PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Salah satu masalah arus dalam suatu network adalah penentuan path terpendek. Masalah path terpendek ini merupakan masalah pengoptimuman, karena dengan diperolehnya path terpendek diharapkan dapat mengoptimumkan faktor yang lain (misalkan: waktu dan biaya).

Secara umum, masalah path terpendek dalam suatu network ini terbagi menjadi 3 tipe, yakni:

(1) path terpendek antara suatu simpul dan

simpul lainnya,

(2) path terpendek antara suatu simpul dengan semua simpul lainnya, dan

(3) path terpendek antara semua pasang

simpul yang terdapat pada network tersebut.

Pada karya ilmiah ini, yang menjadi masalah utama adalah masalah tipe (1), yaitu mencari path terpendek antara suatu simpul, yaitu source dan suatu simpul lainnya, yaitu sink. Terdapat beberapa algoritme yang dapat digunakan untuk mencari path terpendek, salah satunya adalah algoritme dekomposisi. Algoritme dekomposisi dibahas di dalam [Hu, 1981], [Yen, 1968], dan [Shier et al., 1973].

Namun, tiap prosedur yang diperkenalkan memiliki keuntungan yang berbeda. Prosedur yang diperkenalkan oleh Hu akan tepat bila diaplikasikan pada network yang memiliki struktur linear. Prosedur yang diperkenalkan oleh Shier akan tepat bila diaplikasikan pada network dengan struktur tree. Ada pula prosedur yang akan tepat bila diaplikasikan pada network berbentuk star, yaitu algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Land dan Stairs [Land & Stairs, 1967].

Dalam karya ilmiah yang merupakan rekonstruksi dari tulisan Jarvis dan Tufekci [Jarvis & Tufekci, 1982] ini, algoritme yang banyak diterapkan adalah algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Hu [Hu, 1981]. Dalam karya ilmiah ini juga dilakukan penghitungan kompleksitas dari algoritme dekomposisi yang digunakan.

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah path terpendek antara simpul source (s) dan sink (t) dalam sebuah network dengan menggunakan Algoritme Dekomposisi Jarvis-Tufekci.

LANDASAN TEORI

Dalam mencari path terpendek antara source (s) dan sink (t) dalam sebuah network dengan algoritme dekomposisi, diperlukan beberapa konsep sebagai berikut:

Graf Definisi 1 (Graf)

Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf, yang disebut simpul (node, verteks), dan E adalah himpunan pasangan takterurut dari simpul- simpul di V. Setiap {p,q}∈E (dengan p,q∈V) disebut sisi (edge) dan dikatakan

menghubungkan simpul p dan simpul q. Sisi {p,q} dapat pula dituliskan dengan pq.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

G:

Gambar 1. Graf dengan 4 simpul dan 5 sisi. v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5

6 5 2 3 4 1 6 5 2 3 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Graf G pada Gambar 1 mempunyai himpunan

simpul V={v1, v2, v3, v4} dan himpunan sisi

E={e1, e2, e3, e4, e5}. Definisi 2 (Incident)

Misalkan diberikan graf G=(V,E). Jika sisi e={p,q}∈E, maka simpul p dan q masing-masing dikatakan incident dengan sisi e. Dapat pula dikatakan bahwa sisi e incident dengan simpul p dan q.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

Berdasarkan graf pada Gambar 1, maka e1 incident dengan simpul v1 dan v2,

e2 incident dengan simpul v1 dan v3,

e3 incident dengan simpul v2 dan v3,

dan seterusnya.

Definisi 3 (Subgraf)

Suatu graf G’=(V’,E’) adalah suatu subgraf dari G=(V,E) jika V’⊆ V dan E’⊆ E.

(Ahuja et al., 1993)

Ilustrasi:

G:

G’:

Gambar 2. G’ subgraf dari G.

Definisi 4 (Komponen)

Suatu subgraf maksimum yang terhubungkan dari graf G disebut komponen dari G.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

G:

Gambar 3. Graf dengan 2 komponen. Graf G pada Gambar 3 memiliki 2 buah komponen, yaitu komponen yang mengandung himpunan simpul {1,2,3,4} dan yang mengandung himpunan simpul {5,6}.

Definisi 5 (Digraf)

Suatu graf berarah/digraf (directed graph) D adalah pasangan terurut (V,A) dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut elemen-elemen di V. Elemen dari A biasa disebut sisi berarah (arc).

Jika (u,v) (seringkali dituliskan dengan uv) adalah suatu sisi berarah pada digraf, maka u dikatakan predecessor dari v, dan v adalah suatu successor dari u.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

D:

Gambar 4. Digraf.

Untuk digraf pada Gambar 4, V={1,2,3,4,5} dan A={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (2,5), (3,5), (4,5)}.

Pada sisi berarah (1,2), maka simpul 1 adalah predecessor bagi simpul 2, dan simpul 2 adalah successor bagi simpul 1. Hal yang sama berlaku bagi sisi berarah lainnya.

Definisi 6 (Walk)

Suatu walk pada suatu digraf D=(V,A) adalah suatu subgraf dari D=(V,A) yang berupa suatu barisan dari simpul dan sisi berarah i1−a1−i2−

a2−…−ir−1−ar−1−ir dan untuk semua 1≤ k ≤ r−1

berlaku ak=(ik , ik+1)∈A atau dapat ditulis

Dapat pula dikatakan bahwa walk adalah suatu himpunan (barisan) dari sisi berarah atau simpul-simpul.

Walk dapat dibedakan menjadi 2, yakni:

a) Walk berarah yaitu suatu walk yang

memiliki satu arah, sehingga untuk sembarang 2 buah simpul ik dan ik+1 yang

berurutan pada walk tersebut, (ik , ik+1)∈A.

b) Walk tidak berarah yaitu suatu walk yang tidak memenuhi definisi walk berarah.

(Ahuja et al., 1993)

Ilustrasi:

Gambar 5(a). Walk 1−2−3−4−5 adalah contoh walk berarah.

Gambar 5(b). Walk 1−2−3−4−5 adalah contoh walk tidak berarah.

Definisi 7 (Path)

Suatu path dalam suatu digraf adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda (tidak ada yang berulang).

Berdasarkan definisi walk, maka path dapat pula dibedakan menjadi 2, yakni path berarah dan path tidak berarah.

(Ahuja et al., 1993)

Ilustrasi:

Gambar 6. Path.

Path 1−2−3−5 pada Gambar 6 merupakan contoh path yang dimiliki oleh digraf pada Gambar 4. Path ini merupakan contoh path berarah.

Definisi 8 (Subpath)

Suatu subpath dari path v0−v1−v2−...−vk

adalah barisan simpul vi−vi+1−...−vj yang

terdapat dalam path tersebut sedemikian sehingga 0 ≤ i ≤ j ≤ k.

(Cormen et al., 1990)

Ilustrasi:

Dengan menggunakan path pada Gambar 6 dapat diperoleh contoh subpath, yakni:

Gambar 7. Contoh subpath.

Definisi 9 (Cycle)

Suatu cycle adalah suatu path i1−i2−...−ir dan

mengandung (i1, ir) atau (ir,i1), atau dapat

dituliskan sebagai i1−i2−...−ir−i1. Suatu cycle

dapat pula didefinisikan sebagai path yang tertutup.

Berdasarkan definisi path, maka cycle dapat dibedakan menjadi 2, yakni:

1) Cycle berarah yaitu path berarah

i1−i2−...−ir dan mengandung sisi berarah

(ir,i1).

2) Cycle tidak berarah yaitu path tidak

berarah i1−i2−...−ir dan mengandung sisi

berarah (ir,i1).

(Ahuja et al., 1993)

Ilustrasi:

Gambar 8(a). Cycle 1−2−3−1 adalah cycle berarah.

Gambar 8(b) Cycle 1−2−3−1 adalah cycle tidak berarah. 1 2 3 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 4 3 1 1 1 5

Definisi 10 (Digraf Terhubungkan)

Suatu digraf D=(V,A) dikatakan terhubungkan (connected), jika terdapat paling sedikit satu buah path yang menghubungkan setiap pasang simpul pada digraf tersebut. Jika tidak, maka digraf tersebut dikatakan takterhubung.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

Gambar 9(a). Digraf terhubung.

Gambar 9(b). Digraf takterhubung.

Definisi 11 (Graf terboboti)

Suatu graf G=(V,E) atau digraf D=(V,A) dikatakan terboboti jika terdapat fungsi d:E→R atau d:A→R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memetakan setiap bilangan real (yang disebut bobot) untuk setiap sisi di E (atau A). Setiap bobot

d(uv) dengan uv ∈ E (atau uv ∈ A) biasa

dituliskan dengan duv.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

Gambar 10. Digraf terboboti.

Definisi 12 (Panjang sisi berarah)

Misalkan diberikan suatu digraf terboboti dengan fungsi yang memetakan tiap sisi berarah dengan suatu bilangan real. Maka, bobot ini dapat pula dikatakan sebagai panjang sisi berarah. Panjang sisi berarah yang menghubungkan simpul u dengan v

dinotasikan dengan duv=d(u,v), dan

didefinisikan pula bahwa d(u,u)=0, dan d(u,v)=∞ (takhingga) jika tidak ada sisi berarah yang menghubungkan simpul u dan v tersebut.

(Cormen et al., 1990)

Ilustrasi:

Bardasarkan digraf terboboti pada Gambar 10, maka dapat diperoleh:

d(1,1)=0 d(2,3)=1

d(1,2)=1 d(2,4)=5

d(1,3)=3 d(3,3)=0

d(1,4)=∞ d(3,4)=1

d(2,2)=0 d(4,4)=0.

Definisi 13 (Panjang path)

Misalkan diberikan path p, v0−v1−v2−...−vk.

Panjang path p adalah jumlah semua panjang sisi berarah yang terdapat pada path tersebut, atau dapat dituliskan sebagai:

∑

= − = = k i i i k d v v v v d p d 1 1 0, ) ( , ) ( ) ( . (Cormen et al., 1990) Ilustrasi:

Pada Gambar 10, terdapat beberapa path. Berikut ini panjang path-path yang menghubungkan simpul 1 dan simpul 4 pada digraf pada Gambar 10 tersebut:

Panjang path 1−2−4 =d(1,4) =d(1,2)+d(2,4) =1+5 =6 Panjang path 1−3−4 =d(1,4) =d(1,3)+d(3,4) =3+1 =4 Panjang path 1−2−3−4 =d(1,4) =d(1,2)+d(2,3)+d(3,4) =1+1+1 =3.

Definisi 14 (Path terpendek)

Path u−v dikatakan sebagai path terpendek jika path yang menghubungkan simpul u dan simpul v tersebut memiliki panjang minimum di antara path-path u−v lainnya.

(Hu, 1981)

Ilustrasi:

Berdasarkan digraf terboboti pada Gambar 10, dan panjang path-path yang menghubungkan simpul 1 dan 4 pada Ilustrasi Definisi 13, maka dapat ditentukan path terpendek yang menghubungkan simpul 1 dan 4 adalah path

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1−2−3−4, karena memiliki panjang minimum di antara path-path 1−4 lainnya, yaitu 3. Dalam karya ilmiah ini, definisi “panjang” dapat pula diartikan sebagai “jarak”.

Definisi 15 (Matriks jarak)

Misalkan D=(V,A) adalah suatu digraf dengan }

,...., , {v1 v2 vn

V= dan A={a₁,a₂,....,a_m}. Matriks jarak M didefinisikan dengan M=(mij)

dengan mij=d(vi,vj).

(Chartrand & Oellermann, 1993)

Ilustrasi:

Dengan menggunakan digraf terboboti pada Gambar 10, maka dapat diperoleh matriks jarak dari digraf tersebut, yakni sebagai berikut: 1 0 1 3 2 0 1 5 3 0 1 4 0 M +∞ ⎡ ⎤ ⎢_+∞ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢+∞ +∞ ⎥ ⎢_{+∞ +∞ +∞} ⎥ ⎣ ⎦ .

Definisi 16 (Panjang cycle)

Misalkan diberikan suatu cycle berarah c, yaitu v0−v1−v2−...−vk dengan v0 = vk. Panjang

cycle berarah c adalah jumlah panjang seluruh sisi berarah yang terdapat pada cycle tersebut, atau dapat dituliskan sebagai:

∑

= − − − = k i i i i i v v d v v d c d 1 1 1 )] , ( ) , ( [ ) ( .

Panjang cycle dapat dibedakan sebagai

berikut:

• Panjang cycle dikatakan negatif jika d(c)< 0 • Panjang cycle dikatakan taknegatif jika

d(c) ≥ 0

• Panjang cycle dikatakan positif jika d(c) >0. (Ahuja et al., 1993)

Ilustrasi:

Gambar 11. Digraf yang mengandung cycle.

Berdasarkan Gambar 11, cycle 2−4−3−2 merupakan cycle negatif karena memiliki panjang cycle:

d(c) = d(2,4) + d(4,3) + d(3,2) = (−11) + 2 +8

= −1 < 0.

Sedangkan cycle 1−3−2−1 merupakan cycle taknegatif (dapat pula dikatakan positif), karena memiliki panjang cycle:

d(c) = d(1,3) + d(3,2) + d(2,1) = 5 + 8 + (−10)

= 3 ≥ 0.

Network

Definisi 17

Kasus khusus digraf terboboti adalah network (jaringan kerja). Beberapa konsep pada network adalah sebagai berikut:

1.

Jika a = (vi,vj) adalah suatu sisi berarah

pada digraf D=(V,A), maka a dikatakan sebagai sisi berarah yang menjauhi vi dan

mendekati vj.

2.

Suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang mendekati dirinya disebut dengan sumber (source), sedangkan suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang menjauhi dirinya disebut dengan sink

3.

Suatu network adalah suatu digraf yang mempunyai tepat satu source dan tepat satu sink.

Pada banyak aplikasi network, paling sedikit terdapat satu aliran/flow yang bergerak dari source ke sink. Flow pada network merupakan bobot pada digraf.

(Foulds, 1992)

Ilustrasi:

Gambar 12. Network.

Definisi 18 (Kerapatan network)

Kerapatan suatu network adalah perbandingan banyaknya sisi berarah sebenarnya pada network dengan banyaknya sisi berarah 1 2 3 4 2 5 8 −11 −10 1 s 3 2 t 2 3 1 2 2 5 3

maksimum yang mungkin terdapat pada network tersebut.

Jika suatu network N

=

(V,A) terdiri atas n buah simpul dan n(n−1) buah sisi berarah, maka network seperti itu dikatakan memiliki kerapatan sebesar 100%. Namun, jika suatu network memiliki nilai kerapatan yang lebih kecil dari 0,20 maka network tersebut dikatakan longgar.

(Jarvis & Tufekci, 1982)

Ilustrasi:

N:

Gambar 13. Contoh network yang longgar. Network N pada Gambar 13 memiliki n=7 buah simpul yaitu {s,1,2,3,4,5,t}, dan 7 buah sisi berarah yaitu {a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7).

Banyaknya sisi berarah maksimum yang mungkin terdapat pada network tersebut adalah n(n−1)=7(7−1) =42 buah sisi berarah. Maka, kerapatan network tersebut adalah

17 , 0 42

7 ₌ . Nilai kerapatan yang kurang dari 0,20 tersebut menunjukkan bahwa network tersebut merupakan network yang longgar.

Definisi 19 (Cut set)

Misalkan diberikan suatu network terhubung N=(V,A) dan misalkan B dan X merupakan himpunan bagian dari V dengan X ≠ B. Himpunan X dikatakan sebagai cut set dari B jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: (a) Jika X dan semua sisi berarah yang

incident dengan X dihilangkan, maka network N=(V,A) tersebut menjadi takterhubung,

(b) Semua simpul pada B berada pada satu komponen yang sama dan tidak terdapat simpul lain yang bukan anggota B pada komponen ini.

(Hu & Torres, 1969)

Ilustrasi:

N:

Gambar 14(a). Network dengan cut set.

Gambar 14(b). Network takterhubung setelah cut set dihilangkan.

Pada network N pada Gambar 14(a),

himpunan simpul X ={2,3,4,5,6,7} merupakan cut set dari himpunan simpul {s,1}, atau cut set dari himpunan simpul {8,t}. Sedangkan Gambar 14(b) menunjukkan network tersebut menjadi takterhubung, jika himpunan simpul yang merupakan cut set tersebut dihilangkan.

Definisi 20 (Minimal cut set)

Misalkan X adalah cut set dari N. Maka, X dikatakan sebagai minimal cut set jika tidak terdapat himpunan bagian sejati dari X yang juga merupakan cut set.

(Hu & Torres, 1969)

s 1 8 1 t

a

1

a

4

a

3

a

5

a

2

a

6

_a

7 s 4 3 2 5 s t 1 2 3 4 5 6 7 8

X

t

s

t

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 3 1 4 3 2 Ilustrasi: X1 X2

Gambar 15. Contoh minimal cut set pada suatu network.

Berdasarkan Gambar 15, terlihat bahwa

X1={2,3} dan X2={6,7} adalah minimal cut

set pada network tersebut.

Berbeda halnya dengan cut set pada Gambar 14(a) yang tidak dapat dikatakan sebagai

minimal cut set karena masih memiliki

himpunan bagian sejati yang juga merupakan cut set.

Definisi 21 (Operasi tripel)

Misalkan dij menyatakan panjang/jarak antara

simpul i dan simpul j pada digraf D. Maka, didefinisikan operasi tripel sebagai berikut:

dik ←min {dik, dij + djk}untuk i ≠ j ≠ k

dengan lambang “←” menyatakan “digantikan oleh”.

(Hu, 1981)

Ilustrasi:

Gambar 16. Contoh path dengan 3 simpul. Untuk menentukan jarak terpendek antara simpul i dan k pada Gambar 16, maka dilakukan operasi tripel, yakni:

di k ← min {dik , dij + djk}

= min {6,3+2} = min {6,5} = 5

∴ di k ← 5.

Secara umum, operasi tripel dapat digunakan untuk lebih dari 3 simpul.

Ilustrasi:

Gambar 17. Contoh path dengan 5 simpul Untuk menentukan jarak terpendek antara simpul 1 dan simpul 5, maka dilakukan operasi tripel sebagai berikut:

• d15 ← min {d15, d12 + d25} • d15 ← min {d15, d13 + d35} • d25 ← min {d25, d24 + d45} = min {+∞, 4 + 3} = min {+∞, 7} = 7 • d35 ← min {d35, d34 + d45} = min {2, 1 + 3} = min {2, 4} = 2 • d15 ← min {d15, d13 + d35} = min {+∞, 3 + 2} = min {+∞, 5} = 5 • d15 ← min {d15, d12 + d25} = min {5, 1 + 7} = min {5, 8} = 5. ∴ d15 ← 5.

Definisi 22 (Network terdekomposisi)

Misalkan Xi adalah himpunan simpul dan

diketahui Xi ≠ ∅, untuk setiap i. Suatu

network N=(V,A) dikatakan terdekomposisi

menjadi m buah subnetwork

m N N N

N1, 2, 3,... , yang bertindih secara linear (linearly overlapping) jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: (1) _{X Ii} X_j= Ø ; i≠ j (2) mN N i i = = U 1

i

j

k

3 2 6

s t 1 2 3 4 2 2 1 1 3 3 5 4

X

(3) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − Ø 1 i i j i X X N N I ). 1 ( ) 1 ( ; 1 ; 1 ; + − ≠ + = − = i i, , i j i j i j

(Jarvis & Tufekci, 1982)

Gambar 18. Ilustrasi m buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Berikut ini merupakan ilustrasi sebuah

network yang terdekomposisi menjadi 3 buah subnetwork yang bertindih secara linear (linearly overlapping).

Ilustrasi:

N:

Gambar 19. Contoh network dengan 3 buah subnetwork. Network pada Gambar 19, terdekomposisi

menjadi 3 buah subnetwork N1,N2,N3

dengan himpunan simpul di N1={s,1,2,3,4}, =

2

N {3,4,5,6}, dan N3 ={5,6,7,8}, dengan X1 = {3,4} dan X2 = {5,6}.

Definisi 23 (Persamaan minisumasi)

Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang terdekomposisi menjadi 2 buah

subnetwork N1 dan N2, maka N=N1∪X∪N2

dengan X adalah cut set pada network N.

Misalkan pula *

uv

d menyatakan jarak terpendek antara simpul u dan simpul v.

Persamaan minisumasi didefinisikan sebagai berikut: } { min * * * jk ij ik d d j d = +

dengan i∈N1, j∈X, dan k∈N2.

(Hu & Torres, 1969)

Ilustrasi:

Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang terdekomposisi menjadi 2 buah subnetwork sebagai berikut:

N:

Gambar 20. Network yang telah terdekomposisi.

Network N pada Gambar 20 mempunyai 2 buah subnetwork dengan N1={s,1}, X={2,3},

dan N2={4,t}. X1 X2 X3 ... Xm−1 1 N N2 N3 Nm s 1 2 3 4 5 6 7 t

X

1

X

2

Untuk mengetahui jarak terpendek dari N1 ke

N2 dapat ditentukan dengan menggunakan

persamaan minisumasi berikut: )] ( ), min[( * 34 * 3 * 24 * 2 * 4 d d d d ds = s + s + = min [(7 + 7), (3 + 1)] = min [14, 4] = 4 )] ( ), min[( * 3 * 3 * 2 * 2 * t s t s st d d d d d = + + = min [(7 + 1), (3 + 5)] = min [8, 8] = 8 )] ( ), min[( * 34 * 13 * 24 * 12 * 14 d d d d d = + + = min [(6 + 7), (2 + 1)] = min [13, 3] = 3 )] ( ), min[( * 3 * 13 * 2 * 12 * 1t d d t d d t d = + + = min [(6 + 1), (2 + 5)] = min [7, 7] = 7. Kompleksitas Algoritme Definisi 24 (Algoritme)

Algoritme adalah suatu tahapan/prosedur untuk menyelesaikan suatu masalah.

Langkah-langkah dari suatu algoritme dibedakan sebagai berikut:

1) Langkah penetapan.

Contoh: menetapkan beberapa nilai untuk suatu variabel.

2) Langkah aritmatika/penghitungan.

Contoh: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

3) Langkah logika.

Contoh: membandingkan 2 buah bilangan.

(Ahuja et al., 1993)

Definisi 25 (Kompleksitas Algoritme)

Fungsi kompleksitas waktu untuk suatu algoritme adalah fungsi dari ukuran masalah dan waktu yang diperlukan oleh algoritme tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Untuk selanjutnya, fungsi kompleksitas waktu ini disebut dengan kompleksitas algoritme.

(Ahuja et al., 1993)

Definisi 26 ( Notasi “big O”)

Notasi “big O” adalah suatu ekspresi yang menyatakan bahwa suatu algoritme

membutuhkan waktu cnm untuk beberapa konstanta c. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa algoritme tersebut membutuhkan waktu O(nm). Secara formal dapat didefinisikan sebagai berikut:

“Suatu algoritme dikatakan bekerja dalam waktu O(f(n)) jika untuk beberapa bilangan c dan no, maka waktu yang diperlukan oleh

algoritme tersebut paling banyak adalah cf(n) untuk semua n≥ no”.

(Ahuja et al., 1993)

Algoritme Dekomposisi Hu

Hu adalah salah seorang tokoh yang memperkenalkan algoritme dekomposisi. Dalam karya ilmiah ini algoritme dekomposisi yang diperkenalkan oleh Hu berperan dalam penyelesaian masalah path terpendek pada suatu network yang diberikan.

Misalkan diberikan suatu network N=(V,A) yang longgar dan memiliki banyak simpul yang cukup besar (berskala besar). Untuk menyelesaikan masalah path terpendek dalam network tersebut, Hu menggunakan algoritme dekomposisi. Langkah pertama pada algoritme dekomposisi Hu ini adalah mendekomposisi network N=(V,A) yang diberikan menjadi m buah subnetwork

m N N N

N1, 2, 3,... , yang bertindih secara linear (linearly overlapping).

Tahapan yang perlu dilakukan dalam mendekomposisi network N=(V,A) tersebut adalah:

1) Suatu himpunan simpul yang merupakan himpunan bagian dari V ditandai sebagai N1.

2) Menentukan himpunan simpul yang

merupakan minimal cut set dari N1.

3) Menandai himpunan simpul berikutnya yang merupakan cut set (tidak harus merupakan minimal cut set) dari (N1∪X1)

sebagai N2.

4) Menentukan himpunan simpul yang

merupakan minimal cut set dari (N1∪X1∪N2) sebagai X2.

5) Hal yang sama dilakukan hingga network tersebut terdekomposisi seluruhnya

menjadi m buah subnetwork

m N N N N1, 2, 3,... , dengan 1 1 1 N X N = U , 2 2 1 2 X N X N = _{U U} , 3 3 2 3 X N X N = _{U U} , seterusnya hingga

1 1 2 1 − − − − = m m m m X N X N U U ,dan m m m X N N = −1U . Jadi, N=N1∪X1∪N2∪....∪Xm−1∪Nm. Misalkan didefinisikan N_i=N_i−(X_i−_1UX_i), dan misalkan j N i N

M menyatakan matriks jarak dari Ni ke Nj, sedangkan *( )

k ij N

M menyatakan

matriks jarak terpendek dari Ni ke Nj yang

terletak pada Nk. Tahapan yang dilakukan

dalam algoritme dekomposisi Hu adalah sebagai berikut:

(1) Operasi tripel diaplikasikan pada m buah subnetwork N1,N2,N3,... ,Nm−1,Nm

secara bertahap. Jarak terpendek yang diperoleh dari suatu subnetwork menggantikan jarak aslinya pada subnetwork berikutnya (yang akan dikenai operasi tripel), misalkan:

) ( 1 *

1

1 N

MXX yang diperoleh akan

menggantikan jarak

1 1X

X

M sebelum

operasi tripel dilakukan pada subnetwork

2

N =N1∪X1∪N2. Hal yang sama

dilakukan hingga operasi tripel diaplikasikan pada subnetwork Nm. Pada

akhir tahap (1) ini diperoleh: ) ( 1 * 1 1 N M_NN , * ( 1 2) 2 2 N N M_{N N} U , ..., ) .... ( 1 2 1 * 1 1 − − −N m N N N N M m m U U U , ( ) * _N M m mN N .

(2) Operasi tripel diaplikasikan pada m−1 buah subnetwork Nm−1,Nm−2...,N2,N1

secara bertahap. Jarak yang diperoleh pada suatu subnetwork menggantikan jarak pada subnetwork selanjutnya (yang akan dikenai opersi tripel), misalkan:

) (

* 1

1 N

MXm−X_m− akan menggantikan jarak

) ( * 1 1Xm m m X N N

M _{− −} − . Pada akhir tahap (2)

ini dapat diperoleh: * ( )

1 1 N M m m N N − − ,..., ) ( * 2 2 N M_{N N} , * ( ) 1 1 N M_{N N} .

(3) Jarak terpendek antara pasangan simpul yang tidak terdapat pada subnetwork yang sama ditentukan dengan menggunakan persamaan minisumasi.

(Hu & Torres, 1969)

PEMBAHASAN

Dekomposisi Network

Dalam bab ini akan diberikan beberapa asumsi yang diperlukan dan prosedur yang digunakan dalam algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci untuk dapat menyelesaikan masalah path terpendek antara source (s) dan

sink (t) pada suatu network. Selain itu, akan

diberikan pula contoh penerapan algoritme dekomposisi tersebut dalam suatu network yang diberikan. Pada akhirnya akan diuraikan penghitungan kompleksitas dari algoritme dekomposisi ini.

Penentuan path terpendek antara simpul source dan sink pada suatu network berskala besar dengan menggunakan algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci memerlukan beberapa asumsi berikut:

1) Network yang akan didekomposisi merupakan network yang longgar/tidak rapat.

2) Network tersebut tidak memuat cycle yang negatif.

Berikut ini adalah prosedur yang digunakan dalam algoritme dekomposisi Jarvis-Tufekci dalam menyelesaikan masalah path terpendek pada suatu network.

Misalkan diberikan suatu network berskala besar yang longgar N=(V,A) dengan V={v1,v2,....,vn} dan A adalah himpunan sisi

berarah yang terdapat pada network tersebut, dengan tiap sisi berarah yang menghubungkan simpul vi dan simpul vj memiliki panjang yang

dinotasikan dengan dij=d(vi,vj).

Misalkan network N=(V,A) yang diberikan terdekomposisi menjadi m buah subnetwork

m N N N

N1, 2, 3,... , yang bertindih secara linear (linearly overlapping). Tahapan yang dilakukan dalam mendekomposisi network N yang diberikan tersebut tidak berbeda dengan tahapan yang dilakukan oleh algoritme Hu, sehingga pada akhir tahap diperoleh N=N1∪X1∪N2∪....∪Xm−1∪Nm yang dapat pula