EFEK OSILASI ANHARMONIK PADA SOLITON DEOXYRIBO
NUCLEIC ACID PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS
DEDE HERMANUDIN
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
DEDE HERMANUDIN
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
De de Her manudi n. Efek Osilasi Anhar monik pada SolitonDeoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois. Dibimb ing oleh : Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si.
Abstrak
Tulisan ini menje laskan ma kna fisis dari solusi analitik mode l PBD (perpanjangan dari mode
Peyrard- Bishop) hingga orde-4 dala m dina mika DNA dan efe k Osilasi Anharmonik orde-4 pada
gelombang soliton DNA. Pengaruh dari beberapa parameter model tersebut, terutama pengaruh
koefisien anharmonik orde-4 pada ekspansi potensial mo rse terhadap gelombang soliton traveling.
Pada saat ekspansi potensial morse hingga orde-4 diperoleh panjang gelo mbang soliton traveling
yang terbentuk lebih rapat dari pada ekspansi potensial morse hingga orde -3. Ekspansi potensial
morse hingga orde-3 pada proses replikasi (denaturasi) DNA lebih dominan ke arah un, sedangkan pada saat ekspansi poensial morse hingga orde-4 pada proses denaturasi DNA lebih do minan ke
arah vn.
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Efek Osilasi Anhar monik pada
Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois adalah benar-benar hasil karya saya sendiri di ba wah bimb ingan Dr. Husin Alatas, S. Si, M . Si, dan belu m pernah digunakan sebagai
karya ilmiah pada perguruan tinggi atau lembaga manapun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari ka rya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan
dala m teks dan dicantumkan dala m Da ftar Pustaka di bagian a khir skripsi ini.
Bogor, Feb ruari 2011
Judul : Efe k Osilasi Anharmonik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid
Peyrard-Bishop-Dau xois
Na ma : Dede He rmanudin
NRP : G74070007
Menyetujui,
Pe mbimb ing
Dr. Husin Al atas, S. Si, M. Si NIP : 19710604 199802 1 001
Mengetahui,
Ketua Departe men Fisika
Dr. Ir . Irz aman, M. Si NIP : 19630708 199512 1 001
Dede Hermanudin
G74070007
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Bogor
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Penulis lah ir di Garut pada 19 Oktober 1988 anak kedua
dari dua saudara pasangan ayah Maman dan ibu Asmanah.
Penulis mula i mengenyam pendidikan pada tahun 1995 di SDN
Pangrumasan 2 Ga rut, tahun 2001 di SMP KH. Zaenal Musthafa
Suka manah Tasikma laya, tahun 2004 di SMA Negeri 4 Kota
Tasikma laya dan tahun 2007 d i Institut Pertanian Bogor dengan
jalur USMI (PM DK).
Sela ma mengenyam pendidikan di IPB, penulis aktif di
Organisasi Mahasiswa Daerah (OM DA) Tasikmalaya sebagai anggota pada tahun 2007-sekarang.
Sela in itu penulis juga mengaja r sebagai asisten praktiku m Fisika Dasar untuk mahasiswa TPB,
asisten dosen Fisika Nonlinear se mester ganjil dan sebagai pengajar di te mpat bimb ingan belaja r
Muhammad SAW. Atas rahmat dan hidayah Allah SWT, akhirnya penulis dapat menyelesaikan
penulisan skripsi ini dengan judul ” Efek Osilasi Anhar monik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois”.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-p ihak yang telah me mbantu dalam
penyelesaian penulisan skripsi in i, ya itu kepada :
1. Dr. Husin Alatas selaku dosen pembimb ing yang telah memberikan bimbingan, masukan,
dan semangat kepada penulis.
2. Ayah dan ibu selaku orang tua yang selalu me mberi dorongan baik secara materi maupun
spiritual.
3. Kaka k dan saudara yang selalu me mberi se mangat dan dukungan.
4. Teman-te man satu lab Fisika Teori Subiyanto, Adam Su kma Putra, Putra Wira
Kurnia wan, Switenia Wana Putri, Izzatu Ya zidah, Nuru llae li, Ika Ikrima , Ka k Rudy, Ka k
Mardanih, Ka k Teguh, te man-te man satu angkatan fisika 44 dan fisika 45, te man satu kost “MH Kost” serta semua ka kak dan adik ke las yang selalu me mbe ri masukan dan dorongan.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini jauh dari sempurna, o leh karena itu, saran dan
kritik yang bersifat me mbangun sangat diperlukan bagi penulis. Se moga skripsi ini berman faat
bagi semuanya.
Bogor, Januari 2011
DAFTAR ISI
Hala man
DAFTAR GAM BAR……….………..……….. iii
DAFTAR LAMPIRAN……….……….……… iv
BAB 1 PENDAHULUA N……….……… 1
1.1 Latar Be la kang ………..….……… 1
1.2 Tu juan Penalit ian ……….………...……… 1
1.3 Ru musan Masalah ……….……….……… 1
1.4 Hipotesis ……….……… 1
BAB 2 TINJAUA N PUSTAKA……… 1
2.1 Replikasi DNA……….……… 1
2.2 So lusi SolitonDNA Model PBD ……….……….………... 2
BAB 3 M ETODE PENELITIAN……….………..………… 4
3.1 Waktu dan Te mpat Penalitian……….………. 4
3.2 Pe ralatan ………..………..…………. 4
3.3 Studi Pustaka ……….. 4
3.4 Penurunan Solusi Secara Analitik…….……..………..……….. 4
3.5 Analisa Hasil Perh itungan Analitik …….……….………..…… 4
BAB 4 HASIL DAN PEM BAHASA N……….……….……… 4
4.1 Pe rsamaan NLS Soliton Model PBD…………...……….…….. 4
4.2 So lusi Persa maan NLS Soliton Model PBD…..…….………. 7
4.3 Analisa Hasil Perh itungan Analitik ..………..……….... 9
BAB 5 KESIM PULA N DAN SARA N……….…. 13
5.1 Kesimpulan ………..………..…. 13
5.2 Sa ran ……….………..… 13
DAFTAR PUSTA KA……….……….……….. 13
Ga mbar 1. Proses repikasi DNA (a) Rantai double helix DNA sebelum mengala mi
replikasi (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi (c)
Replikasi Semik onservatif…..………. 2 Ga mbar 2. Representasi grafis model sederhana untuk rantai DNA……… 2 Ga mbar 3. Kara kteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD
hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0………..……. 9 Ga mbar 4. Kara kteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD
hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 (a) profil soliton DNA dala m tiga d imensi (b) profil soliton DNA ta mpak atas……….. 10 Ga mbar 5. Kara kteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD
hingga orde-4 pada saat = 1010, a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva me rah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1 dan kurva hita m ket ika a = 3 x 1010 m-1 (b) profil soliton DNA dala m t iga dimensi (c) profil soliton DNA ta mpak atas.……….. 11 Ga mbar 6. Kara kteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD
DAFTAR LAMPIRAN
Hala man
La mp iran A. Diagra m Alir Penelit ian ….………..……….… 16
La mp iran B. Solusi Soliton DNA Model PBD ….……….… 17
La mp iran C. Penurunan Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD ………... 21
BAB 1
yang berhubungan dengan proses biologis seperti pada proses replikasi. Permasalahan utama dala m b iofisika adalah bagaimana sifat fungsional yang berhubungan dengan struktur DNA dan kara kteristik fisik dinamika. Efe k getaran nonlinear solitonDNA perta ma ka li dije laskan oleh Englander
et al [1]. Su mber lain [2-9] telah menyebutkan bahwa bentuk topologi k ink soliton atau bell-shaped breathers
me rupakan kandidat utama da la m d inamika
nonlinear DNA. Na mun, sebuah hirarki model yang paling penting bagi dinamika
nonlinear DNA disajikan oleh Yakushevich [10].
Soliton adalah gelombang soliter
(sebuah paket gelombang atau pulsa) yang me mpe rtahankan bentuknya dan menjala r dengan kecepatan konstan [11]. Soliton
disebabkan oleh efek nonlinear dan efek dispersif dala m mediu m. Efe k dispersif me rujuk pada hubungan dispersi, hubungan antara frekuensi dan kecepatan gelombang dala m med iu m.
Proses pembukaan dari DNA
(denaturasi) merupakan proses dengan amp litudo kecil, sela ma dapat mera mbat sepanjang rantai yang memungkinkan
pembukaan ikatan hidrogen dan
pembentukan gelombang denaturasi. Gelo mbang soliton pada DNA model PBD mengga mbarkan me kanis me peregangan pada ikatan hidrogen. Model dinamika DNA pertama ka li diaju kan oleh Peyrard dan Bishop [7] dan dike mbangkan oleh Dau xo is [12-16] dengan potensial morse berperan mengga mbarkan ikatan hidrogen antar
nuk leotida dalam strand (rantai) yang berbeda. Model Peyrard-Bishop-Dauxo is selanjutnya disebut sebagai model PBD.
Model PBD juga bisa didekatkan pada gelombang soliton, karena soliton
me rupakan solusi persamaan dife rensial
nonlinear yang me miliki energ i total berhingga, terloka lisasi dala m ruang, bersifat
stabil, dan tidak menyebar. Pro fil sebaran rapat energinya menyerupai gundukan yang terpusat dalam rentang ruang berhingga. Setiap gelombang soliton dicirikan oleh sifat tidak berubahnya topologi yang menunjukkan sifat kestabilannya.
1.2 Tujuan Peneliti an
Studi ini bertujuan untuk mengkaji pendekatan hingga orde-4 dalam ekspansi potensial morse, sehingga memungkinkan me mpe la jari me kanisme denaturasi dengan amp litudo yang relatif leb ih besar dan pengaruh orde-4 terhadap gelombang soliton
DNA mode l PBD.
1.3 Rumusan Masalah
Ru musan masalah yang ditinjau dala m tugas akhir ini me liputi pe mecahan persamaan gelo mbang soliton DNA model PBD dengan aproksimasi taylor potensial morse hingga orde-4. Se lanjutnya hasil yang diperoleh dibandingkan dengan solusi orde-3.
1.4 Hi potesis
Pada penelitian ini a kan diperoleh persamaan gelo mbang soliton DNA dengan efek anharmonik untuk e kspansi potensial morse hingga orde-4 dan perbandingan kara kteristik ga mbar solusi ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan solusi ekspansi potensial morse hingga orde-4.
2
Replikasi DNA bersifat semik onservatif, yaitu kedua rantai tunggal DNA bert indak sebagai cetakan untuk pembuatan rantai-rantai DNA baru, seluruh rantai-rantai tunggal cetakan dipertahankan dan rantai yang baru dibuat dari nuk leotida-nukleotida [17].
Pada sel proses replikasi DNA terjadi sebelum pembelahan sel. Sel prok ariot terus-menerus mela kukan replikasi DNA, sedangkan sel euk ariot waktu terjadinya replikasi DNA sangat teratur, yaitu pada fase S daur sel, sebelu m mitosis atau me iosis I. Penggandaan tersebut me manfaatkan
enzim DNA polimerase yang me mbantu pembentukan ikatan antara nuk leotida-nuk leotida penyusun polime r DNA. Proses
replikasi DNA dapat pula dila kukan in vitro
dala m proses yang disebut reaksi berantai
polimerase (PCR) [17].
2.2 Solusi Soliton DNA Model PB D
Bentuk B-DNA da la m model Watson-Cric k me rupakan helix ganda, yang terdiri atas dua alur s1 dan s2 seperti terlihat pada
Ga mbar 2, dihubungkan oleh interaksi secara harmonik dengan tetangga terdekat di sepanjang rantai. Alur yang digabungkan satu sama la in mela lui ikatan hydrogen yang seharusnya untuk perpindahan transversal nuk leotida.
Gambar 2. Representasi grafis model sederhana untuk rantai DNA [16]
Gambar 1. (a) Rantai double helix DNA sebelum mengala mi rep likasi [18] (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi [19] (c ) Rep likasi Semik onservatif [17]
(a) (b) (c)
K
Berdasarkan literatur mengasumsikan m
me rupakan massa untuk nuk leotida, kopling
k konstan di sepanjang rantai yang sama dan kopling K konstan di sepanjang rantai yang berbeda [7,12,13]. Pada model PBD yang
kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen, diberikan Ha miltonian untuk rantai DNA [12, 13,15]
……….(1)
Keterangan:
k adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang sama
K adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang berbeda
H adalah Ha miltonian potensial morse yang mendekat i potensial ikatan hydrogen
D adalah kedala man potensial mo rse
a adalah jarak antar nuk leotida pada rantai yang berbeda
Hal in i lebih mudah untuk mengga mbarkan gerakan dua alur dengan me mbuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewa kili gera k ke dala m dan gerak keluar untuk gerakan transversal,
yaitu
, ……….(2)
substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) ma ka dipero leh persamaan dina mis yang mengga mbarkan ge lo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran A)
………...(3)
dan
. ……….(4)
dari hubungan persamaan (3) dan persamaan (4) diperoleh persamaan dina mika DNA yang menggambarkan gelo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran A yaitu persamaan (A.5)- (A.17))
…………(5)
dan
….(6)
Seperti dijelaskan dengan asumsi DNA bergerak dengan amp litudo sangat kecil dala m beberapa artike l dapat menerapkan transformasi [11-13, 14, 19, 20]
atau ……….…….(7)
Substitusi persamaan (6) ke persa maan (7) ma ka d iperoleh persamaan
…..(8)
karena persa maan (8) susah diselesaikan secara analitik ma ka persamaan tersebut harus diubah ke ek spansi taylor dan mengasumsikan bahwa osilasi nukleotida
4
soliton DNA model PBD
………...(11)
agar persamaan (11) dapat dipecahkan sehingga harus diterapkan pendekatan semi-disk rit yang artinya bahwa mencari solusi
frekuensi optik dari getaran pendekatan
linear, q adalah bilangan gelombang soliton
DNA, c.c adalah istilah conjugate-complek s
dari fungsi F1, F2dan F3.
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Te mpat Penelitian
Penelit ian ini dila kukan di Laboratoriu m Fisika Teori Departe men Fisika Faku ltas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mu lai bulan Ju li 2010 sampa i bulan Desember 2010.
3.2 Peralatan
Peralatan yang digunakan adalah alat tulis, laptop, software maple 11 dan
software MATLAB 2008b yang bertujuan menganalisa hasil solusi secara ko mputasinya dan simulasi dari hasil perhitungan analitik.
3.3 Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan untuk me maha mi p roses dalam mencari solusi
soliton DNA model PBD dan me maha mi konsep perhitungan secara mate matis, ke mudian me lihat hubungan segi fisis yang diperoleh sehingga me mberi kesan bahwa tidak hanya persoalan mate matis saja yang dibahas mela inkan me mbahas hubungan antar variabel.
3.4 Penur unan S olusi Secara Analitik
Metode ini dilaku kan dengan metode mate mat is untuk mendapatkan persamaan NLS model PBD dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 yang kemudian mensubstitusikan anzats (tebakan solusi) traveling persamaan (14) ke persamaan (30)
………(14)
3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik
Metode ini menggunakan metode plot
yaitu dengan cara me mbuat plot antara variabel bebas (waktu) dengan variabel terikat (yn) pada software MATLAB dala m
me mbuat gambar dan menganalisis solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Persamaan NLS Soliton DNA Model
PBD
Persamaan (12) merupakan persamaan untuk kasus disk rit dan untuk menyelesaikannya harus diubah ke batas
k ontinu dengan menga mbil batas dan menerapkan transformasi [16, 21, 22]
, ………..(15)
……...….(16)
dengan mengubah fungsi F0, F1, F2 dan F3
pada persamaan (12) menjad i bentuk k ontinu
seperti persamaan (16) dan kemudian
mensubstitusikan persamaan hasil modifikasi tersebut ke persamaan (11), sehingga diperoleh persamaan (17) yang mengga mbarkan koefisien , dan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.3a)-(B.6))
………...…………(17)
Persamaan (17) merupakan bentuk
k ontinu hasil transformasi untuk koefisien F1
dari persamaan (11), dengan menya makan koefisien untuk berbagai gerak harmonik, bisa diperoleh hubungan penting untuk menyatakan F0, F2, F3 dalam F1 [12-14,22].
Misal menya makan koefisien untuk ke mudian diperoleh hubungan dispersi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7a) dan yaitu persamaan (B.7e)- (B.7g))
……….……..(19a)
dengan .……....(19b)
Asumsikan merupakan koefisien untuk ma ka d iperoleh hubungan F2
penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.7k)- (B.7n))
………...(21a)
dengan
(21b)
6
……...(22)
Agar persamaan NLS ( persamaan (22) ) lebih sederhana maka diterapkan transformasi koordinat baru [16, 21, 22]
………...(23)
dengan merupakan kecepatan group dari
nuk leotida. Berdasarkan persamaan (23) ma ka persa maan (22) d ila kukan transformasi men jadi ( penurunan lengkapnya dapat
Substitusi persamaan (24b) dan (24c ) ke persamaan (22) menghasilkan persamaan (25) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B ya itu persamaan (B.12))
………...(25)
karena nilai <<1, dapat diasumsikan orde
3 O( 4) 0 sehingga
……….(26)
agar terbentuk persamaan NLS ma ka kecepatan group dari nuk leotida harus berbentuk:
…….(27)
substitusi persamaan (26) ke persamaan (25) menghasilkan persamaan NLS ( persamaan (28)) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.14) - (B.17))
Persamaan (28) dapat diubah mejad i lebih sederhana dalam penulisannya dengan menerap kan pemisalan untuk koefisien dispersi dan koefisien nonlinear
2
……….(29a )
………....(29b )
…………....(29c)
Sehingga diperoleh persamaan NLS k ubik -k uiti-ksoliton DNA model PBD
..(30)
Persamaan (30) merupakan persamaan NLS
k ubik -k uintik untuk fungsi F1 dan untuk
menyelesaikannya harus menggunakan
anzats (tebakan). Berdasarkan persamaan tersebut terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 ya itu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear atau dengan kata la in potensial morse hingga orde-4 me mpuyai dua koefisien nonlinear. Nila i R
itu sendiri dipengaruhi oleh yang
me rupakan koefisien dari ekspansi deret taylor potensial morse hingga orde-4 ( 4).
Jika diambil nilai sama dengan nol maka
nila i koefisien nonlinear sama dengan nol (R=0), art inya persamaan (30) men jadi persamaan dengan ekspansi potensial mo rse hingga orde-3. Persamaan (12) jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi ma ka dipero leh koefisian nonlinear R me mpunyai orde ( 2), sedangkan untuk nila i itu sendiri sangat kecil sekali ( <<1),
artinya anzats (tebakan) pada persamaan (12) sudah tepat.
4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD
Agar persamaan (30) dapat diselesaikan ma ka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS k ubik -kuintik, dengan F1 merupakan
fungsi dari S dan , sedangkan merupakan frekuensi gelo mbang soliton DNA berperan sebagai varibe l bebas dan me rupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) ma ka d iperoleh persamaan
….…...(31)
kalikan persamaan (31) dengan ma ka
diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.2)- (C.5)):
…....(32)
Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.8)- (C.15))
………...………... (34)
Substitusi persamaan (34) ke persa maan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats
(tebakan) dari persa maan NLS k ubik -k uintik
( persamaan (35a ) ) dan untuk k onjugat (
persamaan (35b ) ) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu
8
………....…...(35a)
dan
..………...(35b)
Fungsi gelombang ( ) dari nuk leotida
dinyatakan dalam fungsi F0, F1, F2 dan F3,
karena persamaan NLS k ubik -k uintik hanya dinyatakan dalam fungsi F1 maka la kukan
substitusi persamaan (18a), (19a ) dan (20a ) ke persamaan (12)
…………...(36)
Solusi persamaan gelombang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) ma ka d iperoleh
………..………..……(37)
persamaan (38) tersebut dapat di sederhanakan men jadi
……….. (39)
Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut:
2 cos3( + ) ...(40)
Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) dengan me misalkan
yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dala m bentuk
2 cos3( + )…… (41)
dimana dan t me rupakan variabel bebas, sedangkan , , , , dan n merupakan
variabel terikat yang artinya nila i dari
variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persa maan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka ha rus dipenuhi >0 dan
P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0. n
itu sendiri menyatakan beda fase antara
nuk leotida yang berada pada rantai yang sama.
4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik
Bagian in i me mbahas hasil-hasil analisa
numerik yang berkaitan dengan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Progra m yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat dengan menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur.
Ga mbaran umu m dari proses replikasi (denaturasi) DNA mera mbat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Ga mbar 1), dengan bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi DNA akan berpindah terlihat seperti gelo mbang pada Ga mbar 3, Ga mbar 4, Ga mba r 5 dan Ga mba r 6.
Kasus pertama, ka rakteristik solusi hingga orde-3, pada kasus ini hanya menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-3 dan hanya terdapat satu koefisien nonlinear. Ga mbar 3 dan Ga mba r 4 merupakan representasi umu m proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan nilai para meter
a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3.
10
Kasus kedua, karakteristik Solusi hingga orde-4. Pada kasus ini menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-4 dan terdapat dua koefisien nonlinear. Ga mbar 5 merupakan representasi umu m
Pada Ga mbar 3, Ga mbar 4 dan Ga mba r 5 terlihat ada beberapa faktor yang me mpengaruhi model dari replikasi DNA, diantaranya jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda dan ekspansi deret taylor pada potensial mo rse. Potensial morse
itu sendiri me rupakan ikatan hidrogen antar
nuk leotida untuk rantai yang berbeda pada DNA, sedangkan jarak antar nukleotida
untuk rantai yang berbeda mempengaruhi lebar dari potensial morse. Perbedaan terlihat ketika menggunakan potensial morse
(b)
Gambar 5. Ka rakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-4 pada saat = 1010, a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat
T=0, kurva me rah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1 dan kurva hita m ketika a = 3 x 1010 m-1 (b) p rofil
12
hingga orde-3 dan hingga orde-4 pada panjang gelombang yang dihasilkan dala m satu siklus, semakin besar orde potensial morse yang dipakai ma ka sema kin kecil panjang gelombang yang terbentuk oleh suatu nukleotida.
Ga mbar 3 dan Ga mbar 5a me miliki amp litudo (simpangan) yang berbeda, terlihat ekspansi potensial morse hingga orde-3 me miliki a mplitudo yang positif dan ekspansi potensial morse hingga orde-4 me miliki a mp litudo yang negatif. Art inya pada saat ekspansi potensial morse hingga
orde-3 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke a rah un, sedangkan pada saat
potensial morse hingga orde-4 pergerakan
denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn.
Pada Ga mbar 5a terdapat dua grafik dengan amp litudo yang berbeda. Grafik warna semakin besar. Pengaruh lebar potensial morse dapat dilihat pada Ga mbar 6.
Lebar potensial morse me mpengaruhi amp litudo dari nukleotida, sedangkan lebar potensial mo rse itu sendiri bergantung pada jara k antar nuk leotida pada rantai yang berbeda. Berdasarkan Ga mba r 6 terlihat semakin besar jarak antar nukleotida rantai
yang berbeda, ma ka a mp litudo denaturasi
semakin kecil. Art inya lebar potensial morse berbanding terbalik dengan jarak antar
nuk leotida rantai yang berbeda.
)
Gambar 6. Kara kteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-4 pada saat = 1010 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 (b) pada saat a = 7 x 1010 m-1 .
(a)
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpul an
Model PBD merupakan model yang mengga mbarkan denaturasi DNA. Pada penelitian ini telah ditunjukan semakin banyak orde pada deret taylor yang dipakai untuk mengekspansi potensial morse ma ka hasil yang diperoleh lebih telit i atau akan diperoleh hasil yang mendekati nila i sebenarnya. Persamaan NLS k ubik -k uintik
terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 yaitu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear. Nila i R itu
sendiri dipengaruhi oleh yang merupakan koefisien dari ekspansi potensial morse untuk orde-4 ( 4). Jika diganti dengan
anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi maka dipero leh koefisian
nonlinear R terdapat orde ( 2), sedangkan untuk nilai itu sendi ri sangat kecil sekali ( <<1).
Ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga dapat me mperbolehkan a mplitudo
denaturasi relatif lebih besar. Berdasarkan persamaan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka harus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0.
Telah ditunjukkan pula pengaruh suku osilasi anharmonik hingga orde-4 terhadap replikasi (denaturasi) nuk leotida di dala m DNA. Ekspansi potensial mo rse hingga orde-3 terlihat bahwa denaturasi DNA lebih dominan ke arah un, pada ekspansi potensial
morse hingga orde-4 terlihat bahwa
denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn.
Sela in itu koefisien ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga me mpengaruhi panjang gelombang yang terbentuk lebih rapat atau semakin pendek dibandingkan ekspansi potensial morse hingga orde-3. Lebar potensial morse dapat mempengaruhi kara kteristik denaturasi yang cukup signifikan teruta ma pada a mplitudo (simpangan) gelombang soliton traveling.
5.2 Saran
Untuk pengembangan penelitian selanjutnya, ada beberapa hal yang perlu dila kukan. Metode numerik yang digunakan
sebaiknya yang mempunyai tingkat akurasi yang tinggi, mengekspansi potensial morse hingga orde yang lebih tinggi, dan dapat men injau untuk gerak longitudinal atau gerak torsional. Selain itu bisa meninjau pengaruh suhu terhadap denaturasi DNA.
DAFTAR PUSTAKA
1. Englander, S.W., Ka lenbach, N.R., Heeger, A.J., Kru mhansl, J.A. and
Litwin, S..‟Nature of the open state in long polynucleotide double helices:
possibility of soliton excitations’. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 7222-7226 (1980).
2. Yomosa, S., „Solitary excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟. Phys. Rev. A 30, 474-480 (1984).
3. Homma, S. and Takeno, S., „A coupled base-rotator model for structure and dynamics of DNA‟, Prog. Theor. Phys. 72, 679-693 (1984).
4. Zhang, Ch.T., „Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟, Phys. Rev. A-35, 886-891 transition, Dynamics and mechanism of long-range effects in DNA‟, J . Theor. Biol. 143, 485-496 (1989).
7. Peyrard, M. and Bishop, A.R.,
„Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation‟, Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758 (1989).
8. Zhang, Ch.T., „Harmonic and subharmonic resonances of microwave
14 Notes in Physics 393, Dijon (1991),p.79.
14. Zdravković, S. and Satarić, M.V.,
„Impact of viscosity on DNA dynamics‟, Phys. Scripta 64, 612-615 (2001).
15. Satarić, M.V. and Tuszy ski, J.A.,
Satarić, M.V., „Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of
”, Accessed on: August 10, 2009.
18. Anonim, “At:
com/images/snp_dna.jpg”, Diakses pada:
19 november 2010.
20. Zdravković, S., Tuszy ski, J.A. and
Satarić, M.V., „Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of viscosity‟,J. Comput. Theor. Nanosci.2, 171-179 (2005).
21.Remoissenet, M., „Low-a mplitude breather and envelope solitons in quasi-one dimentional physical models‟, Phys. Rev. B-33, 2386-2392 (1986).
22. Zdravković, S., „Nonlinear Dynamics of
DσA Chain’, will be published in Finely Dispersed Particles: Mic ro-, Nano-, and
AttoEngineering, Edited by A.Spasić and
16
Lampiran A. Diagr am Alir Penelitian
Selesai Mulai
Penelusuran literatur
Sudah siap
Penurunan solusi soliton DNA mode l PBD
Analisa hasil perhitungan solusi soliton DNA mode l PBD dengan menggunakan
maple 11 dan MATLA B
Aplikasi maple 11 dan MATLAB
Lampiran B. Solusi Soliton DNA Model PBD
Bentuk u mu m Ha miltonian
……….………...(A.1)
Transformasi koordinat pusat massa
, ………...………(A.2)
Bentuk persamaan (A.1) s etelah di transformasi ke koordinat pusat massa
...(A.3)
dan
……….……….(A.4)
Mencari persamaan gera k dengan menggunakan Lagrangian untuk xn
………...……(A.5)
dengan
………(A.6a)
………..(A.6b)
Substitusi persamaan (A.6a) dan (A.6b) ke persamaan (A.5)
………...(A.7)
Persamaan untuk mencari persa maan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange
………..………(A.8)
Substitusi persamaan (A.7) ke persa maan (A.8)
18
……….……..(A.9)
menga mbil asu msi
………...………..(A.10)
Substitusi persamaan (A.10) ke persamaan (A.9) dipero leh persamaan linear
………..(A.11)
Mencari persamaan gera k dengan menggunakan lagrangian untuk yn ke mbali ke persa maan (A.5)
dengan
………..………..…………..………(A.12a)
………(A.12b)
Substitusi persamaan (A.12a) dan (A.12b) ke persamaan (A.5) dip ero leh
.……(A.13)
Persamaan untuk mencari persa maan gerak dengan menggunakan Euler Lagrange untuk yn
………..……….(A.14)
Substitusi persamaan (A.13) ke persamaan (A.14)
...…….(A.15)
dengan mengambil asumsi
………...………...(A.16)
Substitusi persamaan (A.16) ke persamaan (A.15) diperoleh persa maan nonlinear
….(A.17)
atau ………....………(A.18)
Substitusi persamaan (A.18) ke persamaan (A.17)
...(A.19)
Ekspansi Deret Taylor untuk ponensial morse pada persamaan (A.19)
………(A.20)
………...………(A.21)
………...(A.22)
……….……(A.23)
Kurangkan persamaan (A.22) dengan persamaan (A.23)
20
Kalikan persamaan (A.24) dengan
………(A.25)
Substitusi persamaan (A.25) ke persamaan (A.19)
………...………...(A.26)
dimana , , ,dan ………..….………(A.27)
substitusi persamaan (A.27) ke persamaan (A.26)
………..……….….(A.28)
Pendekatan solusi gelo mbang soliton DNA model PBD
...(A.29)
dan
Lampiran C. Penurunan Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD
Transformasi diterapkan untuk kasus kontinu
, ………..………...(B.1)
Fungsi F untuk kasus k ontinu
………...……….(B.2)
Berdasarkan persa maan (A.28) ma ka harus dicari
….(B.
3a)
………...(B.3b)
….(B.3c)
(B.3d)
………(B.3e)
……..…..(B.3f)
…....….(B.3g)
22
……….(B.3h)
………..…..(B.3i)
Ke mbali ke persa maan (B.3a) na mun konjugat ko mple ksnya diperhitungkan
……….……….(B.3j)
……….………….(B.3k)
.……..(B.3l)
………...…………...…(B.3m)
Substitusi persamaan (B.3a- (B.3m) ke persamaan (A.28) ma ka dipero leh , ,
untuk koefisien
.(B.4a)
…….………...(B.4b)
Persamaan (B.3h ) dan persamaan (B.3i) untuk kasus semi diskrit mengacu ke persamaan (B.2)
……….(B.5a)
………..….(B.5b)
Substitusi persamaan (B.5), (B.4) dan (B.3c) ke pe rsamaan (A.28)
……….………...…………(B.6)
Persamaan (B.6) dapat di pecah menjad i dua persamaan antara koefisien , dan
Untuk koefisien
24
Untuk koefisien
………...(B.7b)
Untuk koefisien
………(B.7c)
Berdasarkan persa maan (B.7a) untuk koefisien F1
………..…….…….(B.7d)
Asumsikan dan
………...…...………(B.7e)
.………...……..…………..….(B.7f)
ma ka
………...………....……....(B.7g)
………...……..…...(B.7h)
dengan ………...………(B.7i)
………...………….………….(B.7j)
Asumsikan untuk koefisien
………...…...…….…(B.7k)
Substitusi persamaan (B.7i) ke persa maan (B.7j)
………..………..……....…..(B.7l)
dengan ………....………(B.7m)
………..……….……….(B.7n)
Substitusi persamaan (B.7g) dan (B.7i) ke pe rsamaan (B.4a ) sampa i (B.4c )
………...…...(B.8a)
26
………..……...(B.8b)
………...………(B.8c)
Substitusi persamaan (B.8a), (B.8b) dan (B.8c ) ke persa maan (B.7a)
………...(B.9)
Persamaan (B.9) dengan mentransformasi
……….………(B.10)
Berdasarkan persa maan (B.10) ma ka persa maan (B.9) dapat di ubah
……….………..……….(B.11a)
……….(B.11b)
Substitusi persamaan (B.11b) dan (B.11c ) ke persa maan (B.9)
………...…....(B.12)
dengan mengambil orde O( 3)= O( 4)=0 art inya
………..……….…….(B.13)
Persamaan (B.12) men jadi bentuk
……….. (B.14)
Kalikan persamaan (B.14) dengan diperoleh persamaan NLS
………... (B.15)
Agar terbentuk persamaan NLS ma ka harus dipenuhi
……….(B.16)
Substitusi persamaan (B.16) ke persa maan (B.15) maka d iperoleh
28
misalkan
……….…(B.18a)
……….…………(B.18b)
……….….……...(B.18c)
Substitusi persamaan (B.18a ), (B.18b ) dan (B.18c ) ke persa maan (B.17)
……….………..….…(B.19)
Lampiran D. Penur unan Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PB D
Persamaan anzats traveling dari persamaan NLS k ubik -k uintik tersebut diberikan
………...………...(C.1)
Substitusi persamaan (C.1) ke persa maan (B.19)
………..………...…(C.2)
Selanjutnya ka likan persamaan (C.2) dengan
………...………….(C.3)
Persamaan (C.3) dapat dituliskan ke mba li dala m bentuk:
………...…….…..(C.4)
yang mengindikasikan bahwa:
……….………...………....(C.5)
dimana c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya kita kemba li me mbatasi diri pada solusi yang
me miliki kondisi 0 dan u 0 pada S ±∞ dan mengimplikasikan c = 0.
Persamaan (C.5) dapat diatur ke mbali menjadi:
………..………...…(C.6)
atau
30
Integrasikan persamaan (C.7) untuk mencari solusi
………..……….…………....(C.8)
Untuk menyelesaikan ruas kiri dari persamaan (C.8) harus menggunakan pemisalan
atau ………...……….………..……..(C.9a)
………..……….(C.9b)
Substitusi persamaan (C.9a) dan (C.9b) ke persamaan (C.8)
………..………..…(C.10)
Persamaan (C.10) untuk ruas kiri dapat diubah men jadi
………...….…………..(C.11a)
Ruas kanan Persamaan (C.11a ) adalah
………...………(C.11b)
dengan ………...…….……...(C.11c)
ma ka persa maan (C.11a) menjadi
………...(C.11d)
Integrasikan persamaan (C.8) ruas kanan terhadap S
……….……….….………(C.11e)
Substitusi persamaan (C.11d) dan (C.11e ) ke persa maan (C.8)
Untuk menghilangkan fungsi logarit ma natural pada persamaan (C.12) maka kedua rusa harus di eksponensialkan
……….…(C.13)
Agar tanda akar pada persamaan (C.13) h ilang ma ka kedua ruas harus di kuadratkan
………..………….…….(C.14)
32
……….………....(C.15)
Substitusi persamaan (C.15) ke persa maan (C.1) ma ka dipero leh solusi F1(S, )
………...……….(C.16a)
Artinya untuk konjugat ko mple knya adalah
………...………….(C.16b)
Untuk me mpe roleh fungsi gelombang ( ) hanya dalam fungsi F1 maka la kukan substitusi
persamaan (B.7f), (B.7i) dan (B.7m) ke persa maan (B.3a)
………..(C.17)
34
…………(C.18)
misal ……….(C.19)
Persamaan (C.19) dapat disederhanakan menjadi
………...……….……..(C.20)
Persamaan (C.20) men jadi lebih sederhana
……….……….(C.21)
untuk kasus amplitudo yang besar
………...……...(C.22)
Lampiran E. Progr am Analisa Solusi Gel ombang Soliton Traveling DNA Model PBD
e2=0.01; % untuk ekspansi hingga orde-4 dan e2=0.001 untuk
ekspansi potensial morse hingga orde-3
sigma=1e10;
%Definisi koefisien orde-1 sampai orde-4 alfa =(-3*a)/sqrt(2);
beta =7*a^2/3;
gamma=0; % solusi hingga orde-3
gamma =(-(sqrt(2)*31*(a^3))/12); % solusi hingga orde-4
%Definisi hubungan F1 dengan F0, F2 dan F3 miu=-2*alfa/(1+4*K/(m*wg.^2));
%Definisi koefisien dispersi(P) dan koefisien nonlinear(Q dan R) Q=(-wg.^2*(2*alfa*(miu+delta)+3*beta)/(2*w));
R=(-wg.^2*e2*delta*2*gamma)/w;
P=((((l^2)*(k*cos(l*q)-K*(h^2)*cos(l*q*h))/m)-Vg^2)/(2*w));
36
Psi(i,j)=sqrt((4*sigma)/(sqrt(((16*sigma*R)/3)+Q^2)*cosh(-2*(S(i,j))*sqrt(sigma/P))+Q));
%Grafik 3 dimensi gelombang DNA Traveling figure
![Gambar 1 . (a) Rantai double helix DNA sebelum mengalami replikasi [18] (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi [19] (c ) Replikasi Semikonservatif [17]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/765324.297072/13.596.198.467.570.720/gambar-mengalami-replikasi-rantai-terjadi-replikasi-replikasi-semikonservatif.webp)
