Bahan ajar matdas

1..Rata-rata Hitung (Mean)

Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung.

Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang ´x .

a. Rataan data tunggal

Perhitungan nilai rata-rata untuk data yang belum dikelompokkan ke dalam daftar distribusi frekuensi dinyatakan dengan rumus :

X=

∑

Xi

n =

X₁+X₂+…+X_n n

contoh:

dari 10 orang siswa yang mengikuti ulangan matematika tercatat mendapatkan nilai sebagai berikut:

Nilai Ulangan matematika

No Nama Nilai

1 Wulan 85

2 Dammar 75

3 Sita 70

4 Yanawar 80

5 Doni 90

6 Anwar 45

7 Andi 50

8 Ganang 65

9 Ambar 35

X=

∑

Xi

b. Rataaan data berkelompok  Metode biasa

Perhitungan dengan menggunakan metode biasa,yaitu merupakan perhitungan yang di dasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval dengan nilai tengah.

X=

∑

fi. xi

∑

f_i

Dimana:

∑

f_i. x_i : Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah

∑

f_i : Jumlah data

 Metode simpangan rata-rata (rata-rata sementara)

Metode simpangan rata-rata pada hakikatnya sama dengan menghitung ratarata data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai xi.Dengan menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut. a. Menentukan rataan sementaranya.

b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.

c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini. d. Menghitung rataan sesungguhnya.

Dimana:

´

x_s : rata-rata sementara

∑

i=1

n

f_id_i : jumlah frekuensi x simpangan

Nb: rata-rata sementara anda cari dengan memperkirakan letak titik tengah kelas dari data yang paling besar frekuensinya (paling banyak muncul)

Berikut diberikan contoh sajian data dalam daftar distribusi frekuensi mengenai nilai ujian mata pelajaran matematika

Data nilai ulangan mata pelajaran matematika

Interval kelas

ferekuensi

31 – 40 4

41 – 50 6

51 – 60 8

61 – 70 14

71 – 80 26

81 – 90 12

91 – 100 20

Jumlah 90

Diminta : tentukan rata-rata hitungnya dengan metode biasa dan dengan rata-rata sementara

Data nilai ulangan mata pelajaran matematika

Interval kelas ferekuensi Xi Fi. Xi

31 – 40 4 35,5 142

41 – 50 6 45,5 273

51 – 60 8 55,5 444

61 - 70 14 65,5 917

71 – 80 26 75,5 1.963

81 – 90 12 85,5 1.026

91 - 100 20 95,5 1.910

jumlah 90 6.675

Maka rata-rata hitungnya adalah : X=6.675

90 =74,167

- Metode rata-rata sementara

Data nilai ujian mata pelajaran matematika

Interval kelas f_i x_i d_i f_i. d_i

54 – 56 1 55 -12 -12

57 – 59 2 58 -9 -18

60 – 62 5 61 -6 -30

66 – 68 12 67 0 0

69 – 71 8 70 3 24

72 - 74 2 73 6 12

75 - 77 1 76 9 9

jumlah 40 -42

Rata – rata sementara dari data di atas adalah 67

´

Yang dimaksud dengan median adalah nilai data tengah (dengan pengertian bahwa dari sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama dan pembagi nya disebut sebagai median ). Adapun untuk menentukan nilai median dapat dilakukan dengan cara:

a. Untuk data yang belum di kelompokkan (data tunggal).

langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan penyusunan data berdasarkan urutan data dimulai dari data terkecil sampai data terbesar,lalu tentukan median nya sesuai dengan jumlah data nya (ganjil atau genap). Untuk sekumpulan data yang berjumlah ganjil maka nilai median nya adalah merupakan data yang paling tengah dan untuk sekumpulan data yang berjumlah genap,maka median nya adalah jumlah dua data tengah di bagi 2(dua).berikut di sajikan contoh:

Untuk data ganjil: Diberikan data sbb: 8,12,5,3,16,7,2,3,8

Untuk data genap:

Misal data nya : 8,12,5,3,16,7,2,3,8,17 , Urutan data : 2,3,3,5,7,8,8,12,16,17

Me = 7+8₂ = 7,5

b. untuk data yang sudah di kelompokkan (data bergolong atau data berkelompok)

Dalam hal median untuk data yang sudah di kelompokkan ke dalam daftar distribusi frekuensi,dirumuskan sbb:

Me=b+ p

(

n 2−F

f

)

b : batas bawah dimana median terdapat p : panjang kelas dimana median terdapat n : jumlah data

F: frekuensi kumulatif / frekuensi sebelum kelas median f : frekuensi kelas median

contoh : jika di ketahui hasil tabulasi data yang telah tersusun ke dalam dafar distribusi frekuensi mengenai nilai statistika seperti dibawa ini:

Data nilai ulangan mata pelajaran matematika

Interval kelas ferekuensi f_k

41 – 50 6 10

51 – 60 8 18

61 - 70 14 32

71 – 80 26 58

81 – 90 12 70

91 - 100 20 90

jumlah 90

Tentukan nilai median nya?

Jawab:

Letak median yaitu pada data yang ke 90/2 = 45 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 45 atau lebih).

Dari daftar diatas ternyata nilai median yang dicarinya berada pada kelas interval ke 5 yang mempunyai batas bawah(b)= 70,5 , panjang kelas(p)=10, jumlah frekuensi sebelum kelas median(F)=32 dan frekuensi pada kelas median tersebut (f)= 26,sehingga nilai mediannya adalah:

Me= 70,5 + 10

(

90

2 −32 26

)

= 75,5

3. Modus

Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

a. modus data tunggal

modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :

M_o=b_o+c( d1 d1+d2

)

Keterangan :

b_o = tepi bawah kelas median C = lebar kelas

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh :

Tentukan modus dari tabel di bawah ini

Nilai frekuensi

50-54 2

55-59 4

60-64 6

65-69 18

70-74 9

75-79 15

80-84 6

Penyelesaian

Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 – 69, dan tepi bawah frekuensi modus b_o = 64,5

d₁ = 18 – 6 = 12 d₂ = 18 – 9 = 9 c = 69,5 – 64,5 = 5

M_o=b_o+c( d1 d1+d2

) = 64,5 + 5 12