Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 819
PEM ETAAN PENYAKIT DEM AM BERDARAH DI KOTA BOGOR M ENGGUNAKAN POISSON M IXTURE M ODEL
1
I Gede Nyom an M indra Jaya
1
Depart em ent St at ist ika Universit as Padjajdaran jay.kom ang@gm ail.com
ABSTRAK. Pem et aan penyakit m enjadi t opik pent ing dalam bidang epidimiologi. St andardized M orbidity Rat io (SM R) dinilai t idak handal sebagai penaksir resiko relat ive khusunya pada area kecil. Banyak m et ode yang t elah dikem bangkan unt uk m endapat kan t aksiran resiko relat ive yang paling reliabel. Kehandalan dari penaksir resiko relat ive sangat lah pent ing karena inform asi ini akan dijadikan rujukan unt uk m engident ifikasi area-areayang harus m enjadi priorit as penanggulangan penyakit . Salah sat u m et ode t ersebut adalah Poisson M ixt ure M odel. M et ode ini dinilai m am pu m enghasilkan pem et aan penyakit dengan pola spat ial yang lebih jelas dibandingkan dengan SM R. Hasil pem et aan berupa klust er-klust er dari klust er dengan Resiko Relatif t inggi sam pai klust er dengan resiko relat if rendah. Deviance log likelihood dijadikan dasar unt uk m enent ukan ukuran klust er yang paling sesuai. Pada penelit ian ini, m et ode Poisson M ixture M odel dit arapkan unt uk m engidenfikasi pola penyebaran Penyakit Dem am Berdarah di Kot a Bogor Tahun
2012.Dit em ukan 48 Keluruhan m em iliki nilai Resiko Relat if lebih besar dari 1 dan yang paling besar adalah Kelurahan Tanah Sereal.
KataKunci : Pem et aan Penyakit , SM R, Poisson M ixt ure M odel, Log Likelihood
1. PENDAHULUAN
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 820
Berdarah Dengue (DBD).Penyakit DBD disebabkan oleh virus dengue yang dibaw a oleh nyam uk aedes aegypt i bet ina lew at air liur gigit an saat m enghisap darah m anusia [1].
Jaw a Barat adalah salah sat u Provinsi di Indonesia dengan angka kejadian DBD m asuk dalam kat egori Tingggi. Pada Tahun 2009 Jaw a Barat m enduduki posisi ke enam dengan angka kejadian t ert inggi yait u ham pir 90 kasus dit em ukan unt uk 100.000 penduduk. Bogor salah sat u Kot a di Jaw a Barat sebagai penyum bang t erbesar kasus DBD di Jaw a Barat [1]. Tercat at sebanyak 64 dari 68 keluruhan di Kot a Bogor Endem is DBD [2]
Dat a yang dikum pulkan dalam riset um um nya m engandung variasi t idak t erkecuali dat a dat a yang dikum pulkan dalam st udi epidemiologi at au dunia kesehat an khususnya . Variasi yang melekat pada dat a seringkali disebabkan oleh berbagai fakt or diant aranya adanya dependensi spat ial, dan pengaruh dari variabel yang t idak t erobservasi baik yang bersifat sist m at is m aupun random . Ident ifikasi dan pem odelan variansi ini dapat dilakukan secara st at ist ic [3]. Variansi yang t erjadi pada dat a count ing at au cacah berakibat pada t erjadinya overdisversi yait u nilai variansi berbeda dengan nilai rat a-rat anya. Unt uk penelit ain spasial, overdisversi ini lebih sering t erjadi pada kondisi dat a yang dikum pulkan dari area-area dengan variasi yang bebeda khususnya dari luas area, jum lah penduduknya sert a berbegai fakt or lainnya.
Pem et aan penyakit dalam st udi epidemiologi m enjadi salah sat u t opic reset yang sangat berkem bang. Kebut uhan inform asi yang reliabel t engang kelom pok area at au area dengan resiko t inggi t erjangkit suat u penyakit m enjadi keharusan. Inform asi ini akan dijadikan rujukan bagi pemerint ah m elalui dinas kesehat an unt uk m elakukan priorit as penangan penyebaran penyakit
Ukuran St andardized M ort alit y / M orbidit y Rat io (SM R) yang um um nya digunakan dalam pem et aan penyakit . Nam un ukuran ini dapat m em berikan inform asi yang keliru dalam pem et aan penyakit , karena area-area kecil (small area) cenderung m enginform asikan nilai resiko relat ive yang t inggi dan area besar cenderung m em berikan inform asi resiko relat ive yang kecil [4].
Kekuranghandalan dari SM R dalam menaksir resiko relat ive m enjadi fukus penelit i. Beberapa penelit i t elah mengusulkan berberapa m et ode alt ernat ive. Clayt on dan Kaldor (1987) m engusulkan m et ode em pirical Bayes Poisson-Gam m a dan Poisson Lognorm al. M et ode ini dit erapkan pada pem et aan kangker bibir di Skot landia. M et ode Em pirical Bayes m erupakan sebuah m et ode pem ulusan dengan m enghilangkan pengaruh fakt or ext ernal yang m enyebabkan t erjadinya overdispersi. M et ode Em pirical Bayes m em anfaat kan
inform asi area t et angga unt uk m eningkat kan kualit as penaksiran resiko relat ive. Clayt on dan Kaldor (1987) m enggunakan m et ode M aksim um Likelihood dalam m enaksir param et er prior dalam em pirical Bayes.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 821
area saling independen. Sedangkan met ode local m engsum sikan resiko relat ive di suat u area saling mem pengaruhi.
Schlat t m ann and Bohning (1993) m engusulkan sat u pendekat an baru dengan m et ode Poisson M ixture M odel at au juga dikenal dengan Nonparam et ric M aksim um Likelihood (NPM L).Unt uk m enjelaskan variansi yang t erjadi dalam dat a digunakan fungsi peluang m ixt ure dari variabel yang t eram at i sepert i variabel jumlah kasus pada suat u area.Pedefinisian fungsi peluang secara t epat dapat m em bant u m engident ifikasi dan m em odelkan variansi scara t epat . Fungsi peluang dari jum lah kasus m engikut i dist ribusi Poisson dan dikat akan Nonparm aet ric M ixt ure M odel karena param et er lamda sebagai param et er resiko relat ive dan param et er proporsi keanggot an kom ponen t idak diket ahui [6].
Kelebihan met ode Poisson M ixture M odel dibandingkan m et ode klasik adalah m et ode klasik yait u m em berikan visualisai resiko relat ive yang lebih jelas dalam pet a karena pet a hanya t ersusun dari clust er. M et ode ini m engasum sikan area dalam kom ponen m em iliki resiko relat ive yang sam a dan berbeda ant ara kom ponen.
Penelit ian ini dilakukan dengan t ujuan m em et akan resiko relat ive penyakit DBD di Kot a Bogor unt uk m engident ifikasi kelom pok area yang m emiliki resiko t inggi.
2. M ETODEPENELITIAN
Dat a penelit ian kasus DBD di Kot a Bogor Tahun 2012 diperoleh dari Dinas Kesehat an Kot a Bogor. Pada t ahun 2012 dit em ukan sebanyak 982 Kasus DBD dari t ot al 1.004.831 penduduk yang m ungkin t erpapar DBD. Secara keseluruhan peluang seorang t erjangkit DBD di Kot a Bogor sangat lah kecil hanya sebesar 0.00098 sehingga kejadian DBD di Kot a Bogor m engikut i dist ribusi Poisson.
Poisson M ixture M odel
Schlat t m ann and Bohning (1993) m em perkenalkan m et ode Poisson M ixt ure M odel unt uk m enaksir paramet er resiko relat ive. M et ode ini didasarkan pada perm asalahan konsist ensi penaksi m aksim um likelihood unt uk param et er yang banyak. Neyman-Scot t problem, m enyat akan sulit m endapat kan t aksiran param et er yang konsist en unt uk banyak param et er dikait kan dengan ukuran sam pel yang kecil. Kiefer and Wolfow it z (1956) m enunjukkan bahw a t aksiran param et er yang konsist en m ungkin diperoleh jika t erdapat yang diasum sikan berasal dari sebuah populasi param et er dari dist ribusi yang t eridenfiikasi dengan :
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 822
P adalah fungsi dist ribusi yang t idak diket ahui dist ribusi peluanganya sehingga dapat disnyat akan bahw a berasal dari populasi dengan non param et ric m ixt ure densit y sebagai berikut :
…..(2)
Dengan yait u proporsi keanggogaan m asing-m asing kom ponen. Unt uk m enaksir paramet er dan digunakan m et ode Non Param et ric M axim um Likelihood (NPM L). Unt uk m endpat kan solusi dari met ode NPM L digunakan m et ode EM Algorit hm [6].
Non Parametric M aximum Likelihood
M isalkan area yang dit elit i t erdiri dari sub populat ion dengan set iap sub populat ion m em iliki resiko relat ive sebesar dengan ukuran set iap sub populasi sebesar
. Fungsi peluang M ixt ure Poisson dapat dit uliskan sebagai berikut :
…….(3) Fungsi peluang di at as t erdiri dari sub populat ion dengan sebanyak param et er resiko relat at if yang t idak diket ahui dan sebanyak bobot sub poulasi yang t idak diket ahui.
Estimasi
Berbagai m et ode dikem bangkan unt uk m enaksir param et er m ixt ure m odel diant aranya m et oe grapik, m et ode m om en, m et ode jarak m inim um , m et ode m axim um likelihood dan m et ode bayes. Nam um t idak ada sat upun m et ode yang m em berikan form ula eksplisit dalam m enaksir param et er mixt ure m odel.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 823
……(4) Um um nya lebih m udah dicari solusi dengan m enggunakan fungsi log likelihoodnya :
….(5)
Tidak ada solusi t ert ut up unt uk unt uk m em aksim um kan fungsi loglikelihood diat as karena adanya t anda sigm a set elah log sebagai bent uk dari m ixt ure m odel. Pendekat an non linear um um nya digunakan unt uk m encari solusi unt uk m emaksim umkan fungsi log likelihood diat as .
Dem pst er, Laird, and Rubin (1977) m em perkenalkan met ode EM (Expect at ion
M axim izat ion) Algorit hm unt uk dat a hilang guna m enaksir param et er m ixt ure m odel. Dalam penaksiran paramet er, diasum sikan t erdapat variabel lat en yang berpasangan dengan observasi . Variabel lat en m erupakan variabel indicat or dengan nilai {0,1}. Variabel ini diposisikan sebagai variabel m issing dalam im plem ent asi EM . Variabel observasi diasum sikan sebagai vairabel dengan m issing label sehingga dat a yang lengkapnya adalah
dengan set iap observasi diket ahui keanggot aannya dalam klust er.
M isalkan indicat or vect or berdim ensi dengan m enyat akan banyak kom ponen
(clust er) sehingg label indicat or dapat dit uliskan dengan jika dan hanya jika ; dan 0 , unt uk kondisi lainnya sehingga m udah dipaham i bahw a
dan diasum sikan diam bil dari populasi berdist ribusi mult inom ial unt uk pengam bilan sat u sam pel( )dengan kat egori dan peluang unt uk set iap kat egori sehingga dapat dit ulis fungsi peluangnya sebagai berikut :
….(6) Dengan . Banyak observasi yang m asuk dalam kom ponen ke-k dapat
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 824
……(7) Fungsi densit as gabungan dapat diperoleh dari perkalit an fungsi densit as bersyarat
dengan fungsi densit as m arjinal . Ket ika m aka
sehingga secara sederhana dapat dit uliskan begit u juga unt uk
m aka at au . Sehingga,
………(8) Perhat ikan bahw a observasi dapat dipert im bangkan diam bil dari kom ponen ke-j dengan fungsi densit as dan peluang . Sehingga, dengan Teorem a Bayes, dapat dihit ung peluang observasi akan m asuk ke kom ponen-j jika sudah t eram bil m isalkan dinyat akan dengan
….(9)
EM Algorithm
Dalam kait an pem et aan penyakit sehingga fungsi likelihood dari densit as bersam a dapat dit ulis sebagai berikut :
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 825
…..(10) Tahap Expectation (E)
Pada t ahap ini dicari ekspekt asi dari fungsi loglikelihood . Perhat ikan bahw a fungsi peluang dari Z| y adalah Bernoulli sehingga :
Selanjut nya diperoleh :
…(11) Dengan m enyat akan peluang observasi ke-i m asuk ke group –j.
Tahap M aximization (M )
Tahap M pada algorit m a EM adalah m em aksim um kan yait u dengan m enurunkan fungsi at as param et er-param et er yang akan dit aksir. Sehinga diperoleh :
Secara um um algorit m a unt uk m enaksi paramet er dan dapat dit uliskan sebagai berikut :
1. Tet apkan nilai aw al unt uk dan
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 826
b. Nilai ~ Uniform
2. Tahap Expect at ion : M enghit ung ekspket asi dari loglikelihood( dengan form ulasi dengan
3. Tahap M aximizat ion (M ) : M em aksim um kan ekspektasi dari loglikelihood dengan nilai baru unt uk dan sebagai berikut :
4. Ulangi t ahap 2 dan 3 sam pai diperoleh nilai t aksiran yang konfergen
M enguji Banyak Komponen
Unt uk m enent ukan banyak kom ponen yang m ew aliki dat a dapat dilakukan dengan pengujian hipot esis sebagai berikut :
H0 : Banyak kom ponen = H1 : Banyak kom ponen =
St at ist ik uji yang digunakan adalah Likelihood Rat io t est dengan form ulasi sebagai berikut :
Krit eria uji yang digunakan adalah jika nilai lebih besar dari nilai m aka hipot esis nol dit olak yang art inya banyak kom ponen lebih sesuai.
3. HASILPENELITIANDANPEM BAHASAN
Taksiran resiko relat ive unt uk dat a DBD di Kot a Bogor Tahun 2012 dengan m et ode Poisson M ixt ure M odel at au Nonparamet rik M aksimum Likelihood diperoleh m enggunakan bant uan Soft w are R dengan package CAM AN. Hasil perhit ungan disajikan pada Tabel di baw ah ini :
Tabel 1. Taksiran Bobot dan Parameter Relative Risk M enggunakan Package CAM AN
Kom ponen Bobot Param et er Log-Likelihood LRT Chi-Square
0.060 0.000
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 827
Kom ponen Bobot Param et er Log-Likelihood LRT Chi-Square
0.504 1.061
0.161 2.085
0.059 0.000
0.250 0.425
5 0.486 1.005 -238.8186 11.4892 0.0007
0.189 1.829
0.016 3.680
0.000 0.000
0.110 0.042
6 0.270 0.556
0.438 1.067 -233.074 -
0.167 1.886
0.016 3.688
Hasil perhit ungan m enunjukkan bahw a banyak kom ponen 5 yang lebih sesuai unt uk m ew akili dist ribusi kasus DBD di Kot a Bogor dengan pert im bangan bahw a absolut e nilai loglikeliood nya lebih kecil dibandingkan 4 kom ponen dan hasil Chi-Square m enunjukkan p.value kurang dari 0.05. Walaupun nilai absolut e log-likelihood dari banyak kom ponen 6 lebih kecil dibandingkan 5 nam un jika diperhat ikan bobot sam a dengan nol sehingga banyak kom ponen 5 lebih sesuai.
Hasil ini m enginform asikan bahw a banyak kasus DBD yang dit em ukan diset iap kelurahan di Kot a Bogor berasal dari populasi dengan 5 subpopulasi dengan t aksiran param et er resiko relat ive dan proporsi unt uk set iap sub populasi disajikan sebagai berikut :
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 828
Selanjut nya unt uk t aksira peluang post erior disajikan pada t abel di baw ah ini :
Tabel 2. Taksiran Peluang Posterior dan Resiko Relatif
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 829
Hasil perhit ungan m enunjukkan bahw a kelurahan dengan resiko t inggi dit andai oleh nilai lebih besar dari 1. Persent ase kelurahan dengan resiko t inggi dapat dihit ung dengan m enjum lahkan proporsi unt uk resiko relat ive t inggi
at au 69.1% sedangkan persent ase keluarahan dengan resiko rendah adalah 3.09%. Keluruhan dengan resiko rendah m asuk dalam kelom pok 1 dan 2 sert a resiko t inggi m asuk dalam kelom pok 3,4 dan 5. Kelurahan dengan resiko rendah diant aranya adalah Kert am aya (66), Bojongkerjt a (67), Rancam aya (68). Sedangkan keluruhan dengan resiko sangat t inggi yait u Tanah Sereal (25).
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 830
St at it ist ik deskript if m enunukkan bahw a nilai resiko relat ive m aksim um unt uk NPM L lebih rendah dibandingkan SM R. Ini menunjukkan adanya pem ulusan at as nilai SM R. Sedangkan nilai t erendahnya sam a yait u 0.
Terlihat dengan jelas dari Grafik Boxplot dan Scat t erplot di baw ah adanya proses pem ulusan dari penaksir SM R yang dit unjukkan dari nilai Rent ang =K3-K1 unt uk NPM L yang lebih kecil dibandingkan dengan rent ang SM R.
BOGOR.N.P.M.L BOGOR.S.M.R
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 831
N.P.M.L
S.M.R
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
(a) NPM L (b) SM R
Gambar 2. Pemetaan Resiko Relatif
Secara um um t erlihat pola yang sam a ant ara pet a NPM L dengan SM R. Nam un jika dicerm at i dengan lebih seksam a t erlihat adanya beberapa perbedaan yang nyat a. Kelurhan yang m emiliki perbedaan adalah kelurahan yang diberikan t anda lingkaran put ih. Perbedan ini t erjadi lebih banyak pada kelurahan yang oleh est im at or SM R dit aksir t erlalu rendah, sehingga ini m enjadi inform asi yang sangat berharga unt uk lebih focus pada kelurhan-keluarahan dengan resiko relat ive t inggi. M et ode NPM L m enyat akan 48 kelurahan m asuk dalam kat egori t inggi dengan nilai resiko relative lebih besar dari 1 sedangkan SM R hanya 29 kelurahan.
4. SIM PULAN
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 832
spat ial yang t erjadi dalam dat a. Dit em ukan 48 Keluruhan m em iliki nilai Resiko Relat if lebih besar dari 1 dan yang paling besar adalah Kelurahan Tanah Sereal.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Soepardi, J. (2010). Bulet in Jendela Epidemiologi (Vol. 2). Jakart a: Depart em en Kesehat an RI.
[2] [ht t p:/ / w w w .t em po.co/ read/ new s/ 2014/ 06/ 07/ 083583138/ 95-Persen-Kelurahan-di-Kot a-Bogor-Endem is-DBD 03-02-2015].
[3] Chandrasekaran, K., & Arivarignan, G. (2006). Disease m apping using m ixt ure dist ribut ion. Indian J M ed Res , 123, 788-798.
[4] Clayt on, D., & Kaldor, J. (1987). Em pirical Bayes Est im at es of Age-St andardized Relat ive Risks for Use in Disease M apping. Biom et rics , 43, 671-681.
[5] M arshall, R. J. (1991). M apping Disease and M ort alit y Rat es Using Em pirical Bayes Est im at ors. Journal of t he Royal St at ist ical Societ y. Series C (Applied St at ist ics) , 20 (2), 283-294.
[6] Schlat t m ann, P., & Bohing, D. (1993). M ixt ure M odels and Disease M apping. St at ist ics In M edicine , 1943-1950.
