PREDIKSI VOLUME KENDARAAN PADA PEREMPATAN
DENGAN ELIMINASI GAUSS DAN SUBSTITUSI BALIK
YOGA PRAWIRA1 (12650002)
Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Malang, Indonesia.
Email : prawirayoga1@gmail.com
PENDAHULUAN
alu lintas di dalam Undang-undang No 22 tahun 2009 didefinisikan sebagai gerak Kendaraan dan orang di Ruang Lalu Lintas Jalan, sedang yang dimaksud dengan Ruang Lalu Lintas Jalan adalah prasarana yang diperuntukkan bagi gerak pindah Kendaraan, orang, dan/atau barang yang berupa Jalan dan fasilitas pendukung. Sedangkan, Volume lalu lintas adalah jumlah kendaraan yang melewati suatu penampang tertentu pada suatu ruas jalan tertentu dalam satuan waktu tertentu. Volume lalu lintas rata-rata adalah jumlah kendaraan rata-rata dihitung menurut satu satuan waktu tertentu, bisa harian yang dikatakan sebagai Volume lalu lintas harian rata-rata/LHR atau dalam bahasa Inggris disebut sebagai Average Daily Traffic volume (ADT) atau Volume lalu lintas harian rata-rata tahunan atau dalam bahasa Inggris disebut sebagai Annual Average Daily Traffic volume (AADT).
Untuk memprediksi volume lalu lintas pada setiap perempatan dari dua kelompok jalan satu-arah yang saling berpotongan pada suatu waktu tertentu dapat diketahui dengan metode Gauss
1 ) Mahasiswa Jurusan Teknik Infromatika
Elimination dan back-substitution dengan catatan diketahui volume kendaraan yang keluar dan masuk dari beberapa arah jalan perempatan tersebut.
KAJIAN PUSTAKA a.Sistem Pesamaan Linear
Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, x3, ...,
xn. Bentuk umum sistem persamaan linear dalam m persamaan dengan n bilangan yang tidak diketahui (unknown) adalah :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
Jika bi = 0 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m maka disebut Sistem Persamaan Linear Homogen dan jika tidak semua bi = 0 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., m maka disebut Sistem Persamaan Linear Non Homogen. Sistem
persamaan yang tidak mempunyai pemecahn disebut takkonsisten (inconsistent). Sedangkan untuk konsisten (consistent) jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan. Untuk konsisten, dibagi lagi menjadi 2 yaitu : 1. Satu Pemecahan 2. Banyak Pemecahan.
b. Operasi Baris Elementer (OBE) Sistem yang terdiri m persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan jajaran empat persegi, yang dinamakan matriks
yang diperbesar (augmented
matrix).Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier adalah untuk mengganti sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Sistem baru ini umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan tiga tipe operasi yang disebut operasi baris elementer, yaitu :
1. Kalikan suatu baris dengan suatu konstanta yang tidak sama dengan nol. 2. Pertukarkan dua baris.
3. Tambahkan perkalian dari suatu baris pada baris yang lainnya.
c. Eliminasi Gauss (Gauss Elimination) dan Substitusi Balik (Back-Substitution). Sifat-sifat matriks dalam bentuk eselon baris (row-echelon form) adalah :
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah1 (disebut sebagai 1 utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Pemecahan sistem persamaan linear dengan menggunakan Eliminasi Gauss bisa dilakukan dengan cara Substitusi Balik (Back-Substitution).
Dari bentuk sistem persamaan linear dibuat matriks yang diperbesar berikut :
0 0 -2 0 7 12 2 4 -10 6 12 28 2 4 -5 6 -5 -1
Kemudian menjadikan matriks menjadi bentuk eselon baris.
Hasil kali dari B1 dan -2 ditambahkan pada kembali pada langkah 1 untuk sub-matriks yang masih tersisa. pada kolom taknol paling kiri.
1 2 -5 3 6 14
B2 (B1 dalam sub-matriks) dikalikan -5 dan ditambahkan pada B3 (B2 dalam
sub-Matriks telah membentuk bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss).
Kemudian disesuaikan ke dalam betuk sistem persamaan.
x1 + 2x2 – 5x3 + 3x4 + 6x5 = 14
x3 –7/2x5 = -6
x5 = 2
1 utama dari matriks di atas berkaitan dengan variabel pertama, ketiga, dan kelima. Oleh karena itu, x1, x3, dan x5 merupakan variabel tak bebas.Sedangkan x2 dan x4 merupakan variabel bebas.
Kemudian dilakukan substitusi balik (back-substitution).
x1 = 2x2 – 5x3 + 3x4 + 6x5 - 14
x3 = –7/2x5 + 6
x5 = 2
Dengan substitusi balik (back-substitution) yaitu dengan mensubstitusikan persamaan bawah ke dalam persamaan-persamaan yang di atas akan dihasilkan :
x1 = 7 – 2x2 – 3x4
x3 = 1
x5 = 2
d. Karakteristik Volume Lalu Lintas Volume lalu lintas pada dasarnya terbagi atas waktu dan ruang, yang biasanya lebih difokuskan kepada volume jam puncak seperti jam sibuk kerja, komuter dan perjalanan yang lain. Permintaan lalu lintas dapat bervariasi berdasarkan musim dalam setahun, bulanan dalam setahun, hari dalam sebulan, hari dalam seminggu, maupun jamjaman dalam sehari. Variasi volume lalu lintas jam-jaman dalam sehari juga mengalami fluktusi dengan karakteristik pengguna jalan. Hal ini terjadi terkait dengan berangkat aktivitas, saat beraktivitas maupun pulang aktivitas. Aktivitas bisa berupa kerja kantor, pendidikan, perdagangan, sosial dan lain sebagainya
PERMASALAHAN
Di bagian jalan salah satu kota yang ramai dari suatu kota, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti pada Gambar 1. Rata-rata jam dari volume lalu-lintas yang memasuki dan meninggalkan bagian ini selama jam sibuk dititunjukkan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Volume Lalu Lintas pada setiap perempatan dari dua kelompok jalan satu-arah yang saling berpotongan pada suatu waktu tertentu.
Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan ( jumlah kendaraan yang
terdapat pada jalur x1 , x2 , x3 , x4) dengan menerjemahkan gambar tersebut ke SPL, yaitu jumlah volume kendaraan yang masuk sama dengan volume kendaraan yang keluar.
PEMBAHASAN
Pada setiap perempatan, jumlah kendaraan yang keluar sama dengan jumlah kendaraan yang masuk. Sehingga dapat disusun persamaan-persamaan berikut.
x1 + 450 = x2 + 610 (perempatan A)
x2 + 520 = x3 + 480 (perempatan B)
x3 + 390 = x4 + 600 (perempatan C)
x4 + 640 = x1 + 310 (perempatan D)
Dari persamaan di atas jika disusun ke dalam sebuah sistem persamaan adalah seperti di bawah ini.
x1– x2 = 160 (perempatan A)
x2– x3 = -40 (perempatan B)
x3– x4 = 210 (perempatan C)
x1 + x4 = -330 (perempatan D)
Matriks diperbesar :
1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 -1 0 0 1 -330
B1 dikalikan 1 dan ditambah pada B4.
Hasil :
B2 dikalikan 1 kemudian ditambah pada B4. Hasil :
1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 0 0 -1 0 -210
B3 dikalikan 1 kemudian ditambah pada B4. Hasil :
1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210
0 0 0 -1 0
B4 dikalikan -1. Hasil :
1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210
0 0 0 1 0
Sampai pada langkah ini, kita sudah mendapatkan matriks bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Kemudian, matriks disusun ke dalam bentuk sistem persamaan yang sesuai untuk diselesaikan dengan substitusi balik.
Kemudian disubstitusikan :
x1– x2 = 160
x2– x3 = -40
x3– x4 = 210
x4 = 0
menjadi, x4 = 0
x3 = 210 - x4
x3 = 210
x2 = x3 - 40
x2 = 210 - 40
x2 = 170
x1 = x2 + 160
x1 = 330
Menghasilkan, x1 = 330 , x2 = 170,
x3 = 210, x4 = 0.
Setelah mengetahui nilai x1 , x2 , x3
, x4, berarti kita telah memecahkan masalah jumlah kendaraan yang melalui jalur-jalur yang ditanyakan. Pengujiannya, bisa dengan menjumlahkan banyaknya kendaraan yang masuk untuk dibandingkan kesamaan datanya dari hasil penjumlahan banyaknya kendaraan yang keluar. Ini dilakukan untuk setiap perempatan.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil kajian prediksi volume kendaraaan pada perempatan jalan dengan metode eselon baris, yaitu dengan Eliminasi Gauss (Gauss Elimination) dan diselesaikan dengan Substitusi Balik (back-substitusi).
SARAN
REFERENSI
Kusumawati, Ririen. 2009. Aljabar Linear & Matriks. Malang: UIN-Malang Press. Anggraeni, Wiwik. 2006. Aljabar Linear dilengkapi dengan Program Matlab. Surabaya: Graha Ilmu.
http://id.wikipedia.org/wiki/Volume_lalu_l intas (diakses pada tanggal 30 desember 2013)
http://id.wikipedia.org/wiki/Lalu_lintas
(diakses pada tanggal 30 desember 2013)
http://digilib.unipasby.ac.id/files/disk1/8/g dlhub--ninikwahju-361-1-7-pdf_9_-i.pdf
