APROKSIMASI DISTRIBUSI t-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTIONS (GLD)
(Skripsi)
Oleh
Eflin Marsinta Uli Pasaribu
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
APROKSIMASI DISTRIBUSI t-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTIONS (GLD)
Oleh
EFLIN MARSINTA ULI PASARIBU
Generalized Lambda Distribution (GLD) merupakan distribusi yang baik dalam pengujian dan pencocokan data untuk beberapa distribusi kontinu. Pencocokan GLD yang sederhana dan fleksibel, yang hanya menggunakan empat momen pertama, membuat pencocokan GLD lebih baik dalam mendekati distribusi tertentu. Pengkajian mengenai pencocokan GLD terhadap suatu distribusi umumnya masih terbatas pada distribusi kontinu dengan dua parameter (lokasi dan scale). Pada penelitian kali ini, akan dikaji pencocokan distribusi t-student (salah satu distribusi kontinu dengan satu parameter) terhadap GLD. Pembahasan dikhususkan untuk menentukan pada saat derajat bebas berapakah distribusi t-student mampu mendekati GLD dengan baik. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah mengaproksimasi nilai dari keempat parameter GLD dengan menggunakan metode pencocokan momen. Selanjutnya mencocokan kurva GLD terhadap distribusi t-student pada derajat bebas 5 hingga derajat bebas 30. Hasil penelitian dan pembahasan menunjukkan bahwa semakin besar derajat bebas distribusi t-student maka distrbus t-student semakin baik dalam mengaproksimasi GLD.
Judul Skripsi : APROKSIMASI DISTRIBUSI t-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA
DISTRIBUTIONS (GLD)
Nama Mahasiswa : Eflin Marsinta Uli Pasaribu Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031025
Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Warsono, Ph.D. Widiarti, M.Si.
NIP. 19630216 198703 1 003 NIP. 19800502 200501 2 003
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
APROKSIMASI DISTRIBUSI t-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTIONS (GLD)
Oleh
Eflin Marsinta Uli Pasaribu 0817031025
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada 23 Januari 1989 di Jakarta, dan adalah anak pertama dari tiga bersaudara, dari pasangan Bapak Mangara Pasaribu dan Ibu Florensi Hutapea.
Penulis memulai pendidikan dari TK Merry pada tahun 1995. Kemudian pendidikan sekolah dasar diselesaikan di SD Negeri 10 Jati Mekar Bekasi pada tahun 2001, sekolah lanjutan tingkat menengah di SMP Negeri 6 Bekasi pada tahun 2004, dan sekolah lanjutan tingkat atas di SMA Negeri 5 Bekasi pada tahun 2007.
MOTTO
“Karena Tuhanlah yang memberikan hikmat, dari mulut-Nya datang pengetahuan dan kepandaian”
(Amsal 2 : 6)
“Serahkanlah perbuatanmu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala rencanamu”
(Amsal 16 : 3)
SANWACANA
Segala puji syukur kepada Tuhan Yesus, yang telah melimpahkan berkat, rahmat dan hikmatNya dalam menyelesaikan skripsi ini.
Puji Tuhan pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini. 2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan mengoreksi, hingga skripsi ini selesai dan selaku pembimbing akademik. 3. Bapak Mustofa Usman.Ph.D, selaku dosen penguji bukan pembimbing yang
memberi penulis masukan dan saran.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
x 7. Bapa, Mama, Dora dan Rendy, yang telah memberikan dukungan secara finansial dan moril, mengirimkan doa, nasihat dan semangat yang sangat membantu selama penyusunan skripsi.
8. Keluarga besar Pasaribu dan Hutapea ( tante, uda, tulang, nantulang, namboru, amangboru, patua dan matua) untuk semangat yang dikirim lewat doa dan perhatian.
9. Jibo, Q, Recan, dan Tiyas, sahabat sekaligus keluarga yang membuat penulis nyaman dan betah berada di Lampung. Terimakasih sudah menjadi tempat berbagi selama 4 tahun.
10. Tiyas Yulita dan Jihan, teman seperjuangan dalam penulisan skripsi, Syaza, Oki, Tika dan Ike, untuk waktu kebersamaan dan momen-momen saling menyemangati. Teman – teman Exoters lainnya, terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.
11. Keluarga besar POM MIPA, ayank Santi, Adel, Kak Riri, Adi, Ventus, abang, kakak dan adik-adik. KK NN, Tina, Pita, dan Wida, terimakasih dek atas doa, dukungan dan semangatnya. KK VERCY, mbak Yulia, Kak Riri, Christin, dan Venny, terimakasih atas penguatan di awal perkuliahan sehingga penulis bisa menyelesaikan studinya.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis
PERSEMBAHAN
Satu persembahan kecil untuk kedua orang tuaku,
Bapa Mangara Pasaribu dan Mama Florensi Hutapea,
kedua adikku, Dora Carolina dan Rendy Parningotan,
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Warsono, Ph.D. ………
Sekretaris : Widiarti, M.Si. ………
Penguji
Bukan Pembimbing : Mustofa Usman, Ph.D. ………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pemodelan statistik telah banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti dalam bidang ilmu pengetahuan, teknologi, kedokteran, teknik, manejemen, dan berbagai bidang yang mencakup pengetahuan manusia. Model paling dasar dan banyak digunakan, yang disebut distribusi peluang, menghubungkan nilai dari variabel-variabel penting untuk peluang terjadinya variabel tersebut.
Pencocokan (fitting) sebuah distribusi peluang untuk data merupakan tugas penting dalam analisis data statistik. Data yang akan dimodelkan dapat terdiri dari pengamatan suatu peristiwa, seperti deret waktu keuangan, atau mungkin terdiri dari hasil simulasi. Pemilihan model peluang yang terbaik dalam analisis data statistik bukanlah merupakan hal yang mudah. Pencocokan (fitting) data, umumnya dimulai dengan memilih keluarga distribusi tertentu dan kemudian menemukan nilai untuk parameter distribusi yang paling cocok dengan data pengamatan.
Generalized Lambda Distribution (GLD), awalnya diusulkan oleh Ramberg dan
2
Karian,2000). Pencocokan (fitting) GLD telah digunakan dengan sukses di berbagai bidang (misalnya,konstruksi industri, data atmosfer, kontrol kualitas, data medis, keandalan). Sejak awal 1970-an pencocokan GLD telah diterapkan diberbagai bidang usaha dengan fungsi kepekatan peluang yang kontinu. Pencocokan GLD yang sederhana dan fleksibel dalam pencocokan berbagai bentuk kurva yang hanya menggunakan empat momen pertama, membuat pencocokan atau kesesuaian GLD lebih baik dalam mendekati distribusi tertentu.
Dalam mengkaji hubungan suatu distribusi terhadap distribusi lainnya sebagai kasus pencocokan distribusi peluang dapat dilakukan dengan melihat perilaku dari fungsi distribusinya (konvergen dalam distribusi) atau dengan metode pencocokan momen (matching-moment). Dari kedua cara tersebut, penggunaan metode pencocokan momen merupakan cara yang lebih efisien dalam mengkaji kasus pencocokan distribusi peluang suatu distribusi. Pengkajian mengenai pencocokan GLD terhadap suatu distribusi masih terbatas pada distribusi normal, weibull, gamma, log-normal, dan log-logistik, sedangkan pengkajian terhadap distribusi t-student masih sangat jarang. Oleh karena itu dalam penelitian ini, akan dikaji mengenai pencocokan (fitting) GLD terhadap distribusi t-student dengan menggunakan metode pencocokan momen.
1.2 Batasan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menentukan empat moment pertama Generalized Lambda Distribution (GLD)
2. Mengkaji pencocokan (fitting) t-student terhdap distribusi GLD dengan menggunakan metode pencocokan moment
3. Menentukan nilai derajat bebas distribusi t-student yang mampu mendekati GLD dengan sebaik mungkin.
1.4 Manfaat Penelitian
8
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2011/2012 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini ditujukan untuk membuktikan GLD sebagai bentuk umum dari distribusi t-student. Pembuktian ini dilakukan dengan mengaproksimasi t-student terhadap GLD.
Langkah 1. Memberikan empat momen pertama GLD
Untuk menentukan empat momen pertama dari GLD, digunakan Definisi 2.1.
Langkah 2. Memberikan empat momen pertama distribusi t-student
9
Langkah 3. Mengaproksimasi t-student terhadap GLD
Untuk mengaproksimasi t-student terhadap GLD akan digunakan metode pencocokan momen berdasarkan Lampiran 2. Nilai keempat momen dari distribusi t-student digunakan untuk mengaproksimasi nilai keempat parameter GLD.
Langkah 4. Fitting kurva t-student terhadap GLD
Fitting kurva ini dilakukan dengan menggunakan software Matlab. Fitting
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Kurva distribusi t-student dan GLD � , � , � , � menjadi lebih dekat pada derajat bebas yang semakin besar
2. Pada setiap increase, untuk setiap derajat bebas yang sama nilai
max |�̂ � − � � | juga sama
3. Pengujian untuk goodness of fit menunjukkan bahwa distribusi t-student memberikan kesesuaian yang sangat baik bagi GLD
4. Semakin besar derajat bebas distribusi t-student, kurva yang dihasilkan dari kedua distribusi akan semakin dekat, dan simetris.
