Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Grup Matriks atas Ring

Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah

Konjugasi Pada Grup Matriks atas Ring

Khurul Wardati, M. Zaki Riyanto, Riski Ryan Hardiansyah, Fitri Alfianti

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga, Yogyakarta

Overview

1 Pengantar Kriptografi

Keamanan Informasi Kriptografi

2 Kriptografi Kunci Publik

Protokol Pertukaran Kunci Diffie-Hellman

3 Post-Quantum Cryptography

Komputer Kuantum Masalah Konjugasi Teori Ring

Protokol Pertukaran Kunci Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Grup Matriks atas Ring

4 Referensi

Ancaman Keamanan Informasi

Jalur komunikasi umum seperti jaringan internet dan seluler tidak dapat dijamin keamanannya.

Sangat rawan terhadap berbagai ancaman keamanan informasi, seperti penyadapan, perubahan informasi, pemalsuan identitas, dan sebagainya.

Akan menjadi masalah apabila informasi yang dikirimkan bersifat rahasia. Hanya pihak-pihak tertentu yang boleh mengetahui.

Salah satu solusi yang ditawarkan adalah menggunakan kriptografi.

Sandi Caesar (Yunani Kuno)

Kriptografi

Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berkaitan dengan aspek-aspek keamanan informasi, seperti kerahasiaan, integritas data, otentikasi entitas, dan otentikasi data orisinil. (Menezes dkk, 1996) Pada aspek kerahasiaan, digunakan proses enkripsi dan dekripsi.

Enkripsi (encryption) adalah proses merubah pesan terbaca (plainteks/teks terang) menjadi kode-kode yang ”tidak dapat” dipahami (cipherteks/teks sandi).

Dekripsi (decryption) adalan kebalikan dari proses enkripsi. Proses enkripsi dan dekripsi membutuhkan suatu

metode/algoritma kriptografi (sandi/cipher) dan suatu parameter rahasia yang disebut dengan kunci.

Sandi Caesar (Shift Cipher)

Diberikan grup (Z26, +).

Dibuat korespondensi huruf A ↔ 0, ..., Z ↔ 25.

Himpunan semua plainteks, cipherteks, dan kunci adalah Z26.

Diberikan plainteks x ∈ Z26 dan kunci k ∈ Z26. Proses

enkripsi didefinisikan sebagai fungsi

ek(x ) = x + k mod 26.

Diberikan cipherteks y ∈ Z26 dan kunci k ∈ Z26. Proses

dekripsi didefinisikan sebagai fungsi

dk(y ) = y − k mod 26.

Contoh, pesan ”ALJABAR” dienkripsi menggunakan sandi geser dengan kunci k=1, diperoleh cipherteks ”BMKBCBS”.

Sandi Vigenere (1553)

Diberikan grup (Z26, +) dan n ∈ Z, n > 1.

Diberikan plainteks x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Zn26. Diberikan kunci k = (k1, k2, ..., kn) ∈ Zn26. Fungsi enkripsi: ek(x ) = (x1+ k1, x2+ k2, ..., xn+ kn) mod 26. Diberikan cipherteks y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Zn26. Fungsi dekripsi: dk(y ) = (y1− k1, y2− k2, ..., yn− kn) mod 26.

Contoh, pesan ”ALJABAR” dienkripsi menggunakan kunci ”UGM” yang memiliki panjang n = 3, diperoleh cipherteks ”URVUHML”.

Sandi Hill (Lester S. Hill, 1929)

Diberikan ring (Z26, +, ·) dan n ∈ Z, n > 1.

Diberikan grup GLn(Z26) = {K ∈ Mn(Z26)|gcd (det(K ), 26) = 1}. Diberikan plainteks x ∈ Zn26. Diberikan kunci K ∈ GLn(Z26). Fungsi enkripsi: eK(x ) = xK mod 26. Diberikan cipherteks y ∈ Zn26. Fungsi dekripsi: dK(y ) = yK−1 mod 26.

Sistem Kriptografi Simetris

Pada Sandi Caesar dan Sandi Hill, Alice dan Bob harus menggunakan kunci yang sama.

Sistem kriptografi simetris adalah sistem kriptografi yang proses enkripsi dan dekripsinya menggunakan kunci yang sama.

Disebut juga dengan sistem kriptografi kunci rahasia. Contoh: Sandi Caesar, Sandi Hill, Sandi Vigenere, Playfair, Enigma, DES, 3DES, Blowfish, dan AES.

AES saat ini menjadi standar kriptografi simetris. AES

menggunakan serangkaian operasi-operasi perkalian, substitusi dan permutasi pada matriks atas lapangan

Z2[x ]/ < x8+ x4+ x3+ x + 1 >, dengan x8+ x4+ x3+ x + 1

Permasalahan dalam Sistem Kriptografi Simetris

Pada sistem kriptografi simetris, Alice dan Bob harus menyepakati kunci yang sama.

Bagaimana jika Alice ingin mengirimkan pesan rahasia kepada Bob, tetapi keduanya tidak dapat menyepakati kunci rahasia yang sama?

Masalah ini dialami pada penggunaan kriptografi selama ribuan tahun.

Pertukaran Kunci Diffie-Hellman (1976)

Pada tahun 1976, Whitfield Diffie dan Martin Hellman

mempublikasikan paper yang sangat penting dalam perkembangan kriptografi, yang berjudul ”New Directions in Cryptography”. Keduanya mengusulkan sebuah metode yang memungkinkan Alice dan Bob dapat menyepakati kunci yang sama, walaupun keduanya menggunakan jalur komunikasi yang tidak aman.

Masalah Logaritma Diskrit atas Z

∗p

Diberikan bilangan prima p, maka Zp adalah lapangan hingga.

Akibatnya Z∗p= Zp\ {0} adalah grup siklik terhadap operasi

perkalian modulo prima p.

Misalkan g ∈ Z∗p adalah generator dari Z∗p.

Diberikan x ∈ Z∗p, maka terdapat bilangan bulat positif

terkecil a sedemikian hingga x = ga mod p, atauglog x = a. Masalah menemukan glog x disebut masalah logaritma diskrit (Discrete Logarithm Problem).

Diffie dan Hellman memanfaatkan masalah logaritma diskrit pada grup Z∗p.

Protokol Pertukaran Kunci Diffie-Hellman atas Z

∗p

1 Alice dan Bob menyepakati bilangan prima p, dan g generator

dari grup siklik Z∗p. Nilai p dan g bersifat publik/umum.

2 Alice memilih secara rahasia bilangan bulat 1 < n < p − 1,

kemudian menghitung SA = ga mod p dan mengirimkan SA

kepada Bob.

3 _{Bob memilih secara rahasia bilangan bulat 1 < m < p − 1,}

kemudian menghitung SB = gb mod p dan mengirimkan SB

kepada Alice.

4 Alice menghitung K_A = S_Ba mod p. 5 Bob menghitung K_B = S_Ab mod p.

6 _{Alice dan Bob berhasil menyepakati kunci yang sama, yaitu}

KA= KB.

Protokol Pertukaran Kunci Diffie-Hellman Secara Umum

1 _{Alice dan Bob menyepakati grup siklik berhingga G yang}

dibangun oleh g . Grup G dan pembangunnya g bersifat publik/umum.

2 Alice memilih secara rahasia bilangan bulat 1 < n < |G |,

kemudian menghitung SA = ga dan mengirimkan SA kepada

Bob.

3 _{Bob memilih secara rahasia bilangan bulat 1 < m < |G |,}

kemudian menghitung SB = gb mod p dan mengirimkan SB

kepada Alice.

4 Alice menghitung K_A = S_Ba. 5 _{Bob menghitung K}

B = SAb.

6 _{Alice dan Bob berhasil menyepakati kunci yang sama, yaitu}

Grup Siklik yang Digunakan

Diberikan lapangan hingga F , maka F∗= F \{0} adalah grup siklik terhadap operasi perkalian. Saat ini, lapangan yang digunakan untuk membentuk grup siklik adalah:

Zp, dengan p adalah bilangan prima.

Zp[x ]/ < f (x ) >, dengan p adalah bilangan prima dan

f (x ) ∈ Zp[x ] adalah polinomial taktereduksi.

Pada implementasi hardware (perangkat keras), digunakan lapangan Z2[x ]/ < f (x ) > dengan f (x ) ∈ Z2[x ] adalah

polinomial taktereduksi.

Aplikasi WhastApp menggunakan protokol pertukaran kunci menggunakan suatu grup kurva elliptik atas lapangan hingga.

Komputasi Komputer Kuantum

Pada tahun 1997, Peter W. Shor mempublikasikan paper berjudul ”Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithm on a Quantum Computer”. Dalam paper tersebut dijelaskan bahwa jika komputer kuantum berhasil diwujudkan, maka masalah faktorisasi dan masalah logaritma diskrit dapat diselesaikan secara mudah.

Post-Quantum Cryptography (PQC)

1 _{Sistem kriptografi berbasis masalah faktorisasi dan masalah}

logaritma diskrit, seperti RSA, ElGamal dan ECC, sudah tidak lagi aman apabila komputer kuantum dapat diwujudkan di masa depan.

2 _{Saat ini, RSA, ElGamal dan ECC masih digunakan untuk}

keamanan data di internet.

3 _{Oleh sejak itu, para peneliti kriptografi berusaha mencari}

sistem kriptografi yang aman dari serangan komputer kuantum, sehingga saat ini muncul istilah Post-Quantum Cryptography (PQC).

Kandidat PQC

1 Lattice-Based Cryptography, tingkat keamanannya diletakkan

pada permasalahan dalam lattice, seperti masalah vektor terpendek (shortest vector problem). Contoh: NTRU.

2 Code-Based Cryptography, tingkat keamanannya diletakkan

pada masalah decoding pada kode linear. Contohnya adalah Skema McElliece dan Skema Niederreiter.

3 Multivariat Cryptography, tingkat keamananya diletakkan

pada masalah mencari solusi sistem persamaan multivariabel atas lapangan hingga. Contoh: Algoritma HFE dan MI.

4 Non-Commutative Cryptography, tingkat keamanannya

diletakkan pada permasalahan pada struktur aljabar non-komutatif, contoh: masalah konjugasi pada grup dan masalah dekomposisi pada semigrup dan ring.

Kriptografi Kunci Publik Berdasarkan Masalah Konjugasi

1 Konstruksi kriptografi kunci publik yang didasarkan pada

masalah konjugasi pada suatu grup non-komutatif mulai dikenal pada tahun 1999 berkat publikasi I. Anshel, M. Anshel, and D. Goldfeld dengan judul ”An Algebraic Method for Public-Key Cryptography”.

2 Pada tahun 2000, Ki Hyoung Ko, Sang Jin Lee, dkk

pembulikasikan paper dengan judul ”New Public-Key Cryptosystem Using Braid Groups”. Pada kedua publikasi tersebut dikonstruksi protokol pertukaran kunci yang tingkat keamanannya diletakkan pada masalah konjugasi atas grup non-komutatif. Sebagai contoh dari grup yang digunakan adalah grup matriks atas lapangan hingga dan grup anyaman (braid group).

Masalah Konjugasi

1 _{Diberikan G adalah suatu grup non-komutatif.}

2 _{Diberikan a, b ∈ G . Elemen a dan b dikatakan saling konjugat}

jika terdapat g ∈ G sedemikian hingga g−1ag = b.

3 _{Diberikan a, b ∈ G yang saling konjugat. Masalah konjugasi}

adalah masalah dalam menentukan g ∈ G sedemikian hingga g−1ag = b.

Pertukaran Kunci (Anshel, Anshel dan Goldfeld, 1999)

1 _{Alice dan Bob menyepakati dan mempublikasikan grup}

non-komutatif G , serta A = {a1, ..., an} ⊆ G dan

B = {b1, ..., bn} ⊆ G .

2 Alice menghitung a = ae1

i1 · · · a

el

il dengan aik ∈ A dan ek = ±1.

Alice menghitung SA = (a−1b1a, ..., a−1bna) dan

mengirimkannya kepada Bob.

3 Bob menghitung b = bd1

i1 · · · b

dl

il dengan bik ∈ B dan dk = ±1.

Bob menghitung SB = (b−1a1b, ..., b−1anb) dan

mengirimkannya kepada Alice.

4 _{Alice menghitung} KA= a−1(b−1aei11b) · · · (b −1_ael ilb) = a −1_b−1_{ab = [a, b].} 5 _{Bob menghitung} KB = (a−1bi−dl 1a) · · · (a −1_b−d1 i1 a)b = a −1_b−1_{ab = [a, b].}

Pertukaran Kunci (Ko, Lee, dkk, 2000)

1 _{Alice dan Bob menyepakati dan mempublikasikan grup}

non-komutatif G , w ∈ G , dan H subgrup komutatif dari G .

2 Alice memilih secara rahasia a ∈ H, kemudian menghitung

SA = a−1wa dan mengirimkannya kepada Bob.

3 Bob memilih secara rahasia b ∈ H, kemudian menghitung

SB = b−1wb dan mengirimkannya kepada Alice.

4 Alice menghitung K_A = a−1S_Ba. 5 Bob menghitung K_B = b−1S_Ab.

Bukti:

Konstruksi Suatu Grup Non-Komutatif

1 Akan dikonstruksi suatu grup non-komutatif multiplikatif

berhingga, yaitu grup matriks dengan entri-entri dari suatu ring

2 Ring yang digunakan adalah ring komutatif berhingga dengan

Sifat-Sifat Ring Komutatif Berhingga (Bernard R.

McDonald, 1984)

Definisi

Suatu ring R disebut lokal jika R memiliki tepat satu ideal maksimal.

Teorema

Diberikan R adalah ring komutatif berhingga, maka

R ∼= R1× R2× · · · × Rk dimana masing-masing Rj adalah ring

Teorema Fundamental Aritmatika

Teorema

Untuk setiap n ∈ Z dengan n > 1, terdapat dengan tunggal bilangan-bilangan prima p1, p2, ..., pk dan bilangan-bilangan asli

Akibat

Teorema

Diberikan ring Zndengan faktorisasi prima n = p1e1p e2 2 · · · p ek k , maka Zn∼= Zp₁e1× Zp₂e2 × · · · × Zpek_k Masing-masing Z_pej j

adalah ring lokal, dengan ideal maksimal tunggalnya adalah < pj >.

Grup Matriks atas Ring (Bernard R. McDonald, 1984)

Teorema

Diberikan R adalah ring komutatif berhingga, maka GLm(R) ∼= GLm(R1) × GLm(R2) × · · · × GLm(Rk) dimana

Akibat

Teorema

Diberikan ring Zndengan faktorisasi prima n = p₁e1p₂e2· · · pe_kk, maka

GLm(Zn) ∼= GLm(Z_pe1

Grup Matriks atas Ring (Bernard R. McDonald, 1984)

Teorema

Diberikan R adalah ring komutatif berhingga.

Misalkan I adalah ideal maksimal dari R, maka R/I adalah lapangan hingga.

Misalkan K = R/I dengan |K | = q, maka

|GL_m(K )| = qm2

m−1

Y

j =0

Grup Matriks atas Ring (Bernard R. McDonald, 1984)

Teorema

Diberikan R adalah ring komutatif berhingga. Misalkan I adalah ideal maksimal dari R. Misalkan K = R/I dengan |K | = q, maka

|GLm(R)| = |R|m

2m−1Y

j =0

Akibat

Teorema

Diberikan R adalah ring komutatif berhingga dengan GLm(R) ∼= GLm(R1) × GLm(R2) × · · · × GLm(Rk) dimana

masing-masing Ri adalah ring lokal. Maka

|GLm(R)| = |GLm(R1)| · |GLm(R2)| · · · |GLm(Rk)|

Teorema ini sangat penting untuk menghitung banyaknya kunci yang digunakan pada protokol pertukaran kunci.

Akibat

Teorema

Diberikan ring Zpe dimana p adalah bilangan prima, maka

< p > adalah ideal maksimal dari Zpe.

| < p > | = pe−1_.

|Zpe/ < p > | = p

|GL_m(Zpe)| = (pe)m

2_Qm−1

Akibat

Teorema

Diberikan ring Zndengan faktorisasi prima n = p₁e1p₂e2· · · pe_kk, maka

|GLm(Zn)| = |GLm(Z_pe1

Protokol Pertukaran Kunci

1 _{Akan dikonstruksi suatu protokol pertukaran kunci}

berdasarkan masalah konjugasi atas grup matriks atas ring menggunakan protokol pertukaran kunci yang didefinisikan oleh Koo, Lee dkk (2000).

2 Alice dan Bob menyepakati grup GL_m(R) dengan R adalah

ring komutatif berhingga dengan elemen satuan.

3 _{Alice dan Bob menyepakati suatu matriks W , P ∈ GLm(R)} 4 Alice dan Bob membentuk subgrup siklik < P >

Proses Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

1 _{Alice memilih secara rahasia A ∈< P > dan menghitung}

X = A−1WA, kemudian mengirimkan X kepada Bob.

2 _{Bob memilih secara rahasia B ∈< P > dan menghitung}

Y = B−1WB, kemudian mengirimkan Y kepada Bob.

3 _{Alice menerima Y dari Bob, kemudian Alice menghitung}

K1= A−1YA.

4 Bob menerima X dari Bob, kemudian Bob menghitung

K2= B−1XB.

5 Alice dan Bob berhasil menyepakati kunci rahasia yang sama,

Contoh Protokol Pertukaran Kunci

1 Alice dan Bob menyepakati grup GL₄(Z₂₅₆)

2 _{Alice dan Bob menyepakati W , P ∈ GL4(Z256) yaitu}

W =     38 128 136 7 109 143 171 174 76 186 173 122 197 76 105 49     P =     214 16 115 112 80 39 170 104 51 108 17 71 197 182 89 246    

Contoh Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

1 _{Alice memilih secara rahasia}

A =     161 242 25 38 200 207 60 66 147 182 240 101 195 232 17 201     ∈< P > dan menghitung X = A−1WA =     253 32 151 76 148 79 143 245 194 154 198 23 218 58 163 129    

Contoh Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

1 _{Bob memilih secara rahasia}

B =     76 228 15 126 236 61 234 48 177 116 165 83 9 146 71 8     ∈< P > dan menghitung Y = B−1WB =     219 154 0 143 115 47 40 71 219 34 65 220 155 78 206 72    

Contoh Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

1 Alice menerima Y =     219 154 0 143 115 47 40 71 219 34 65 220 155 78 206 72     dari Bob 2 Alice menghitung K1 = A−1YA =     99 190 200 122 182 149 16 115 123 16 160 131 65 170 131 251    

Contoh Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

1 Bob menerima X =     253 32 151 76 148 79 143 245 194 154 198 23 218 58 163 129     dari Alice. 2 Bob menghitung K2 = B−1XB =     99 190 200 122 182 149 16 115 123 16 160 131 65 170 131 251    

Contoh Protokol Pertukaran Kunci (lanjutan)

Alice dan Bob berhasil menyepakat kunci rahasia yang sama yaitu menghitung K =     99 190 200 122 182 149 16 115 123 16 160 131 65 170 131 251    

Kunci K selanjutnya digunakan untuk proses enkripsi-dekripsi menggunakan sistem kriptografi simetris (Contoh: Hill Cipher, DES, 3DES dan AES)

Referensi

W. D. Diffie and M. E. Hellman. New directions in cryptography. IEEE Transactions on Information Theory, 22(6): 644-654 (1976).

P. W. Shor, Polynomial-time algorithms for prime

factorization and discrete logarithms on quantum computer, SIAM J. Computing 26 (1997), 14841509.

I. Anshel, M. Anshel, and D. Goldfeld, An algebraic method for public-key cryptography, Math. Res. Lett. 6 (1999), pp. 287291.

Referensi

A. Myasnikov, V. Shpilrain and A. Ushakov, Group Based Cryptography, Birkhauser Verlag, 2008.

Bernard R. McDonald, Linear algebra over commutative rings, Monographs and Textbooks in Pure and Applied