Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)

(1)

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Teori Dualitas dan Penerapannya

(Duality Theory and Its Application)

(2)

Materi Bahasan

① Teori dualitas

(3)

(4)

Teori dualitas

• Dari sudut pandang teoritis dan praktis, teori dualitas

merupakan salah satu konsep penting dan menarik

dalam pemrograman linier.

• Ide dasar dibalik teori dualitas adalah bahwa setiap

masalah pemrograman linier mempunyai satu

pemrograman linier yang terkait yang disebut dual.

• Solusi pada masalah pemrograman liniear originalnya

juga memberikan solusi bagi dualnya.

• Jika suatu solusi masalah pemrograman linier

dipecahkan dengan simplex method, pada dasarnya

diperoleh solusi untuk dua masalah pemrograman

(5)

Pemrograman linier dual simetris

• Suatu pemrograman linier dikatakan dalam

bentuk simetris jika

– semua variabel dibatasi tak negatif

– semua pembatas dalam bentuk pertidaksamaan

• untuk masalah maksimisasi, bentuk pertidaksamaan adalah “lebih kecil atau sama dengan”

• untuk masalah minimisasi, bentuk pertidaksamaan adalah “lebih besar atau sama dengan”

(6)

Masalah primal

Z = c

₁

x

₁

+ c

₂

x

₂

+ … + c

_n

x

_n

a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ … + a

_1n

x

_n

≤ b

₁

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ … + a

_2n

x

_n

≤ b

₂ . . .

a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ … + a

_mn

x

_n

≤ b

_m

x

≥0, x

≥0,…, x

≥0

dengan pembatas

Memaksimumkan

(7)

Masalah dual

W = b

₁

y

₁

+ b

₂

y

₂

+ … + b

_m

y

_m

a

₁₁

y

₁

+ a

₂₁

y

₂

+ … + a

_m1

y

_m

≥ c

₁

a

₁₂

y

₁

+ a

₂₂

y

₂

+ … + a

_m2

y

_n

≥ c

₂ . . .

a

_1n

y

₁

+ a

_2n

y

₂

+ … + a

_mn

y

_m

≥ c

_n

y

₁

≥0, y

₂

≥0,…, y

_m

≥0

dengan pembatas

Meminimumkan

(8)

Notasi matrix

Primal: Memaksimumkan Z = cx dengan pembatas Ax ≤ b x ≥ 0 Dual: Meminimumkan W = yb dengan pembatas yA ≥ c y ≥ 0 A : matriks (m x n) b : vektor kolom (m x 1) c : vektor baris (1 x n)

(9)

Masalah primal-dual

Primal Max Z = 3x₁ + 2x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂ ≤ 6 2x₁ + x₂ ≤ 8 – x₁ + x₂≤ 1 x₂

≤

2 x₁, x₂ ≥ 0 Dual Min W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas: y₁ + 2y₂ – y₃ ≥ 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 2 y₁, y₂, y₃, y₄≥ 0

(10)

Hubungan primal-dual

• Koefisien fungsi tujuan untuk masalah primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual.

• Konstanta ruas kanan dari primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.

• Pertidaksamaan untuk pembatas dibalik untuk kedua masalah. • Tujuan diubah dari maksimisasi untuk primal menjadi

minimisasi untuk dual.

• Tiap kolom dalam primal menjadi (baris) pembatas pada dual; sehingga jumlah pembatas dual sama dengan jumlah variabel primal.

• Tiap (baris) pembatas dalam primal berkaitan dengan kolom pada dual; sehingga satu variabel dual berkaitan dengan satu

(11)

Beberapa teorema dalam teori dualitas

• Weak duality theorem

• Optimality criterion theorem

• Main duality theorem

(12)

Teorema 1:

Weak duality theorem (1)

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:

P: max Z = cx, Ax ≤ b, x ≥ 0

D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0

Nilai fungsi tujuan dari masalah minimimasi (dual)

untuk sebarang solusi layak selalu lebih besar atau sama

dengan nilai fungsi tujuan masalah maksimisasi (primal).

(13)

Teorema 1:

Weak duality theorem (2)

Bukti

Misalkan:

x0 _{: vektor solusi layak untuk primal} y0 _{: vektor solusi layak untuk dual}

Akan dibuktikan bahwa: y0b ≥ cx0

Karena x0 _{adalah layak untuk primal, maka Ax}0 ≤ b, x0 ≥ 0 (1)

Karena y0 adalah layak untuk dual, maka y0A ≥ c, y0 ≥ 0 (2) Perkalian kedua sisi pertidaksamaan (1) dengan y0 Æ y0Ax0 ≤ y0b Perkalian kedua sisi pertidaksamaan (2) dengan x0 : y0Ax0 ≤ cx0 Implikasi : y0b ≥ y0Ax0 ≥ cx0

(14)

Teorema 1:

Weak duality theorem (3)

• Konsekuensi 1:

– Nilai fungsi tujuan dari masalah maksimisasi (primal) untuk sebarang solusi layak merupakan batas bawah dari nilai minimum fungsi tujuan dual.

• Konsekuensi 2:

– Nilai fungsi tujuan dari masalah minimisasi (dual) untuk sebarang solusi layak (dual) merupakan batas atas dari nilai maksimum fungsi tujuan primal.

• Konsekuensi 3:

– Jika masalah primal adalah layak dan nilai fungsi tujuannya tak terbatas (dalam hal ini, max Z →+∞), maka masalah

(15)

Teorema 1:

Weak duality theorem (4)

• Konsekuensi 4:

– Jika masalah dual adalah layak dan nilai fungsi tujuannya tak terbatas (dalam hal ini, min W →-∞), maka masalah primal adalah tak layak.

• Konsekuensi 5:

– Jika masalah primal adalah layak dan dualnya tak layak maka masalah primal tersebut adalah tak terbatas.

• Konsekuensi 6:

– Jika masalah dual adalah layak dan primalnya adalah tak layak maka masalah dual tersebut adalah tak terbatas.

(16)

Teorema 1: Weak duality theorem (4)

- Ilustrasi #1

≤

2 x₁, x₂ ≥ 0 Dual Min W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas: y₁ + 2y₂ – y₃ ≥ 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 2 y₁, y₂, y₃, v₄≥ 0

(17)

Teorema 1: Weak duality theorem (4)

- Ilustrasi #1

0 , 4 ₂0 0 1 = x =

x adalah solusi layak untuk primal.

Nilai fungsi tujuan primal Z = cx0 _{= 12}

0 ,

5 ,

0

₂0 ₃0 ₄0 0 1

=

y

=

y

=

y

=

y

adalah solusi layak untuk dual

Nilai fungsi tujuan dual W = y0b = 40

Disini Z = cx0 ≤ y0b = W dan memenuhi weak duality

theorem.

Berdasarkan Konsekuensi (1), nilai minimum W untuk dual tidak dapat lebih kecil dari 12.

Berdasarkan Konsekuensi (2), nilai minimum Z untuk primal tidak dapat melebihi 40.

(18)

Teorema 1: Weak duality theorem (4)

- Ilustrasi #2

Memaksimumkan Z = 4x₁ + x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁ – x₂ ≤ 2 -3x₁ + x₂ ≤ 3 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 Meminimumkan W = 2y₁ + 3y₂ dengan pembatas-pembatas: y₁ – 3y₂≥ 4 - y₁ + y₂≥ 1 y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0

Primal:

_Dual

(19)

Teorema 1: Weak duality theorem (4)

- Ilustrasi #2

x

₁

x

₂

Solusi primal

Æ tak terbatas

(20)

Teorema 1: Weak duality theorem (4)

- Ilustrasi #2

y

₂

Solusi dual

Æ tak layak

(21)

Teorema 2:

Optimality criterion theorem (1)

Jika terdapat solusi layak x

0

dan y

0

untuk masalah

pemrograman linier dual simetris sedemikian hingga

nilai fungsi tujuannya adalah sama,

maka solusi layak ini adalah solusi optimal bagi

masing-masing masalah.

(22)

Teorema 2:

Optimality criterion theorem (2)

Bukti

Misalkan x adalah sebarang solusi layak bagi masalah primal. Maka berdasarkan Teorema 1,

cx ≤ y0b

Tetapi ini diberikan bahwa cx0 _{= y}0b.

Oleh karena itu cx ≤ cx0 _{untuk semua solusi layak bagi masalah primal.}

Per definisi, x0 adalah optimal bagi primal.

(23)

Teorema 3:

Main duality theorem

Jika baik masalah primal maupun dual adalah layak,

maka keduanya mempunyai solusi optimal sedemikian

hingga nilai optimalnya adalah sama.

(24)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (1)

Misalkan diberikan program linier primal-dual simetris:

P: max Z = cx, Ax ≤ b, x ≥ 0

D: min W = yb, yA ≥ c, y ≥ 0

dimana

A : matriks (m x n)

b : vektor kolom (m x 1)

c : vektor baris (1 x n)

x : vektor kolom (n x 1)

y : vektor baris (1 x m)

(25)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (2)

Misalkan:

x

0

_{: vektor solusi layak untuk primal}

y

0

_{: vektor solusi layak untuk dual}

Maka x

0

_{dan y}

0

_{adalah optimal untuk masalah}

masing jika dan hanya jika

(26)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (3)

Bukti: Misalkan ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = × m m u u u # 2 1 ) 1

( u adalah vektor slack untuk primal

(

n

)

n) v1,v2, ,v 1

( ×v = "

adalah vektor slack untuk dual Karena x0 _{dan y}0 _{adalah solusi layak, maka}

0 u x b u Ax0 + 0 = 0 0 ≥ , ; 0 v y c v A y0 − 0 = 0 0 ≥ , ; (1) (2)

(27)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (4)

Perkalian (1) dengan y0 Æ y0Ax0 + y0u0 = y0b (3) Perkalian (2) dengan x0 Æ y0Ax0 – v0x0 = cx0 (4) Pengurangan (3) dengan (4) Æ y0u0 + v0x0 _{= y}0b – cx0 ₍₅₎

Untuk membuktikan Teorema 4, harus diperlihatkan bahwa

x0 _{dan y}0 _{adalah solusi optimal bagi masing-masing masalah}

primal dan dual jika dan hanya jika

(28)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (5)

Bagian 1

Diasumsikan bahwa x0 dan y0 adalah solusi optimal dan harus dibuktikan bahwa Persamaan (6) adalah benar.

Karena x0 _{dan y}0 _{adalah optimal, berdasarkan Teorema 3 maka}

cx0 _{= y}0b.

Oleh karena itu, Persamaan (5) menjadi Persamaan (6)

(29)

Teorema 4:

Complemantary slackness theorem (6)

Bagian 2

Diasumsikan bahwa Persamaan (6) adalah benar dan

akan dibuktikan bahwa x0 dan y0 adalah solusi optimal bagi masing-masing masalah primal dan dual

Karena Persamaan (6) benar, maka Persamaan (5) menjadi

y0b – cx0_.

y0_u0 _{+ v}0x0 _{= y}0b – cx0 Æ y0b = cx0

(30)

Complementary slackness condition

Persamaan (6) : v0x0 + y0u0 _{= 0 dari complementary slackness}

theorem dapat disederhanakan sebagai berikut:

v_j0_x

j0 = 0 untuk semua j = 1, 2, …, n

y_i0_u

i0 = 0 untuk semua i = 1, 2, …, m

dengan memperhatikan hal-hal berikut:

1. x0_{, u}0_{, v}0_{, y}0 ≥ 0 dan oleh karena itu v0x0 ≥ 0 dan y0u0 ≥ 0.

(31)

Complementary slackness condition

① Jika suatu variabel primal (x

_j0

_{) adalah positif, maka}

pembatas dual yang bersesuaian memenuhi

persamaan pada titik optimalnya (yaitu, v

_j0

= 0)

② Jika suatu pembatas primal adalah strick inequality

pada titik optimal (yaitu, u

_j0

> 0), maka variabel

dual yang bersesuaian (y

_i0

_{) harus nol.}

③ Jika suatu variabel dual (y

_i0

_{) adalah positif maka}

pembatas primal yang bersesuaian memenuhi

persamaan pada titik optimalnya (yaitu, u

_i0

_{= 0)}

④ Jika suatu pembatas dual adalah strick inequality

pada titik optimal (yaitu v

_i0

> 0), maka variabel

primal yang bersesuaian harus nol

(32)

Ilustrasi (1)

≤

2 x₁, x₂ ≥ 0 Dual Min W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas: y₁ + 2y₂ – y₃ ≥ 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 2 y₁, y₂, v₁, v₂≥ 0

(33)

Ilustrasi (2)

Primal

(Penambahan slack variable)

Max Z = 3x₁ + 2x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂ + u₁ = 6 2x₁ + x₂ + u₂ = 8 – x₁ + x₂ + u₃ = 1 x₂ + u₄ = 2 x₁, x₂, u₁, u₂, u₃, u₄ ≥ 0 Dual

(Penambahan slack variable)

Min W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas:

y₁ + 2y₂ – y₃ – v₁ = 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄– v₂ = 2

(34)

Ilustrasi (3)

Complementary slackness condition mengimplikasikan

pada kondisi optimal:

0

0 1 0 1

y

=

u

0

0 2 0 2

y

=

u

0

0 3 0 3

y

=

u

0

0 4 0 4

y

=

u

0

0 1 0 1

v

=

x

(35)

Ilustrasi (4)

Dengan metode simplex diperoleh solusi optimal

untuk masalah primal sebagai berikut:

3 /

10

0 1

=

x

3 /

4

0 2

=

x

Z = 38/3

(36)

Ilustrasi (5)

Dengan penerapan complementary slackness condition,

solusi optimal bagi dual ditentukan sebagai berikut

0

3 /

10

₁0 0 1

=

>

→

v

=

x

0

3 /

4

₂0 0 2

=

>

→

v

=

x

( )

4 /

3

6

0 ,

0

2

3 /

10

2

₂0 ₁0 ₁0 0 1

+

x

=

+

=

→

u

=

y

≥

x

(

10 /

3 )

4 /

3

8

0 ,

0

2

2 x

₁0

+

x

₂0

=

+

=

→

u

₂0

=

y

₂0

≥

(

10 /

3 )

4 /

3

2

1

₃0

0 ,

₃0

0

0 2 0 1

+

=

−

+

=

−

<

→

>

=

−

x

u

y

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(37)

Ilustrasi (6)

Kondisi (1), (2), (5) dan (6) mengimplikasikan:

3

2

₂0 0 1

+ y

=

y

2

2 y

₁0

+ y

₂0

=

3 /

1

0 1

=

y

3 /

4

0 2

=

y

W = 38/3

0

0 3

=

y

0

0 4

=

y

(38)

Penerapan complementary slackness condition

• Digunakan untuk mencari solusi primal optimal dari

suatu solusi dual optimal, dan sebaliknya.

• Digunakan untuk memverifikasi apakah suatu solusi

layak adalah optimal untuk masalah primal.

• Digunakan untuk menginvestigasi ciri-ciri umum dari

solusi optimal pada masalah primal dan dual dengan

menguji hipotesis-hipotesis yang berbeda.

• Kuhn-Tucker optimality condition untuk

pemrograman non linier merupakan pengembangan

lebih lanjut dari complementary slackness condition

dan sangat berguna dalam pemrograman matematis

(39)

Karakteristik pokok

hubungan primal-dual

y ≥ 0 x ≥ 0 Variabel keputusan yA ≥ c Ax ≤ b Pertidaksamaan pembatas Min W = yb Max Z = cx Fungsi tujuan

Konstanta ruas kanan Vektor biaya

c

Vektor biaya Konstanta ruas kanan

b

Transpos dari matriks pembatas

Matriks pembatas

A

Dual Primal

(40)

Interpretasi ekonomi dari

solusi dual (1)

• Dalam pandangan ekonomi, solusi dual

optimal dapat diinterpretasikan sebagai harga

yang dibayarkan untuk sumberdaya pembatas.

• Berdasarkan Teorema 3 (main duality), nilai

optimal bagi primal dan dual adalah sama.

• Jika x

0

dan y

0

masing-masing adalah solusi

(41)

Interpretasi ekonomi dari

solusi dual (2)

• Dengan kata lain, nilai optimal dari masalah

pemrograman linier (primal atau dual) diberikan oleh

dimana

b

₁

, b

₂

, …, b

_m

adalah jumlah yang terbatas dari

sumberdaya 1, 2, .., m;

y

₁0

, y

₁0

, …, y

₁0

adalah nilai optimal dari variabel dual.

m m

b

y

b

y

b

y

Z

0

=

₁0 ₁

+

₂0 ₂

+

"

+

0

(42)

Interpretasi ekonomis dari

solusi dual (3)

• Misalkan diasumsikan bahwa level sumberdaya 1 (yaitu, b₁) diubah.

• Maka, untuk variasi kecil dalam perubahan nilai b₁, katakan Δb₁, perubahan dalam nilai optimal dari pemrograman linier Z0

diberikan oleh y₁0(Δb 1).

• Dengan kata lain, nilai optimal dari variabel dual untuk tiap pembatas primal memberikan perubahan bersih (net change) dalam nilai optimal dari fungsi tujuan untuk peningkatan satu satuan dalam konstanta ruas kanan.

• Oleh karena itu, nilai optimal dari variabel dual disebut

(43)

Contoh interpretasi solusi dual (1)

Memaksimumkan Z = 3x₁ + 2x₂

dengan pembatas-pembatas:

x₁ + 2x₂ ≤ 6 (Bahan A)

2x₁ + x₂ ≤ 8 (Bahan B)

– x₁ + x₂≤ 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x₂ ≤ 2 (Permintaan cat interior) x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

(44)

Contoh interpretasi solusi dual (2)

Dual:

Meminimumkan W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas: y₁ + 2y₂ – y₃ ≥ 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ ≥ 2 y₁, y₂, y₃, y₄≥ 0

(45)

Contoh interpretasi solusi dual (3)

Solusi optimal dual:

y₁ = 10/3 Æ shadow price untuk pembatas bahan A, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan bahan A.

y₂ = 4/3 Æ shadow price untuk pembatas Bahan B, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan bahan B.

y₃ = 0 Æ shadow price untuk selisih permintaan cat interior

dan exterior, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total) per satu satuan peningkatan selisih permintaan cat interior dan exterior.

y₄ = 0 Æ shadow price untuk pembatas permintaan cat interior, yaitu perubahan dari nilai Z (profit total) per satu

(46)

Masalah primal-dual tak simetris (1)

Memaksimumkan Z = 4x₁ + 5x₂ dengan pembatas 3x₁ + 2x₂ ≤ 20 4x₁ – 3x₂ ≥ 10 x₁ + x₂ = 5 x₁ ≥ 0

x tak dibatas tanda

(47)

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Memaksimumkan Z = 4x₁ + 5x₃– 5x₄ dengan pembatas 3x₁ + 2x₃ – 2x₄ ≤ 20 – 4x₁ + 3x₃ – 3x₄≤ – 10 x₁ + x₃– x₄ ≤ 5 – x₁ – x₃+ x₄ ≤ – 5 x₁, x₃, x₄ ≥ 0

(48)

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Meminimumkan W = 20w₁ – 10w₂+5w₃– 5w₄ dengan pembatas 3w₁ – 4w₂ + w₃– w₄ ≥ 4 2w₁ + 3w₂ + w₃– w₄ ≥ 5 – 2w₁ – 3w₂ – w₃ + w₄ ≥ – 5 w₁, w₂, w₃, w₄ ≥ 0

(49)

Masalah primal-dual tak simetris (2)

Meminimumkan W = 20y₁ + 10y₂+5y₃

dengan pembatas

3y₁ + 4y₂ + y₃ ≥ 4 2y₁ – 3y₂ + y₃ = 5

y₁≥ 0 y₂≤ 0

y₃tak dibatasi tanda

Masalah Dual

y₁ = w₁

y₂ = – w₂

(50)

Tabel primal-dual secara umum

Pembatas dual ke-j bertipe ≥

x ≥ 0

Pembatas dual ke-j adalah persamaan

x_j tak dibatasi tanda

Varibel dual y_i ≤ 0 Pembatas ke-i bertipe ≥

Varibel dual y_i ≥ 0 Pembatas ke-i bertipe ≤

Variabel dual y_i tak dibatasi tanda Pembatas ke-i adalah persamaan

Vektor ruas kanan Vektor harga c

Vektor biaya Vektor ruas kanan

Transpos matriks koefisien Matriks koefisien A

Dual (minimisasi) Primal (maksimisasi)

(51)

Catatan (1)

• Teorema (1), (2), (3), dan (4) dari teori dualitas

berlaku juga bagi primal-dual tak simetris.

• Complementary slackness condition juga

berlaku untuk solusi optimal primal-dual tak

simetris..

(52)

Catatan (2)

Misalkan diberikan masalah pemrograman linier dalam bentuk standar

Memaksimumkan Z = cx dengan pembatas Ax = b x ≥ 0 Masalah dual Meminimumkan W = yb dengan pembatas yA ≥ c

(53)

Menentukan solusi dual optimal (1)

• Solusi dual optimal dapat ditentukan dengan

complementary slackness condition

• Solusi dual optimal dapat juga diperoleh secara

langsung dari tabel simplex optimal dari

(54)

Menentukan solusi dual optimal (2)

Meminimumkan Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x ≥ 0

(55)

Menentukan solusi dual optimal (3)

Misalkan :

P

_j

: kolom ke-j dari matrix A

B : matrix basis optimal

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

0 b

B

x

1 * N B

Solusi primal optimal :

dimana

x

_B

: varabel basis

(56)

Menentukan solusi dual optimal (4)

Nilai minimum Z = cx

*

= c

_B

x

_B

= c

_B

B

-1

b

Karena B menunjukkan basis optimal, maka koefisien

biaya relatif ( ) yang berkaitan dengan variabel basis

harus tak negatif

j

c

0 ≥

−

=

_j _j j

c

π

P

untuk semua j

dimana

(57)

Menentukan solusi dual optimal (5)

Dalam notasi matrix:

c -

π

A ≥ 0 atau

π

A

≤ c

yang merupakan pembatas pemrograman linier dual.

Sehingga, pengali simplex optimal harus memenuhi

pembatas dual.

(58)

Menentukan solusi dual optimal (6)

Nilai fungsi tujuan dual yang berkaitan dengan solusi

layak adalah

W = yb =

π

b = c

_B

B

-1

b

yang sama dengan nilai minimum Z.

(59)

Ilustrasi menentukan

solusi dual optimal (1)

Primal (Dalam bentuk standar)

Max Z = 3x₁ + 2x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂ + x₃ = 6 2x₁ + x₂ + x₄ = 8 – x₁ + x₂ + x₅ = 1 x₂ + x₆ = 2 x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ ≥ 0 Dual: Min W = 6y₁ + 8x₂+ y₃ + 2y₄ dengan pembatas-pembatas: y₁ + 2y₂ – y₃ = 3 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 2 y₁ ≥ 0 y₂ ≥ 0 y₃ ≥ 0 y₄ ≥ 0 y₁, y₂, y₃, y₄tak dibatasi tanda

(60)

Ilustrasi menentukan

solusi dual optimal (2)

Dengan metode revised simplex, solusi optimal untuk primal:

x = (x

₂

, x

₁

, x

₅

, x

₆

) = (4/3, 10/3, 3, 2/3)

Z = 38/3

Matrix basis optimal:

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = = 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 2 6 5 1 2 P P P P B

(61)

Ilustrasi menentukan

solusi dual optimal (3)

Simplex multiplier optimal :

(

)

(

1/3,4/3,0,0

)

1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 0 , 0 , 3 , 2 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = =_c _B− π _B

π memenuhi pembatas dual, dan nilai fungsi tujuannya:

W = 6(1/3) + 8(4/3) + 1(0) + 2(0) = 38/3

yang bersesuaian dengan nilai optimal untuk masalah primal. Oleh karena itu,

y₁ = 1/3, y₂ = 3/4, y₃ = 0, y₄ = 0 Æ optimal untuk dual.

Simplex multiplier yang bersesuaian dengan tabel (primal) optimal

(62)

(63)

Masalah Pemrograman Linier (Primal) dalam

Bentuk Standar

minimisasi

Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x ≥ 0

A : matrix (m x n)

P : vektor kolom dari matrix A

B : matrix basis untuk masalah primal

(64)

Basis Layak Primal

Basis B : basis layak primal (primal feasible basis) ⇔

B

-1

b ≥ 0

B : basis layak primal

→ nilai variabel basis: B

-1

b

solusi layak basis x

_B

= B

-1

b

nilai fungsi tujuan Z = c

_B

B

-1

b

(65)

Kondisi Optimalitas (1)

Untuk memeriksa apakah basis layak B adalah optimal Æ

hitung koefisien fungsi tujuan relatif

(

c

j

)

j j

j

c

=

−

πP

j = 1, …, n

π = c

_B

B

-1

_{: simplex multiplier}

Basis layak primal B adalah optimal ⇒

c

_j

≥

0

(66)

Kondisi Optimalitas (2)

maksimisasi

W = yb

dengan pembatas

yA

≤ c

y tak dibatas tanda

(67)

Kondisi Optimalitas (3)

Pembatas dual yA

≤ c dapat ditulis:

(

P

₁

,

P

₂

,

"

,

P

_n

) (

≤

c

₁

,

c

₂

,

"

,

c

_n

)

y

j j

c

yP

≤

0 ≥

−

_j j

c

yP

j = 1, …, n

(68)

Kondisi Optimalitas (4)

Jika basis layak primal B : basis optimal bagi masalah primal

Æ simplex multiplier π = c

_B

B

-1

_memenuhi

0 ≥

−

_j

j

c

yP

j = 1, …, n

Implikasi Æ

π : layak bagi masalah dual

Nilai fungsi tujuan dual W = πb = c

_B

B

-1

b sama dengan

nilai fungsi tujuan primal

(69)

Basis Dual Layak (1)

Basis B untuk masalah primal

minimisasi

Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x ≥ 0

layak dual (dual feasible) ⇔ c – c

_B

B

-1

A ≥ 0

(70)

Basis Dual Layak (2)

Basis B untuk masalah primal : layak primal dan layak dual

ÆBasis B : basis optimal

Solusi optimal untuk primal : x

_B

= B

-1

b, x

N

= 0

Solusi optimal untuk dual : y = c

_B

B

-1

Nilai optimal primal = Nilai optimal dual

(71)

Catatan

• Akar dari pemecahan masalah pemrograman linier Æ

mendapatkan solusi basis B yang layak primal dan

layak dual

• Metode simplex Æ bergerak dari satu basis layak

primal ke basis yang lain hingga basis tersebut

menjadi layak dual

– Metode simplex primal (primal simplex method)

• Metode simplex dual (dual simplex method) Æ

(72)

Rincian Metode Simplex Dual (1)

Pemrograman linier bentuk standar:

minimisasi

Z = cx

dengan pembatas

Ax = b

x ≥ 0

(73)

Rincian Metode Simplex Dual (2)

• Metode simplex dual menggunakan tabel yang

sama dengan metode simplex primal.

• Dalam semua tabel, koefisien fungsi tujuan

relatif

dipertahankan tak negatif (Untuk

maksimisasi, dipertahankan tak positif)

• Konstanta ruas kanan tidak perlu tak negatif.

)

(

c

_j

j

(74)

Rincian Metode Simplex Dual (3)

• Algoritma mulai dengan membuat elemen ruas

kanan menjadi tak negatif, dengan pada saat

yang sama menjaga koefisien

tak negatif.

• Algoritma berhenti jika semua konstanta ruas

kanan telah tak negatif.

j

(75)

Rincian Metode Simplex Dual (4)

y_mn y_ms … y_m,m+1 1 … 0 … 0 x_m y_rn … y_rs … y_r,m+1 0 … 1 … x_r … … 0 … 0 … 0 … … … … y_1n … y_1s … y_1,m+1 0 … 0 … 1 x₁ Konstanta x_n … x_s … x_m+1 x_m … x_r … x₁ Basis c c_m₊₁ c_s c_n 1 b r b m b

(76)

Pemilihan Variabel Basis

yang Keluar Basis

Pilih variabel basis yang membuat solusi saat ini menjadi

tidak layak

dengan kata lain

Pilih variabel basis yang nilai solusinya negatif

Aturan Æ Pilih variabel basis yang nilai

paling negatif

( )

0 min

<

=

_i i r

b

i

b

Misal:

(77)

Pemilihan Variabel Non Basis yang Masuk

Basis (1)

Kolom pivot dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi

dua kondisi sebagai berikut:

1. Ketidaklayakan primal berkurang (atau paling sedikit,

tidak bertambah jelek).

Atau, paling sedikit konstanta ruas kanan pada baris r

menjadi positif pada tabel berikutnya

Æ Variabel non basis (x

_j

) dengan koefisien negatif

dalam baris r (y

_rj

< 0) yang memenuhi syarat untuk

masuk basis

(78)

Pemilihan Variabel Non Basis yang Masuk

Basis (2)

2. Tabel berikutnya setelah operasi pivot harus tetap

layak dual.

Dapat dijamin jika variabel non basis yang masuk

basis dipilih dengan aturan rasio sebagai berikut:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

< rj j y

y

c

rj 0

max

_{j = m+1, …, n}

(79)

Ilustrasi Metode Simplex Dual

Meminimumkan Z = x₁ + 4x₂+ 3x₄ dengan pembatas x₁ + 2x₂ – x₃+ x₄ ≥ 3 – 2x₁ – x₂ + 4x₃+ x₄ ≥ 2 x₁, x₃, x₃, x₄ ≥ 0 Meminimumkan Z = x₁ + 4x₂+ 3x₄ dengan pembatas x₁ + 2x₂ – x₃+ x₄ – x₅ = 3 – 2x₁ – x₂ + 4x₃+ x₄ – x₆= 2 x₁, x₃, x₃, x₄, x₅, x₆ ≥ 0

Bentuk standar :

(80)

Tabel 1

0 1 0 x₆ 0 4 1 -2 x₂ 4 0 3 0 1 -2 0 -1 -4 2 x₆ 0 -3 1 -1 1 -1 x₅ 0 x₅ x₄ x₃ x₁ Konstanta 0 3 0 1 c_B c Baris Basis c_j

(81)

Tabel 2

0 1 0 x₆ 0 2 -3 2 x₂ 4 1 2 1 0 -8 2 -3 -2 0 x₆ 0 3 -1 1 -1 1 x₁ 1 x₅ x₄ x₃ x₁ Konstanta 0 3 0 1 c_B c Baris Basis c_j

Tidak layak primal

Layak dual

(82)

Tabel 3

1/2 -1/2 -1/2 x₆ 0 1/2 3/2 7/2 x₂ 4 Z = 7 2 1/2 0 0 4 -1 3/2 1 0 x₃ 0 7 -2 5/2 0 1 x₁ 1 x₅ x₄ x₃ x₁ Konstanta 0 3 0 1 c_B c Baris Basis c_j

(83)

Mengidentifikasi Ketidaklayakan Primal dalam

Metode Simplex Dual

• Dalam metode simplex dual Æ selalu terdapat

solusi layak bagi dual.

• Metode simplex dual mengenali

ketidaklayakan primal jika aturan rasio gagal

mengidentifikasi variabel non basis yang

masuk basis

(84)

Memecahkan Masalah Maksimisasi

dengan Metode Simplex Dual

Dalam masalah maksimisasi Æ Kondisi optimalitas:

Koefisien fungsi tujuan

(

c

_j

)

≤

0 Misal,

_b

_r

<

₀

dan x

_r

: variabel keluar basis

Variabel non basis yang masuk basis Æ dipilih sedemikian

rupa sehingga elemen baris

tetap tak positif pada

iterasi berikutnya.

c

Aturan rasio:

⎥

⎤

⎢

⎡

c

_j

(85)

Penerapan metode simplex dual

• Secara umum adalah tidak selalu mudah mendapatkan suatu basis layak dual.

• Dalam banyak praktek, masalah tidak mempunyai tabel kanonik baik yang layak primal maupun layak dual.

• Metode simpleks primal lebih disukai daripada metode simpleks dual.

• Beberapa aplikasi dari metode simpleks dual:

– Analisis sensitivitas (sensitivity analysis) dan pemrograman parametrik (parametric programming)

– Algoritma pemrograman bilangan bulat (integer programming

algorithms)

– Algoritma pemrograman non linier (nonlinear programming algorithm) – Varian dari metode simplex: primal-dual algorithm, self-dual