Perhitungan Plat dengan Metode Yield Line Plastis Dibandingkan dengan Finite Element Method

PERHITUNGAN PLAT DENGAN METODE YIELD LINE

PLASTIS DIBANDINGKAN DENGAN FINITE ELEMENT METHOD

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi syarat penyelesaian Pendidikan sarjana teknik sipil

Oleh:

IRWANTO

07 0404 086

BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

LEMBAR PENGESAHAN

PERHITUNGAN PLAT DENGAN METODE YIELD LINE PLASTIS DIBANDINGKAN DENGAN FINITE ELEMENT METHOD

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat dalam menempuh Colloqium Doctum/ Ujian Sarjana Teknik Sipil

Dikerjakan oleh:

IRWANTO 07 0404 086

Pembimbing

Ir. Besman Surbakti, MT NIP:19541012 198003 1 004

Penguji I Penguji II Penguji III

Prof.Dr.Ing. Johannes Tarigan Ir. Torang Sitorus, MT Ir.Chainul Mahni

NIP:19561224 198103 1 002 NIP:19571002 198601 1 001 NIP:19500714 198003 2 002

Mengesahkan:

Ketua Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara

Prof.Dr.Ing. Johannes Tarigan NIP: 19561224 198103 1 002

BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan anugrah, berkat dan karunia-Nya hingga terselesaikannya tugas akhir ini dengan judul “Perhitungan Plat dengan Metode Yield Line Plastis Dibandingkan dengan Finite Element Method”.

Tugas akhir ini disusun untuk diajukan sebagai syarat dalam ujian sarjana teknik sipil bidang studi struktur pada fakultas teknik Universitas Sumatera Utara Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak kekurangannya. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan.

Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua yang senantiasa penulis cintai yang dalam keadaan sulit telah memperjuangkan hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Ir. Besman Surbakti, MT selaku dosen pembimbing yang telah bersedia meluangkan waktu untuk memberikan saran dan bimbingan

3. Bapak Ir. Torang Sitorus, MT selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritikan dan nasehat yang membangun.

4. Bapak Ir. Chainul Mahni selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritikan dan nasehat yang membangun.

5. Bapak Ir. Syahrizal, MT selaku sekretaris Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik USU

6. Kedua orang tua penulis yang turut mendukung segala kegiatan akademis penulis 7. Rekan-rekan mahasiswa yang telah memberikan semangat kepada penulis, stambuk

07, Hermanto sang juara 07, Rudy Salim, Kelvin, Coandra, Ivanfebraja, Darwin, Dewi, Tiffany, Rily, Gina dan lainya serta adik-adik stambuk 08, 09, dan 10 yang memberikan dukungan serta info mengenai kegiatan sipil.

8. Para pegawai Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik USU atas ketersediannya untuk mengurus administrasi Tugas akhir ini.

Walaupun dalam menyusun Tugas akhir ini penulis telah berusaha untuk mengkaji dan menyampaikan materi secara sistematis dan terstruktur, tetapi tentunya Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna. Kritik dan saran yang membangun tentulah sangat penulis harapkan di kemudian hari.

Medan, Juli 2011

ABSTRAK

Penyusunan tugas akhir ini, merupakan pencarian nilai momen daripada plat dengan metode Yield Line, dimana dalam hal ini teori Yield Line merupakan metode yang menggunakanan analisis secara pendekatan untuk menentukan kapasitas beban ultimate ataupun untuk mengetahui besarnya momen pada plat.

Alasan memilih Yield Line sebagai pembahasan dalam tugas akhir ini adalah karena Yield Line merupakan metode yang dapat memperhitungkan suatu plat yang kompleks dalam hal ini plat yang memiliki batas – batas yang berbeda dan berbagai jenis pembebanan menjadi lebih sederhana untuk dapat diperhitungkan.

Metode ini memberikan cara yang lebih mudah dan lebih cepat dalam mendesain, merancang suatu plat, lebih simpel dan ekonomis, serta merupakan rancangan yang kuat dan telah terrbukti secara teknis.

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan ...

Kata Pengantar ... i

Abstrak ... iii

Daftar Isi ... iv

Daftar Tabel ... vi

Daftar Gambar ... vii

Daftar Notasi ... ix

BAB I Pendahuluan ... 1

I.1. Umum ... 1

I.2. Tujuan Penulisan ... 3

I.3. Pembatasan Masalah ... 3

I.4. Metodologi Pembahasan ... 4

BAB II Tinjauan Pustaka ... 5

II.1. Pendahuluan ... 5

II.2. Teori Yield Line ... 6

II.3. Pola Yield Line ... 8

II.4. Penggambaran Notasi ... 11

II.5. Corners Levers ... 12

II.6. Aturan 10% ... 13

II.8. Plat Orthotropis ... 15

II.9. Konsep Yield Line ... 16

II.10.FEM ... 19

II.11.Constant Strai Triangle Element (CST Element dan Element Segi Empat ... 21

II.12.Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik ... 26

II.13.Program SAP 2000 ... 34

BAB III APLIKASI ... 36

III.1. Perhitungan dengan menggunakan Teori Yield Line ... 37

III.2. Perhitungan dengan cara konvensioanal ... 68

III.3. Perhitungan dengan menggunakan SAP 2000 ... 72

BAB IV Kesimpulan dan Saran ... 76

DAFTAR TABEL

Tabel.2.1 : Matriks Kekakuan CST ... 24

DAFTAR GAMBAR

Gambar.2.1 : Keretakan yang terjadi pada plat ... 7

Gambar.2.2 : Mekanisme pembentukan pola dari yield line ... 8

Gambar.2.3 : Pola Yield Line yang memungkinkan untuk plat sederhana ... 9

Gambar.2.4 : Poal yield line yang simpel ... 11

Gambar.2.5 : Akibat dari Corner Levers pada plat dengan perletakan sederhana dimana di bagian sudutnya ditekan dan dicegah terjadinya lifting ... 12

Gambar.2.6 : Plat Isotropis ... 15

Gambar.2.7 : Plat Orthotropis ... 16

Gambar.2.8 : Panjang L1 dan L2 ... 17

Gambar.2.9 : CST Elemen dengan 6 DOF ... 21

Gambar.2.10 : Elemen Quadrilateral ... 26

Gambar.2.11 : Koordinat Natural untuk elemen Quadrilateral ... 26

Gambar.3.1 : Plat 1a ... 37

Gambar.3.2 : Plat 1b ... 38

Gambar.3.3 : Plat 1c ... 41

Gambar.3.4 : Plat 2a ... 44

Gambar.3.5 : Plat 2b ... 47

Gambar.3.6 : Plat 2c ... 50

Gambar.3.7 : Plat 3a ... 53

Gambar.3.8 : Plat 3b ... 55

Gambar.3.11 : Plat 4b ... 62

Gambar.3.12 : Plat 4c ... 65

Gambar.3.13 : Tampilan SAP 2000 untuk plat pertama ... 72

Gambar.3.14 : Tampilan SAP 2000 untuk plat kedua ... 73

Gambar.3.15 : Tampilan SAP 2000 untuk plat ketiga ... 74

DAFTAR NOTASI

A = Luas daerah (m2)

W = Beban yang diberikan (KN/m2)

n = Jarak titik berat tiap daerah (m)

M = Momen (KNm)

Mx = Momen arah sumbu x (KNm)

My = Momen arah sumbu y (KNm)

l = Panjang (m)

θ _{= Rotasi (m}-1₎

E = Kerja eksternal (KNm)

I = Kerja Internal (KNm)

D = Kekakuan Struktur (KNm)

E = Modulus Elastis (KNm)

G = Modulus geser (Mpa)

τ = Tegangan geser (Mpa)

σ = Tegangan normal (Mpa)

= Angka Poisson

u = komponen perpindahan elemen dalam arah x (m) v = komponen perpindahan elemen dalam arah y (m)

x, y = Sumbu koordinat utama (m)

DL = Beban mati (KN/m2)

LL = Beban hidup (KN/m2)

ABSTRAK

Penyusunan tugas akhir ini, merupakan pencarian nilai momen daripada plat dengan metode Yield Line, dimana dalam hal ini teori Yield Line merupakan metode yang menggunakanan analisis secara pendekatan untuk menentukan kapasitas beban ultimate ataupun untuk mengetahui besarnya momen pada plat.

Alasan memilih Yield Line sebagai pembahasan dalam tugas akhir ini adalah karena Yield Line merupakan metode yang dapat memperhitungkan suatu plat yang kompleks dalam hal ini plat yang memiliki batas – batas yang berbeda dan berbagai jenis pembebanan menjadi lebih sederhana untuk dapat diperhitungkan.

Metode ini memberikan cara yang lebih mudah dan lebih cepat dalam mendesain, merancang suatu plat, lebih simpel dan ekonomis, serta merupakan rancangan yang kuat dan telah terrbukti secara teknis.

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. UMUM

Analisis stuktur biasanya dilakukan dengan asumsi bahwa tegangan yang terjadi pada suatu struktur masih terletak dalam batas elastis, dan defleksinya kecil. Dengan analisis ini, sebagian besar dari struktur tersebut akan bertegangan rendah, mengakibatkan pemborosan. Untuk mengatasi hal ini, dikembangkan konsep teori plastis pada tahun 1930. Karena relatif lebih sederhana, konsep ini banyak digunakan. Beban kerja dihitung dan dikalikan dengan faktor keamanan tertentu dan elemen struktur direncanakn berdasarkan kekuatan runtuh, nama lain dari metode ini adalah perencanaan batas ( limit design ) dan perencanaan runtuh ( collapse design ).

Metode plastisitas dapat dikategorikan ke dalam dua bagian, yaitu Teori Plastisitas dan Desain Plastisitas. Teori Plastisitas sering disebut dengan Analisis Plastisitas. Dalam Teori Plastisitas, yang ditentukan adalah beban ultimate ( beban plastis ) untuk struktur tertentu dimana momen plastis penampangnya telah diketahui atau sebaliknya. Sedangkan dalam Desain Plastisitas, beban – beban yang bekerja telah diketahui dan yang akan ditentukan adalah ukuran elemen – elemen struktur agar mempunyai kekuatan elemen yang cukup.

a. Kondisi leleh (yield condition), merupakan pernyataan dari sifat deformasi plastis, dimana pada saat runtuh, momen dalam dari suatu struktur tidak ada yang melampaui momen plastisnya.

b. Kondisi keseimbangan (equilibrium condition) menghendaki momen lentur dalam harus seimbang dengan momen luar yang bekerja.

c. Kondisi mekanisme (mechanism condition) akan terjadi bila jumlah sendi plastis dalam struktur telah cukup untuk mengubah sebagian atau seluruh struktur tersebut ke dalam kondisi mekanisme keruntuhannya. Dalam Tugas Akhir ini, akan membahas perhitungan suatu plat dengan metode Yield Line Plastis. Metode Yield line ini merupakan metode yang menggunakan analisis secara pendekatan untuk menentukan kapasitas beban ultimate suatu plat, Metode ini juga memperhitungkan suatu plat yang kompleks dalam hal ini plat yang memiliki kondisi batas yang berbeda dan juga berbagai jenis pembebanan yang diberikan menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dan juga metode ini erat kaitannya dengan keruntuhan plastis.

I.2. TUJUAN PENULISAN

Adapun tujuan penulisan dari Tugas Akhir ini adalah untuk

1. Mengitung beban ultimate yang dapat dipikul oleh plat dengan metode yield line plastis dan finite element method

2. Membandingkan hasil perhitungan plat dengan metode yield line plastis dan metode finite element method

3. Menghasilkan kesimpulan yang dapat menuntun pembaca dalam memilih metode yang lebih efisien dan ekonomis dalam melakukan perhitungan di masa yang akan datang.

I.3. PEMBATASAN MASALAH

Yang menjadi batasan masalah adalah:

1. Plat yang akan dibahas adalah plat beton

2. Gaya yang diperhitungkan adalah gaya – gaya vertikal yang bekerja pada plat

3. Dalam melakukan analisa beton dianggap isotropis

4. Dalam melakukan analisa yang dibahas hanyalah perhitungan momen maksimum dari tiap plat

5. Dalam melakukan analisis plastis digunakan cara pembuktian teoritis 6. Dalam melakukan analisis secara FEM elemen segiempat tidak akan

I.4. METODOLOGI PEMBAHASAN

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi literatur yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku-buku yang berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini serta masukan-masukan dari dosen pembimbing.

I.5. SISTEMATIKA PEMBAHASAN

Sistematika Pembahasan ini bertujuan untuk memberikan gambaran secara garis besar isi setiap bab yang dibahas pada Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN

Bab ini berisi latar belakang masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, sistematika pembahasan dari tugas akhir ini.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini berisi uraian tentang teori Yield Line, FEM, dan SAP 2000 dalam perhitungan pada plat

BAB III. APLIKASI

Bab ini berisi jenis – jenis plat yang akan ditinjau, dan perhitungannya dengan metode plastis secara manual dan dengan FEM dalam hal ini dibantu dengan menggunakan program SAP 2000

BAB IV. KESIMPULAN DAN SARAN

BAB II

TINJAUAN KEPUSTAKAAN

II.1 PENDAHULUAN

Yield line adalah suatu pemecahan yang dapat digunakan dalam plat beton dimana terjadinya tegangan leleh dan rotasi secara plastis muncul. Teori ini dapat digunakan dalam berbagai jenis pola tergantung dari kondisi pembebanan, kondisi perletakan dan dimensinya. Teori Yield line ini dapat menganalisa mekanisme keruntuhan di batas ultimatenya. Teori ini berprinsipkan pada:

Kerja akibat rotasi Yield Line = Kerja akibat pemberian beban

Metode Yield Line telah lama digunakan dalam menganalisa plat. Hal ini telah menjadi perhatian umum sejak tahun 1990 oleh beberapa peneliti seperti Graf dan Bachi. Di awal tahun 1922, Ingerslev seorang peneliti berkebangsaan Rusia mempesentasikam sebuah makalah di Institution of Structural Engineers di London dengan judul collapse mode of rectangular slabs. Beberapa pengarang seperti R H Wood, L Jones , A Sawczuk dan T Jaeger, R Park, K O Kemp, C T Morley, M Kwiecinski dan masih banyak lagi, menggabungkan dan mengembangkan konsep asli dari Johansen sehingga membuat teori Yield Line ini menjadi sebuah teori yang sangat bermanfaat sebagai alat untuk mendesain dengan taraf Internasional.

kebenaran dari teori ini,dan hasilnya sangat bagus dimana hanya ada sedikit perbedaan yang dibandingkan antara teoritis dan percobaan. Di dalam percobaanya dimana sendi disimulasikan menjadi suatu konstruksi yang menerus, dan hasilnya beban ultimate yang didapatkan lebih bagus daripada yang diprediksikan secara teoritis.

II.2 TEORI YIELD LINE

Teori Yield Line merupakan analisis beban secara ultimate. Teori ini menetapkan bahwa momen yang ditimbulkan seperti pembebanan pada plat dimana diletakkan pada satu titik dimana akan terjadinya keruntuhan.

Teori ini dapat membuat suatu desain konstruksi menjadi lebih sederhana dan lebih ekonomis, salah satu contohnya adalah pembangunan European Concrete Building Project di Cardington.

Teori ini dapat dengan mudah diterapkan di dalam berbagai jenis plat, baik dengan ataupun tanpa beam. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1 yang merupakan plat dengan pembebanan sampai terjadinya keruntuhan. Pada awal pembebanan reaksi yang terjadi pada plat adalah elastic dengan tegangan maksimum dan defleksi yang terjadi di titik pusat plat. Pada saat ini memungkinkan terjadinya retak seperti rambut yang akan muncul dimana kekuatan lentur dari beton telah terlampaui yang terletak di tengah bentang.

Perletakan sederhana

Retakan halus

Retakan besar yang berasal dari titik defleksi maksimum

Gambar 2.1 Keretakan yang terjadi pada plat

Sumbu dimana terjadi rotasi di daerah A,B,C dan D di sepanjang batas plat

Pola dari Yield Line

Gambar 2.2 Mekanisme pembentukan pola dari Yield Line

II.3 POLA YIELD LINE

Ketika suatu plat dibebani sampai terjadinya keruntuhan, garis leleh yang terjadi akan membentuk suatu daerah dimana terjadi tekanan maksimum dan selanjutya akan menjadi sendi plastis. Seperti yang telah dijelaskan di atas, sendi plastis ini akan berkembang menjadi suatu mekanisme yang membentuk pola dari garis leleh (Yield Line). Teori ini akan membagi plat menjadi daerah tersendiri, dimana sesuai dengan arah rotasinya.

Untuk dapat mengidentifikasi dari pola yang sah dan solusi dari teori Yield line ini maka ada beberapa hal yang dapat diperhatikan, yakni:

• Garis Yield Line yang berada diantara daerah – daerah yang berbatasan haruslah melalui titik persimpangan dari sumbu rotasi dari tiap daerahnya,

• Garis dari Yield Line harus berakhir di batas plat tersebut,

• Pada perletakan menerus akan bernilai negatif dan untuk perletakan simpel bernilai positif.

Setelah pola dari Yield Line telah ditentukan maka sekarang hal yang perlu dilakukan adalah menentukan penurunan di satu titik ( biasanya di titik penurunan maksimumnya) dimana semua rotasi yang terjadi dapat ditentukan, hal ini dapat digambarkan di dalam gambar 2.3.

Sumbu rotasi untuk daerah B

Sumbu rotasi Pola – pola yield line

untuk daerah A yang memungkinkan

Di dalam Teori Yield Line ada kemungkinan munculnya beberapa pola yang sah dalam perhitungannya. Tetapi sebagai seorang perencana haruslah dapat menentukan salah satu pola yang dapat menghasilkan momen maksimum atau sekurang – kurangnya sampai terjadi keruntuhan pada plat akibat beban yang diberikan. Ada beberapa cara bagi seorang perencana dalam menentukan pola yang paling kritis atau yang paling mendekati dalam perencanaanya:

• Dengan menggunakan prinsip yang pertama yaitu dengan work method • Menggunakan rumus untuk situasi yang standar

Bisa dilihat bahwa pola dari Yield Line memberikan hasil, baik itu benar ataupun secara teoritis tidaklah aman. Tapi seperti yang telah dibahas sebelumnya, secara teoritis hal ini dapat mudah diatasi dengan mencoba pola – pola berbeda yang memungkinkan yang disertai dengan nilai toleransi, yang akan dijelaskan nantinya.

Pola dari Yield Line adalah terutama berasal dari sumbu rotasinya dan juga harus dipastikan bahwa garis yang dihasilkan merupakan suatu garis lurus, melalui titilk persimpangan dari daerahnya masing – masing dan berakhir pada batas plat tersebut. Beberapa contoh dari pola plat yang simpel akan diperlihatkan pada gambar 2.4. Mengingat bahwa plat seperti sebuah kue mungkin dapat membuat para perencana dapat lebih mudah untuk menvisualisasikan pola dari Yield Line yang sesuai atau yang paking cocok.

Gambar 2.4 Pola Yield Line yang simpel

II.4 PENGGAMBARAN NOTASI

II.5 CORNERS LEVERS

Corners Levers menjelaskan hal – hal yang terjadi pada plat dua arah dimana garis Yield Line mengalami pemisahan pada di bagian sudut dalamnya. Pemisahan ini terkait dengan pembentukan garis Yield Line yang bernilai negative yang melewati nagian sudut dari plat yang digambarkan pada gambar 2.5

Gambar 2.5 Akibat dari Corner Levers pada plat dengan perletakan sederhana dimana di bagian sudutnya ditekan dan dicegah terjadinya lifting

Di dalam analisa, pola dari Yield Line biasanya diasumsikan bahwa garis yang melewati di bagian sudut tidak ada terjadi pemisahan, dimana dalam hal ini corner levers di abaikan sehingga membuat perhitungan menjadi lebih simpel. Hal ini dibuat dengan adanya beberapa alasan, yakni :

• Suatu analisa yang meengikutsertakan hal ini akan menjadi terlalu rumit untuk diselesaikan.

Di dalam skripsi hanyalah membahas pola garis Yield Line pada bagian sudut merupakan suatu garis lurus yang tidak dipisah. Nilai momen yang didapatkan dari cara ini hanya dapat digunakan jika penguatan yang diberikan pada sudut plat memiliki nilai yang sama dengan rangka bajanya. Corner Lever dapat digunakan untuk plat sederhana diman dampak yang dihasilkan tidak lebih dari batas toleransi aturan 10%.

II.6 ATURAN 10%

Pemakaian aturan 10% di dalam mendesain momen yang ditimbulkan pada plat sederhana dapat memberikan suatu kemudahan dimana adanya kesalahan dalam analisa Yield Line dan memberikan suatu jaminan terhadap diabaikannya corner levers. Pada plat yang mengalami tekanan yang relatif rendah, pemakaian aturan ini dapat meningkatkan nilai momen sebesar 10%, hal ini sama dengan peningkatan 10% penguatan di dalam desain plat.

II.7 PLAT ISOTROPIS

Dalam kasus yang paling umun yakni dalam susunan tulangan pada plat, tulangan ini terdiri dari dua bagian yakni tulangan atas dan tulangan bawah yang menyebabkan terjadinya garis leleh. Hal ini dapat memungkinkan bagi seorang perancang untuk dapat menyelidiki berbagai jenis kemungkinan dan perletakan dari tiap plat terutama plat dengan bentuk yang tidak beraturan dan memiliki sudut.

Namun di dalam pembuatan skripsi ini, hanya akan membahas dimana dimana tulangannya:

• Merupakan nilai maksimum dari kedua tulangan • Bahan yang digunakan adalah dari baja

Gambar 2.6 Plat Isotropis

II.8 PLAT ORTHOTROPIS

Di dalam Plat Orthotropis mempunyai nilai yang berbeda dalam hal pemnguatannya dalam dua arah. Biasanya tidak diperlukannya penguatan di dalam two way slab haruslah sama dengan plat dua arah. Plat ini cenderung dalam jarak yang lebih pendek dan arah ini dapat memberikan penguatan yang sangatlah besar, hal ini dapat diilustrasikan dalam gambar 2.7, namun di dalam pembuatan skripsi ini hanya akan membahas plat isotropis dan tidak membahas plat orthotropis.

Gambar 2.7 Plat Orthotropis

II.9 KONSEP YIELD LINE

lokasi dimana terjadinya δ_{max dari arah sumbu rotasi masing – masing daerah pada} plat.

Gambar 2.8 Panjang L1 dan L2

Arah Sumbu Rotasi dari setiap daerah biasanya bertepatan dengan batas plat tersebut. Dimana L2 merupakan nilai konstan untuk semua beban pada semua daerah, dan jarak L1 sangat tergantung pada lokasi pusat massa beban yang ada pada daerah tersebut. Untuk mempermudah dalam mengetahui nilai dari L1 / L2 ketika diberikan beban yang merata seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.8 maka dapat digunakan ketentuan:

• 1/2 untuk semua daerah berbentuk persegi panjang

• 2/3 untuk semua daerah berbentuk segitiga dimana puncak dari segitiga berada pada sumbu rotasinya.

Konsep dari Yield Line adalah menyamakan kerja yang disebabkan oleh pembebanan pada plat dengan kerja yang disebabkan oleh gaya – gaya dalam yang menghasilkan rotasi pada plat, dapat dirumuskan:

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

Dimana :

A = Luas daerah

W = Beban yang diberikan n = Jarak titik berat tiap daerah

M = momen

II.10 FEM

Dalam pembuatan Skripsi ini akan menggunakan metode elemen hingga sebagai elemen segitiga dan segiempat sebagai perbangdingan dari perhitungan yang telah dicari dengan menggunakan metode yield line dan dalam hal ini dibantu dengan menggunakan program SAP 2000. Di dalam metode elemen hingga bila suatu kontinum dibagi bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen-elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana.

Misalnya suatu batang yang panjang, bentuk fisiknya tidak lurus dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga pasti mempunyai lebih kecil dari kontinumnya.

Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan ( bukan eksak ) tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :

1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat dan lain sebagainya). 2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat

keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.

3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.

4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.

5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.

6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.

II.11 Constant Strain Triangle Element (CST Element) dan Element

Segi Empat

CST-element adalah elemen yang paling sederhana, dimana matriks material adalah sbb:

1

1 0

1 0

0 0 1 2₂

Matriks ini diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan dari Hukum Hooke dua dimensional. Sedangkan displacement adalah sbb:

,

, 10 0 0 0 0 01 ! " # $ # %&_&'

&(

&)

&*

&+,#

-# .

[image:33.595.185.467.323.614.2]

/ , &

Gambar 2.9 CST Elemen dengan 6 DOF

01 " # $ # % _'' ( (, # -# . 2 3 3 3 3

41_{0 0 0 1}' ' 0 0 0

' '

1 0 0 0

0 0 0 1

1 ( ( 0 0 0

0 0 0 1 ( (5

6 6 6 6 7 " # $ # %&_&'

&(

&)

&*

&₊,# -# .

&

& 8' 01

8' 1 2 2 3 3 3 3

4 ( ₍ ( 0₀ ( ' _(' ' ( 0₀ ' _' ' 0₀

( 0 '( 0 ' 0

0 ( ( 0 ( ' ' ( ' '

0 ( 0 (' 0 '

0 ( 0 '( 0 ' 5

6 6 6 6 7

x ij = x i – x j

y ij = y i –y j

2A = (x2 - x1)(y3 – y1)-(x3 – x1)(y2 – y1)

/ 8' _{09 : 01}

Dimana, [G]=[N][A]-1

1 ; 1< ; / & 1<

=0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0> & 1<

1 ; / 8' _{01 1< ;? 01 1<}

Dengan demikian

;

?

2 =

1

(

0

('

0

'

0

0

(

0

'(

0

'

( ( '( (' ' '

>

Maka : @ A ;_{C ?} B ;_? D. 0

GHHJI

KIJL 2 1

( . ( (' . '( ' . '

. ( ( . (' '( . ' '

1

2 ( 1₂ ( 1₂ '( 1₂ (' 1₂ ' 1₂ '

" # $ # % 1₁

2 2 3 3,#

[image:36.842.21.832.78.438.2]

Tabel 2.1 Matriks Kekakuan CST

Column index row index

j 1 2 3 4 5 6 i

N O O O O O O O O O O O O O O P

(Q1₂ ( 1 Q₂ ( ( (' (Q1 Q₂ '( ( '( (Q1 ₂ ( (' ' (Q1 ₂ ' ( ' (Q1 ₂ ( '

1 Q

2 ( ( ( Q1 2 ( ( ('Q1 ₂ '( ( '( ( Q1 ₂ ( (' ( ' Q1 ₂ ' ( ' (Q1 ₂ ' (

(' (Q1 Q₂ '( ( ( ('Q1₂ '( ( _('Q1 ₂ '( ( 1 Q₂ '( (' ' ('Q1 ₂ '( ' ' ('Q1 ₂ '( '

'( (Q1 ₂ ( (' '( ( Q1 ₂ ( (' 1 Q₂ '( (' '(Q1 _{2 ('} '( ' Q1 ₂ ' (' '( 'Q1 ₂ ' ('

' (Q1 ₂ ' ( ( ' Q1 ₂ ' ( ' ('Q1 ₂ '( ' '( ' Q1 ₂ ' (' _' Q1 ₂ ' 1 Q₂ ' '

' (Q1 ₂ ( ' ' (Q1 ₂ ' ( ' ('Q1 ₂ '( ' '( 'Q1 ₂ ' (' 1 Q₂ ' ' ' Q1 _{2 '}

R S S S S S S S S S S S S S S T 1 2 3 4 5 6

X YZ

[image:37.842.39.820.63.465.2]

Tabel 2.2 Matriks Kekakuan Segi Empat

Column index row index

j 1 2 3 4 5 6 7 8 i

N O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O P

4^ Q2 1_^ 3_{2 1 Q} 4^ Q 1_2^ 3_{2 1 3} 2^ 1_2^ 3_{2 1 Q} 2^ 2 1_^ 3_{2 1 3}

3

2 1 Q ^ Q 2 14 ^ 32 1 3 2^ 2 1 ^ 2 1 Q3 ^2 1 ^ 32 1 3 4^ Q 1 ^

4^ Q 1_^ 3_{2 1 3} 4^ Q2 1_^ 3_{2 1 Q} 2^ 2 1_^ 3_{2 1 3} 2^ 1_^ 3_{2 1 Q}

3

2 1 3 ^ 2 12 ^ 32 1 Q 4^ Q 2 1 ^ 2 1 33 ^ Q 14 ^ 32 1 Q 2^ 1 ^

2^ 1_^ 3_{2 1 Q} 2^ 2 1_^ 3_{2 1 3} 4^ Q2 1_^ 3_{2 1 Q} 4^ Q 1_^ 3_{2 1 3}

3

2 1 Q ^2 1 ^ 32 1 3 4^ Q 1 ^ 32 1 Q ^ Q 2 14 ^ 32 1 3 ^ 2 12 ^

2^ 2 1_^ 3_{2 1 3} 2^ 1_^ 3_{2 1 Q} 4^ Q 1_^ 3_{2 1 3} 4^ Q2 1_^ 3_{2 1 Q}

3

2 1 3 ^ Q 14 ^ 32 1 Q 2^ 1 ^ 32 1 3 ^ 2 12 ^ 32 1 Q ^ Q 2 14

R S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S T 1 2 3 4 5 6 7 8

II.12 Elemen Quadrilatearal Empat Node Isoparametrik

a. Koordinat Natural Dari Elemen

[image:38.595.223.429.210.400.2]

Elemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini.

Gambar 2.10 Elemen Quadrilateral

Penomoran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam (CCW). Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node dari elemen tersebut. Untuk itu diperhatikan Gambar 2.11 berikut ini.

[image:38.595.250.402.572.705.2]

Dalam sistem koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam (s,t) seperti Nampak pada gambar 3.12 diingatkan kembali bahwa kedua sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus.

Fungsi interpolasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah u(s,t) = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 + N4 u4

v(s,t) = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3 + N4 v4……….(2.1)

Untuk Koordinat Global :

x(s,t) = N1 x1 + N2 x2 + N3 x3 + N4 x4

y(s,t) = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 + N4 y4……….(2.2)

Besarnya Shape Function untuk setiap node (diperoleh dari interpolasi Lagrange ) adalah

/' 1 c . 1 D₄ / 1 c . 1 D₄

/₍ 1 c . 1 D₄ /₎ 1 c . 1 D₄ … … 2.3

Catatan: N1 + N 2 +N3 + N4 = 1

Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1

b. Strain Elemen – Matriks Displacement

Gunakan kembali persamaan (2.1) dan (2.2) untuk menghitung Strain dari Elemen Quadrilateral

e_ec e_e e_{ec Q}e_e e_ec

Kedua persamaan yang terdapat pda persamaan (2.4) dalam bentuk matriks dapat ditulis f e ec e ec g e ec eec e

eD eeD "$ %e_e

e e ,

-.

… … … . 2.4&

Maka :

" $ %e_e

e e ,

-. ₁

| i | e

eD eec

e

eD eec f

e ec e

eD

g … … … . . 2.4b

Dimana : | J | = Determinan Jacobian je_{eck j}e_{eDk j}e_{eDk j}e_eck

Diferensialkan persamaan (2.2) terhadap s: e

ec e/ec ' 'Qe/ec Qe/ec ( (Qe/ec ) )

e_ec e/_ec l l )

lm'

… … … 2.5

;1nopo& q & D pe_{ec ,}e_{eD , 0&} e_eD

e_ec e/_ec l l )

lm'

… … … 2.5&

e_eD e/_ec l _l

)

lm'

… … … 2.5b

e_eD e/_ec l l )

lm'

… … … 2.5r

e/_ec' 1_{4 1 D ,}e/_ec' 1_{4 1 c}

e/_ec 1_{4 1 D ,}e/_ec 1_{4 1 c}

e/_ec( 1_{4 1 D ,}e/_ec( 1_{4 1 c}

e/_ec) 1_{4 1 D ,}e/_ec) 1_{4 1 c … … … 2.6}

Determinan Jacobian | J | dihitung sebagai berikut: | i | je_{eck j}e_{eDk j}e_{eDk j}e_eck

e/_ec l l )

lm'

e/l

e l

)

lm'

e/l

eD l

)

lm'

e/l

ec l

) lm' l ) s ) l

je/_eDle/_ecl e/_ecle/_{eD k}l s … … … . . . . 2.7

Dalam Bentuk matriks, persamaan (2.7) ditulis sebagai

| i | ' ( ) & f '

( )

g … … … 2.7&

Dimana [a] adalah matriks yang elemen – elemennya memenuhi persamaan &ls je/_{eD k t}l e/_{ec u j}s e/_{ec k t}l e/_{eD u … … … 2.7b}s

Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matriks [a] masing – masing adalah

&_'' je/_{eD k j}' e/_{ec k j}' e/_{ec k j}' e/_{eD k 0}'

1_{4 1 c} 1_{4 1 D} 1_{4 1 D} 1_{4 1 Q c}

1_{8 1 D}

&'( je/_{eD k j}' e/_{ec k j}( e/_{ec k j}' e/_{eD k}( 1_{8 D c}

&') je/_{eD k j}' e/_{ec k j}) e/_{ec k j}' e/_{eD k}) 1_{8 c 1}

Dengan seterusnya untuk semua elemen matriks [a] disimpulkan matriks [a] adalah

& 1₈

0 1 D D c c 1

D 1 0 c Q 1 D Q c

c D c Q 1 0 D Q 1

1 c c Q D D Q 1 0

… … … 2.8

Lihat kembali persamaan (2.4b) dari persamaan tersebut ditinjau pada bagian: e_{e | i |} 1 e_eDe_ec e_ece_{eD! … … … 2.9}

Dari persamaan (2.1) dapat ditentukan e

ec e/ec l l

)

lm'

,e_eD e/_eD l l )

lm'

, c10& wp& e_{eD 0&} e_{ec 0oq1xy 1z}

0&xo q1xc&n&& 2.5& 0& q1xc&n&& 2.5r)

F bDoD cop& : e_{ec ,}e_{eD ,}e_{eD ,}e_{ec p1 q1x&n&& 2.9 0oq1xy 1z:}

e

e | i |1 l

)

lm' )

lm'

je/_eDle/_ecl e/_ecle/_{eD k}l s

Dalam bentuk matriks dapat ditulis: e

e | i | 1 ' ( ) & f

'

( )

Bagian kedua dari persamaan (5.4b) adalah e

e | i | 1 eeDeec eeceeD!

e

e | i |1 l

)

sm' )

lm'

te/_eDle/_ecs e/_ecle/_{eD u}s s

Dalam Bentuk Matriks, persamaan terkahir ini ditulis sebagai e

e | i | 1 ' ( ) & f

'

( )

g |I… … … . 2.11

Untuk displacement kearah vertikal (=v), persamaan (2.4b) diubah menjadi (Ganti semua u dengan v)

" $ %e_e

e e ,

-. ₁

| i | e

eD eec

e

eD eec f

e ec e eD

g … … … . . 2.12

Dari persamaan tersebut dapat ditulis: e

e | i | 1 eeDeec eeceeD!

e

e | i | 1 ' ( ) & f

'

( )

g |I… … … 2.13

Dari persamaan (2.4b) juga diperoleh: e

e | i | 1 eeDeec eeceeD!

e

e | i | 1 ' ( ) & f

'

( )

g |I… … … 2.14

| G||IJ

}IJL 0on& & }IJ

e

e Qee

Ambil ~•

~J dari persamaan (2.11) dan ambil ~\

~I dari persamaan (2.13) kemudian

jumlahkan, maka didapatkan: }IJ e_{e Q}e_e

_{| i |} 1 ' ( ) & f '

( )

g

Q_{| i |} 1 ' ( ) & f '

( )

g

F1zo ww&: | G||JI

}IJL €

" # # $ # # % '_' … … ) (, # # -# # .

€ • … … … . 2.15

Dari persamaan (2.10) berikut ini akan dihitung berapakah harga dari Bij?

€', s8' _{| i |}1 l&ls, ‚ 1,2,3,4 … … … . 5.16& )

lm'

€',,s 0 D p ‚ 2,4,6,8 … … … . . . 5.16b

;1 w& p&D& &o ; €_{„,…9†C‡} 0

€ , s _{| i |}1 l&ls, ‚ 1,2,3,4 … … … . . 5.16r )

lm'

€ ,s 0 D p ‚ 1,3,5,7 … … … . . . 5.160

Dari Persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh:

B3j = B2j+1 untuk j =1,3,5,7………..(5.16e)

= B1,j-1 untuk j=2,4,6,8………(5.16f)

Agar penulisan lebih sederhana,diadakan peringksan sebagai berikut: xm,n = xm – xn dan

ym,n = ym - yn

maka elemen – elemen matriks [B] dimyatakan senagai berikut: €'' €( _8|i|1 ) c )(Q D (

€'( €() _8|i|1 (' c ()Q D ')

€'* €)+ _8|i|1 ) c 'Q D (

€'‰ €(Š _8|i|1 '( c 'Q D (

€ €(' _8|i|1 ) c ()Q D (

€ ) €(( _8|i|1 '( c )(Q D )'

€ + €(* _8|i|1 ) c 'Q D ')

€ Š €(‰ _8|i|1 (' c ' Q D ( … … … 5.16w

0on& &,

|i| 1₈ ' ( )

0 1 D D c c 1

D 1 0 c Q 1 D Q c

c D c Q 1 0 D Q 1

1 c c Q D D Q 1 0

f

'

( )

II.13 Program SAP 2000

SAP2000 adalah program computer untuk merancang struktur keluaran CSi (Computers and Structures Inc.).SAP2000 memungkinkan banyak hal yang sebelumnya dianggap mustahil menjadi sederhana dan mudah. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit ke konsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik.

SAP2000 benar-benar mampu mengambil tugas analisa struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisa akan langsung diambil olah SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat.

Secara garis besar, perhitungan analisa struktur rangka dengan SAP2000 ini akan melaui beberapa tahap, yaitu:

1. Menentukan geometri model struktur 2. Mendefinisikan data-data.

a. Jenis dan kekuatan bahan.

b. Dimensi penampang elemen struktur. c. Macam beban.

3. Menempatkan (assign) data-data yang telah didefinisikan ke model struktur. a. Data penampang.

b. Data beban.

4. Memeriksa input data.

BAB III

APLIKASI

3.1 PERHITUNGAN DENGAN MENGGUNAKAN TEORI YIELD

LINE

Jenis plat yang akan di analisis dengan menggunakan teori yield line ini akan ditunjukkan pada pembahasan di bab ini dengan mengasumsikan bahwa plat bersifat isotropis ,direncanakan tebal plat 15cm, tebal spesi 2cm dan tebal tegel 2cm,maka:

• Beban Mati (DL)

− Berat sendiri pelat = 0,15 * 24 KN/m3 = 3,6 KN/m2 − Berat spesi = 0,02* 21 KN/m3 = 0,42 KN/m2 − Berat Tegel = 0,02* 24KN/m3 = 0,48 KN/m2 DL = 4,5 KN/m2 • Beban Hidup (LL)

Direncanakan LL= 2.5 KN/m2 (SKBI 1.3.5.3 1987 ) untuk plat lantai perkamtoran

• Kombinasi (WU)

− COMB1 = 1.4DL = 1,4*4,5 = 6,3 KN/m2 − COMB2= 1.2DL+1.6LL =1,2*4,5+1,6*2,5 = 9,4 KN/m2

Penyelesaian: 1.Plat pertama

[image:49.595.112.394.86.688.2]

• 1a

Gambar 3.1 Plat1a

I J 1/2

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 4 Œ Œ 4 Œ 1/2 = 8M Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z 4 •'Œ 4 Œ 2 Œ Œ'_{(Ž 16 3}•

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

16 •₃ = 8 M = 2 •₃ dimana nilai W=9,4KN/m2, maka

• 1b

A

B B

[image:50.595.124.520.99.642.2]

A

Gambar 3.2 Plat 1b

I 1/& 0& J 1/2

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 8 Œ 1/2 = 8M • _{;&1x&z € 2 Œ Œ 4 Œ 1/&} = 8M/a

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 2 Œ & Œ Œ '₍Ž Œ 4 Q • 8 2& Œ 2 Œ'Ž Œ 2

4 & 3• Q 16 4 &

4 & 3• 12 &• Q 16₃ 16 _{8 & 3}•

• ;&1x&z € 2 •'Œ 4 Œ & Œ Œ'_{(Ž 4 & 3}•

• _{∑ p1x‚& 1pcD1x & 4 ‘4 & 3• ’}

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 4 & 3• = 8 1 Q 1 &•

4

C (

1 Q 1/&

“ = 2M

M = ”

) 8

• –

' — '/C

!

M = ”

•

‘ ' C 8 C

] _’

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜I , dimana ˜™

˜I = 0, maka: ˜™

˜I

”

•

' 8 C (C—( 8 ( ‘' C8 C]’

(C—( ]

Ž

0 36& Q 36 6& 6& 36& Q 3& 0 3& 6& Q 36

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8+ › ž 8+

]_{8) 8( (+} 8(

+ › √(+ —)( 8+

+ › √ )+Š 8+

+ › +√ '( 8+

&'

+ — +√ '(

8+

&D& &

+8 +√ '( 8+

&

_'

4,606 &D& &

2,606

Maka diambil nilai a = 2,606 m

• 1c

A

B B

[image:53.595.126.520.101.628.2]

A

Gambar 3.3 Plat 1c

I 1/& 0& J 1/2

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 12 Œ 1/2 = 12M • _{;&1x&z € 2 Œ Œ 4 Œ 1/&} = 8M/a

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 2 Œ & Œ Œ '₍Ž Œ 4 Q • 12 2& Œ 2 Œ'Ž Œ 2

4 & 3• Q 24 4 &

4 & 3• 12 &• Q 16₃ 24 _{8 & 3}•

• ;&1x&z € 2 •'Œ 4 Œ & Œ Œ'_{(Ž 4 & 3}•

• _{∑ p1x‚& 1pcD1x &} 24 _{8 & 3• Q 4 & 3}•

24 4 &•₃ 4 ‘6 & 3• ’

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 6 & 3• = 4 3 Q 2 &•

6

C (

3 Q 2/&

“ = M

M = W

+ 8

• –

( — /C

!

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜I , dimana ˜™

˜I = 0, maka: ˜™

˜I

”

•

'Š8 C ¤C—+ 8 ¤ ‘'ŠC8C]’

¤C—+ ]

Ž

0 162& Q 108 18& 12& 162& Q 9&

0 9& 12& Q 108

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8' › ž 8'

]_{8) 8¤ '<Š} 8¤

' › √')) —(ŠŠŠ 8'Š

' › √ )<( 8'Š

' › )√ ‰ 8'Š

&

_' ' — )√ ‰

8'Š

&D& &

' 8 )√ ‰8'Š

&

_'

4,194 &D& &

2,86

Maka diambil nilai a = 2,86 m

2.Plat kedua • 2a

a a

A A 4m B

[image:56.595.116.458.100.755.2]

4m

Gambar 3.4 Plat 2a

I 1/& 0& J 1/4

Kerja Internal ( I )

• _{;&1x&z 2 Œ Œ 4 Œ 1/&} = 8M/a • _{;&1x&z € 2 Œ Œ & Œ 1/4} = aM/2

• ∑ p1x‚& o D1x & = M ( 8/a + a/2 ) Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z 2 •'Œ 4 Œ & Œ Œ'_{(Ž 4 & 3}•

• ;&1x&z € •'Œ 4 Œ & Œ Œ '₍Ž Œ 2 Q • 4 2& Œ 4 Œ'Œ Ž

4 & 3• Q 8 4 &

• ∑ p1x‚& 1pcD1x & 8 _{8 & 3• Q 4 & 3}•

8 4 &•₃ 4 ‘2 & 3• ’

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 2 & 3• = 8 &• Q & 2•

4 2 C₍

‘8 &_{• Q & 2}• ’

¥ = M

M =

4 =

¦§• –

j¨¦©•]_]• k

>

M = Š”

(

•

‘ +C 8 C] ’ '+— C]

Ž

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka: ˜™

˜C

Š” (

•

+8 C ‘'+— C]’8 ‘+C8 C]’ C

'+— C] ]

Ž

0 96 Q 6 & 32& 2&( _{12 & Q 2&}(

0 6& 32& Q 96

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8( › ž 8(

( › √'< ) — (<) 8'

( › √ (( Š 8'

( › '+√ '( 8'

&

_' ( — '+√ '(

8'

&D& &

( 8 '+√ '(8'

&_' 7,474 &D& & 2,14 Maka didapat a = 2,14 m

• 2b

a a

A A

4m B

[image:59.595.118.462.85.737.2]

8 m

Gambar 3.5 Plat 2b

I 1/& 0& J 1/4

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 4 Œ 1/& = 8M/a • ;&1x&z € 2 Œ Œ & Œ 1/4 = aM/2

• _{∑ p1x‚& o D1x &} = M ( 8/a + a/2 ) Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z 2 •'Œ 4 Œ & Œ Œ'_{(Ž 4 & 3}•

• ;&1x&z € •'Œ 4 Œ & Œ Œ '₍Ž Œ 2 Q • 8 2& Œ 4 Œ'Œ Ž

4 & 3• Q 20 4 &

• ∑ p1x‚& 1pcD1x & 16 _{8 & 3• Q 4 & 3}•

16 4 &•₃ 4 ‘5 & 3• ’

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 4 & 3• = 8 &• Q & 2•

4 4 C₍

‘8 &_{• Q & 2}• ’

¥ = M

M =

4 =

¨]§• –

j¨¦©•]_]• k

>

M = Š”

(

•

‘ ' C 8 C] ’ '+— C]

Ž

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka: ˜™

˜C

Š” (

•

' 8 C ‘'+— C]’8 ‘' C8 C]’ C

'+— C] ]

Ž

0 192 Q 12 & 32& 2&( _{24 & Q 2&}(

0 12& 32& Q 192

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8( › ž 8(

( › √'< ) —¤ '+ 8 )

( › √ '< )< 8 )

( › ( √ '< 8 )

&

_' ( — ( √'<

8 )

&D& &

( 8 ( √ '<8 )

&_' 5,55 &D& & 2,88 Maka didapat a = 2,88 m

• 2c

a a

A A

4m B

[image:62.595.119.465.84.739.2]

12m

Gambar 3.6 Plat 2c

I 1/& 0& J 1/4

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 4 Œ 1/& = 8M/a • ;&1x&z € 2 Œ Œ & Œ 1/4 = aM/2

• _{∑ p1x‚& o D1x &} = M ( 8/a + a/2 ) Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z 2 •'Œ 4 Œ & Œ Œ'_{(Ž 4 & 3}•

• ;&1x&z € •'Œ 4 Œ & Œ Œ '₍Ž Œ 2 Q • 12 2& Œ 4 Œ'Œ Ž

4 & 3• Q 24 4 &

• ∑ p1x‚& 1pcD1x & 24 _{8 & 3• Q 4 & 3}•

24 4 &•₃ 4 ‘6 & 3• ’

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 6 & 3• = 8 &• Q & 2•

4 6 C₍

‘8 &_{• Q & 2}• ’

¥ = M

M =

4 =

¨ª§• –

j¨¦©•]_]• k

>

M = Š”

(

•

‘ 'ŠC 8 C] ’ '+— C]

Ž

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka: ˜™

˜C

Š” (

•

'Š8 C ‘'+— C]’8 ‘'ŠC8 C]’ C

'+— C] ]

Ž

0 288 Q 18 & 32& 2&( _{32 & Q 2&}(

0 18& 32& Q 288

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8( › ž 8(

( › √'< ) — <‰(+ 8(+

( › √ '‰+< 8(+

( › '+√ Š* 8(+

&

_' ( — '+√ Š*

8(+

&D& &

( 8 '+√ Š*8(+

&_' 4,986 &D& & 3,21 Maka didapat a = 3,21 m

3. Plat Ketiga • 3a Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Void

1 m A

2 m A A

1 m A

1m 2m 1m

Gambar 3.7 Plat 3a

I J 1

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 4 Œ Œ 4 Œ 1 = 16 M

• 4 Œ Œ 4 2 Œ 1 = 8 M

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 1 Œ 1 Œ Œ '₍Ž Œ 8 Q •2 Œ 1 Œ'Œ Ž Œ 2 16/3W

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

16/3W = 24 M

M = 2 •₉

dimana nilai W=9,4KN/m2, maka

• 3b Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Void

1 m B

2 m A A

1 m B

3m 2m 3m

Gambar 3.8 Plat 3b

I 1/3

J 1

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 4 Œ 1/3 = 8 M / 3 • _{2 Œ Œ 4 2 Œ 1/3} = 4 M / 3

• ;&1x&z € 2 Œ Œ 8 Œ 1 = 16 M

• 2 Œ Œ 8 2 Œ 1 = 12 M

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 1 Œ 3 Œ Œ '₍Ž Œ 4 Q •2 Œ 3 Œ'Œ Ž Œ 2 8W • _{;&1x&z € •}'_{Œ 1 Œ 3 Œ Œ} '_{(Ž Œ 4 Q •2 Œ 1 Œ}'_{Œ Ž Œ 2 4}

• _{∑ p1x‚& 1pcD1x & 12}

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

12W = 32 M

M = 12 •₃₂

dimana nilai W=9,4KN/m2, maka

• 3c Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Void

1 m B

2 m A A

1 m B

5m 2m 5m

Gambar 3.9 Plat 3c

I 1/5

J 1

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z 2 Œ Œ 4 Œ 1/5 = 8 M / 5 • _{2 Œ Œ 4 2 Œ 1/5} = 4 M / 5

• ;&1x&z € 2 Œ Œ 12 Œ 1 = 24 M

• 2 Œ Œ 12 2 Œ 1 = 20 M

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 1 Œ 5 Œ Œ '₍Ž Œ 4 Q •2 Œ 5 Œ'Œ Ž Œ 2 40 /3

• _{;&1x&z € •}'_{Œ 1 Œ 5 Œ Œ} '_{(Ž Œ 4 Q •2 Œ 1 Œ}'_{Œ Ž Œ 2 16 /3}

• _{∑ p1x‚& 1pcD1x & 56 /3}

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

56W / 3 = 232 M / 5

M = 35 •₈₇

dimana nilai W=9,4KN/m2, maka

4.Plat keempat • 4a Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Kolom

A 5 m

B

B B B

5m

A

5 m 5 m

Gambar 3.10 Plat 4a

I' J' 1/ 5 & ; I J 1/&

Kerja Internal ( I )

• ;&1x&z _{« Œ 10 Œ 1 5 &}• ¬ Œ 4 40 • _{5 &}

• _{;&1x&z € - Œ 2& Œ 1 &• ® Œ 4 8} • _{- Œ 2& Œ 1 &}• ® Œ 4 8

4 «10 • _{5 &} Q 4 ¬ Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 5 & Œ 5 & Œ 2 Œ Œ '₍Ž Œ 4 )₍ 5 &

• • 5 & Œ 2& Œ'Œ Ž Œ 4 4 & 5 &

• ;&1x&z € •2& Œ & Œ'Œ_{(Œ Ž Œ 4 8 & 3}•

• ∑ p1x‚& 1pcD1x & )_{( 5 & Q 4 & 5 & Q 8 & 3}•

4 « ” *8C]

( Q & 5 & Q ”C

]

( ¬

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 « ” *8C]

( Q & 5 & Q ”C]

( ¬ = 4 «

'<™

*8C Q 4 ¬

*”8'<”C—”C]

( Q 5 & & Q

”C]

( =

'<™—)™ Œ *8C *8C

*”8'<”C—”C]—'*”C8(”C]— ”C]

( = '<™— <™8)™C *8C

*”C— *” ( = (<™8)™C *8C

*” *—C ( = )™ ‰,*8C *8C

*” *—C *8C

)Œ(Œ ‰,*8C =

M = *” *8C

]

M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka: ˜™

˜C

*”

'

•

8 C ‰,*8C 8 ‘ *8 C]’ 8'

‰,*8C ]

Ž

0 15& Q 2 & & Q 25

0 & 15& Q 25

Untuk mencari a digunakan rumus:

&

_', 8š › √š

]_8)C• C

8 8'* › ž 8'*

]_{8) ' *} '

'* › √ *8'<<

'* › √ ' *

'* › *√ *

&

_' '* — *√ *

&D& &

'*8 *√ * &_' 13,09 &D& & 1,91

Maka didapat a = 1,91 m,

• 4b Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Kolom

B 5 m

C

C C C

5m

B

10 m 10 m

Gambar 3.11 Plat 4b

I' 1/ 10 & ; J' 1/ 5 & ; _{I J} 1/& Kerja Internal ( I )

• _{;&1x&z « Œ 10 Œ 1 10 &• ¬ Œ 2 20 • 10 &}

• _{;&1x&z € « Œ 20 Œ 1 5 &•} ¬ Œ 2 40 • _{5 &}

• _{;&1x&z € - Œ 2& Œ 1 &• ® Œ 4 8}

• _{∑ p1x‚& o D1x &} = 20 •_{10 &} Q 40 •_{5 &} Q 8 Q 8

4 «5 •_{10 &} Q 10 •_{5 &} Q 4 ¬

4 «

*8*C—'<<8'<C—) *<8'*C—C

]

'<8C *8C

¬

4 «

' *8'*C— <<8+<C—)C

]

'<8C *8C

¬

4 «

)C

]_{8‰*C—' *}

'<8C *8C

¬

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 5 & Œ 10 & Œ Œ '₍Ž Œ 4 ₍ 5 & 10 &

• _{• 10 & Œ 2& Œ}'_{Œ Ž Œ 2 2 & 10 &}

• ;&1x&z € •'Œ 5 & Œ 10 & Œ Œ '₍Ž Œ 4 ₍ 5 & 10 &

• • 5 & Œ 2& Œ'Œ Ž Œ 2 2 & 5 &

• ;&1x&z X •2& Œ & Œ'Œ_{(Œ Ž Œ 4 8 & 3}•

• ∑ p1x‚& 1pcD1x &

4

3 5 & 10 & Q 2 & 10 & Q 2 & 5 & Q 8 & 3•

)

( 50 15& Q & Q 20 & 2 & Q 10 & 2 & Q 8 & 3•

)_{( 50 15& Q & Q 30 & 4 & Q 8 & 3}•

4 «'₍ 50 15& Q & Q'*& & Q C₍]¬

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 ¡'*C—'<<

+ ¢ = 4 «)C

]_{8‰*C—' *}

'<8C *8C ¬

M = ¡'*C—'<<

+ ¢ ¡

'<8C *8C )C]_{8‰*C—' *}¢

M = ”

+ ¡

‰*<C8 *C]_—'*C–_{—*<<8'*<<C—'<<C}]

)C]_{8‰*C—' *} ¢

M = ”

+ ¡

'*C–_{8 *C}]_{8‰*<C—*<<<}

)C]_{8‰*C—' *} ¢ M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka:

˜™ ˜C

” + •

‘)*C]_{8 *<C8‰*<’‘)C}]_{8‰*C—( *’8‘'*C}–_{8 *C}]_{8‰*<C—*<<<’ ŠC8‰*}

)C]_{8‰*C—' *}] Ž

0 180&) _3375&(_{Q 14625& 1000&}(_{Q 18750& 81250&}

3000& Q 56250& 243750 120&)_{Q 1125&}(_{Q 1000&}( _9375&

Q6000& 56250& 40000& Q 375000

0 60&) _2250&(_{Q 27000& 85250& Q 206250}

Maka didapat a = 1,55 m,

• 4c Asumsi

Sagging Yield Line = M Hogging Yield Line = M

= Kolom

B 5 m

C

C C C

5m

B

15 m 15 m

Gambar 3.12 Plat 4c

I' 1/ 15 & ; J' 1/ 5 & ; _{I J} 1/& Kerja Internal ( I )

• _{;&1x&z « Œ 10 Œ 1 15 &• ¬ Œ 2 20 • 15 &}

• _{;&1x&z € « Œ 30 Œ 1 5 &•} ¬ Œ 2 60 • _{5 &}

• _{;&1x&z € - Œ 2& Œ 1 &• ® Œ 4 8}

• _{∑ p1x‚& o D1x &} = 20 •_{15 &} Q 60 •_{5 &} Q 8 Q 8

4 «5 •_{15 &} Q 15 •_{5 &} Q 4 ¬

4 «

* *8*C— *8'<C—) ‰*8 <C—C

]

'*8C *8C

¬

4 «

*<8 <C—(<<8Š<C—)C

]

'*8C *8C

¬

4 «

)C

]_8'<<C—**<

'*8C *8C

¬

Kerja Eksterrnal ( E )

• ;&1x&z •'Œ 5 & Œ 15 & Œ Œ '₍Ž Œ 4 ₍ 5 & 15 &

• _{• 15 & Œ 2& Œ}'_{Œ Ž Œ 2 2 & 15 &}

• ;&1x&z € •'Œ 5 & Œ 15 & Œ Œ '₍Ž Œ 4 ₍ 5 & 15 &

• • 5 & Œ 2& Œ'Œ Ž Œ 2 2 & 5 &

• ;&1x&z X •2& Œ & Œ'Œ_{(Œ Ž Œ 4 8 & 3}•

• ∑ p1x‚& 1pcD1x &

4

3 5 & 15 & Q 2 & 15 & Q 2 & 5 & Q 8 & 3•

)

( 75 20& Q & Q 30 & 2 & Q 10 & 2 & Q 8 & 3•

)_{( 75 20& Q & Q 40 & 4 & Q 8 & 3}•

4 «'₍ 75 20& Q & Q 10& & Q C₍]¬

Maka,

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

4 ¡'<C—‰*

( ¢ = 4 «)C

]_8'<<C—**<

'*8C *8C ¬

M = ¡'<C—‰*

( ¢ ¡

'*8C *8C )C]_8'<<C—**<¢

M = ”

+ ¡

‰*<C8 <<C]_—'<C–_{—*+ *8'*<<C—‰*C}]

C]_{8*<C— ‰*} ¢

M = ”

+ ¡

'<C–_{8' *C}]_{8‰*<C—*+ *}

C]_{8*<C— ‰*} ¢ M maksimum di dapat dengan ˜™

˜C , dimana ˜™

˜C = 0, maka:

˜™ ˜C

” + •

‘(<C]_{8 *<C8‰*<’‘ C}]_{8*<C— ‰*’8‘'<C}–_{8' *C}]_{8‰*<C—*+ *’ )C8*<}

)C]_8'<<C—**< ] Ž

0 60&) _1500&(_{Q 8250& 500&}(_{Q 12500& 68750&}

1500& Q 37500 206250 40&)_{Q 500&}(_{Q 500&}( _6250&

Q3000& 37500& 22500& Q 281250 0 20&) _1000&( _{9000& 9250& Q 75000}

Maka didapat a = 2,78 m,

3.2 PERHITUNGAN DENGAN CARA KONVENSIONAL

Dalam menggunakan cara konvensional yang akan dibahas adalah hanya pada plat pertama dan plat lainnya termasuk plat pertama akan dihitung dengan menggunakan bantuan program SAP 2000.

• Plat 1a

Dianggap tebal plat beton k-300 h= 15cm, dengan =0.2 maka: a = 4m ; b = 4m

Plat dibagi – bagi dengan beberapa titik, yakni: y = 1 y = 2 y = 3

x = 1 x = 2 x = 3

4700ž°±_{r 4700√30 25742,9602 //nn 25742960,2 @//n}

; _{' '8\}Y²–] *‰) ¤+<, <,'* –

' '8<, ] 7541,88 @/n

³ ; ¡n_{& ¢ Q ¡b¢ !}

~

†m' ~

µm'

n Œ co ¡n³_{& ¢ Œ co ¡} ³_{b ¢}

³ ; _{¡b¢ Q ¡}n_{& ¢ !}

~ ~

Dimana

n

'+”

¶·¦_{ŒµŒ†Œ ¡}¸ •¢

]

—¡¹_º¢]!

, dengan m,n= 1,3,5

Maka hasil perhitungan dapat dilihat dalam tabel berikut: Tabel Mx (KNm)

1 2 3

1 4.013 4.497 4.013

2 4.497 5.026 4.497

3 4.013 4.497 4.013

Tabel My (KNm)

Maka didapatkan M maksimum adalah 5,026 KNm.

1 2 3

1 4.013 4.497 4.013

[image:81.595.109.309.209.417.2]

• Plat 1b

Dianggap tebal plat beton k-300 h= 15cm, dengan =0.2 maka: a = 8m ; b = 4m

Plat dibagi – bagi dengan beberapa titik, yakni: y = 1 y = 2 y = 3

x = 2 x = 4 x = 6

Maka hasil perhitungan dapat dilihat dalam tabel berikut: Tabel Mx (KNm)

2 4 6

1 3.853 5.277 3.853

2 5.277 7.705 5.277

3 3.853 5.277 3.853

Tabel My (KNm)

2 4 6

1 7.458 8.563 7.458

2 8.563 9.917 8.563

[image:82.595.117.443.142.374.2] [image:82.595.111.309.513.716.2]

• Plat 1c

Dianggap tebal plat beton k-300 h= 15cm, dengan =0.2 maka:

a = 12m ; b = 4m

Plat dibagi – bagi dengan beberapa titik, yakni: y = 1 y = 2 y = 3

x = 3 x = 6 x = 9

Maka hasil perhitungan dapat dilihat dalam tabel berikut: Tabel Mx (KNm)

Tabel My (KNm)

3 6 9

1 9.076 10.172 9.076

2 10.172 11.153 10.172

3 9.076 10.172 9.076

3 6 9

1 3.371 4.618 3.371

2 4.618 6.742 4.618

[image:83.595.118.442.143.374.2] [image:83.595.112.309.517.719.2]

3.3 PERHITUNGAN DENGAN MENGGUNAKAN SAP 2000

1. Plat yang pertama

[image:84.595.147.517.233.485.2]

Berikut tampilan SAP untuk plat pertama yang ditinjau

2. Plat yang kedua

[image:85.595.126.506.220.469.2]

Berikut tampilan SAP untuk plat pertama yang ditinjau

3. Plat yang ketiga

[image:86.595.136.503.207.484.2]

Berikut tampilan SAP untuk plat kedua yang ditinjau

4. Plat yang keempat

[image:87.595.149.522.235.501.2]

Berikut tampilan SAP untuk plat ketiga yang ditinjau

Bab IV

KESIMPULAN DAN SARAN

IV.1 KESIMPULAN

1. Dalam kesluruhan penulisan Tugas Akhir ini dapat diambil kesimpulan:

Plat Pertama Momen

Yield Line KNm Momen Konvensional KNm Momen SAP 2000 KNm

Plat 1a 6,267 5,026 3,2436

Plat 1b 10,6314 9,917 8,5351

Plat 1c 12,822 11,153 9.7925

Plat Kedua Momen

Yield Line KNm

Momen SAP 2000

KNm

Plat 2a 10,058 7,9341

Plat 2b 27,072 22,3151

Plat 2c 45,214 40,114

Plat Ketiga Momen

Yield Line KNm

Momen SAP 2000

KNm

Plat 3a 2,089 1,021

Plat 3b 3,525 2,978

Plat Keempat Momen Yield Line

KNm

Momen SAP 2000