DIMENSI PARTISI GRAF LENGKAP DENGAN KEDALAMAN

(1)

ABSTRAK

DIMENSI PARTISI GRAF LENGKAP DENGAN KEDALAMAN

Oleh Erwin Hendrianto

Dimensi partisi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. Pada tahun 1998, dengan mengembangkan konsep dimensi metrik. Misalkan adalah partisi

dari Representasi terhadap , | ( )

Jika untuk setiap | | maka disebut partisi pembeda. Banyaknya minimum partisi pembeda disebut dimensi partisi dari dan dinotasikan dengan Graf untuk bilangan asli adalah graf lengkap dengan kedalaman dan setiap titik mempunyai anak kecuali pada daun-daunnya. Dimensi partisi dari adalah untuk sedangkan dimensi partisi adalah untuk Dimensi partisi graf secara umum belum dapat ditentukan karena terkendala batas atasnya.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pekalongan yang saat itu masih Kab. Lampung Tengah pada 28 Januari 1991 dan sekarang menjadi Kab. Lampung Timur, anak pertama dari dua bersaudara pasangan Ibu Karmi dan Bapak Samino.

Penulis memulai pendidikan pertamanya di SDN 2 Gondangrejo pada tahun 1998. Kemudian pada tahun 2004 menjadi siswa SMPN 2 Pekalogan dan kemudian dilanjutkan ke SMA Muhammadiyah 1 Metro pada tahun 2007 dan lulus pada tahun 2010. Di tahun yang sama, penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.

(7)

MOTTO

“Wahai orang-orang yang beriman! Bersabarlah kamu dan

kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap-siaga dan

bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung”

(Ali „Imran.200)

“Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka ia akan berhasil” (Alhadist)

Sekecil apapun hal baik yang kita lakukan di hari ini akan berdampak bagi kebaikan yang datang pada kita di

masa depan.

Jadilah pribadi yang mengutamakan kebaikan agar kebaikan diutamakan bagi diri kita .

(8)

i

Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku

persembahkan karya kecilku ini untuk-Mu ya Allah, yang

selalu memberikan rahmat dan Hidayah sehingga skripsi ini

terselesaikan.

Untuk ibu, bapak dan adikku yang selalu memberikan kasih

sayang dan memberikanku dukungan dan tempat istimewa

di hati kalian , yang selalu memberikanku motivasi untuk

tetap semangat.

Kepada teman-temanku,

(9)

ii

SANWANCANA

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains matematika di Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat manusia.

Terselesainya penulisan skripsi yang berjudul “ Dimensi Partisi Graf Lengkap dengan Kedalaman ” ini tidak terlepas dari do’a, bimbingan, dukungan serta saran dari berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc, selaku dosen pembimbing kedua yang telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

(10)

iii

4. Ibu Wamiliana, Ph.D, selaku dosen pembimbing akademik yang telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Bapak dan Ibu ku tercinta yang selalu mendo’akan dan menyemangatiku. 9. Teman-teman seperjuangan Dinda Ristanti, Epy Lestari, Agustina Ambar

Wulan, dan Suryadi.

10. Angga Wijaya, Rohandi, Miftah Farid AR, Muhammad Rido, Hasbi Alkarim, Herman, Ridho, dan teman-teman Jurusan Matematika atas bantuan do’a dan rasa kekeluargaan yang telah diberikan.

Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca. Amiin.

Bandar Lampung, 12 Agustus 2014 Penulis

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... v

I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian ... 3

II. LANDASAN TEORI 2.1 Konsep dasar graf ... 4

2.2 Dimensi partisi graf ... 9

III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 14

3.2 Metode Penelitian ... 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Dimensi partisi graf ... 17

V. SIMPULAN DAN SARAN

(12)

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR Halaman

1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi. ... 4

2. Sirkuit genap dengan dan sirkuit ganjil ... 5

3. Jarak dan ... 6

4. Graf adalah sub graf ... 6

5. adalah pohon dan adalah hutan ... 6

6. Pohon berakar dengan titik sebagai akar ... 7

7. Graf pohon biner dan pohon biner penuh ... 7

8. Graf ... 7

9. ... 8

10. Graf bintang ... 8

11. Graf bintang ganda ... 8

12. Dimensi partisi graf ... 9

13. Dimensi partisi graf bintang ganda ... 12

14. Partisi pembeda pada graf ... 13

15. Partisi pembeda minimum graf ... 16

(13)

v_ii

(14)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak terapannya diberbagai bidang sampai saat ini. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh aplikasi graf yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain adalah struktur organisasi, bagan alir, peta rangkaian listrik, dan lain-lain.

Salah satu kelas graf yang mempunyai aplikasi pada bidang informatika adalah graf pohon. Graf pohon memegang peranan penting bagi programmer untuk menggambarkan hasil karyanya. Bagi seorang user, setiap kali berhadapan dengan monitor untuk menjalankan program aplikasi selalu akan menelusuri bagian – bagian dari graf pohon sebelum sampai pada program aplikasi yang dimaksud.

(15)

2 Misalkan suatu graf, dan . Jarak dari titik ke himpunan , dinotasikan dengan adalah { } dengan adalah jarak dari titik ke . Misalkan { } adalah

partisi dari dengan kelas-kelas dari . Representasi

terhadap , dinotasikan dengan , adalah -tupel terurut

. Selanjutnya, disebut partisi pembeda dari

jika untuk setiap dua titik berbeda Dimensi

partisi dari , dinotasikan adalah nilai terkecil sehingga mempunyai partisi pembeda dengan kelas (Chartrand, 1998).

Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung telah dilakukan oleh Chartrand dkk. (1998), khusus untuk kelas pohon telah didapatkan dimensi partisi dari graf lintasan yakni dan graf bintang , yakni ( ) .

Graf bintang ganda berorde { } dengan

dan dua titik yang bukan daun. Selain itu, didapatkan batas atas dan bawah

dimensi partisi dari graf ulat. Graf ulat adalah pohon yang mempunyai sifat jika dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan.

Chartrand dkk (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartite

Selanjutnya, Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf amalgamasi bintang.

(16)

3 Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah dimensi partisi pada graf . Sehingga, fokus dari penelitian ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf , untuk bilanga asli.

1.2 Perumusan Masalah

Misalkan diberikan graf terhubung . Permasalahan yang akan dikaji dalam tugas akhir ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf dengan bilangan asli dan .

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai langkah awal untuk menentukan dimensi partisi secara umum dari graf dengan bilangan asli.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

a. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam ilmu matematika di bidang teori graf terutama tentang dimensi partisi dari graf

(17)

II. LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Graf

Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan dimensi partisi graf yang digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian diambil dari Deo (1989).

Garf didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut dengan

menyatakan himpunan titik, dengan

Sedangkan, menyatakan himpunan sisi yakni menyatakan pasangan tak terurut dari .

Gambar 1. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi

Dua titik dikatakan bertetangga jika ada sisi yang menghubungkan keduanya. Suatu garis dikatakan menempel dengan suatu titik u, jika titik u merupakan salah satu ujung dari garis tersebut. Pada Gambar 1, titik bertetangga dengan titik dan

; sisi menempel pada titik dan .

(18)

5 (b)

Derajat suatu titik adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik dan dinotasikan dengan d( ). Pada Gambar 1,

dan ₅ . Pada graf titik merupakan loop, yaitu sisi yang

mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama. Sedangkan, sisi paralel pada graf ialah sisi dan yang mempunyai dua titik ujung yang sama yaitu dan . Graf yang tidak memiliki dan sisi paralel disebut graf sederhana.

Jalan (walk) adalah barisan berhingga titik dan garis, dimulai dan diakhiri oleh titik, sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Jalan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut jalan tertutup. Lintasan (path) adalah jalan yang semua titiknya berbeda. Sirkuit adalah lintasan tertutup. Sirkuit genap adalah lintasan yang dimulai dan diakhiri dengan titik yang sama dan banyak titiknya genap. Sedangkan, jika banyak titiknya ganjil, maka disebut sirkuit ganjil. Pada Gambar 1 contoh jalan adalah

₅ , contoh lintasan adalah ₅

contoh sirkuit adalah ₅

Gambar 2. (a) Sirkuit genap dengan = 4 dan (b) Sirkuit ganjil dengan = 5

(a)

(19)

6

Misalkan adalah graf terhubung, dan . Jarak titik terhadap dideﬁnisikan sebagai .

Gambar 3. Jarak dan

Graf dikatakan subgraf jika dan hanya jika dan )

Gambar 4. Graf adalah subgraf

Berikut ini diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini. Pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat sirkuit. Pohon yang hanya memiliki sebuah titik disebut pohon semu, sedangkan gabungan dari beberapa pohon disebut hutan (Siang, 2009).

(20)

7

Pohon berakar (rooted tree) adalah pohon dengan satu titik yang dikhususkan dari titik yang lain (Siang, 2009)

Gambar 6. Pohon berakardengan titik sebagai akar.

Pohon biner (binary tree) merupakan pohon berakar yang setiap titiknya memiliki paling banyak dua daun yang disebut daun kiri dan daun kanan (Siang, 2009).

Pohon biner penuh adalah pohon biner yang setiap titiknya memiliki tepat dua anak.

(a ) (b) Gambar 7. (a) Pohon biner; (b) pohon biner penuh

Pohon n-ary adalah pohon berakar yang setiap titiknya mempunyai paling banyak buah daun (Welyyanti, 2000)

Gambar 8. Graf n-ary 5

5

...

(21)

8

Graf untuk n, k bilangan asli adalah graf - ary lengkap dengan kedalaman k dan setiap titik mempunyai anak kecuali pada daun-daunnya. Kedalaman dari

adalah panjang lintasan dari titik akar ke daun-daunya. Jelas bahwa

adalah graf bintang dan adalah graf lobster (Welyyanti, 2000).

(a) (b) (c) (d) Gambar 9. (a) ; (b) ; (c) dan (d)

Graf bintang (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajat yang disebut dengan pusat, dan titik lain yang berderajat

satu yang disebut daun (Chartrand, 2000).

Gambar 10. Graf bintang

Sebuah graf pohon disebut graf bintang ganda jika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua titik dan berderajat lebih dari satu. Jika dan , berturut-turut berderajat dan maka graf bintang ganda dinotasikan dengan

(Chartrand, 1998).

(22)

9

2.2 Dimensi partisi Graf

Pada bagian ini akan diberikan definisi dimensi partisi, sifat-sifatnya dan beberapa kelas graf yang sudah diperoleh dimensi partisinya.

Misalkan suatu graf, dan . Jarak dari titik ke himpunan , dinotasikan dengan adalah dengan

adalah jarak dari titik ke . Misalkan { } adalah partisi dari

dengan kelas-kelas dari Π. Representasi terhadap Π,

dinotasikan dengan Π , adalah -tupel terurut . Selanjutnya, Π disebut partisi pembeda dari jika Π Π untuk setiap dua titik berbeda Dimensi partisi dari , dinotasikan adalah nilai terkecil sehingga mempunyai partisi pembeda dengan kelas

(Chartrand, 1998).

Berikut ini diberikan graf dan akan ditentukan dimensi partisi dari graf tersebut.

Gambar 12. Dimensi partisi graf 5

(23)

10

Graf dipartisi sedemikian sehingga diperoleh Π , dengan

, ₅ dan . Perhatikan bahwa

r( |Π) (2,0,3) ; r( | Π) = (1,0,2); r( |Π) = (0,1,1); r( |Π) = (0,2,2); r( ₅|Π) = (1,0,2); r( |Π) = (1,2,0); r( |Π) = (0,1,3); r( |Π) = (1,0,4); r( |Π) = (0,1,5); r( |Π) = (0,2,4). Karena representasi dari semua titik adalah berbeda, maka Π adalah partisi pembeda dari dan

Untuk menunjukkan andaikan terdapat partisi pembeda Π dari . Perhatikan bahwa mempunyai 3 daun, yaitu ₅ . Karena hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut harus berada pada kelas partisi yang sama. Akibatnya, representasi kedua daun itu akan sama, karena mempunyai jarak yang sama terhadap titik-titik yang lain. Jadi, |Π| ≥ 3. Akibatnya, .

Berikut ini adalah sifat penting dimensi partisi yang telah dibuktikan oleh Chartrand dkk (1998).

Lemma 2.2.1

Diberikan graf terhubung yang tidak trivial dengan partisi pembeda Π dari Untuk , jika untuk setiap , maka

(24)

11

Berikut ini adalah teorema yang digunakan untuk menentukan dimensi partisi pada graf bintang ganda.

Teorema 2.2.2

Jika adalah graf bintang ganda berorde ≥ 6, dengan dan dua titik yang bukan daun, maka, .

Bukti : Misalkan = deg 1 dan deg , dengan Misalkan

adalah daun dari yang bertetangga dengan dan adalah

yang daun bertetangga dengan . Untuk membuktikannya dibagi menjadi dua kasus.

Kasus 1. Jika Diberikan Π }, dengan ,

dan untuk

Perhatikan bahwa r( |Π) (0,2,2,2,…,2); r( |Π) (1,0,2,2,…,2); r( |Π) (0,1,2,2,…2); r( |Π) (2,0,2,2,….2); r( |Π) (0,1,1,…,1); r( |Π) (1,0,1,1,…,1) untuk , r( |Π) (1,2,…,0,…) dan r( |Π) (2,1,…0,…), komponen ke bernilai 0. Akibatnya semua titik

mempunyai representasi yang berbeda. Jadi,

Kasus 2. Jika . Pada kasus 2 ini, dapat dipecah lagi menjadi sub kasus. Bagian 2.1. Jika Maka Diberikan Π dengan

, , , dan untuk Karena

(25)

12

Bagian 2.2. Jika . Diberikan Π dengan ;

, untuk , dan untuk

Pernyataan yang sama yang digunakan bagian 2.1 menunjukkan bahwa Π partisi pembeda dari dan Jadi, terbukti bahwa

.

Berikut ini adalah contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang ganda.

Gambar 13. Dimensi pertisi graf bintang ganda

Graf graf bintang ganda dipartisi sedemikian sehingga diperoleh

Π , dengan , ₅ dan . Perhatikan

bahwa r( |Π) (1,0,1) ; r( | Π) = (0,1,2); r( |Π) = (0,2,3); r( |Π) = (1,0,3); r( ₅|Π) = (2,0,2); r( |Π) = (2,1,0). Karena representasi dari semua titik adalah berbeda, makaΠadalah partisi pembeda dari dan ( )

Untuk menunjukkan ( ) Andaikan terdapat partisi pembeda Π

dari . Dengan dan ₅ . Representasi setiap titik dari graf bintang ganda adalah r( |Π) (1,0) ; r( | Π) = (0,1); r( |Π) = (0,2);

r( |Π) = (1,0); r( ₅|Π) = (2,0); r( |Π) = (2,0). Terlihat bahwa r( |Π) Π dan r( ₅|Π) = r( |Π). Jadi, |Π| ≥ 3. Akibatnya, ( )

(26)

13

Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi graf lintasan. Teorema 2.2.3

Misalkan graf lintasan berorde , maka

Bukti : Misalkan graf lintasan = Asumsikan Π={S1,S2} adalah partisi dari dengan dan maka r( |Π) (0,1); r( | Π) = (1,0); r( |Π) = (2,0); r( |Π) = (3,0). Secara umum r( |Π) = -1,0); untuk . Oleh karena itu, .

Berikut ini diberikan teorema menentukan dimensi partisi graf bintang ganda.

Teorema 2.2.4

Jika graf bintang berorde , maka ( ) .

Berikut ini adalah contoh penentukan dimensi partisi dari graf ₅

Gambar 14. Partisi pembeda pada graf ₅

Misalkan graf ₅ dipartisi dengan lima partisi, asumsikan Π ₅ dengan , , ₅ , dan ₅ . Perhatikan bahwa Π Π Π (1,0,2,2,2);

Π 5 Π Π

1 5 1 2 5

(27)

14

Karena representasi dari semua titik adalah berbeda , maka Π adalah partisi

pembeda dari ₅dan ₅ 5.

Untuk menunjukkan ( ₅) andaikan terdapat partisi pembeda

Π dari ₅ dengan , , dan

₅ . Representasi setiap titik dari graf ₅ adalah Π

Π Π (1,0,2,2); Π ; ₅ Π

Π Terlihat bahwa ₅ Π Π .

Sehingga, Π bukan partisi pembeda dari graf . Jadi, |Π

(28)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013-2014 bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf ,

adalah

1. Menentukan batas bawah dari

Berdasarkan Lemma 2.2.1, diberikan graf terhubung yang tidak trivial dengan partisi pembeda Π dari Untuk , jika

untuk setiap , maka dan

merupakan elemen yang berbeda dari Π.

(29)

16

2. Menentukan batas atas dari

Batas atas dari diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf

Himpunan titik-ttik pada graf dikelompokkan secara

(30)

V. SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dimensi partisi graf untuk bilangan asli dengan sebagai berikut :

1. ( ) ( ) ( ) ( ) untuk .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) untuk .

3. Dimensi partisi untuk sebarang bilangan asli belum dapat ditentukan karena terkendala pada penentuan batas atasnya.

5.2 Saran

(31)

DAFTAR PUSTAKA

Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bullen of Mathematics. 101. 04, No. 02, 161-167.

Welyyanti, D. E.Baskoro, T. Simanjuntak, R and Unttunggadewa, S. 2000, On Locating-Chromatic Number of Complete n-Ary Tree, AKACE Int. J.

GraphsComb., No.X(XXX).pp.61-67.

Deo, N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall Inc, New York.

G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, 1998, On the partition dimension of graph, Congr. Numer., 130, 157-168.

G. Chartrand, E. Salehi and P. Zhang, 2000.The partition dimension of a graph, Aequationes Math. 59 45–54.