TEMA MATEMATICAS FINANCIERAS: Abril 2015
A. INTRODUCCION
Las matemáticas financieras se centran en el análisis de la actividad financiera en relación al uso del dinero.
Uno de los bienes transados, en el mercado de capitales, es el dinero, pero éste no se compra ni se vende sino que se arrienda, es decir se entrega en préstamo a una persona o institución, la que tiene derecho a hacer uso del bien por un tiempo
determinado. El uso del dinero por parte de la persona, o institución, que lo solicita, le significa pagar un rédito o alquiler, llamado interés.
Las matemáticas financieras derivan una serie de fórmulas que permiten, entre otros calcular:
a) El valor futuro de un dinero que se tiene hoy
b) Valores presentes o actuales de dineros que se recibirán en el futuro
c) Ganancias o gastos, que se generan, por el hecho de prestar dinero o recibir dinero en préstamo.
d) Tasas de interés que se deben cobrar a fin de obtener una determinada ganancia
e) Indiferencia de condiciones financieras, es decir cantidades de dinero, en un período de tiempo, que dejan a una persona o institución , en las mismas condiciones financieras que recibir una cierta cantidad de dinero, en otra fecha dada. La indiferencia está determinada por el costo de oportunidad que tenga la persona o institución, es decir la tasa de interés, y también por el sistema de capitalización que se esté utilizando.
Podemos concluir que las matemáticas financieras se centran en el análisis de la actividad financiera en relación al uso del dinero.
B. LENGUAJE
Como en el mercado financiero existen dos mecanismos de cobro del servicio
financiero, el interés simple y el interés compuesto, se requieren determinar fórmulas de cálculo para ambos sistemas.
a) Interés ( I ) : Pago (cobro) por el dinero recibido (colocado) en préstamo b) Tasa de interés ( i ) : Es el precio del dinero arrendado. Generalmente se expresa en tanto por ciento, pero en las fórmulas se expresa en tanto por uno
Las tasas de interés son expresadas en unidades de tiempo, porque el precio por el arrendamiento, es función del tiempo. c) Capital: Es el dinero que se recibe (se coloca) en préstamo
d) Tiempo (n): El tiempo puede ser expresado en distintas unidades (días, meses, años, etc.).
d) Capitalización: Valor a fecha futura o monto que se obtendrá o se convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. Capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro.
e) Actualización: Es el estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en fecha futura. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente.
C. INTERES SIMPLE
El interés simple tiene como característica el hecho de que siempre se calcula el interés sobre el mismo capital inicial, cualquiera que sea el tiempo que permanezca prestado o depositado, es decir nunca se capitaliza. Varía en relación directa con la cantidad de dinero prestada., la tasa de interés y el tiempo de duración del préstamo o depósito.
1. Fórmulas Generales:
Valor actual (C) = Valor futuro Valor Futuro = VA x (1 + i x n) 1 + i x n
Valor Futuro - 1 Valor Futuro - 1 i = Valor Actual n = Valor actual . n i
I = C x i x n
La siguiente fórmula se puede ocupar cuando queremos calcular el tiempo necesario para que un capital se transforme en k (número natural) veces el capital inicial.
Sea:
i = Tasa de interés del período
iK = Tasa de interés de un subperíodo
K = número de partes iguales en que se dividió el período i
ik
0 1 Período (Año, semestre, mes)
Entonces:
ik = i i = ik x k k
Que sean tasas equivalentes significan que permitirán obtener una misma ganancia (interés), en un período determinado, a partir de un mismo capital o, que a partir de un mismo capital determinarán igual valor futuro, en un período determinado.
3. Problemas varios de interés simple
a) Calcular la tasa mensual equivalente a la tasa del 12% anual y demostrar que efectivamente son equivalentes
b) ¿Qué tasa de interés simple se requiere para que un capital de $ 20.000 se transforme en $ 21.200, en el plazo de 9 meses?
c) El 10 de Enero se firmó un pagaré de $ 60.000 a una tasa de interés del 9%. ¿En qué fecha los intereses serán de $ 359 ?
d) Un artículo vale $ 1.800 al contado. Un comprador paga $ 800 de cuota inicial al contado y el resto a 60 días, con un recargo del 5% sobre el precio al contado. ¿Qué tasa de interés simple anual pagó?
e) Un pagaré de $ 1.200 con vencimiento en 8 meses y con interés del 5% se quiere vender a una persona al cuarto mes. Si ésta desea obtener un rendimiento del 6% ¿Cuánto pagará por el documento ?
f) Si el rendimiento normal del dinero es del 9% ¿Qué oferta es más conveniente por un terreno?
g) El Sr. Morales debe $ 500 con vencimiento en dos meses, $ 1.000 con vencimiento en cinco meses y $ 1.500 con vencimiento en ocho meses. Desea pagar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en seis meses y otro con
10 meses.
D. INTERES COMPUESTO
Un capital se presta o deposita a interés compuesto cuando los intereses que produce al cabo de cada unidad de tiempo se acumulan y agregan al capital inicial para que produzcan, a su vez, nuevos intereses. El interés vencido es agregado al capital en intervalos establecidos de tiempo, es decir, se capitaliza o convierte. Tanto el capital como el interés convertible en capital aumentan periódicamente durante el período de transacción.
En el interés compuesto aparece una tasa de pizarra o de cálculo. Esta no es una tasa efectiva sino una tasa a partir de la cual se calculan las tasas efectivas, es decir
aquellas a partir de las cuales se determina el interés por el arriendo del dinero. A esta tasa de le denomina “j” . Esquemáticamente tendremos:
i ik
j 1 años 1. Fórmulas Generales:
Valor actual ( C ) = Valor futuro Valor Futuro = C (1 + i)n (1 + i )n
i = Valor Futuro (1/n) -
1
Valor Actual n = log V.F – log C log (1 + i)
I = VF - VA
2. Fórmulas deTasas Equivalentes:
ik = . j . j = ik x k k
i = (1 + ik)k– 1 ik = (1 + i )1/k - 1
3. Problemas varios de interés compuesto
18% de interés anual convertible mensualmente?
b) ¿Cuál es la Tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario que se pacta a un 18% de interés anual, capitalizable:
i) Trimestralmente ? ii) Semestralmente ?
c) ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?
d) El BCI tiene en su poder un pagaré de US$ 1.200 con vencimiento en 8 meses y con interés del 5%, capitalizable semestralmente. Al cuarto mes lo pone a la venta en el mercado de capitales. El Banco Santander, Interesado en el pagaré, le ofrece
comprárselo pero exige un rendimiento del 6%, capitalizable trimestralmente Como ambos están de acuerdo, se realiza la operación de compra-venta. Indique cuánto dinero recibió el BCI por el documento en cuestión
El ejercicio que acabamos de ver nos permite concluir que la lógica de solución, de los problemas, es la misma, independiente que sean planteados por el interés simple o el compuesto, lo único que cambia son las formulas a utilizar.
E. RENTAS Y VALUACIÓN DE RENTAS.
Una Renta es una sucesión de pagos periódicos iguales. En matemáticas financieras se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas, a intervalos iguales de tiempo. No significa pagos anuales. Son anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, pagos periódicos de compañías de seguros, sueldo y todo tipo de rentas
1. Generalidades
1.1. Estructura de una Renta:
R R R ………. R
0 1 2 3 ……… n Período (mes, año, etc)
1.2. Nomenclatura que se utiliza en las fórmulas:
R = Renta
i = tasa de interés compuesta efectiva correspondiente al período de la renta n = número de rentas (que no es lo mismo que número de períodos)
a) Las rentas tienen que ser constantes para todos los períodos
b) A partir del período en que se empieza a recibir, la renta tiene que estar presente en todos los períodos de renta.
c) La tasa de interés debe mantenerse constante en todos los períodos de la renta 2. Valoración de Rentas
2.1. Fórmulas de Rentas Vencidas
VA (R) = R (1+i)n
VF = R x ( (1+i)n– 1 ) i
2.2. Fórmulas de Rentas Anticipadas
VA (R) = R x (1 + i) (1+i)n
VF = R x ( (1+i)n– 1 ) x (1 + i) i
2.3. Fórmulas de Rentas Diferidas
VA = R ( 1 - 1/(1+i)n) x 1 . i (1+i)m
VF = R x ( (1+i)n – 1 ) i
2.4. Fórmulas de Rentas Perpetuas
2.4.1. Rentas Perpetuas Vencidas
VA = R i
2.4.2. Rentas Perpetuas Anticipadas
VA = R + R = R ( 1+ 1 ) I i
VF = Infinito
3. Problemas
3.1. El Sr. Vergara depositó $ 10.000 , cada seis meses, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés de 3% convertible (capitalizable) semestralmente. El primer depósito lo realizó cuando su hijo tenía seis meses y el último cuando éste cumplió 21 años. Lo acumulado hasta la última fecha indicada, permaneció en la cuenta de ahorro, ganando el mismo interés, hasta el día en que su hijo cumplió 25 años. ¿Cuánto dinero puede retirar el hijo ?
3.2. El Sr. Cancino dejó estipulado en su testamento, que a la fecha de su muerte, el beneficio de un seguro de US$ 150.000, que tomó en vida, sea depositado a una tasa de interés compuesto del 3%. y que, de dicho depósito se retiren US$ 7.500 anuales para entregárselo a su viuda, mientras ésta viva. En la fecha de pago siguiente a la muerte de su esposa, el sobrante del fondo debe entregársele a un asilo de ancianos.
¿Cuánto dinero recibe el asilo si:
a) Su esposa muere 7 años y nueve meses más tarde
b) El primer pago lo recibió, la viuda, en la fecha de muerte de su esposo?
3.3. Una persona desea tener una renta de $ 500.000 anuales a partir de 5 años, desde la fecha actual, y por un espacio de 7 años. ¿Cuánto debe depositar hoy, si la tasa de interés compuesto es del 5%?
i = 0,05 R = 500.000 m = 4
n = 7
VA = x M$ 500 500 500
0 1 2 3 4 5 6 ……… 11 Años
VA = 500.000 x (1 – 1/(1+ 0,05)7) x (1/ (1+0,05)4) 0,05
VA = 2.380.232
3.4. Una huerta evaluada en US$ 15.000 se vende en US$ 5.000 de cuota inicial. El comprador acuerda pagar el saldo, con intereses del 5% convertible
semestralmente, mediante 10 pagos semestrales iguales, el primero con vencimiento en 4 años. Calcule el pago semestral que amortiza la deuda.
3.5. Hallar el valor presente de una perpetuidad de $ 780.000, pagaderos al final de cada año, suponiendo una tasa de interés de:
a) 6% efectivo
b) 6% convertible trimestralmente
3.6. Hallar el pago semestral de una perpetuidad vencida cuyo valor presente es $ 36.000.000, suponiendo un interés del 4% capitalizable semestralmente
3.7. Una persona recibe una renta de US$ 1.200 durante 5 años. Durante los 10 años siguientes recibe sólo US$ 800, finalizados los cuales y por los 7 años siguientes recibe sólo US$ 250, con lo cual la renta se agota. Las tasas de interés de los períodos fueron del 5%, 4,5% y 6% respectivamente.
3.8. Una empresa solicita un préstamo de $ 1.000.000, reajustable en UF , el 1 de Enero de 2005. El plazo de pago es de 5 años, amortizable, anualmente, en cuotas iguales en UF, a una tasa de interés del 8% anual.
Calcule el monto de la cuota en UF y desarrolle el crédito, es decir indique, en cada período, cuánto es el pago de interés y la amortización de capital.
Para sus cálculos asuma que el valor de la UF es de $ 2.500.
