Teori Peluang dan Statistika Ekspektasi

Indira Puteri Kinasih(20110006)

Tugas I - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103)

Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis

1. Misalkan X merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :

 

 

x xlainnya f

b x x

f

, 0

0 , 0 

    

Tunjukkan bahwa

 

x 



b



F

 

x



dx E

0

1

dengan F

 

x merupakan fungsi distribusi dari x.

Jawab :

Untuk membuktikan bentuk diatas, akan digunakan metode pembuktian terbalik, yaitu pembuktian melalui ruas kanan menuju ruas kiri. Yaitu akan dibuktikan bahwa :

 



F x



dx E

 

x

b

 



0

1

Sebelumnya, terlebih dahulu akan sedikit dijelaskan mengenai hubungan antara fungsi distribusi F

 

x dengan fungsi kepadatan peluang f

 

x . Seperti yang telah diketahui bersama bahwa

 

 

dx

x dF x

f  atauF

 

x 



f

 

x dx

Sehingga untuk membuktikan bentuk diatas, kita akan menggunakan metode integral parsial



udvuv



vdu, dengan u 



1F

 

x



duf

 dx

x dan dvdxv x, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :

 









 







 



 









 

 







 



 

 







 









 



 

 



 



  

 

b

b b

b b b b

dx x xf b b F

dx x xf F

b b F

dx x xf x

x F

dx x f x x x F dx

x F

0

0 0

0 0 0 0

1

0 0 1 1

Perhatikan bahwa bentuk



1F

 

b



b dapat diselesaikan apabila kita memahami salah satu sifat dari fungsi distribusi, yaitu :

 

1

lim 



 F b

b

Sehingga, dapat dituliskan sebagai berikut :

 







 



 

 

 

 

 

x terbukti

E

dx x xf

dx x xf b

dx x xf b b F dx

x F

b

b b b

, 1

1 1 1

0

0 0 0

 

  

 

 









2. Misalkan X merupakan peubah acak diskret dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :

 

 

x xlainnya

f

x x

f

, 0

,... 3 , 2 , 1 ,

0



 

Tunjukkan bahwa

 







 



  

0

1

x

x F x

E

dengan F

 

x merupakan fungsi distribusi dari x.

Jawab :

Penyelesaian problem ini, dilakukan dengan metode pembuktian langsung, dari ruas kiri ke ruas kanan. Perhatikan bahwa untuk peubah acak diskret, berlaku hubungan berikut :

 





 

x

x f x x

E

 













 

 



x t

f x

X P x F

x t

, , dan

 

x F

  

x F x1



f

Dengan beberapa hubungan yang telah diketahui di atas, kita dapat menuliskan :

 

 

 

 

 

   

F



F

   

F





F

 

F

 





F

 

x



F

f f

f

x f x x

E

x x

     

 

  

 

  



lim ...

2 3 3 1 2 2 0 1

 

 

 

 

 

 



 



 

   



 



 



F x



terbukti

x F F

F F

x F F

F F

F F x E

x

x

x

, 1

lim ...

2 1 0

lim ...

2 3 2 2 1 2 1 0

0







 

 

 

      

   

 