Tanggapan Mahasiswa pada Pembelajaran Pemodelan Matematika
dengan Program Maple
(Studi Kasus: Pembelajaran Pemodelan Gerak Osilasi)
Yugowati Praharsi dan Benyamin Ardi Kusnanto
yougo_281@yahoo.com, benyaminak@uksw.edu
Abstrak:
Kemajuan ilmu dan teknologi saat ini makin menuntut penyesuaian dalam hal pembelajaran. Dalam paper ini, dibahas survei pembelajaran pemodelan matematika dengan bantuan program Maple. Modul pembelajaran didesain dengan lembar kerja clear space dan uji coba mandiri untuk program Maple dalam penyelesaian model matematika. Hasil survei menunjukkan bahwa lembar kerja clear space dan uji coba mandiri dapat membantu mahasiswa dalam penguasaan materi. Demikian juga dengan program Maple. Program Maple membantu mahasiswa dalam proses penyelesaian model dan dalam menampilkan grafik untuk interpretasi hasil, serta dalam mempelajari karakteristik dari pengamatan berbagai model yang dibangun.
Latar Belakang
Kemajuan ilmu dan teknologi makin menuntut penyesuaian dalam hal pembelajaran
termasuk didalamnya matakuliah “Pemodelan Matematika”. Teknologi dapat menyediakan
Ada beberapa metode penggunaan teknologi dalam pembelajaran matematika, misalnya (1) mendesain tutorial sehingga dapat digunakan sebagai media pembelajaran interaktif. Paper ini menyajikan 2 desain lembar kerja yaitu lembar kerja clear-space dan uji coba mandiri, dimana sebelumnya desain lembar kerja ini digunakan oleh Cheung et al (1996) untuk implementasi
“Kalkulus Peubah Banyak” menggunakan Maple, dan (2) menggunakan program komputer yang
tersedia seperti bahasa pemrograman C++, Pascal dan program komputer aplikasi matematika seperti Maple dan Matlab sebagai alat bantu penyelesaian. Disini dipilih program Maple, karena dibandingkan dengan Pascal dan Excel-spreadsheet, Maple interaktif dan sintak yang fleksibel dalam Maple memberikan pengguna kebebasan untuk mengekspresikan ide-ide mereka (Majewski, 2002). Maple menurut Heal et al (1998) adalah sistem penghitungan simbolik atau sistem komputer aljabar. Maple ideal untuk merumuskan, menyelesaikan dan memeriksa model matematika.
Fenomena-fenomena alam maupun hal-hal yang terjadi dalam kehidupan manusia sehari-hari sangat erat kaitannya dengan bidang fisika. Sebagai contoh: roda keseimbangan arloji, ayunan di taman kanak-kanak, alat penahan goncangan pada kendaraan bermotor (shock breaker), ayunan bandul, dan katrol. Beberapa hal yang dapat diamati antara lain simpangan, kecepatan dan percepatan dari aktivitas geraknya. Jika suatu partikel dalam gerak periodik (gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama) bergerak bolak-balik menempuh lintasan yang sama, geraknya disebut gerak osilasi atau vibrasi. Gerak osilasi meliputi gerak osilasi sederhana/linear dan nonlinear. Topik-topik tersebut diberikan sebagai contoh kasus dalam matakuliah
“Pemodelan Matematika” di Fakultas Sains Matematika untuk tahun ajaran 2002/2003.
Perumusan Masalah
Dari latar belakang diatas dapat dirumuskan sebagai berikut:
1) Bagaimana implementasi lembar kerja clear space untuk pembelajaran pemodelan gerak osilasi?
2) Bagaimana implementasi lembar kerja uji coba mandiri untuk pembelajaran pemodelan gerak osilasi?
4) Bagaimana peran lembar kerja uji coba mandiri dalam pembelajaran pemodelan gerak osilasi?
5) Bagaimana peran program Maple dalam penyelesaian model matematika untuk gerak osilasi?
Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah diatas, maka tujuan penelitian ini sebagai berikut :
1) Mengimplementasikan lembar kerja clear space dalam gerak osilasi linier massa-pegas.
2) Mengimplementasikan lembar kerja uji coba mandiri dalam gerak osilasi linier ayunan bandul 2 dimensi.
3) Menginterpretasikan pendapat mahasiswa tentang peran lembar kerja clear space dalam pembelajaran pemodelan gerak osilasi
4) Menginterpretasikan pendapat mahasiswa tentang peran lembar kerja uji coba mandiri dalam pembelajaran pemodelan gerak osilasi
5) Menginterpretasikan pendapat mahasiswa tentang penggunaan Maple sebagai alat bantu penyelesaian model matematika.
Manfaat Penelitian/Survei
1) Memberikan sumbangan informasi tentang desain modul yang dapat membantu mahasiswa dalam pembelajaran pemodelan gerak osilasi.
2) Desain modul ini dapat dikembangkan untuk modul pembelajaran matematika sejenis di aras SMU.
Metode Penelitian
1) Sampel
Sampel diambil dari mahasiswa matematika yang mengambil mata kuliah “Pemodelan
Matematika” (MS 401) semester I/2002-2003. Para mahasiswa diminta mengisi kuisioner
tentang peran lembar kerja clear-space dan uji coba mandiri dalam pembelajaran pemodelan gerak osilasi serta peran Maple dalam penyelesaian model matematika.
2) Teknik Pengumpulan Data dan Analisis
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah kuisioner tertutup dan terbuka. Analisis pengamatan dilakukan berdasarkan jawaban-jawaban umum dari angket yang diberikan dan beberapa pertanyaan pada lembar kerja. Pengolahan data secara deskriptif dengan program SPSS 10.0 untuk menentukan persentasenya.
3) Modul dan Lembar Kerja
Modul adalah satuan program pembelajaran, yang dapat dipelajari mahasiswa secara mandiri dengan bantuan yang minimal dari dosen. Karena merupakan satuan program pembelajaran maka modul terdiri atas beberapa komponen, yaitu bahan belajar, tujuan instruksional, kegiatan belajar mengajar, evaluasi, remedial dan pengayaan (Sunardi, 2002). Kegiatan belajar mengajar disajikan melalui lembar kerja clear space dan lembar kerja uji coba mandiri. Lembar kerja clear space merupakan lembar kerja yang menguraikan langkah-langkah penyelesaian pemodelan dengan memberikan sebagian jawaban. Lembar kerja ini bertujuan membawa mahasiswa untuk mulai berpikir dan mulai dapat menyelesaikan berbagai permasalahan dengan bantuan sebagian jawaban yang diberikan. Sedangkan lembar kerja uji coba mandiri merupakan lembar kerja yang tidak memberikan jawaban. Lembar kerja ini menekankan mahasiswa untuk mencoba sendiri membuat pemodelan berdasar permasalahan yang ada, sehingga dapat memahami konsep dan mengembangkannya. Semua lembar kerja diatas dilengkapi dengan penyajian grafik sebagai pendukung interpretasi hasil.
Diagram alir 1: Implementasi Desain Lembar Kerja
Pada tahap pertama mahasiswa diajar Maple dimana materinya disusun dalam 4 modul. Tahap berikutnya adalah belajar pemodelan matematika dimana materinya disusun dalam 5 modul. Modul 5,6, dan 7 diajarkan dengan mendesain modul dengan lembar kerja clear space. Modul 8 dan 9 diajarkan dengan mendesain modul dengan lembar kerja uji coba mandiri.
Identifikasi dan Pembatasan Masalah
1) Semua subyek menjawab pertanyaan pada jajak pendapat dengan jujur.
2) Pembahasan masalah gerak osilasi hanya pada massa-pegas teredam, tidak teredam dan dengan sebuah sistem gaya serta ayunan bandul yang teredam dan tidak teredam.
Mulai
Modul Pengenalan Maple: 1. Fungsi dan Ekspresi
2. Derivatif dari Fungsi dan Ekspresi 3. Teori Persamaan Diferensial Biasa 4. Pemrograman dengan Prosedur
Modul Pemodelan Gerak Osilasi:
5. Gerak Harmonk Sederhana Massa-Pegas Tanpa Redaman
6. Gerak Harmonik Sederhana Massa-Pegas Teredam 7. Gerak Harmonik Sederhana Massa-Pegas Dengan
Sistem Gaya (clear space version)
Modul Pemodelan Gerak Osilasi:
8. Gerak Harmonik Bandul Linear tanpa redaman 9. Gerak Harmonik Bandul Linear dengan redaman. (Versi: uji coba mandiri)
Kajian Pustaka
1. Pemodelan Matematika
Menurut Kusnanto (2000) model didefinisikan sebagai bentuk sajian dari obyek atau situasi nyata, abstraksi tertentu dari masalah dunia nyata, informasi utama tentang suatu sistem. Pemodelan matematika merupakan proses berpikir dan diikuti dengan sederetan alasan logis. Tahap-tahap utama dalam pemodelan matematika dari permasalahan dunia nyata ditunjukkan dalam skema 1 berikut ini.
Skema 1: Tahap-Tahap Pemodelan Matematika
Garis putus-putus diatas menunjukkan bahwa apabila model tidak valid maka bisa ditinjau kembali asumsi-asumsinya. Model matematika menggunakan simbol-simbol dan persamaan-persamaan matematika untuk menggambarkan sistem. Pemodelan matematika penting untuk mempelajari suatu tingkah laku sistem, karena dalam dunia nyata terdiri dari berbagai proses saling berinteraksi. Pemodelan matematika mempunyai suatu keuntungan yaitu mempertimbangkan hanya pada pengaruh yang pasti dari obyek yang sedang diamati dan
Formulasi variabel dan
hubungan antar variabel dalam permasalahan nyata
Asumsi-asumsi model
Formulasi model
permasalahan nyata
Validasi model
Interpretasi solusi Penyelesaian model permasalahan
Model digunakan untuk
menjelaskan,meramalkan,
kemudian dimasukkan dalam penghitungan, sedangkan pengaruh yang tidak pasti dapat diabaikan.
2. Osilasi
Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Gerak periodik ini disebut gerak harmonik jika pergeseran partikel yang bergerak periodik itu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus dan cosinus. Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama, geraknya disebut gerak osilasi atau vibrasi (getaran) (Halliday dan Resnick, 1998). Hukum yang mendasari gerak osilasi yaitu hukum Newton II dan hukum Hooke.
2.1Hukum Newton II
Prinsip gerakan benda adalah berdasarkan hukum Newton II (Davis, 1992):
dt 2 x d2 m. (t) m.x" m.a
F
F = jumlah semua gaya yang bekerja pada benda m = massa benda
a = percepatan x = posisi
Hukum Newton II dapat dinyatakan sebagai perubahan kecepatan sebuah partikel per satuan waktu, atau percepatannya adalah resultan semua gaya luar yang bekerja pada partikel itu dibagi oleh massanya, dan arahnya sama dengan gaya resultan tersebut (Sears dan Zemansky, 1994).
2.2Hukum Hooke
elastisitas tidak dilampaui. Gaya yang dimaksud ialah dorongan atau tarikan dalam mana perubahan bentuk yang terjadi hanya berupa perpindahan titik tangkap gaya, maka gaya dan perpindahan dihubungkan berdasarkan hukum Hooke :
F = k.x
F = gaya yang dikerjakan terhadap suatu benda untuk menghasilkan perpindahan x. k = konstanta proporsionalitas.
x = perpindahan dari posisi kesetimbangannya.
3. Peranan Teknologi Pada Pemodelan Matematika (Villers, 1994)
Proses pemodelan matematika pada dasarnya terdiri dari 3 tahap yaitu (1) konstruksi model matematika (2) penyelesaian model dan (3) interpretasi dan evaluasi penyelesaian seperti yang ditunjukkan dalam skema 2.
Skema 2: Dasar Proses Pemodelan Matematika
Selama proses penyelesaian, kita menerapkan teknik matematika secara jelas seperti pemfaktoran, diferensiasi, penyelesaian persamaan dan lain-lain. Yang terakhir dalam interpretasi dan evaluasi penyelesaian kita membutuhkan untuk mengecek apakah realistik dengan membandingkan pada keadaan dunia nyata.
Perangkat lunak komputer (misal : program Maple) dapat membantu kita dengan penghitungan terurut yang dilibatkan pada langkah kedua dalam model yang tepat yang telah dikonstruksi. Akan tetapi, komputer biasanya sangat sedikit membantu dalam langkah pertama dan terakhir. Disini kecerdikan/kepintaran dan pemahaman manusia secara mutlak penting. Jika
Masalah nyata
Model
matematika Penyelesaian
(1)
sebuah model tidak tepat, komputer mungkin menghasilkan jawaban yang secara lengkap tidak ada gunanya. Komputer hanya dapat melakukan apa yang manusia perintahkan, dan bergantung pada keakuratan data atau model yang dimasukkan kepadanya.
Adanya program Maple dapat membantu kita pada langkah kedua. Oleh karena itu secara kuat merupakan tantangan bagi pendekatan tradisional yang menekankan keahlian teknik dan manipulative pada pengembangan keahlian dalam interpretasi dan konstruksi model. Ini adalah waktu untuk menjawab atau mengakui bahwa dalam pemodelan, langkah kedua hanya sebagai alat untuk menuju langkah terakhir dan seharusnya tidak dianggap sebagai langkah terakhir.
4. Maple
Maple adalah sebuah program aplikasi yang berisi banyak prosedur dan fungsi di bidang matematika. Selain itu, Maple berisi bahasa pemrograman yang terbatas hanya untuk menyelesaikan masalah sesuai dengan prosedur dan fungsi yang ada. Maple merupakan pemrograman terstruktur, sehingga memiliki rancang bangun yang testruktur dan jelas, sehingga mudah ditelusuri, dipahami dan dikembangkan oleh setiap orang.
Maple menurut Heal et al (1998) adalah sistem penghitungan simbolik atau sistem komputer aljabar. Keduanya mengacu pada kemampuan Maple untuk memanipulasi informasi secara simbolik atau aljabar. Kemampuan simbolik digunakan untuk mendapatkan penyelesaian analitik yang eksak dalam banyak masalah matematika seperti integral, sistem persamaan, persamaan diferensial, dan masalah aljabar linear. Melengkapi operasi simbolik yaitu sekumpulan besar grafik untuk memvisualisasi informasi yang rumit. Sedangkan algoritma numerik untuk menyediakan estimasi dan menyelesaikan masalah dimana penyelesaian eksak tidak ada.
Penggunaan Maple seperti penggunaan software lain yang konvensional. Kita dapat melakukan operasi-operasi standar seperti membuka file, menyimpan, dan mencetak file. Semua perintah yang kita ketik pada lembar kerjanya dan hasil yang ditampilkan, sesudah disimpan masih dapat kita buka kembali.
Hasil Survei dan Pembahasannya
1. Apakah Lembar Kerja Clear Space dalam Pembelajaran Pemodelan Gerak Osilasi
Membantu Belajar Mahasiswa?
Persentase Peran L. K. Clear Space
dalam Pembelajaran Pemodelan Gerak Osilasi
18.2%
54.5%
27.3% tidak membantu
membantu
sangat membantu
Diagram Pie 1
2. Apakah Lembar Kerja Uji Coba Mandiri dalam Pembelajaran Pemodelan Gerak
Osilasi Membantu Belajar Mahasiswa?
Persentase Peran L.K. Uji Coba Mandiri
untuk Pembelajaran Pemodelan Gerak Osilasi
70.0%
20.0% 10.0%
membantu
sangat membantu tidak menjawab
Diagram Pie 2
Dari diagram pie 2, mahasiswa yang menyatakan lembar kerja uji coba mandiri sangat membantu ada 20%, yang menyatakan membantu ada 70%, dan yang tidak menjawab ada 10%. Beberapa komentar yang menyatakan sangat membantu dan membantu antara lain: lebih memahami permasalahan, bisa mengamati perubahan model jika ada variabel model yang berubah, dapat diajak berpikir kritis dan analitis, dengan mengamati dan menyimpulkan sendiri jadi lebih memahami, dan bisa belajar membuat kesimpulan hubungan antar variabel.
3. Apakah Program Maple dalam Penyelesaian Pemodelan Matematika Membantu
Belajar Mahasiswa?
> mass(70,200,700);
Gambar 1: Simpangan, Kecepatan dan Percepatan Sistem Massa Pegas Teredam
Dengan memanggil prosedur mass maka dapat ditampilkan grafik simpangan, kecepatan dan percepatan seperti di atas. Pada saat t = 0, amplitudo simpangan besarnya 0,05 m, amplitudo kecepatan besarnya nol m/s, dan amplitudo percepatan besarnya 0,5 m/s2 dimana arahnya berlawanan dengan arah simpangan.
> Interpretasi Hasil
Dengan massa 70 kg, gesekan udara 200 v, dan konstanta pegas 700 N/m, sistem pada gambar 1 menunjukkan teredam. Hal ini ditunjukkan oleh grafik simpangan, kecepatan dan percepatan semakin lama semakin mengecil. Adapun besarnya simpangan, kecepatan dan percepatan diperoleh dengan memanggil ekspresi simpangan, kecepatan, dan percepatan dimana semua ekspresi tersebut sudah didefinisikan di dalam prosedur mass.
Berikut ini contoh grafik hasil pemrograman Maple pada pembelajaran gerak osilasi sederhana massa-pegas yang tidak teredam.
> mass(70,700);
Gambar 2: Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan Sistem Massa Pegas Tidak Teredam
Dengan memanggil prosedur mass maka dapat ditampilkan grafik simpangan, kecepatan dan percepatan seperti di atas. Pada saat t = 0, amplitudo simpangan besarnya 0,05 m, amplitudo kecepatan besarnya nol m/s, dan amplitudo percepatan besarnya 0,5 m/s2 dimana arahnya berlawanan dengan arah simpangan.
> Interpretasi Hasil
Dengan massa 70 kg dan konstanta pegas 700 N/m, sistem diatas bergerak terus menerus tanpa redaman. Simpangan dan percepatan sama dengan nol pada saat kecepatan maksimum atau minimum. Adapun besarnya simpangan, kecepatan dan percepatan diperoleh dengan memanggil ekspresi simpangan, kecepatan, dan percepatan dimana semua ekspresi tersebut sudah didefinisikan di dalam prosedur mass.
> simpangan;
( )
x t 1
20cos( 10 t)
> kecepatan;
tx( )t 1
> percepatan;
2
t2x( )t 1
2cos( 10 t)
Kesimpulan
Lembar kerja clear space dan uji coba mandiri yang merupakan bagian dari kegiatan belajar mengajar dalam modul pembelajaran pemodelan gerak osilasi dapat membantu mahasiswa dalam penguasaan materi. Lembar kerja clear space yang diimplementasikan pada modul pemodelan gerak harmonik sederhana massa-pegas: tanpa redaman, dengan redaman, dengan sistem gaya dapat memberikan gambaran kepada mahasiswa akan model matematika yang seharusnya diterapkan. Sedangkan lembar kerja uji coba mandiri yang diimplementasikan pada modul pemodelan gerak harmonik bandul linier: tanpa redaman, dengan redaman dapat membantu mahasiswa untuk berpikir secara kritis dan analitis dan mahasiswa dapat belajar membuat kesimpulan hubungan antar variabel. Demikian juga dengan program Maple. Program Maple membantu mahasiswa dalam proses penyelesaian model dan dalam menampilkan grafik untuk interpretasi hasil, serta dalam mempelajari karakteristik dari pengamatan berbagai model yang dibangun.
Referensi
Ari Harseno dan Sutriyono. 2001. Kemampuan siswa dalam membaca grafik kecepatan (v) – waktu (t) untuk menentukan jarak. Satya Widya. Vol 14, No 2. 103-114.
Cheung, C.K., Tim Murdoch, G.E. Keough. 1996. Exploring Multivariable Calculus with Maple. John Wiley & Sons, Inc. United States.
Davis, P.W. 1992. Differential Equations for Mathematics, Science, and Engineering. Prentice-Hall International Inc.
Halliday, D dan R. Resnick. 1998. Fisika. Jilid 1. Edisi ke-3. Erlangga., Jakarta. (Diterjemahkan oleh Pantur Silaban dan Erwin Sucipto).
Heal, K.M., M.L. Hansen and K.M. Rickard. 1998. Maple V : Learning Guide. Waterloo Maple Inc. Canada.
Kusnanto, B.A. 2000. Diktat Mata Kuliah Pemodelan Matematika. Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga.
Majewski, M. 2002. Using Basic Maple Programming in Elementary Mathematics Courses. Inter-University Institute of Macau. http://www.iium.edu.mo/mirek/
Sears, F.W dan M.W. Zemansky. 1994. Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi. Edisi ke-8. Binacipta, Jakarta. (Diterjemahkan oleh Soedarjana dan Amir Achmad).
Sunardi, H. 2002. Pengaruh sistem pengajaran dengan modul terhadap hasil belajar dan kaitannya dengan status pekerjaan mahasiswa pendidikan matematika universitas PGRI Adi Buana Surabaya. Hal 421-426. Jurnal Matematika atau Pembelajarannya : Prosiding Konferensi Nasional Matematika XI bagian I, edisi khusus, Juli 2002. Universitas Negeri Malang Press, Malang.
Villers, M. 1994. The role of technology in mathematical modelling. Phytagoras, 35:34-42.
