Operational Research 1
(
IE G2M3)
Program Studi Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri
Telkom University
Dasar-dasar
Tujuan PEMBELAJARAN
•
Memahami konsep pemecahan
linear programming
dengan metode simplex
YOUR SITE HERE
Contents
1. Pendahuluan
2. Langkah Umum
3.
Metode Simplex dalam Bentuk Tabular
4.
Pemecahan untuk masalah minimisasi
6.
Solusi-solusi Alternatif
PENDAHULUAN
Metode Simplex
•
Dikembangkan oleh G.B. Dantzig
•
Merupakan prosedur
iteratif
untuk
memecahkan masalah LP dengan
mengekspresikannya dalam
bentuk standar
PENDAHULUAN
Metode Simplex
•
Memerlukan kondisi dengan semua
pembatas dinyatakan dalam bentuk
sistem
kanonik
dimana suatu solusi basis layak
dapat langsung diperoleh.
PENDAHULUAN
•
Ciri-ciri dari bentuk baku model LP adalah :
1. Semua
kendala
berupa
persamaan
dengan
sisi kanan non negatif
2. Semua
variabel
non negatif
3. Fungsi tujuan
dari
maksimum
maupun
minimum
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM
YOUR SITE HERE
Berhenti jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi
maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal
Cari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan
Perbaiki solusi awal jika mungkin
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Kasus:
Memaksimumkan Z = 2x
1
+ 3x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 3x
2
6
2x
1
+ 2x
2
8
–x
1
+ x
2
1
x
2
2
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Bentuk Standar:
Memaksimumkan Z
= 2
x
1+3
x
2+0
x
3+0
x
4+0
x
5+0
x
6dengan pembatas-pembatas:
x
1+ 3
x
2+
x
3= 6
2
x
1+ 2
x
2+
x
4= 8
–
x
1+
x
2+
x
5= 1
x
2+
x
6= 2
x
1≥ 0,
x
2≥ 0,
x
3≥ 0,
x
4≥ 0,
x
5≥ 0,
x
6≥ 0
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Penetapan Solusi Layak Basis Awal:
Variabel basis :
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
Dengan menetapkan
x
1
=
x
2
= 0, maka
diperoleh solusi basis :
x
3
= 6,
x
4
= 8,
x
5
= 1,
x
6
= 2
Nilai fungsi tujuan
Z
= 2(0)+3(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu
x
1
=
x
2
= 0,
x
3
= 6,
x
4
= 8,
x
5
= 1,
x
6
= 2 dengan
Z
= 0,
metode simplex
memeriksa
apakah mungkin untuk
mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan
nilai
Z yang lebih besar
Pemeriksaan
dilakukan dengan pertama-tama
memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Jika solusi belum optimal, metode simplex mencari suatu
solusi
basis layak tetangga
(
adjacent basic feasible
solution
)
dengan nilai
Z
yang lebih besar
Suatu solusi basis layak tetangga (
adjacent basic
feasible solution
)
berbeda
dengan solusi basis layak
(
basic feasible solution
)
saat ini
hanya tepat satu
variabel basis
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Untuk mendapatkan solusi
basis layak tetangga
, metode
simplex
–
Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel
non basis
–
Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi
variabel basis
Permasalahannya adalah
memilih
solusi basis dan solusi
non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan
maksimum pada nilai fungsi tujuan.
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Dalam
solusi basis layak
–
Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif
–
Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol
Membuat variabel non basis menjadi variabel basis
adalah ekivalen dengan
menaikkan nilainya dari nol ke
positif
.
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Tentu saja,
pilihan
yang harus dibuat adalah
menentukan variabel non basis mana yang dapat
memberikan perbaikan pada nilai Z.
Ini dilakukan dengan
menaikkan nilai variabel non basis
menjadi satu unit
dan
memeriksa perubahannya pada
nilai fungsi tujuan Z
.
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
Misalkan variabel non basis x
1dinaikkan 1 unit
1
x
1+
x
3= 6
2
x
1+
x
4= 8
–
x
1+
x
5= 1
0
x
1+
x
6= 2
x
1= 1,
x
2= 0,
x
3= 5,
x
4= 6,
x
5= 2,
x
6= 2
Nilai fungsi tujuan
Z
= 2(1)+3(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 2
Perubahan nilai Z
per peningkatan satu unit
x
1
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
Misalkan variabel non basis x
2dinaikkan 1 unit
3
x
2+
x
3= 6
2
x
2+
x
4= 8
1
x
2+
x
5= 1
1
x
2+
x
6= 2
x
1= 0,
x
2= 1,
x
3= 3,
x
4= 6,
x
5= 0,
x
6= 1
Nilai fungsi tujuan
Z
= 2(0)+3(1)+0(3)+0(6)+0(0)+0(1)= 3
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
2
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
Karena
Z positif untuk
x
1dan
x
2
nilai
fungsi tujuan
dapat
dinaikkan
.
Karena
Z
untuk
x
2>
Z
untuk
x
1maka
menaikkan
x
2lebih baik.
Sampai seberapa jauh
x
2dapat dinaikkan?
Jika
x
2dinaikkan
maka nilai variabel basis :
x
3,
x
4,
x
5,
x
6LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
Batas peningkatan
x
2:
Dengan memasukkan nilai
x
3,
x
4,
x
5,
x
6= 0
3
x
2+
x
3= 6
x
2= 2
2
x
2+
x
4= 8
x
2= 4
1
x
2+
x
5= 1
x
2= 1
1
x
2+
x
6= 2
x
2= 2
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
x
2
dinaikkan 1 unit,
maka
x
5
menjadi variabel non basis
x
1
= 0,
x
2
= 1
,
x
3
= 3,
x
4
= 6,
x
5
= 0
,
x
6
= 1 dan Z = 3
variabel masuk basis x
2dinaikkan 1 unit
3
x
2+
x
3= 6
2
x
2+
x
4= 8
1
x
2+
x
5= 1
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
YOUR SITE HERE
x
1+ 3
x
2+
x
3= 6
2
x
1+ 2
x
2+
x
4= 8
–
x
1+
x
2+
x
5= 1
x
2+
x
6= 2
4
x
1+
x
3-
3
x
5= 3
4
x
1+
x
4- 2
x
5= 6
- x
1+
x
2+
x
5= 1
x
1-
x
5+
x
6= 1
Variabel basis :
x
2,
x
3, x
4,
x
6Variabel non basis:
x
1,
x
5LANGKAH UMUM (CONTOH)
VISUALISASI LANGKAH I
YOUR SITE HERE
(6)
(5)
(2)
(4)
(3)
(1)
x
1
x
2
A
B
C
D
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
YOUR SITE HERE
Misalkan variabel non basis
x
1dinaikkan 1 unit
x
1= 1,
x
2= 2,
x
3=
-1
,
x
4= 2,
x
5= 0,
x
6= 0
* x3 tidak layak batas peningkatan x1 kurang dari 1 unit
Nilai fungsi tujuan
Z
= 2(1)+3(2)+0(
-1
)+0(2)+0(0)+0(0)
= 8
Perubahan nilai Z
per peningkatan satu unit
x
1YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
Misalkan variabel non basis
x
5dinaikkan 1 unit
x
1= 0,
x
2= 0,
x
3= 6,
x
4= 8,
x
5= 1,
x
6= 2
Nilai fungsi tujuan
Z
= 2(0)+3(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)
= 0
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
5
Z
= 0 – 3 =
– 3
x
3-
3
x
5= 3
x
4- 2
x
5= 6
x
2+
x
5= 1
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
Karena
Z positif untuk
x
1
nilai fungsi tujuan
dapat dinaikkan
Karena
Z negatif untuk
x
5
nilai fungsi tujuan
tidak dapat
dinaikkan
Sampai seberapa jauh
x
1dapat dinaikkan?
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
Batas peningkatan x
1:
Dengan memasukkan nilai
x
2,
x
3,
x
4,
x
6= 0
Maksimum peningkatan
x
1= minimum
(3/
4
,
3/
2,
, 1)
=
3/
44
x
1+
x
3= 3
x
1=
3/
4
4
x
1+
x
4= 6
x
1=
3/
2- x
1+
x
2= 1
x
1= -1
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
x
1
dinaikkan ke
3
/
4
maka
x
3
menjadi variabel non basis
x
1
=
3
/
4
,
x
2
=
7
/
4
,
x
3
= 0,
x
4
= 3,
x
5
= 0,
x
6
=
1
/
4
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
LANGKAH UMUM (CONTOH)
VISUALISASI LANGKAH II
(6)
(5)
(2)
(4)
(3)
(1)
x
1
x
2
A
B
C
D
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Misalkan variabel non basis
x
3dinaikkan 1 unit
x
1=
1/
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
3YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Misalkan variabel non basis
x
5dinaikkan 1 unit
x
1= 1
1/
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
5YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Karena
Z negatif untuk
x
3
nilai fungsi tujuan
tidak dapat
dinaikkan
Karena
Z positif untuk
x
5
nilai fungsi tujuan
dapat dinaikkan
Sampai seberapa jauh
x
5dapat dinaikkan?
Jika
x
5dinaikkan
maka nilai variabel basis :
x
1,
x
2,
x
4,
x
6YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Batas peningkatan x
5:
Dengan memasukkan nilai
x
2,
x
3,
x
4,
x
6= 0
Maksimum peningkatan
x
5= minimum
(
, 3,
7
,
)
= 3
x
1–
3/
4
x
5=
3/
4
x
5= -1
x
4+
x
5= 3
x
5= 3
x
2+
1/
4
x
5=
7/
4
x
5= 7
-
1/
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
x
5
dinaikkan ke 3
maka
x
4
menjadi variabel non basis
x
1
= 3,
x
2
= 1,
x
3
= 0,
x
4
= 0,
x
5
= 3,
x
6
= 1
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
LANGKAH UMUM (CONTOH)
VISUALISASI LANGKAH III
YOUR SITE HERE
(6)
(5)
(2)
(4)
(3)
(1)
x
1
x
2
A
B
C
D
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4:
Misalkan variabel non basis
x
3dinaikkan 1 unit
x
1= 3
1/
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
3YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4:
Misalkan variabel non basis
x
4dinaikkan 1 unit
x
1= 2
1/
Perubahan nilai
Z
per peningkatan satu unit
x
4YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4:
Karena
Z negatif untuk
x
3
nilai fungsi tujuan
tidak dapat
dinaikkan
Karena
Z negatif untuk
x
4
nilai fungsi tujuan
tidak dapat
dinaikkan
Karena tidak ada variabel non basis yang dapat dinaikkan
YOUR SITE HERE
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Untuk
masalah maksimasi
:
–
Suatu solusi basis layak adalah optimal jika
profit relatif (
Z) dari variabel non basis adalah
Metode Simplex dalam
Bentuk Tabular
(Simplex Method in Tabular Form)
Contoh masalah LP
Metode simplex dalam bentuk
tabular
Memaksimumkan Z = 2x
1
+ 3x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 3x
2
6
2x
1
+ 2x
2
8
–x
1
+ x
2
1
Bentuk kanonik:
Memaksimumkan Z
= 2
x
1+3
x
2+0
x
3+0
x
4+0
x
5+0
x
6dengan pembatas-pembatas:
x
1+ 3
x
2+
x
3= 6
2
x
1+ 2
x
2+
x
4= 8
–
x
1+
x
2+
x
5
= 1
x
2+
x
6= 2
x
1≥ 0,
x
2≥ 0,
x
3≥ 0,
x
4≥ 0,
x
5≥ 0,
x
6≥ 0
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Representasi tabel untuk solusi basis layak awal
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
c
Nilai fungsi tujuan
Pemeriksaan optimalitas
Nilai fungsi tujuan relatif (proft relatif /ongkos relatif )
untuk variabel non basis:
Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai
koefsien fungsi tujuan relatif untuk variabel non
basis adalah tak positif [untuk masalah
maximize
]
Nilai fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Metode simplex dalam bentuk
tabular
c
Penentuan variabel yang masuk (
entering variable
)
•
Variabel non basis yang dipilih untuk
masuk ke basis (
entering variable
)
variabel yang memberikan peningkatan
per unit pada
Z
yang terbesar, yaitu
variabel non basis yang mempunyai
nilai
fungsi tujuan relatif
terbesar (paling positif
untuk masalah
maximize
).
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang masuk (
entering variable
)
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
Basis
c
j
c
Penentuan variabel yang keluar (
leaving variable
)
Untuk menentukan variabel basis yang
akan diganti
(
leaving variable
)
, aturan
rasio minimum
(
minimum ratio rule
)
digunakan untuk menentukan limit bagi
tiap pembatas.
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang keluar (
leaving variable
)
Nomor baris
Variabel basis
Batas atas bagi x
2
1
x
3
6/3 = 2
2
x
4
8/2 = 4
3
x
5
1/1 = 1 (minimum)
4
x
6
2/1 = 2
Metode simplex dalam bentuk
tabular
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang keluar (
leaving variable
)
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Metode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang masuk (
entering variable
)
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang keluar (
leaving variable
)
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Metode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang masuk (
entering variable
)
Metode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Penentuan variabel yang keluar (
leaving variable
)
c
BMetode simplex dalam bentuk
tabular
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Metode simplex dalam bentuk
tabular
c
Pemecahan untuk masalah
minimize
•
Koefisien fungsi tujuan relatif memberikan
informasi perubahan dalam nilai Z
per satu
unit peningkatan variabel non basis.
•
Nilai yang negatif pada koefisien fungsi
tujuan relatif untuk suatu variabel non
basis mengindikasikan bahwa jika variabel
non basis dinaikkan justru akan
Pemecahan untuk masalah
minimize
•
Oleh karena itu, untuk masalah
minimize
, hanya variabel
non basis yang mempunyai koefisien fungsi tujuan relatif
yang negatif saja yang memenuhi syarat sebagai calon
variabel yang masuk basis (
entering variable
).
•
Variabel yang masuk basis (
entering variable
) adalah
variabel yang mempunyai koefisien fungsi tujuan relatif
paling negatif.
•
Sehingga kondisi optimalitas pada masalah
minimize
•
Alternatif lain untuk memecahkan masalah
minimize
adalah dengan
mengkonversikannya menjadi masalah
maximize
dengan memecahkan dengan
metode simplex untuk masalah
maximize
.
•
Konversi dilakukan dengan mengalikan
fungsi tujuan untuk masalah
minimize
dengan minus satu.
Meminimumkan
Z
= 4
x
1
+ 3
x
2
dengan pembatas-pembatas:
3
x
1
+
x
2
= 3
3
x
1
+ 3
x
2
≥ 6
x
1
+ 2
x
2
4
x
1
≥ 0,
x
2
≥ 0
Memaksimumkan
Z
’ = -4
x
1
- 3
x
2
dengan pembatas-pembatas:
3
x
1
+
x
2
= 3
3
x
1
+ 3
x
2
≥ 6
x
1
+ 2
x
2
4
x
1
≥ 0,
x
2
≥ 0
Solusi optimal kedua permasalahan akan sama,
tetapi nilai optimalnya berbeda dalam hal tanda.
Dengan kata lain:
Nilai minimum dari Z
= - (Nilai maksimum dari Z’)
Masalah-masalah komputasi
•
Nilai yang sama pada koefisien fungsi
tujuan relatif yang terbesar
Pilih
variabel non basis yang akan masuk
(
entering variable
) secara sebarang.
•
Nilai yang sama pada rasio minimum
untuk dua atau lebih pembatas
–
Pilih variabel yang akan keluar (
leaving variable
)
secara sebarang.
–
Implikasi dari nilai yang sama ini adalah akan
Masalah-masalah komputasi
•
Solusi optimal alternatif (
alternate optimal
solution
)
•
Solusi yang tak terbatas (
unbounded
Solusi optimum alternatif
(
Alternate optimum solution
)
Memaksimumkan
Z
= 2
x
1
+ 4
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 2
x
2
5
x
1
+
x
2
4
Bentuk kanonik
Memaksimumkan Z
= 2
x
1
+ 4
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 2
x
2
+
x
3
= 5
x
1
+
x
2
+
x
4
= 4
Solusi secara grafs
Catatan
•
Solusi optimal alternatif dalam tabel simplex
dapat diidentifikasi dengan melihat apakah
terdapat koefisien fungsi tujuan relatif yang
nol untuk variabel non basis pada tabel
optimal.
•
Dalam praktik, pengetahuan tentang
optimal alternatif adalah berguna karena ini
memberikan manajemen untuk memilih
Solusi tak terbatas
(
Unbounded solution
)
Memaksimumkan Z
= 2
x
1
+ 3
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
–
x
2
2
-3
x
1
+
x
2
3
Bentuk kanonik
Memaksimumkan Z
= 2
x
1
+ 3
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
–
x
2
+
x
3
= 2
-3
x
1
+
x
2
+
x
4
= 3
Catatan
•
Tabel 2 belum optimal
•
Variabel non basis
x
1
dapat menjadi basis
(
entering variable
) untuk menaikkan Z.
•
Tetapi, aturan rasio minimum gagal karena
tidak ada elemen positif pada kolom
x
1
.
•
Dengan kata lain, jika
x
1
meningkat maka
kedua variabel basis
x
3
dan
x
2
juga
meningkat sehingga tidak akan pernah
Catatan
•
Ini berarti bahwa
x
1
dapat dinaikkan secara tak
terbatas.
•
Karena tiap peningkatan satu unit
x
1
akan
meningkatkan
Z
sebesar 11 unit, maka fungsi
tujuan dapat dinaikkan tak terbatas.
•
Oleh karena itu, solusi bagi masalah LP adalah
solusi tak terbatas (
unbounded solution
).
•
Dengan demikian, kegagalan dalam aturan rasio
Solusi secara grafs
Degenerasi (
Degeneracy
)
•
Jika terjadi nilai yang sama pada rasio
minimum, maka pemilihan variabel yang
keluar basis (
leaving variable
) dapat
dilakukan sebarang.
•
Akibatnya, satu atau lebih variabel basis
akan mempunyai nilai nol pada iterasi
berikutnya.
•
Dalam kasus ini, masalah LP dikatakan
Degenerasi (
Degeneracy
)
Memaksimumkan Z
= 3
x
1
+ 9
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 4
x
2
8
x
1
+ 2
x
2
4
Bentuk kanonik
Memaksimumkan Z
= 3
x
1
+ 9
x
2
dengan pembatas-pembatas:
x
1
+ 4
x
2
+
x
3
= 8
x
1
+ 2
x
2
+
x
4
= 4
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Solusi tidak layak karena ada variabel bernilai
negatif
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Jika rasio yang bernilai 0 dipilih, maka tidak akan terjadi perubahan
dalam nilai fungsi tujuan
c
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Tabel 3 (Alternatif 1 Optimal)
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
Tabel 2 (Alternatif 2 Optimal)
Catatan
•
Implikasi praktik dari degenerasi?
Solusi secara grafs
Catatan
•
Dari sudut pandang teoritis, degenerasi
mempunyai implikasi:
–
Fenomena
cycling
atau
circling
prosedur
simplex mengulangi iterasi yang sama tanpa
memperbaiki nilai fungsi tujuan dan tanpa
m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and
