NAMA : YOHANSLI NOYA NIM : 201377021

(1)

YOHANSLI NOYA (201377021) 1

3.7. The Nonlinear Oscillator: Method of Successive Approximations

3.8. The Nonlinear Oscillator: Chaotic Motion

3.9. Nonsinusoidal Driving Force: Fourier Series

NAMA : YOHANSLI NOYA

NIM : 201377021

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PATTIMURA

AMBON

2015

(2)

A. Osilator Nonlinear: Metode Perkiraan Berturut-turut

Ketika sebuah sistim dipindahkan dari posisi kesetimbangan, gaya pemulih mungkin merubah bagian langsung untuk perpindahan. Sebagai contoh, sebuah pegas tidak mematuhi hukum Hooke; juga, dalam banyak kasus physis, fungsi gaya pemulih nonlinear tidak terpisah, seperti dengan membahas pendulum sederhana sebagai contoh untuk diikuti.

Didalam kasus nonlinear, gaya pemulih dapat ditulis seebagai

( ) = − + ∈ ( )

Dimana fungsi ∈ ( ) merepresentasian permulaan linearitas. Ini penting untuk persamaan kwadrat, atau urutan yang lebih tinggi, dalam perpindahan variable x. Persamaan diferensial dari gerakan bawah seperti sebuah gaya, mengasumsikan tidak ada pengaruh gaya luar, dapat ditulis dalam bentuk

+ = ∈ ( ) = ∈ + ∈ +…

Disini kita telah memperluas ∈ ( ) sebagai rangkaian tenaga/daya.

Memecahkan tipe dari persamaan diatas biasanya memerlukan beberapa metode perkiraan. Untuk mengambarkan suatu metode, kita mengambil fakta kasus dimana hanya syarat-syarat kubik di ∈ ( ) adalah penting. Maka kita

Kita mendapatkan solusi dengan metode perkiraan berturut-turut.

Sekarang kita tahu bahwa untuk sebuah ⅄ = 0 solusinya adalah = . Andaikan kita kita mencoba sebuah perkiraan yang sama dengan

(3)

Dimana, kita dapat melihat, tidak sama untuk . Dengan mencoba memasukan solusi dalam persamaan diferensial yang diberikan oleh

− + = ⅄ = ⅄ 3₄ +1₄ 3

Pada bagian terakhir kita telah menggunakan identitas trigonometri =

+ 3 , dimana akan diperoeh dengan mudah dengan menggunkan

hubungan = [ ] . Dengan memberikan dan mengumpulkan terminology, kita mendapatkan.

− + −3_{4 ⅄} −1_{4 ⅄} 3 = 0

Kasus = 0 tidak termasuk hal yang sepeleh, kita melihat solusi tidak persis memuaskan untuk persamaan difefrensial. Bagaimanapun, satu perkiraan untuk nilai dari , yang mana benar untuk lamda kecil, adalah memperoleh dengan cara mengatur tanda kurung sama dengan nol. Ini menghasilkan

= −3_{4 ⅄}

= 1 −3⅄₄

Untuk frekuensi dari kita hanya menjalankan osilator nonlinear. Sambil kita dapat melihat, itu adalah sebuah fungsi dari amplitude A.

Untuk mendapatkan solusi yang lebih baik, kita musti mengambil perhitungan dalam membayangkan syarat-syarat dalam persamaan = 1 −

⅄ _{diatas dan menyertakan harmonik ketiga,}

3 . Oleh karena itu, kita

(4)

= + 3

Dengan memasukan kedalam persamaan diferensial, kita menemukan, setelah mengumpulkan terminology.

− + − ⅄ cos + −9 + − ⅄ 3 +

(meneyrtakan terminology B⅄ perkalian dari ) = 0

Denagn mengatur jumlah yang ada dalam kurung sama dengan nol memberikan nilai yang sama ditemukan dalam persamaan

= −3_{4 ⅄}

= 1 −3⅄₄

Menyamakan yang kedua untuk nol memberikan sebuah nilai untuk koefisien B, yaitu,

Dimana kita dapat mengasumsikan bahwa syarat-syarat persamaan menyertakan

⅄ adalah penggabaian yang cukup kecil. Perkiran kita yang kedua dapat diekspresikan sebagai

= cos − ₃₂⅄ 3

(5)

Analisis diatas. Walaupun tidak dapat disangkal sangat sederhana, membawa dua hal-hal yang perlu kedepan dari osilasi bebas dibaawah sebuah gaya pemulih nonlinear, itu berarti, periode dari osilasi adalah sebuah fungsi dari getaran amplitude, dan osilasi tidak sinusoidal dengan keras tetapi dapat dianggap sebagai superposisi dari sebuah harmonic campuran. Getaran dari sebuah system nonlinear diatur semata-mata oleh gaya pengatur sinusoidal juga disimpangkan. Itu berarti memuat harmonik. Pengeras suara dari sebuah sistim stero, untuk contoh, mungkin memperkenalkan penyimpangan (harmonic) berakhir dan diatas diperkenalkan oleh sistim electronic amplipayer.

Pendulum Sederhana sebagai sebuah Osilator Nonlinear

Pada contoh ini kita meperlakukan pendulum sederhana sebagai sebuah osilator harmonic linear oleh perkiraan ≅ . Sebenarnya, sinus dapat dapat diperluas sebagai sebuah rangkaian kekauatan,

= − 3! + 5! − ⋯

Jadi, persamaan diferensial untuk pendulum sederhana, + sin = 0,

(6)

− + −3_{4 ⅄} −1_{4 ⅄} 3 = 0

memberikan

= 1 − 3( 6 )₄ = _{1 − 8}

Dan

= 2 = 2 _{1 − 8} _{= 1 − 8}

Untuk periode dari pendulum sederhana. Disini adalah amplitude dari osilasi diekspresikan dalam radian. Metode perkiraan menunjukan bahwa periode untuk amplitodu tidak nol adalah lebih panjang oleh factor (1 − /8) / _dari

menghitung lebih awal, mengasumsikan = . Untuk contoh, jika pendulum mengikuti arus mode terakhir dengan amplitude 90 = /2 radian (sebuah

amplitude wajar lebih besar) factornya adalah (1 − /32) = 1.2025, jadi periode adalah kira-kira 20% lebih panjang periode untuk amplitude kecil. Ini dengan sangat lebih besar dari pertambahan pendulum kasti.

* Mengatur-Membatasi Osilator : Solusi Numerik

(7)

sesuatu dari persamaan gerakan Van der Pol menggambarkan sebuah osilator nonlinear, menunjukan mengatur-membatasi pergerakan dimana pembatasan perputaran kita dapat menghitung dengan cukup sesuai nomornya. Dengan menganggap osilator untuk sebuah gaya nonlinear, dimana secara keseluruhan persamaan dari gerak adalah :

− − − + = 0

Persamaan Van der Pol sama untuk persamaan diatas tanpa ketiga syarat-syarat di tanda kurung, kecepatan bergantung factor, / . Batas perputaran jelas dengan sebuah pengaturan kembali terminology diatas dan sebuah subtitusi bagian jarak variable untuk :

− 1 − + + = 0

Nonlinear syarat adalah negativ untuk semua titik ( , ) bagian ellipse diberikan oleh

+ = 1

(8)

Sebuah solusi lengkap hanya dapat membawa keluar secara numerik. Kita telah menggunakan Matematis untuk melakukan ini. Untuk mengurangi perhitungan, kita mempunyai pengatur factor , , dan . Demikian, persamaan

− 1 − + + = 0

dengan bentuk sederhana

− (1 − − ) + = 0

Sebuah cara klasik untuk menyelesaikan sebuah perintah tunggal, kedua persamaan diferensial adalah untuk memasukannya kedalam beberapa sistem equivalent dari pertama-urutan atau beberapa teknik equivalent untuk menyelesaikan. Dengan subtitusi dari untuk , kita mendapatkan mengikuti dua pertama-kedua persamaan diferensial :

=

= − + (1 − − )

Dampak, persamaan ini tidak dapat diselesaikan menjadi numerik. Satu persamaan dapat dengan mudah dibuktikan bawha mempunyai solusi analitik =

dan = − , dimana akhirnya mewakili pembatas gerak pada unit perputaran + = 1. Bagaimanapun, untuk melepaskan gerak start berubah-ubah dari nilai antara dalam dan tanpa dengan batas putaran, dan melihat sistim menyusun kearah pemabatas. Cara ini dapat diamati hanya oleh mengatasi persamaan numerik, untuk contoh, menggunakan Mathcad.

Seperti bagain sebelumnya, kita menggunakan persamaan penyelesaian Mathcad, rkfixed, dimana menggunakan empat-urutan teknik Runge-Kutta untuk penyelesaian numerik pertama-urutan persamaan diferensial dari sebuah dua-dimensi vektor = ( , ).

(9)

YOHANSLI NOYA (201377021) 9  Memberi definisi satu dua-dimensi vektor = , berisi nilai awal

, ; seperti,

= −0.5₀

(gerakan ini dimulai pada _, =(−0.5, 0). )

 Memberi defenisi sebuah vektor-dinilai fungsi ( , ) pertama berisi yang tidak diketahui fungsi ( ) dan ( ) (Persamaan = ; = − +

(1 − − ) ):

( , ) = − + (1 − − )

 Menentukan waktu interval [0, ] dan nomor dari titik, npts, dalam interval dimana solusinya dapat dievaluasi.

 Informasi untuk fungsi rkfixed (atau Rkadapt jika gerakannya berubah juga dengan cepat dalam waktu kecil interval sesuatu tempat dalam interval waktu [0, ] itu telah dipilih); seperti,

= ( , 0, , , )

Atau

= ( , 0, , , )

Fungsi rkfixed (atau ) kembalinay sebuah matriks Z (dalam kasus ini, dua baris dan tiga colum) dimana colum pertama berisi waktu dimana solusi dievaluasi dan sisinya dua colum berisi nilai dari ( ) dan ( ). Ciri-ciri grafiik

Mathcad dapat digunakan untuk menghasilkan nilai tahap-jarak bidang, sebuah

dua-dimensi menyebar bidang dari ( ) versus ( ).

(10)