MODIFIKASI METODE PENGUKURAN FERTILITAS
GUNASEKARAN
–
PALMORE DAN APLIKASINYA PADA
DATA PENDUDUK INDONESIA
DYAH SARININGSIH
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Modifikasi Metode Pengukuran Fertilitas Gunasekaran-Palmore dan Aplikasinya pada Data Penduduk Indonesia adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2011 Dyah Sariningsih
ABSTRACT
DYAH SARININGSIH. Modification of Gunasekaran-Palmore Fertility Measurement Method and its Application on Indonesian Population Data. Supervised by HADI SUMARNO and N. K. KUTHA ARDANA
In some countries, the birth rates are often used as indicators of population fertility, which are important in development planning. Unfortunately, the fertility data is relatively difficult to obtain accurately. Therefore, some indirect measurement methods will have to be used as alternative methods to estimate the total fertility rate (TFR). One of the well known indirect measurement methods is the Gunasekaran-Palmore method.
The objective of this research is to modify Gunasekaran-Palmore model using mortality rates, birth rates and age distribution of females. Modifications of the model include removing and adding certain variables, as well as changing the discrete function of the age distribution of females to continuous form. The data used are vital statistic data of 40 countries around the world in the period of 1990-2003. Using biplot exploration method, the data are then divided into two groups, i.e. one group to carry out model fitting and another group for validation. The criteria for choosing the best model are R2-adjusted for estimation accuracy and mean absolute percentage error (MAPE). The results of this research show that the modified Gunasekaran-Palmore model with discrete female age distribution function gives 94,3% of R2-adjusted with 14,3% external MAPE. Moreover, for the case of continuous female age distribution function, the result gives 94,0% R2 -adjusted with 14,0% external MAPE. Based on Indonesian data, the total fertility rate in the case of continuous female age distribution function is 2,37, which is close to the corresponding value of Indonesian TFR according to IDHS using own children method which is 2,40 in 2003.
RINGKASAN
DYAH SARININGSIH. Modifikasi Metode Pengukuran Fertilitas Gunasekaran-Palmore dan Aplikasinya pada Data Penduduk Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K KUTHA ARDANA.
Dilatarbelakangi oleh kesulitan memperoleh data vital statistics untuk penduduk terutama di negara berkembang, penelitian ini dilaksanakan untuk mencari ukuran fertilitas tidak langsung yang diturunkan dari data sensus atau survei. Beberapa metode untuk mencari ukuran tidak langsung diantaranya adalah Metode Palmore dan Metode Gunasekaran-Palmore. Selama ini Metode Palmore dan Gunasekaran-Palmore masih menggunakan data yang lama yaitu sekitar tahun 1965-1975, sehingga kemungkinan telah terjadi perubahan kondisi ekonomi, sosial, dan budaya.
Tujuan tesis ini adalah memodifikasi model Palmore dan Gunasekaran-Palmore untuk mencari model yang terbaik dengan melihat R2adjusted terkoreksi untuk validasi internal dan MAPE (Mean Absolut Percentage Error) untuk validasi eksternal. Penentuan model yang akan dimodifikasi dilakukan dengan melihat pola keeratan hubungan antar peubah kemudian melakukan eksplorasi setiap peubah untuk melihat kecenderungan pola yang terbentuk. Selanjutnya menentukan model yang merupakan kombinasi model teoritis dan empiris, serta melakukan validasi model dengan menggunakan data selain data untuk penyuaian model.
Penelitian ini menggunakan data sekunder dari 40 negara yang telah memiliki data vital statistic lengkap. Data yang diambil merupakan data selama sepuluh tahun terakhir yaitu dari tahun 1990 sampai tahun 2003 melalui worldbank data dan unit divisi statistik (http://www/worldbank.org dan http://www.un.org/depts/unsd). Dari 40 negara tersebut kemudian dikelompokkan menjadi dua gugus data berdasarkan analisis biplot. Gugus data pertama digunakan untuk fitting (pengepasan) model dan gugus data kedua digunakan untuk validasi model.
Selanjutnya, untuk modifikasi metode Gunasekaran-Palmore pada tulisan ini juga dicari suatu fungsi distribusi umur penduduk wanita dalam bentuk kontinu. Fungsi bentuk kontinu pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi distribusi Gamma. Dalam fungsi distribusi Gamma, nilai α dan β dicari dengan menggunakan Maximum Likelihood Method. Perolehan nilai α dan β dimaksudkan untuk mencari kumulant ke-1 sampai dengan kumulant ke-4 dalam distribusi umur penduduk wanita yang selanjutnya digunakan dalam model.
Berdasarkan dari hasil penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa 1) hasil kesesuaian model Palmore dan Gunasekaran-Palmore pada data yang baru mempunyai nilai validasi dengan tingkat akurasi yang lebih tinggi yaitu nilai
sebesar 94,3% untuk model diskrit dan 94,0% untuk model kontinu serta nilai
MAPE eksternal masing-masing sebesar 14,3% untuk model diskrit dan 14,0% untuk model kontinu. 3) aplikasi dari model di atas dengan data Indonesia tahun 2000-2003 menghasilkan nilai TFR (Total Fertility Rate) duga sebesar 2,49 untuk model diskrit dan TFR duga sebesar 2,37 untuk model kontinu. Nilai TFR duga keduanya tidak jauh berbeda dengan TFR yang diperoleh dengan metode anak kandung (Own Children Method) pada SDKI (Survei Demografi Kesehatan Indonesia) dan SP (Sensus Penduduk) yaitu sebesar 2,40.
Kata Kunci: Angka Kelahiran Total, Statistik Vital , Ukuran Tidak Langsung, R2
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumbernya
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah
b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
MODIFIKASI METODE PENGUKURAN FERTILITAS
GUNASEKARAN-PALMORE DAN APLIKASINYA PADA
DATA PENDUDUK INDONESIA
DYAH SARININGSIH
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Tesis : Modifikasi Metode Pengukuran Fertilitas Gunasekaran-Palmore dan Aplikasinya pada Data Penduduk Indonesia Nama : Dyah Sariningsih
NRP : G551090011
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi S2 Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah berjudul ”Modifikasi Metode Gunasekaran-Palmore dan Aplikasinya pada Data Penduduk Indonesia” berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. dan bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.
Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada suami, ibu, bapak, ananda Rifqianda Fadlurrahman dan Rafindra Adib Aqmaryan, seluruh keluarga dan teman-teman seperjuangan atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Februari 1976 dari ayah Ngatiman Arief Prasojo dan Ibu Sudarsih. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Depok dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Keguruan dan Ilmu Kependidikan Semarang lulus tahun 1999. Pada tahun 2005, penulis menjadi Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama sebagai tenaga pendidik di Madrasah Tsanawiyah Negeri Cimanggis Depok sampai sekarang.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL……….. xii
DAFTAR GAMBAR………...….. xiii
DAFTAR LAMPIRAN………... xiv
I PENDAHULUAN………. 1
1.1 Latar Belakang………... 1
1.2 Tujuan Penelitian……….. 2
II TINJAUAN PUSTAKA………...…. 3
2.1 Beberapa Pengertian……….… 3
2.2 Ukuran Fertilitas………... 9
2.3 Ukuran Mortalitas………....… 10
2.4 Beberapa Fungsi untuk Menduga Bentuk Sebaran Umur Tertentu……… 10
2.5 Metode Palmore………..………. 11
2.6 Metode Gunasekaran-Palmore………... 12
2.7 Uji Kelayakan Model………... 13
III METODE PENELITIAN……….. 15
3.1 Sumber Data………..…….. 15
3.2 Langkah-langkah Penelitian………... 16
IV HASIL DAN PEMBAHASAN……….…. 17
4.1 Karakteristik Data……….... 17
4.2 Model Palmore dan Modifikasinya………... 19
4.3 Model Gunasekaran-Palmore dan Modifikasinya……… 23
4.4 Modifikasi Model Gabungan Gunasekaran- Palmore dengan Fungsi Distribusi Umur Penduduk dalam Bentuk Kontinu….. 30
4.5 Evaluasi Model………. 39
V KESIMPULAN DAN SARAN………. 43
DAFTAR PUSTAKA……… 45
DAFTAR TABEL
Halaman 1 Hasil R2 antara peubah TFR dengan IMR, PEM, CWR, dan CP... 20 2 Hubungan antara peubah IMR, PEM, CWR, CP dengan peubah TFR
dengan korelasi Pearson………... 20 3 Validasi Model Palmore dan modifikasinya………... 22 4 Hasil R2 antara peubah GRR dengan AHH, CVAG, K3dan B2... 24 5 Hubungan antara peubah ln AHH, ln CVAG, CVAG, ln K3, ln B2, K32
dengan korelasi Pearson………... 25 6 Validasi Model Gunasekaran-Palmore dan modifikasinya ... 27 7 Perbandingan nilai R2adj dan MAPEModel 11 dan Model 13……... 36 8 Nilai Galat Model 13 pada gugus data II………... 36 9 Perbandingan antara R2adj, MAPE gugus data I, MAPE gugus data
II pada semua model ………... 39 10 Kelengkapan data penduduk Indonesia berdasarkan Sensus
Penduduk dan SDKI tahun 2000-2003……… 40 11 Perbandingan nilai TFR duga untuk enam model pada data
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Alur penelitian………... 16 2 Biplot sebaran data 40 negara dengan peubah IMR, PEM, CWR,
CP, TFR, AHH, CVAG, K3, B2 dan GRR……….. 17
3 Perbandingan antara nilai TFR antara duga dengan TFR asli Model
4 pada gugus data II………. 23 4 Perbandingan antara nilai GRR duga dengan GRR asli Model 9
pada gugus data II………... 28 5 Perbandingan antara nilai GRR duga dengan GRR asli Model 11
pada gugus data II………... 29 6 Grafik distribusi umur penduduk wanita Malaysia tahun
1λλ1……….………. 30
7 Grafik distribusi Gamma dengan nilai parameter α dan β
tertentu……….. 31 8 Perbandingan antara nilai GRR asli dengan GRR duga Model 13
pada gugus data II……… 37 9 Kurva fungsi Gamma umur dan proporsi jumlah penduduk wanita
dengan nilai α = 1,39 dan β = 18,21 pada distribusi umur
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian mencari Kumulant ke-r………... 49 2 Database 40 negara dengan peubah TFR, IMR, CWR, CP, PEM,
GRR, AHH, CVAG, K3, dan B2... 53 3 Gugus data I dan Gugus data II………. 54 4 Biplot untuk data Gunasekaran-Palmore dengan GRR, ln AHH,
ln B2, ln K3, CVAG (40 negara)………... 56
5 Contoh perhitungan mencari nilai α dan β dari data USA dengan
program Maximum Likelihood Method……….. 57 6 Nilai α dan βpada gugus data I dan II untuk data kontinu…... 58 7 Program membuat persamaan regresi model Palmore dan
Gunasekaran-Palmore serta modifikasinya……….…... 59 8 Persamaan regresi Palmore dan Gunasekaran-Palmore dengan
Stepwise RegressionMethod menggunakan program SPSS.16…. 65
9 Tabel perbandingan antara TFR/GRR duga dengan TFR/GRR
asli pada gugus data II……… 69 10 Grafik ScatterPlot hasil plot antara peubah TFR/GRR dengan
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Bagi setiap negara, kelahiran mempunyai arti tersendiri. Dengan adanya kelahiran, negara akan mendapatkan penambahan tenaga pembangunan. Tetapi di lain pihak negara juga memikul tambahan beban, misalnya pemerintah harus menyediakan tambahan sarana untuk bidang pendidikan, kesehatan, olahraga, dan lain-lain. Oleh karena itu diperlukan suatu ukuran fertilitas dari suatu kelompok penduduk pada waktu tertentu.
Pada kenyataannya, data tentang fertilitas yang akurat seringkali sulit didapatkan terutama di negara-negara berkembang seperti Indonesia. Hal ini dikarenakan belum lengkapnya registrasi (vital statistic) mengenai kelahiran penduduk.
Secara umum ukuran tidak langsung diperoleh melalui sensus penduduk yang dilakukan setiap sepuluh tahun sekali atau survei yang dilakukan di antara rentang waktu pada sensus penduduk, misalnya lima tahun sekali. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk memperoleh data lebih terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan antar sensus. Pada sensus, data yang diperoleh sangat terbatas, tidak dapat mencatat jumlah bayi lahir hidup pada interval waktu tertentu sehingga ukuran fertilitas secara langsung (direct measure) tidak dapat diperoleh.
Bogue dan Palmore (1964) mengemukakan bahwa prinsip ukuran fertilitas dapat dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu: ukuran yang diperoleh dari kombinasi vital statistic dan data sensus (direct measure) dan ukuran yang diturunkan hanya dari data sensus (indirect measure). Beberapa ukuran fertilitas langsung (direct measure) yang sering digunakan antara lain : Crude Birth Rate
(CBR), General Fertility Rate (GFR), Age Spesific Fertility Rates (ASFR), Total Fertility Rate (TFR), dan Gross Reproduction Rates (GRR). Sedangkan untuk
Kandung (Own Children Method) dan metode Kelahiran Terakhir (Last Live Birth Method).
Kajian tentang pengukuran fertilitas tidak langsung telah dilakukan oleh beberapa peneliti, diantaranya oleh Cecep AHF (2008), yang mengkaji tentang metode Rele. Dalam penelitian tersebut ukuran fertilitas tidak langsung dapat dicari dengan menggunakan konsep penduduk quasi stabil. Selain itu, Teankaw Leamsuwan (2003) meneliti tentang penggunaan metode Palmore pada daerah minoritas di Negara Thailand dengan asumsi nilai Infant Mortality Rate (IMR) diperoleh berdasarkan metode Trussell’s.
Pada penelitian ini akan dibahas suatu modifikasi dari metode pengukuran fertilitas Gunasekaran-Palmore sebagai pengembangan dari metode Palmore untuk pengukuran fertilitas tidak langsung dengan menggunakan basis data baru dari beberapa negara.
1.2Tujuan Penelitian
1. Mengkaji dan menerapkan metode pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore dengan menggunakan data vital statistic baru dari beberapa negara.
2. Memodifikasi dan melakukan validasi model pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1Beberapa Pengertian
2.1.1 Sensus Penduduk
Sensus Penduduk adalah suatu proses pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data kependudukan termasuk ciri-ciri sosial ekonominya yang dilaksanakan dalam suatu waktu tertentu terhadap semua orang dalam suatu negara atau suatu teritorial tertentu (UN dalam Shryock & Siegel, hal 115).
2.1.2 Survei
Survei adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan suatu metode pengumpulan data. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk memperoleh data yang terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan antarsensus (Survei Penduduk Antar Sensus atau SUPAS).
(Lembaga Demografi FE UI, 2010)
2.1.3 Vital Statistic
Vital Statistic adalah data atau informasi yang dimiliki suatu negara tentang
komponen penting demografi seperti fertilitas, mortalitas dan migrasi. Adapun jumlah perkawinan dan jumlah tenaga kerja dapat dikatakan sebagai komponen pelengkap dari suatu vital statistic .
(Lembaga Demografi FEUI, 2010) 2.1.4 Metode Anak Kandung
Own Children Method adalah salah satu ukuran tidak langsung yang
mencatat informasi daftar anggota rumah tangga yakni mengenai anak-anak yang tinggal dalam rumah tangga bersama ibunya menurut umur anggota rumah tangga dan hubungannya dengan kepala rumah tangga.
(Lembaga Demografi FEUI, 2010)
2.1.5 Fertilitas
Tinggi rendahnya kelahiran dalam suatu penduduk erat hubungannya dan tergantung pada struktur umur, banyaknya perkawinan, umur pada waktu perkawinan, penggunaan alat kontrasepsi, pengguguran, tingkat pendidikan, status pekerjaan wanita serta pembangunan ekonomi (Lembaga Demografi FE UI,1980). Mengingat peristiwa fertilitas, mortalitas dan migrasi penduduk merupakan peristiwa demografis yang satu sama lain berkaitan, maka usaha untuk menurunkan fertilitas akan berpengaruh pula terhadap peristiwa mortalitas.
2.1.6 Mortalitas
Mortalitas diartikan sebagai suatu peristiwa menghilangnya tanda-tanda kehidupan secara permanen, yang bisa terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup (Organisasi Kesehatan Dunia, WHO, tahun1981).
2.1.7 Status Perkawinan
Status perkawinan dapat dikategorikan menjadi beberapa kelompok, yaitu tidak pernah menikah (single), menikah (married), menjanda (widowed), bercerai (divorced), berpisah (separated), dan pernah menikah (ever married).
(Siegel, 2004) 2.1.8 Momen
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fx, maka momen ke-k dari x didefinisikan sebagai :
( k) k X( )
E X x f x dx
(2.1)jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen ke-k
dari peubah acak X adalah tidak ada. Seperti halnya peubah acak diskrit, jika momen ke-k dari suatu peubah acak kontinu ada, maka setiap bilangan m dengan
m < k, momen ke-k dari peubah acak tersebut juga ada. Tetapi tidak berlaku sebaliknya.
2.1.9 Model Regresi Linear Berganda
Model matematis dalam regresi linear berganda dapat ditulis sebagai :
0 1 1 ... k k
y x x (2.2)
apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.2) menjadi
0 1 1 2 2 ...
i i i ki k i
y x x x
0 1
,
k
ji j i j
x
i = 1, 2, …, n (2.3)Dengan notasi matriks, persamaan (2.3) menjadi
y Xβ ε (2.4)
dengan y adalah sebuah matriks n1, vektor dari observasi X adalah matriks n p , p k 1, vektor dari peubah adalah (k 1) 1 vektor dari koefesien regresi dan ε adalah n1 vektor dari nilai error
Jumlah kuadrat galat untuk model linear berganda didefinisikan sebagai berikut:
20 1
1 ' k
, , ,
n
i i
S
(2.5)Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari β( 0, 1,...k)'. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi βdilambangkan dengan β merupakan nilai β yang meminimumkan S( )β . Nilai dugaan kuadrat terkecil β dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan (2.5) terhadap β. Maka dari persamaan (2.5) diperoleh
'
( ) ( ) ( )
S β ε ε y Xβ y Xβ '
' ' ' ' ' '
y y β X y y Xβ β X Xβ
2
'
' ' ' '
dengan menurunkan persamaan (2.6) terhadapβ, diperoleh persamaan :
2 2 0
' '
X y X Xβ (2.7)
Persamaan (2.7) akan menghasilkan persamaan normal yang mempunyai bentuk
' '
X Xβ X y (2.8)
Dari persamaan (2.8) diperoleh penduga kuadrat terkecil
(2.9)
sehingga nilai y yang berhubungan dengan nilai observasi y adalah
y = Xβ (2.10)
dengan nilai error adalah ε = y - y (2.11)
(MontGomery & Peck, 1992) 2.1.10 Metode Stepwise Regresi
Stepwise Regression Method adalah suatu modifikasi seleksi maju dimana
pada setiap langkahnya, semua peubah masuk ke dalam model yang akan dinilai ulang melalui uji F statistik parsial. Jika F statistik parsial suatu peubah kurang dari F statistik, maka peubah tersebut dikeluarkan dari model.
(MontGomery & Peck, 1992) 2.1.11 Metode Kemungkinan Maksimum [Maximum Likelihood Method]
Misalkan X1 , X2, ..., Xn adalah peubah acak dari distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f(X,β) dengan parameter β dimana β ϵ himpunan ruang parameter. Fungsi Likelihood adalah
1 2 ,1
( , , , ( , )
n
n i
i
L f X X X f X
(2.12)Penduga β yang memaksimumkan fungsi likelihood dapat dicari dengan menentukan solusi dari persamaan :
log ( ) 0
L
1
( ( , )
0
n
i i
logf X
(2.13)
(Hogg & Craig, 1995) 2.1.12 Analisis Biplot
Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks data nXp*, dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah. Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks X* sebagai matriks data asal terhadap nilai rata-ratanya menjadi matriks X yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001). Apabila matriks X berpangkat r (r ≤ p ≤ n) maka dengan menggunakan Dekomposisi Nilai Singular diperoleh :
nXp = nUrLrA′p
dengan matriks U, kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang berpadanan dengan eigennilai tak nol dari matriks XX′.
,
Matriks A, kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang berpadanan dengan eigennilai tak nol dari matriks X′X, dan matriks L adalah matriks diagonal yang unsur diagonal-diagonalnya merupakan akar dari eigennilai tak nol matriks XX′ atau matriks X′X, yaitu L = ( , , dimana 1≥ 2≥ … ≥ r > 0 dan
i adalah nilai singular. Dengan mendefinisikan G = ULα dan H′ = Lα-1A, maka untuk α ϵ [0,1]:
(2. 14)
(Jolliffe, 2002) Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot. Nilai-nilai α dapat digunakan pada kisaran [0,1]. Pada analisis ini digunakan nilai α = 0.
1. Kedekatan antar objek yaitu objek mempunyai kemiripan dengan objek lain yang ditunjukkan dengan posisi dari objek-objek tersebut.
2. Keragaman peubah yaitu dengan membandingkan panjang vektor peubahnya. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, dan jika keragamannya besar maka digambarkan dengan vektor yang panjang.
3. Korelasi antar peubah, dalam hal ini peubah digambarkan sebagai vektor. Dua peubah yang berkorelasi positif digambarkan dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip. Sedangkan dua peubah yang berkorelasi negatif digambarkan dengan arah berlawanan atau membentuk sudut tumpul. Jika sudut yang terbentuk siku-siku, maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Objek yang letaknya sepihak dengan vektor peubah, menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti nilainya mendekati rata-rata. Informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek.
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks X dengan menggunakan matriks GH′, tetapi juga koragam dan korelasi antar peubah, serta kemiripan antar objek. HH′ sebagai pendekatan dari matriks X′X terkait pada matriks ragam koragam dan korelasi antar peubah, sedangkan matriks
GG′ sebagai pendekatan bagi XX′ terkait pada ukuran kemiripan objek.
Selanjutnya Gabriel mengemukakan ukuran kesesuaian biplot (Goodness of
Fit of Biplot) sebagai ukuran pendekatan, dalam bentuk sebagai berikut :
Kesesuaian data : GF(X,GH′) =
(2.15)
2.2Ukuran Fertilitas
2.2.1 Angka kelahiran Menurut Umur
Age Specific Fertility Rate (ASFR) adalah nilai yang menunjukkan
banyaknya kelahiran per seribu perempuan pada kelompok umur tertentu.
(Lembaga Demografi FE UI, 2000)
2.2.2 Angka Kelahiran Total
Total Fertility Rate (TFR) adalah jumlah anak rata-rata yang akan
dilahirkan seorang perempuan pada akhir masa reproduksinya apabila perempuan tersebut mengikuti pola fertilitas pada saat TFR dihitung.
(Lembaga Demografi FE UI, 2010)
2.2.3 Rasio Anak Wanita [Child Woman Ratio]
Rasio Anak-Wanita (Child Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore, 1978). CWR dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang [c,d] tahun terhadap wanita umur reproduksi selang [h,k] tahun dinyatakan dalam rumus:
(2.16)
Dengan merupakan jumlah penduduk selang umur [c,d] tahun dan merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi [h,k] tahun. Meskipun sangat sederhana, angka ini dapat dipergunakan sebagai indikator fertilitas seandainya data mengenai kelahiran sangat langka.
2.2.4 Gross Reproduction Rate
Gross Reproduction Rate (GRR) adalah angka yang menunjukkan rata-rata
jumlah anak perempuan yang dilahirkan oleh seorang wanita selama hayatnya, dengan mengikuti pola fertilitas dan mortalitas yang sama seperti ibunya (Lembaga Demografi FE UI, 1980). Angka ini menyatakan tingkat reproduksi kasar dengan tidak memperhatikan unsur kematian. GRR dapat ditulis sebagai:
Dengan merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi perempuan (w) pada waktu t.
2.3Ukuran Mortalitas
2.3.1 Angka Kematian Bayi
Infant Mortality Rate (IMR) yaitu angka yang menunjukkan banyaknya
kematian bayi yang berumur kurang dari satu tahun per seribu kelahiran pada waktu tertentu, dapat ditulis sebagai :
IMR = (2.18)
dengan merupakan jumlah kematian bayi berusia di bawah 1 tahun pada tahun tertentu dan B adalah jumlah kelahiran hidup pada tahun tertentu serta k = konstanta, umumnya 1000.
(Lembaga Demografi FE UI, 2010) 2.3.2 Angka Harapan Hidup
Angka Harapan Hidup (Life Expectancy) merupakan suatu perkiraan hidup rata-rata yang mungkin dicapai oleh seseorang yang berada pada umur tertentu berdasarkan angka kematian menurut umur pada tahun tertentu. AHH yang sering digunakan adalah AHH waktu lahir (Life Expectancy at Birth). Idealnya AHH
dihitung berdasarkan Angka Kematian Menurut Umur (Age Specifics Date Rate, ASDR) yang datanya diperoleh dari catatan registrasi kematian secara bertahun-tahun sehingga dimungkinkan dapat dibuat Tabel Kematian.
2.4Beberapa Fungsi Untuk Menduga Bentuk Distribusi Umur Penduduk Tertentu
Beberapa fungsi yang berpotensi digunakan untuk menduga bentuk distribusi umur penduduk tertentu adalah fungsi Gamma, Beta, dan Gompertz. 2.4.1 Fungsi Gamma
( ) 1
1
( ) ( )
( )
x
f x x e
(2.19)
dengan
10
( ) Gamma x e xdx
2.4.2 Fungsi Beta
Misalkan X peubah acak umur wanita. Peubah acak X menyebar Beta dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
1
( ) ( , )( ) ( )
f x B x b a dengan a, b > 0 (2.20) dengan
1 1
0
( , ) (1 )
B a b x x dx
2.4.3 Fungsi Gompertz
Misalkan X peubah acak umur wanita. Peubah acak X menyebar Gompertz dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
( ) exp( x exp( x))
f x
a
(2.21)
2.5Metode Palmore
Metode Palmore diperkenalkan oleh Palmore pada tahun 1964, yang berdasarkan asumsi adanya hubungan linear antara rasio anak dan wanita (CWR), ukuran kematian dan TFR. Dalam perhitungannya diperlukan beberapa indikator lain seperti perbedaan pola perkawinan. Bila dibandingkan dengan metode lain, metode ini memerlukan lebih banyak data yang biasanya tersedia dalam sensus maupun survei. Metode ini menggunakan tingkat kematian bayi sebagai pengganti harapan hidup waktu lahir. Pendugaan persamaan metode Palmore dengan menggunakan data vital statistic beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun1975 sehingga didapat suatu persamaan regresi linear yaitu:
12, 0405 13,5277 11,1042 176, 4889 6, 4689
TFR IMR CWR CP PEM (2.22)
TFR = tingkat kelahiran total per 1000 wanita
IMR= tingkat kematian bayi per 1000 kelahiran hidup
CWR= rasio jumlah anak usia 0-5 tahun dengan jumlah wanita usia produktif
CP = persentase anak usia 0-4 tahun
PEM= persentase wanita pernah kawin di usia 20-24 tahun
tetapi Metode ini sensitif terhadap kualitas data, terutama bayi dan anak-anak. 2.6Metode Gunasekaran-Palmore
Metode Gunasekaran-Palmore adalah metode yang menekankan pada cara perhitungan TFR dalam hubungannya antara kelahiran, kematian dan distribusi umur penduduk. Dimensi penting dalam hubungan ini adalah pengaruh dominan struktur umur penduduk terhadap fertilitas. Pendekatan ini juga didasarkan pada teori statistika yang menunjukkan bahwa dua momen pertama peka terhadap perubahan yang terjadi dalam frekuensi distribusi. Dengan demikian, momen dari suatu distribusi merupakan indikator dari kondisi hubungan fertilitas dengan distribusi umur, sehingga dapat menunjukkan tingkat fertilitas pada tahun yang merujuk distribusi tersebut. Metode ini memerlukan keterangan tentang angka harapan hidup wanita pada saat dilahirkan.
Pendugaan persamaan metode Gunasekaran-Palmore dengan menggunakan data
vital statistic beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun 1975 adalah:
3 2
lnGRR9.6556 0,3761ln AHH6, 0895lnCVAG0,5668lnK 0, 7403lnB
(2.23)
dengan
TFR= φGRR
φ = rasio jenis kelamin bayi. Pada penelitian ini digunakan nilai 2,05.
GRR = angka reproduksi bruto
AHH = angka harapan hidup lahir dari wanita
CVAG = koefesien dari variasi distribusi umur wanita = σ/ 1
K3 = µ3 kumulant (momen) ke-3
2.7Uji Kelayakan Model 2.7.1 Koefesien Determinasi
2 2 1 2 1 ( ) 1 ( ) n i i i n i i i y y R y y
(2.24)Dengan nilai R2 terletak pada [0,1]. Makin dekat nilai R2 dengan 1, semakin kecil kesalahan penggunaan y. (Agresti & Finlay, 1999) 2.7.2 Koefisien Determinasi Terkoreksi
2 ( ) / ( ) 2 1
1 1 (1 )
( ) / ( 1)
p adj
JKS n p n
R R
JKTT n n p
dengan JKTT adalah jumlah kuadrat total terkoreksi, JKSp adalah jumlah kuadrat sisa, n adalah banyaknya amatan, dan p adalah banyaknya parameter dalam model. Besaran R2adj menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. R adj2 dapat digunakan tidak hanya untuk membandingkan persamaan regresi pada segugus data, namun juga untuk membandingkan persamaan regresi dari dua atau lebih gugus data.
(Drapper&Smith,1998)
2.7.3 Persentase Rataan Galat Absolut (Mean Absolute Percentage Error)
MAPE (Mean Absolute Percentage Error) artinya persentase rataan absolut
dari perbedaan antara nilai sebenarnya dengan nilai dugaan.
1 1 100% n i i i
MAPE y y
n
(2.26)(Mathews, 1992) semakin kecil nilai MAPE semakin baik model menyuai data.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data dari empatpuluh negara yang mewakili beberapa benua di dunia diantaranya yaitu Benua Amerika seperti negara USA, Saint Lucia dan Canada, Benua Eropa seperti Swedia, Spain, dan Greece, Benua Oceania seperti Australia dan Benua Asia seperti Singapore, Japan, dan Cyprus. Data yang diambil selama sepuluh tahun terakhir yaitu dari tahun 1990 sampai tahun 2003. Diasumsikan bahwa data masih dalam satu periode karena tidak ada perubahan yang berarti dari segi ekonomi, sosial, dan budaya pada setiap negara dalam kurun waktu sepuluh tahunan. Sumber data diambil dari worldbank data dan unit divisi statistik (http://www/worldbank.org dan http://www.un.org/depts/unsd), seperti tersaji pada Lampiran 2.
3.2 Langkah-langkah penelitian
Langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan data vital statistic baru pada tahun 1990-2003 dari empat puluh negara.
2. Mempelajari karakteristik data dan menerapkannya pada metode pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore.
3. Melakukan modifikasi model pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore.
4. Melakukan validasi model pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore untuk memperoleh model yang terbaik.
Langkah-langkah tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 1 Alur Penelitian
Karakteristik data
Penerapan data ke dalam metode pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore
Pengumpulan data
Modifikasi model pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore
Validasi model
Penerapan model pengukuran fertilitas Palmore dan Gunasekaran-Palmore serta modifikasinya
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakteristik Data
Untuk mengetahui karakteristik data yaitu dengan memperoleh gambaran posisi dari masing-masing objek, dalam hal ini negara dan vektor peubah seperti
IMR, PEM, CWR, CP, TFR, AHH, CVAG, K3, B2, dan GRR akan dilakukan plot data dengan menggunakan analisis biplot. Dengan memilih α = 0, diperoleh G=U,
H = LA. Akibatnya '
r
X'X = (GH')'(GH') = HI H (n1)S; karena itu panjang vektor hj pada biplot menggambarkan keragaman xj. Selain itu, nilai kosinus antara hi dan hj merepresentasikan korelasi antara peubah xi dan xj. Biplot distribusi data dari 40 negara dengan peubah IMR, PEM, CWR, CP, TFR,AHH, CVAG, K3, B2, dan GRR seperti disajikan pada Gambar 2.
Keterangan: AHH = Angka Harapan Hidup IMR = Infant Mortality Rate
PEM = Percentage Ever married Women CWR = Child Woman Ratio
CP = Rasio anak dibawah 5 tahun TFR = Total Fertility Rate K3 = Kumulant ke-3
B2 = Ukuran ketebalan distribusi umur
CVAG = Koefesien variasi distribusi umur wanita GRR = Gross Reproduction Rate
Objek ke-1 sampai dengan objek ke-40 adalah nama-nama negara seperti terlihat pada Lampiran 2.
Gambar 2 Biplot sebaran data 40 negara dengan peubah IMR, PEM, CWR, CP,
TFR, AHH, CVAG, K3, B2, dan GRR
[image:32.595.88.513.44.826.2]Kedekatan Antar Objek
Pemetaan negara sebagai objek berdasarkan peubah IMR, PEM, CWR, CP,
TFR, AHH, CVAG, K3, B2, dan GRR akan menempatkan negara dalam beberapa
kelompok. Dengan melihat kedekatan antar objek dan kedekatan objek dengan peubah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2, maka objek-objek tersebut dapat dibagi menjadi 4 kelompok berikut.
Kelompok A, berdasarkan ciri bahwa letak objek mendekati vektor peubah
AHH dan B2 yang terdiri dari tujuh negara yaitu : Australia (2), France (10), Ireland (15), Israel (16), Malaysia (23), Norwegia (27), dan Polandia (28).
Kelompok B, berdasarkan ciri bahwa letak objek mendekati vektor peubah
AHH yang terdiri dari enam belas negara yaitu : Canada (4), Cyprus (6), Czech Repubulik (7), Denmark (8), Finlandia (11), Greece (12), Italy (17), Japan (18), Korea (20), Netherland (25), Portugal (29), Singapura (33), Slovenia (35), Spain (36), Swedia (37), dan USA (40).
Kelompok C, berdasarkan ciri bahwa letak objek mendekati vektor peubah yang PEM terdiri dari dua belas negara yaitu : Armenia (1), Austria (3), Croatia (5), Estonia (9), Hungary (13), India (14), Latvia (21), Lithuania (22), Moldova (24), Rumania (30), Rusia (31), dan Slovakia (34)
Kelompok D, berdasarkan ciri bahwa letak objek mendekati vektor peubah
IMR, CWR, CP, TFR, K3, dan CVAG yang terdiri dari lima negara yaitu : Kazakhastan (19), Nepal (26), Saint Lucia (32), Turki (38), dan Uruguay (39).
Keeratan Hubungan Antar Peubah
Sebelum melihat keeratan hubungan antar peubah akan dilihat terlebih dahulu keragaman masing-masing peubah. Pada Gambar 2 ditunjukkan bahwa peubah AHH, CWR, dan PEM mempunyai keragaman yang lebih besar dibandingkan TFR, CP dan IMR karena mempunyai vektor yang lebih panjang. Demikian pula dengan peubah CVAG, K3, B2, dan GRR mempunyai keragaman lebih kecil dibandingkan dengan AHH, CWR, dan PEM karena mempunyai vektor yang lebih pendek.
erat dan positif terjadi antara peubah yaitu: TFR dengan CWR, TFR dengan CP, TFR dengan IMR, GRR dengan CVAG, dan GRR dengan K3 karena membentuk sudut lancip. Selain itu, terjadi korelasi positif antara peubah TFR dengan PEM,
tetapi tidak terlalu berarti jika dilihat nilainya pada Tabel 2. Sebaliknya antara peubah GRR dan AHH terjadi korelasi erat tetapi negatif karena terbentuk sudut lancip apabila dilihat berlawanan arah.
Untuk lebih jelasnya, keeratan hubungan berdasarkan tabel korelasi Pearson dapat dilihat pada Tabel 2 dan Tabel 5 di halaman berikutnya.
Untuk melihat keterkaitan objek dengan peubah dapat dilihat dari letak objek dengan peubah yaitu sepihak, di tengah-tengah, atau berlawanan. Dari Gambar 2 terlihat beberapa negara seperti Estonia (9) dan Greece (12) mempunyai nilai di bawah rata-rata terhadap peubah TFR, tetapi mempunyai nilai di atas rata-rata untuk peubah AHH. Sebaliknya untuk negara-negara seperti Saint Lucia (32) dan Nepal (26) mempunyai nilai di atas rata-rata terhadap peubah IMR,
CWR, CP dan TFR tetapi mempunyai nilai di bawah rata-rata untuk peubah AHH.
Pengelompokan Gugus Data
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, bahwa pada penelitian ini akan dibuat dua gugus data untuk melakukan fitting (pengepasan) model dan validasi model dengan menggunakan metode Palmore dan Gunasekaran-Palmore serta modifikasinya. Untuk itu, dibentuk gugus data I digunakan fitting model dan gugus data II digunakan validasi model. Langkah berikutnya adalah mengelompokkan dua gugus data berdasarkan proporsi letak negara yang mewakili beberapa benua dari empat kelompok A, B, C dan D. Untuk gugus data I terdiri dari 20 negara yaitu : 3 negara dari kelompok A, 8 negara dari kelompok B, 4 negara dari kelompok C dan 5 dari kelompok D. Gugus data II terdiri dari 20 negara yaitu : 2 negara dari kelompok A, 8 negara dari kelompok B, 3 negara dari kelompok C dan 7 dari kelompok D. Hasilnya seperti terlihat pada Lampiran 3.
4.2 Model Palmore dan Modifikasinya
CP dengan peubah takbebas TFR. Pada Lampiran 10 disajikan grafik scatter plot
(diagram pencar) menggunakan Software Mathematica 7.0. Berdasarkan diagram pencar tersebut terlihat plot antara peubah TFR dengan IMR, peubah TFR dengan
CWR, peubah TFR dengan CP, dan peubah TFR dengan PEM yang tidak semua berbentuk linear. Ada beberapa kecenderungan bentuk hubungan yang terjadi, di antaranya kuadratik dan logaritmik. Setelah dilakukan analisis regresi hasilnya adalah antara peubah IMR dengan TFR dan peubah PEM dengan TFR terlihat kecenderungan bentuk kuadratik. Sebaliknya antara peubah CWR dengan TFR dan
CP dengan TFR terlihat kecenderungan bentuk logaritmik. Untuk lebih jelasnya, hasil R2 antara peubah TFR dengan IMR, PEM, CWR , dan CP dapat dilihat pada Tabel 1 berikut :
Tabel 1 Hasil R2 antara peubah TFR dengan IMR, PEM, CWR, dan CP
Peubah
Fungsi IMR PEM CWR CP
Linear 0,25 0,09 0,65 0,47
Kuadratik 0,27 0,12 0,54 0,38
Logaritmik 0,16 0,05 0,71 0,53
Tabel berikut menjelaskan keeratan hubungan antar peubah berdasarkan rumus korelasi Pearson.
Tabel 2 Hubungan antara peubah IMR, PEM, CWR, CP dengan peubah TFR
dengan korelasi Pearson
Peubah IMR PEM CWR CP TFR IMR 1,00
PEM 0,42 1,00
CWR 0,65 0,22 1,00
CP 0,53 0,20 0,76 1,00
TFR 0,50 0,27 0,81 0,68 1,00
Berdasarkan Tabel 2 dapat dilihat hubungan erat dan positif terjadi antara peubah TFR dengan CWR, sebesar 0,81; TFR dengan CP sebesar 0,68; dan TFR
peubah TFR dengan AHH sebesar -0,44. Sementara untuk hubungan yang kurang erat terjadi antara peubah TFR dengan PEM yaitu sebesar 0,27.
Berdasarkan hasil analisis tersebut, diperoleh empat model sebagai berikut - Model 1 merupakan model yang dikembangkan oleh Palmore diperoleh
bentuk fungsi TFR f IMR CWR CP PEM( , , , ).
- Model 2 berdasarkan pola hubungan terbaik dari hasil eksplorasi diperoleh
bentuk fungsi 2 2
( , ln , ln , )
TFR f IMR CWR CP PEM .
- Model 3 merupakan pengembangan model 2 berdasarkan hasil analisis korelasi Pearson yaitu dengan menghilangkan peubah CP. Modifikasi tanpa CP
dilakukan berdasarkan pola keeratan hubungan pada Tabel 2. Dari tabel tersebut menunjukkan hubungan signifikan antara peubah CWR dengan CP
dengan koefesien korelasi sebesar 0,76. Demikian juga jika berdasarkan Gambar 2 terlihat hubungan erat antara peubah CWR dengan CP yang ditandai dengan terbentuk sudut lancip. Dengan demikian salah satu peubah dapat dihilangkan untuk menghindari terjadinya multikolinearitas, yaitu ada hubungan linear antara sesama peubah bebas. Seperti diketahui, jika multikolinearitas tinggi maka mengakibatkan koefesien-koefesien regresi dugaan cenderung memiliki keragaman besar yang berakibat tidak diperoleh informasi tepat mengenai koefesien regresi sebenarnya. Pemilihan menghilangkan peubah CP dibandingkan dengan peubah CWR karena CWR
mempunyai korelasi lebih tinggi dengan peubah TFR. Sehingga diperoleh
model dalam bentuk fungsi 2 2
( , ln , )
TFR f IMR CWR PEM .
- Model 4 berdasarkan analisis eksplorasi bentuk fungsi setiap peubah bebas dalam bentuk linear, kuadratik, dan logaritmik maka diperoleh bentuk fungsi
(ln , ln )
TFR f CWR PEM dengan metode stepwise regression.
Berdasarkan penjelasan tersebut, dengan menggunakan gugus data I diperoleh empat model sebagai berikut :
Model 1
2
0, 2909 0,0239 2,9822 0,1445 0,0030 ( 0,937)
TFR IMR CWR CP PEM R adj
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan model Palmore didapat kesesuaian sebesar 93,7% dari model.
Model 2
2 2
3,1156 0,0002 1,3557 ln 0,3447ln 0,0001
TFR IMR CWR CP PEM (4.2)
2
(R adj0,955)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Palmore didapat kesesuaian sebesar 95,5% dari model.
Model 3
2 2 2
4,1878 0, 0002 1, 6848 ln 0, 0001 ( 0 5,9 6)
TFR IMR CWR PEM R adj
(4.3)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Palmore didapat kesesuaian sebesar 95,6% dari model.
Model 4
2
3,9539 1, 4168ln 0, 0781ln ( 0,954)
TFR CWR PEM R adj (4.4)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Palmore didapat kesesuaian sebesar 95,4% dari model.
Keempat model tersebut merupakan model yang cukup baik untuk modifikasi model Palmore, tetapi yang paling baik adalah Model 4. Selain itu, pada Model 4 tidak terdapat korelasi yang tinggi antar peubah bebas seperti yang ditunjukkan pada Lampiran 8.
Setelah diperoleh empat model Palmore tersebut maka dilakukan validasi model dengan menggunakan gugus data II. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 Validasi Model Palmore dan modifikasinya Model
Validasi
Model Palmore Original
Model 1 (%)
Model 2 (%)
Model 3 (%)
Model 4 (%)
R2adj - 93,7 95,5 95,6 95,4
MAPE(int) - 7,1 6,1 6,3 7,6
Dari Tabel 3, terlihat bahwa Model 4 adalah modifikasi model Palmore yang terbaik. Model tersebut menghasilkan nilai MAPE internal (pada gugus data I) sebesar 7,6% dan MAPE eksternal (pada gugus data II) terkecil sebesar 30,6%. Artinya Model 4 sudah cukup baik jika menggunakan metode Stepwise Regression. Berikut akan dibandingkan antara nilai TFR duga dengan nilai TFR
[image:38.595.112.471.209.423.2]asli pada Model 4 seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Perbandingan antara nilai TFR duga dan TFR asli Model 4 pada gugus data II
Secara umum, nilai TFR duga dengan menggunakan Model 4 sudah mendekati nilai TFR asli dari negara-negara seperti terlihat pada Gambar 3. Namun masih ada beberapa negara yaitu Kazakhastan, Korea, dan Norwegia yang mempunyai nilai galat lebih besar dibanding negara lainnya. Hal ini dapat disebabkan karena perbedaan pola tingkat kelahiran dan kematian pada ketiga tersebut berbeda dibandingkan dengan negara-negara lain. Perbedaan itu dapat terjadi karena beberapa faktor yang memengaruhi diantaranya faktor sosial, ekonomi, dan budaya.
4.3 Model Gunasekaran-Palmore dan Modifikasinya
Model berikutnya adalah pengembangan dari model Palmore yaitu model Gunasekaran-Palmore. Model ini menitikberatkan pada distribusi umur penduduk khususnya wanita untuk mendapatkan nilai peubah CVAG, K3 dan B2 yang
memengaruhi nilai peubah GRR. Demikian juga peubah AHH akan digunakan sebagai faktor kematian yang memengaruhi tingkat kelahirannya, dalam hal ini
GRR.
Berdasarkan diagram pencar pada Lampiran 10, terlihat plot antara peubah
AHH, CVAG, B2 dan K3 dengan GRR yang tidak semua berbentuk linear. Ada
beberapa kecenderungan bentuk hubungan yang terjadi di antaranya kuadratik dan logaritmik. Setelah dilakukan analisis regresi diperoleh hasil yaitu: antara peubah
GRR dengan AHH dan antara peubah GRR dengan B2 mempunyai kecenderungan bentuk logaritmik. Sebaliknya antara peubah GRR dengan CVAG mempunyai kecenderungan bentuk linear. Sementara antara peubah GRR dengan K3 mempunyai kecenderungan bentuk kuadratik. Untuk lebih jelasnya, hasil R2
antara peubah GRR dengan AHH, CVAG, K3 dan B2 dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 Hasil R2 antara peubah GRR dengan AHH, CVAG, K3, dan B2
Peubah
Fungsi AHH CVAG K3 B2
Linear 0,208 0,582 0,531 0,019
Kuadratik 0,195 0,580 0,546 0,016
Logaritmik 0,221 0,580 0,377 0,061
Tabel 5 Hubungan antara peubah ln AHH, ln CVAG, CVAG, ln K3, ln B2, K32 dengan korelasi Pearson
Peubah ln AHH CVAG ln CVAG ln K3 K3kuadrat ln B2 GRR
ln AHH 1,00
CVAG -0,67 1,00
ln CVAG -0,66 1,00 1,00
ln K3 -0,40 0,81 0,83 1,00
K3kuadrat -0,54 0,93 0,93 0,81 1,00
ln B2 -0,65 0,77 0,75 0,53 0,74 1,00
GRR -0,47 0,75 0,74 0,60 0,73 0,25 1,00
Berdasarkan dari analisis tersebut diperoleh enam model sebagai berikut: - Model 5 merupakan model yang dikembangkan oleh Gunasekaran-Palmore
dengan bentuk fungsi lnGRR f(lnAHH, lnCVAG, lnK3, lnB2).
- Model 6 berdasarkan analisis eksplorasi bentuk fungsi peubah bebasnya dalam bentuk linear, kuadratik, dan logaritmik dengan peubah GRR maka diperoleh bentuk fungsi lnGRR f(lnCVAG)dengan metode Stepwise Regression.
- Model 7 adalah pengembangan Model 5 dengan peubah takbebas GRR dalam bentuk linear berdasarkan analisis korelasi Pearson bahwa GRR bentuk linear memiliki nilai korelasi lebih tinggi dibandingkan dengan GRR bentuk logaritmik. Sehingga model diperoleh dalam bentuk fungsi
3 2
(ln , ln , ln , ln ).
GRR f AHH CVAG K B
- Model 8 berdasarkan analisis korelasi Pearson seperti pada Tabel 4 yaitu peubah CVAG mempunyai kecenderungan bentuk linear dan peubah K3 digunakan bentuk logaritmik karena berdasarkan Tabel 5, peubah CVAG danln
- Model 9 merupakan pengembangan Model 8 dengan menghilangkan peubah ln
B2. Modifikasi dilakukan berdasarkan gambar biplot pada Lampiran 4 yang menunjukkan peubah ln B2 membentuk sudut tumpul dengan peubah GRR. Artinya mempunyai hubungan tidak erat sehingga dapat dihilangkan. Demikian juga berdasarkan Tabel 5 menunjukkan antara peubah GRR dengan ln B2
mempunyai nilai korelasi sebesar 0,25. Model ini ditulis dalam bentuk fungsi
3
(ln , , ln ).
GRR f AHH CVAG K
- Model 10 berdasarkan analisis eksplorasi bentuk fungsi peubah bebasnya dalam bentuk linear, kuadratik, dan logaritmik maka diperoleh bentuk fungsi
2 2 3
( , )
GRR f CVAG K dengan metode Stepwise Regression.
Berdasarkan penjelasan tersebut dan dengan menggunakan gugus data I diperoleh enam model sebagai berikut :
Model 5
3 2
lnGRR0, 4155 0, 2531ln AHH2, 4934lnCVAG0, 0553lnK 0, 0155lnB
2
(R adj0,581) (4.5)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan model Gunasekaran-Palmore didapat kesesuaian sebesar 58,1% dari model.
Model 6
2
lnGRR0,8250 1,9940ln CVAG R adj( 0, 633) (4.6)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Gunasekaran-Palmore didapat kesesuaian sebesar 63,3% dari model.
Model 7
3 2
3, 6678 0, 2664 ln 2, 2388 ln 0, 0609 ln 0, 0413ln
GRR AHH CVAG K B
2
(R adj0, 64) (4.7)
Model 8
3 2
0,1805 0, 2222ln 3,3635 0, 0442 ln 0, 0498ln
GRR AHH CVAG K B
2
(R adj0, 637) (4.8)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Gunasekaran-Palmore didapat kesesuaian sebesar 63,7% dari model. Model 9
* 3
0, 0476 0,1743ln 3,3126 0, 0432 ln
GRR AHH CVAG K (4.9)
2
(R adj0, 659)
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Gunasekaran-Palmore didapat kesesuaian sebesar 65,9% dari model. Model 10
2 2 2
3
0,547 4, 205 0, 000000001208 ( 0, 745)
GRR CVAG K R adj
Hal ini menunjukkan bahwa dengan data baru untuk 20 negara dengan modifikasi model Gunasekaran-Palmore didapat kesesuaian sebesar 74,5% dari model.
Dari enam model tersebut dilakukan validasi model dengan menggunakan gugus data II. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6 Validasi Model Gunasekaran-Palmore dan modifikasinya
Model
Validasi
Model original
Model 5 Original dengan
Data terbaru
Model 6
Model 7
Model 8
Model 9
Model 10
R2adj (%) - 58,1 63,3 64,0 63,7 65,9 74,5
MAPE(int) (%)
-
10,7 10,5 9,4 9,5 9,4 7,7
MAPE(eks)
(%) 23,7 18,8 18,9 17,5 17,5 17,4 20,4
Dari Tabel 6, terlihat bahwa Model 9 adalah model modifikasi Gunasekaran-Palmore terbaik. Model tersebut memperoleh nilai R adj2 sebesar 65,9%, nilai MAPE internal sebesar 9,4% dan MAPE eksternal terkecil sebesar 17,4%. Berikut dibandingkan antara nilai GRR duga dengan GRR asli Model 9 seperti ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4 Perbandingan antara nilai GRR duga dengan GRR asli Model 9 pada gugus data II
Berdasarkan Gambar 4, secara umum nilai GRR duga sudah mendekati nilai
GRR asli dengan nilai galat cukup kecil pada hampir semua negara. Namun beberapa negara masih memiliki nilai galat cukup besar diantaranya Norwegia, Moldova, dan Israel dengan selisih galat masing-masing sebesar 49%, 41%, dan 34%. Hal ini dapat disebabkan adanya kemungkinan pola kelahiran dan kematian negara-negara tersebut tidak mengikuti tren yang ada. Untuk lebih jelasnya, tabel perolehan nilai galat dapat dilihat pada Lampiran 9.
Modifikasi Model Gabungan Palmore dengan Gunasekaran-Palmore
Setelah mendapatkan model modifikasi metode Palmore dan Palmore maka dicobakan gabungan antara model Palmore dan Gunasekaran-Palmore sebagai model yang dasarkan: pertama analisis biplot (Gambar 2) menunjukkan peubah CWR mempunyai hubungan erat dengan peubah TFR dan
GRR, kedua analisis eksplorasi peubah CVAG mempunyai kecenderungan bentuk
linear, ketiga peubah K3 dipilih bentuk logaritmik (ln) agar tidak terjadi multikolinearitas serta keempat peubah ln B2 dihilangkan karena berdasarkan analisis biplot (Lampiran 4) tidak berhubungan erat dengan peubah GRR.
[image:43.595.111.512.87.538.2]Berdasarkan analisis tersebut, model dapat ditulis dalam bentuk fungsi
3
(ln , , ln , ln )
GRR f AHH CVAG K CWR sebagai berikut :
Model 11
3
0, 2184 0, 4063ln 0,3743 0, 0259ln 0,8007 ln
GRR AHH CVAG K CWR
2
(R adj0,943) (4.11)
Hal ini menunjukkan Model 11 sudah meningkatkan R2 terkoreksi dengan menambahkan peubah ln CWR sehingga didapat keragaman sebesar 94,3% dari model menggunakan gugus data I. Jika menggunakan gugus data II maka didapat nilai MAPE eksternal sebesar 14,3% yaitu nilai terkecil dari semua model sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya, gambar berikut menyajikan nilai perbandingan antara
[image:44.595.108.513.102.813.2]GRR asli dengan GRR duga Model 11 pada gugus data II.
Gambar 5 Perbandingan antara nilai GRR duga dengan GRR asli Model 11 pada gugus data II
Model 12
Model 12 adalah alternatif modifikasi lain. Dengan menggunakan metode
stepwise regression didapat fungsi GRR f(lnCWR). Dari gugus data I, Model
ini dapat ditulis sebagai berikut :
2
1,8434 0, 7000 ln ( 0, 934)
GRR CWR R adj
Hal ini menunjukkan tingkat kelahiran diduga hanya dengan menggunakan rasio anak usia balita dengan wanita usia produktif yang mewakili struktur umur penduduk dengan kesesuaian 93,4% dari model. Model ini dapat digunakan seandainya keterangan mengenai angka harapan hidup atau tingkat kematian pada negara tersebut belum tersedia dengan lengkap.
4.4 Modifikasi Model Gabungan Gunasekaran-Palmore dengan Fungsi Distribusi Umur Penduduk dalam Bentuk Kontinu
4.4.1 Model Kontinu Fungsi Distribusi Umur Penduduk
[image:45.595.92.500.151.805.2]Pada penelitian ini fungsi bentuk kontinu dalam distribusi umur penduduk wanita yang digunakan adalah fungsi distribusi Gamma. Sebagai contoh disajikan grafik distribusi umur penduduk wanita Malaysia pada tahun 1991.
Gambar 6 Grafik distribusi umur penduduk wanita Malaysia tahun 1991
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
1 7
13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Pr
o
p
o
rsi
ju
m
lah
p
e
n
d
.wan
ita
umur
Distribusi Gamma dicirikan oleh adanya dua parameter yaitu α dan β. Untuk suatu nilai parameter α dan β tertentu, grafik distribusi Gamma yang mempunyai fungsi kepekatan peluang
( exp adalah sebagai berikut :
f
[image:46.595.109.498.97.531.2]X
Gambar 7 Grafik distribusi Gamma dengan nilai parameter α dan β tertentu Dengan melihat grafik bentuk distribusi umur penduduk wanita (Gambar 6) dan grafik distribusi gamma (Gambar 7) terdapat kemiripan. Kedua grafik distribusi tersebut menunjukkan bahwa data pada awal kejadian rendah kemudian meninggi dan selanjutnya menurun menuju nol seiring bertambahnya waktu. Untuk selanjutnya dibahas penggunaan metode Gamma dalam mencari momen pertama, kedua, ketiga dan keempat dalam fungsi distribusi umur penduduk wanita.
4.4.2 Mencari nilai , dan
Diketahui fungsi kepekatan peluang dari distribusi Gamma adalah
1 1
( ) exp( )
( )
x
f x x
Г
(4.13)
dengan menggunakan fungsi pembangkit momen , maka persamaan (4.13) menjadi
10
1
( ) exp( )
( )
tx x
x
M t e x dx
Г
1 (1 ) 0 1 ( ) ( ) x t xM t x e dx
Г
(4.14)pilih y x(1 t)
dengan t 1
(4.15)
dan 1 y x t
(4.16)
1 dx dy t
(4.17)
sehingga dengan mensubstitusi persamaan (4.15), (4.16), dan (4.17) ke dalam persamaan (4.14) akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
1 (1 )/0
1 ( )
x t x
M t x e dx
Г
1 0 1 ( )( ) 1 1
y
y
e dy
Г t t
1 0 1 ( )( ) 1 1
y
y
e dy
Г t t
1 0/ (1 )
( )
( ) 1
y t y e dy Г t
10 11
( )
1 1 ( )
y
y e dy
t t Г
1
10
1 1
1 1
y
y e dy
Г t t
1 1 ( )(1 t) Г( )
1 (1 t)
,
1
t
(4.18)
Jadi Mx
t (1 t) (4.19) dengan menurunkan persamaan (4.19) maka diperoleh persamaan sebagai berikut
1'
1
x
1
(1 t)
(4.20) sehingga untuk
' 1
1
( ) (0) (1 0)
E X M (4.21)
dengan menurunkan persamaan (4.20) maka diperoleh persamaan sebagai berikut
1" d (1 )
M t t
dt
21 ( )(1 t)
2 2 2
( ) (1 t)
(4.22)
sehingga untuk E X( 2)1M'' 0
(2 ) 2(1 0) 22 2
()
(4.23)
dengan menurunkan persamaan (4.22) maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
''' 2 2 3
( ) (1 )
d
M t t
dt
2 2 3
( ) 2 (1 t)
2 2 2 3
( ) 2 (1 t)
3 3 2 3 3 3
( 3 2 )(1 t)
(4.24)
sehingga untuk 3 ''' 3 3 2 3 3
3
( ) (0) 3 2
E X M (4.25)
dengan menurunkan persamaan (4.24) maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
(4) 3 3 2 3 3 3
( ) d ( 3 2 )(1 )
M t t
dt
3 3 2 3 3 4
( 3 2 )( 3)( )(1 t)
4 4 3 4 2 4 4 4
( 6 11 6 )(1 t)
(4.26)
untuk 4 (4) 4 4 3 4 2 4 4
4
( ) (0) 6 11 6
E X M (4.27)
modifikasinya. Perhitungan nilai kumulant ke-1 sampai dengan ke-4 dapat dilihat pada Lampiran 1.
4.4.3 Pendugaan Parameter Distribusi Gamma
Fungsi Gamma memiliki fungsi kepekatan peluang :
( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) x
f x x e
(4.28)
Berikut ini tahapan pendugaan parameter.
1.
1 ) , ( , n i i
L f X
1 1 1 1 ( ) ( ( ) ) ( ) n i i X n n i iX e
2. log L( , )
1
1 1log log in<
