Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK

MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN

DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG

ANDRI TRI WIBOWO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, April 2013

ABSTRAK

ANDRI TRI WIBOWO. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.

Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun suatu model matematika. Model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diturunkan dan diselesaikan dengan metode homotopi. Dalam metode homotopi, didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Grafik fungsi penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan berdasarkan bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama.

Kata kunci: model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung, metode homotopi, metode perturbasi homotopi

ABSTRACT

ANDRI TRI WIBOWO. The Use of Homotopy Method for Pollution Models in Interconnected Three Lake Problems. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.

Pollution of lake is a very serious threat to the environment. One way to monitor pollution on lakes is constructing a mathematical model. The model of spreading pollution on interconnected three lakes is solved by using homotopy method. In homotopy method, it is defined as an operator based on differential equation forms in mathematical models. The result of this method is compared to the result of the perturbation homotopy method published by Merdan (2009). The graph of spreading pollution function on interconnected three lakes is based on the forms of pollution sources at the first polluted lake.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK

MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN

DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG

ANDRI TRI WIBOWO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung

Nama : Andri Tri Wibowo NIM : G54090001

Disetujui oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Dr Jaharuddin, MS NIP. 19651102 199302 1 001

Drs Ali Kusnanto, M.Si NIP. 19650820 199003 1 001

Diketahui oleh

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ayah A Zawawi (alm) dan ibu Dely Suhartini, beserta kakak Hendro Wijaya beserta istri, Dede Suhardi, tante Tini atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.

2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.

3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan bantuannya.

4. Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya, teman-teman Matematika 46 atas kebersamaannya, serta teman-teman omda Ikamusi atas bantuan, dukungan dan motivasinya selama ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penilitian-penilitian selanjutnya.

Bogor, April 2013

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN ix

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Karya Ilmiah 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Penurunan Model Matematika 2

Metode Homotopi 4

HASIL DAN PEMBAHASAN 7

Analisis Metode 7

Aplikasi Metode 9

Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan 9

Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal 13

SIMPULAN 17

Simpulan 17

DAFTAR PUSTAKA 17

LAMPIRAN 19

DAFTAR TABEL

1 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama 11 2 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus pertama 11 3 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua 14 4 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua 15

DAFTAR GAMBAR

1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau 2

2 Bagan aliran sumber polutan pada tiga danau 3

3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan metode homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan

7

4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus

pertama 12

5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus

pertama 12

6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus

pertama 12

7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus kedua 15 8 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus kedua 16 9 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus kedua 16

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penurunan persamaan (7) 19

2 Penyelesaian masalah nilai awal (10) 21

3 Penurunan Persamaan (16) 22

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Polusi telah menjadi masalah yang sangat serius bagi lingkungan hidup. Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam lingkungan hidup oleh kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai dengan peruntukkannya. Banyaknya bencana yang terjadi, seperti banjir dan tanah longsor, merupakan bukti besarnya polusi memengaruhi kelestarian lingkungan hidup.

Salah satu masalah yang terkait pencemaran lingkungan hidup, yaitu pencemaran danau. Danau memiliki manfaat yang besar bagi kehidupan manusia, seperti untuk pengairan sawah, sebagai objek pariwisata, sebagai pembangkit listrik tenaga air (PLTA), sebagai sumber penyedia air bagi makhluk hidup sekitar dan juga sebagai pengendali banjir dan erosi, sehingga dibutuhkan penyelamatan bagi danau tersebut. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju perencanaan untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada danau dapat dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu penyebaran jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian pencemaran yang terjadi.

Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul pada model matematika. Dalam karya ilmiah ini, akan dipelajari penyelesaian masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung. Masalah ini pernah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model matematika tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial ini seringkali sulit diselesaikan secara analitik.

Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik untuk memeroleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu persamaan diferensial. Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model laju alir polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung adalah metode aproksimasi Pade’ (Merdan 00 ), metode perturbasi (Merdan 2009), metode modifikasi transformasi diferensial (Merdan 2010), dan metode iterasi variasi (Biazar et al. 2010). Dengan metode aproksimasi Pade’ Merdan (2008) mencari penyelesaian model polutan dengan menggunakan transformasi Laplace suatu fungsi rasional. Dengan metode perturbasi, Merdan (2009) memisalkan penyelesaian model polutan ke dalam bentuk deret pangkat dari suatu parameter kecil. Metode modifikasi transformasi diferensial, Merdan (2010) menggunakan penyelesaian dalam bentuk deret Taylor. Sedangkan metode iterasi variasi, Biazar et al. (2010) membentuk suatu fungsi koreksi dengan menggunakan pengali Lagrange untuk memeroleh penyelesaian model polutan.

2

yang umum. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode homotopi akan dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).

Tujuan Karya Ilmiah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:

a. Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan model laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung, dan membandingkan penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksaknya.

b. Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode homotopi dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dalam (Merdan 2009).

c. Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan sumber polutan yang diberikan.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi penurunan model laju alir jumlah polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung berdasarkan pada Biazar et al. (2006), konsep dasar metode homotopi, dan contoh masalah sederhana yang diselesaikan dengan metode tersebut.

Penurunan Model Matematika

Berikut ini akan dibahas penurunan model dari permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau saling terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.

Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau

Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau

danau 1 danau 2

danau 3

3 Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan oleh anak panah pada Gambar 1.

Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari sumber polutan. Di dalam danau pertama polutan dapat mengalir ke danau kedua dan ketiga. Pada danau kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga, sedangkan di danau ketiga, polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau pertama. Aliran ini dapat disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan pada Gambar 2.

Gambar 2 Bagan aliran jumlah polutan pada tiga danau

Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu dilambangkan dengan p(t), dan konstanta dinyatakan sebagai laju aliran volume polutan dari danau i ke danau j.

Misalkan ( ) merupakan jumlah polutan dalam danau i pada t 0, dengan i = 1, 2, 3. Diasumsikan polutan di masing-masing danau tersebar secara merata di sepanjang danau oleh proses pencampuran, dan volume air di danau i tetap untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi bersifat homogen dan tidak menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana, sehingga konsentrasi polutan di danau i pada waktu diberikan oleh

( )

Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga (0) = 0 untuk setiap i = 1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danau j pada setiap waktu t, () didefinisikan sebagai berikut:

() () ()

Besaran () digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di danau i yang mengalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran, total laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang masuk dan keluar.

4

Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak berubah selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke xi(0) = 0, i = 1, 2, 3 dengan menggunakan metode homotopi dan membandingkan hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).

Metode Homotopi

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:

A[y(t)] = 0. (3)

dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi

Berdasarkan persamaan (3) dan (4), maka penyelesaian persamaan (u(t,0),0) = 0 dan (u(t,1),1) = 0 masing-masing adalah u(t,0) = ₀ , dan u(t,1) = y(t).

5 Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan (u(t,q),q) = 0 atau (1 - q) [u(t,q) - ₀ ] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan

Hasil pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8) digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan (7). Penurunan persamaan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1.

Untuk lebih memahami metode homotopi yang telah dibahas di atas, misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut:

(10)

dengan syarat awal x(0) = dan y(0) = . Penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (10) adalah

() e _{( e e} )

()

6

Berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan menggunakan metode homotopi. Misalkan didefinisikan operator berikut

Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan (12) sebagai berikut:

( ) 0 0

( ) ( ) ₀() ₀

Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga diperoleh

dan diberikan pada persamaan (9). Misalkan penyelesaian pendekatan awal 0 , ₀ . Selanjutnya persamaan (13) disubstitusikan ke persamaan

7

…

…

Program Mathematica untuk menggambarkan grafik dan dapat dilihat pada Lampiran 2. Gambar 3 menunjukkan perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) secara eksak dengan penyelesaian menggunakan metode homotopi. Berdasarkan Gambar 3 tersebut diperoleh bahwa penyelesaian pendekatan dari masalah nilai awal (10) mendekati penyelesaian eksaknya dengan baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung. Pada bagian ini juga, diberikan contoh dua kasus berdasarkan bentuk fungsi dari sumber polutan. Hasilnya berupa kurva yang menyatakan hubungan antara jumlah polutan pada ketiga danau terhadap waktu. Hasil-hasil tersebut akan dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh pada (Merdan 2009).

Analisis Metode

Akan digunakan perluasan metode homotopi untuk menyelesaikan model dari permasalahan laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung. Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut:

t

Gambar 3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan metode homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan

y(t)

x(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

100 200 300 400

HOMOTOP I

8

dengan

–

(15)

dengan fungsi yang bergantung pada t dan q.

Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan (15) sebagai berikut:

( ) 0 0

( ) ( ) () 0

( ) ( ) 0() 0 Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga diperoleh

( )- - - ( - - - ) () ( ) () ( )

(16)

dengan

() () ()

()

() () ()

() ( ) ()

( )

(17)

Penurunan persamaan (16) diberikan pada lampiran 3 dan diberikan pada persamaan (9).

Misalkan penyelesaian pendekatan awal ₀ , ₀ , dan 0 . Jika bentuk pada persamaan (17) disubstitusikan ke persamaan (16), dengan , , dan pada persamaan (15), kemudian kedua ruasnya diintegralkan terhadap t, maka untuk m … diperoleh

( ) ( ) 0

9

Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (1) dengan metode homotopi hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:

0 0 0

Aplikasi Metode

Pada bagian ini metode homotopi akan diaplikasikan dengan masukan data-data sebagai berikut: masuk ke danau pertama dari sumber polutan yaitu:

i. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terus menerus secara linear hingga waktu tertentu.

ii. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumlah polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik terhadap waktu.

Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan

Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:

10

dengan Cin adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran terjadi hingga waktu t0 dan nilai = 0 setelah waktu t0. Asumsikan = 100

polutan per satuan waktu, 0 0 yang menyatakan bahwa laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per tahun untuk selama 10 tahun.

Berdasarkan persamaan (18), untuk m = 1 diperoleh

00

Untuk , diperoleh

00

00

00

Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian , … , … dan , … Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian model persamaan (1) sampai orde keenam dengan p(t) fungsi konstan sebagai berikut:

0

0 0

Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan p(t) = 100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang t 10 sebagai berikut:

0 0 ( 0 0 )( 0 (0 0 ) 0 (0 0 t) 0 0 _{0 0 os 0}

0 ( 0 0 )( 0 0 (0 0 ) 0 (0 0 ) 0 0 0 os 0

11 Berikut ini diberikan Tabel 1 yaitu selisih antara penyelesaian metode homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 2 yaitu selisih antara penyelesaian metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan penyelesaian eksaknya.

Berdasarkan Tabel 1 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing sebesar 9.55 × 10-4; 1,29 × 10-6, dan 0,12. Pada Tabel 2 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi, danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing menghasilkan rata-rata galat sebesar 2,95 × 10-13; 6,17 × 10-13 dan 4,49 × 10-13.

Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi konstan.

Tabel 1 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama

t

12

Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus pertama

x2(t)

t

Gambar 5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus pertama

x3(t)

t

Gambar 6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus pertama

Berdasarkan Gambar 4, 5, dan 6 diperoleh bahwa semakin besar nilai t untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil, tetapi setiap danau mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada danau pertama, jumlah polutan menurun hingga konvergen ke 588,234, sedangkan pada danau kedua dan danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga masing-masing konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak

13 adanya polutan yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas 10 tahun ( p(t) = 0, t > 10 ) dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau.

Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 99,67; 0,15; 0,33. Jumlah dari ketiga hasil tersebut sama dengan laju perubahan jumlah polutan yang berada di ketiga danau yaitu 100 polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan ketiga danau meningkat secara linear bergantung pada fungsi konstan p(t) yang diberikan yaitu bernilai 100. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan akan menyebar ke setiap danau.

Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal

Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:

( ( ) ) dengan

a simpangan normal yang memengaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi p(t) dan selalu bernilai antara 0 dan 1,

T periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses pencampuran,

Ci rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.

Agar laju alir jumlah polutan tersebut selalu bernilai positif dan berubah-ubah secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan

= 100, a = 1, dan T = 2 . Berdasarkan persamaan (17), untuk m = 1 diperoleh

00 00

Untuk m = 2, diperoleh 00 00 – –

00

00 00

00

14

– t – t

_t

Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian , … , … dan , … Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian model sampai orde keenam persamaan (1) dengan p(t) fungsi sinusoidal sebagai berikut:

₀

0 0

Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi p(t) = 100(1 + sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:

0 0 _{( 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 0}

0

( 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 0 0 0 0

0 ( 0 0 ) 0 ( 0 0 ) 0

-0 -0 0 -

Berikut ini diberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 4 yaitu selisih antara penyelesaian metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan penyelesaian eksaknya.

Tabel 3 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua

t

0 2.26849 × 10-14 3.69216 × 10-14 4.98677 × 10-14

0.1 3.40969 × 10-6 3.56857 × 10-4 3.5589 × 10-3

0.2 2.79011 × 10-5 1.4755 × 10-3 1.4676 × 10-2

0.3 9.62569 × 10-5 3.42761 × 10-3 3.40037 × 10-2

0.4 2.33077 × 10-4 6.28377 × 10-3 6.21788 × 10-2

0.5 4.64719 × 10-4 1.01128 × 10-2 9.98152 × 10-2

0.6 8.19217 × 10-4 1.4981 × 10-2 0.147498

0.7 1.32619 × 10-3 2.09517 × 10-2 0.205777

0.8 2.01673 × 10-3 2.80844 × 10-2 0.275162

0.9 2.92326 × 10-3 3.64345 × 10-2 0.356116

15 Berdasarkan Tabel 3 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing menghasilkan rata-rata galat sebesar 7,91 × 10-4; 1,22 × 10-2 dan 0,12.

Pada Tabel 4 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi, danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan rata-rata galat sebesar 1,23 × 10-13; 1,22 × 10-2 dan 8,57 × 10-3.

Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.

Berikut ini diberikan Gambar 7, 8, dan 9 yang merupakan penyelesaian eksak persamaan (1) untuk kasus kedua. Gambar 7, 8, dan 9 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan x3(t).

x1(t)

t

Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus kedua

5 10 15 20

500 1000 1500

16

Berdasarkan Gambar 7, 8, dan 9 diperoleh bahwa semakin besar nilai t, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu berikutnya. Pada danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah sesuai selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.

Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0,17; 0,37.

x3(t)

t

Gambar 9 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus kedua

17

SIMPULAN

Simpulan

Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau Michigan. Tiap danau memiliki saluran penghubung berupa pipa. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama sebagai sumber polutan yang berupa fungsi konstan, dan fungsi sinusoidal. Hal ini akan memengaruhi perubahan jumlah polutan pada setiap danau.

Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung diselesaikan dengan menggunakan metode homotopi. Dari kedua fungsi masukan sebagai sumber polutan tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung.

Pada fungsi masukan (sumber polutan) berupa fungsi konstan, semakin besar nilai t untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi masukan yang diberikan, yaitu bernilai 100 polutan/tahun. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.

Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan bergantung pada selang waktu tertentu. Untuk selang waktu antara 0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu berikutnya. Pada danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubah-ubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.

DAFTAR PUSTAKA

Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of lakes. Applied Mathematics and Computation. 178:423-430.

18

Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca Raton, New York.

Merdan M 00 He’s variational iteration method applied to the sol tion of modelling the pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi. 2009(18):1302-3055.

Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the pollution of a system of lakes. SDU Journal of Science (E-Journal). 4(1):99-111.

19 Lampiran 1 Penurunan persamaan (7)

Tinjau persamaan berikut :

- - _{0 -} . atau

_{0 0}

Selanjutnya, persamaan di atas diturunkan terhadap hingga kali. Turunan pertama (m = 1)

_{0 0}

_{0 0}

– ₀ – ₀ – – ₀

0 – ₀ 0

–0 – ₀ –0

sehingga diperoleh

₀ t

Turunan ke-dua (m = 2)

– ₀

– ₀

–0

20

Dengan langkah yang sama, turunan ke m pada saat q = 0 adalah Jika kedua ruas dari persamaan di atas di bagi denganm!, maka diperoleh

21 Lampiran 2 Penyelesaian masalah nilai awal (10)

n=6; r1=5; r2=8;

METODE HOMOTOPI x[1,t_]:=(r1+r2)t

y[1,t_]:=(9r1+r2)t

i t i t s i s i s i s ds t

0

i t i t s i s i s i s ds t

0

t r i t

n

i

t r i t

n

i

h[t_]:=1/6 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1-r2+Exp[6t]r2) g[t_]:=1/2 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1+r2+Exp[6t]r2)

22

Lampiran 3 Penurunan Persamaan (16)

Tinjau persamaan (7) yang telah diperluas berikut :

24

Lampiran 4 Program Mathematica untuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6 r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;

F21=18; p=100; h=-1; n=6; METODE HOMOTOPI

a[1,t_] := - (r1 - F13 (r3/v3-r1/v1) t – p t) b[1,t_] := - (r2 - F21 (r1/v1-r2/v2) t)

c[1,t_] := - (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t) a m t a m t (a m t t m s a m s ds

0 )

b m t b m t (b m t t a m s b m s

0 ds)

m t m t ( m t a m s b m s m s ds t

0 )

a t r a m t

n

m

b t r b m t

n

m

t r m t

n

m

f D olve t 00 _v t ( )_v t

t _v t _v t t _v t _v t _v t 0 0 0 0 0 0 t

y1[t_] Evaluate[x[t]/.f] y2[t_] Evaluate[y[t]/.f] y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]

f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed] f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed] f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]

25 Lampiran 5 Program Mathematica untuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9 r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;

F21=18; h=-1; n=6; METODE HOMOTOPI

a[1, t_] := h ( r1 - F13 (r3/v3 - r1/v1) t – t + Cos[t]) b[1, t_] := h (r2 - F21 (r1/v1 - r2/v2) t)

c[1, t_] := h (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t) a m t a m t (a m t t m s a m s ds

0 )

b m t b m t (b m t t a m s b m s

0 ds)

m t m t ( m t a m s b m s m s ds t

0 )

a t r a m t

n

m

b t r b m t

n

m

t r m t

n

m

f D olve t 00 00 sin(t) _v t ( )_v t

t _v t _v t t _v t _v t _v t 0 0 0 0 0 0 t

y1[t_]:=Evaluate[x[t]/.f] y2[t_] Evaluate[y[t]/.f] y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]

f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed] f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed] f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed] Table[Abs[a[i] – y1[i]],{i,0,1,0.1}]

26

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Lahat, Sumatera Selatan pada tanggal 4 Juni 1991 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan A Zawawi (alm) dan Dely Suhartini.

Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Bhayangkari Muara Enim lulus pada tahun 1997, SD Negeri 18 Muara Enim lulus pada tahun 2003, SMP Negeri 1 Muara Enim lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 1 Muara Enim lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departmen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.