambar (b)

38

Gambar (a)

Gambar (b)

Lampiran 10 Kode program 7

39 Gambar (b)

Lampiran 11 Kode program Gambar 8

Gambar (a)

40

RIWAYAT HIDUP