statmath1. 181KB Apr 25 2011 02:14:00 AM

S

TATISTIKA

M

ATEMATIKA

S

TATISTIKA

M

ATEMATIKA

The work in this book/modul was partially supported by Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala.

Printed by ...

S

TATISTIKA

M

ATEMATIKA

OLEH

Muhammad Subianto

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Syiah Kuala

Kata Pengantar

This work would not have been possible to complete without the help of so many people.

Daftar Isi

Kata Pengantar v

Daftar Isi vii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xi

1 Peluang 1

1.1 Peristiwa dan Ruang Sampel . . . 1

1.2 Aljabar Peristiwa . . . 2

1.3 Ukuran Peluang . . . 3

1.4 Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan . . . 5

1.4.1 Kaidah Perkalian . . . 5

1.4.2 Permutasi dan Kombinasi . . . 6

1.5 Peluang Bersyarat . . . 8

1.6 Ketaktergantungan antar Peristiwa . . . 8

2 Peubah Acak 9 2.1 Distribusi Variabel Random . . . 9

2.2 Variabel Random Diskret . . . 9

2.2.1 Distribusi Uniform Diskret . . . 9

2.2.2 Distribusi Hipergeometrik . . . 9

2.2.3 Variabel Random Bernoulli dan Binom . . . 9

2.2.4 Distribusi Poisson . . . 9

2.2.5 Distribusi Geometrik dan Binom Negatif . . . 9

2.3 Variabel Random Kontinu . . . 9

2.3.1 Beberapa fungsi dan integral . . . 9

2.3.2 Variabel Random Uniform . . . 9

2.3.3 Distribusi Eksponensial . . . 9

2.3.4 Distribusi Gamma . . . 9

2.3.5 Distribusi Normal. . . 9

2.3.6 Distribusi Beta . . . 9

2.4 Fungsi dari Variabel Random . . . 9

viii Daftar Isi

3 Distribusi Bersama 11

3.1 Variabel Random Diskret . . . 11

3.2 Variabel Random Kontinu . . . 11

3.3 Variabel Random Takbergantungan . . . 11

3.4 Distribusi Bersyarat . . . 11

3.4.1 Kasus Diskret . . . 11

Daftar Gambar

2.1 This is a figure. . . 10

Daftar Tabel

Bab 1

Peluang

Kata peluang akan dipakai untuk mewakili kata probability dalam buku-buku teks yang baku. Peluang berkaitan dengan adanya suatu mekanisme random (random mechanism) atau mekanisme alami (natural mechanism) yang realisasinya tidak dapat diatur sekehendak kita. Peluang yang ditinjau di sini khusus dibatasi pada lingkup bahasan teori dasar statistika, atau statistika matematik. Unsur kerandoman (randomness) memang datang secara alamiah (natural) seperti misalnya, jenis kelamin bayi yang ditunggu kelahirannya, sisi mata dadu yang akan muncul pada lemparan pertama, ukuran curah hujan yang akan turun hari ini, dan sebagainya.

1.1

Peristiwa dan Ruang Sampel

Kita berasumsi dulu tentang adanya peristiwa yang dalam khayalan kita dapat terulangi dalam kondisi umum yang sama. Setiap hasil yang terkhayalkan dari sebuah percobaan konseptual yang dapat diulang dalam kondisi serupa akan disebut sebuah titik sampel atau hasil elementer atau peristiwa elementer; totalitas dari hasil-hasil terangankan (atau titik sampel, peristiwa elementer), akan disebut ruang sampel. Sebuah himpunan bagian sebarang dari ruang sampel (dengan titik-titik sampel sebagai unsur-unsurnya) disebut sebuah peristiwa.

Contoh 1.1 Pelemparan dua buah coin secara serentak memberikan empat hasil terangankan yakni (g, g), (g, a), (a, g), (a, a), dengan g = gambar dana= angka, sebagai kemungkinan hasil terangankan dari setiap coin baik coin pertama maupun coin kedua. Jadi ada empat titik sampel yang menjadikannya sebuah ruang sampel. Ruang sampel S di sini berupa sebuah himpunanS = (g, g),(g, a),(a, g),(a, a). PeristiwaA= "coin pertama menghasilkan angka" dapat juga dinyatakan sebagaiA= (a, g),(a, a); peristiwaB = "hanya satu angka dari kedua coin" ekivalen denganB = (a, g),(g, a); peristiwa C = "tidak muncul satu angka pun dari kedua coin" adalah sama denganC= (g, g)atau peristiwa elementer(g, g).

Definisi 1.1 HimpunanS dari semua peristiwa elementer (hasil yang mungkin) dalam suatu percobaan tertentu disebut ruang sampel untuk percobaan itu.

Definisi 1.2 Suatu peristiwa itu sebuah himpunan dari beberapa hasil yang mungkin dari suatu percobaan, yaitu suatu himpunan bagian dariS(termasukSsendiri).

2 Bab 1. Peluang

1.2

Aljabar Peristiwa

Dengan ruang sampelSsebagai universum atau himpunan totalitas semua peristiwa elementer, kita akan gunakan operasi aljabar dalamSsebagaimana halnya operasi aljabar dari himpunan. Pada umumnya akan digunakan huruf kecil a, b, c, . . . untuk menyatakan unsur-unsur atau peristiwa elementer atau hasil yang mungkin dari suatu percobaan; huruf besar A, B, . . . , E untuk menyatakan peristiwa. Sementara a ∈ A menyatakan "a adalah unsur dalam A"; A ⊂B menyatakan "Aadalah himpunan bagian dariB" atau ekivalen denganB ⊃Ayang menyatakan "BmemuatA", kita perlu mendefinisikan secara formal relasi berikut ini.

A⊂B⇔x∈A⇒x∈B pemuatan

A=B ⇔[A⊂BdanB ⊂A] kesamaan

Beberapa contoh aljabar:

Uni: Uni (jumlahan atau gabungan) dariAdanB, ditulisA∪B, adalah himpunan unsur-unsur dariAatauBatau keduanya:

A∪B =x∈S:x∈Aataux∈B

Interseksi: Interseksi (atau pertemuan) dariAdanB, ditulisA∩B, adalah himpunan unsur-unsur yang adalah sekaligus unsur-unsur dari keduaAdanB.

A∩B =x∈S:x∈Adanx∈B

Komplemen: Komplemen dariA, ditulisAc_{, adalah himpunan semua unsur yang di luarA.}

Ac =x∈S :x6∈A

Komplemen relatif: Komplemen dari Arelatif terhadapB, ditulisB −A, adalah himpunan semua unsur dariB yang di luarA.

B−A=x∈S:x∈B, x6∈A

Jelas bahwaB−A=B∩Ac_{, sebagaimanaB∩Adapat ditulis sebagaiBA.}

Contoh 1.2 Pandang percobaan mencabut satu kartu dari tumpukan kartu bridge, dan mencatat ciri gambarnya yang mungkin sebagai peristiwa: keriting (K), berlian (B), hati (H), atau gunungan (G). Ruang sampelnya adalah S = K ∪B ∪H ∪G. Sebagai peristiwa yang mungkin misalnya

A=K∪BdanC=B∪H∪G Dari peristiwa-peristiwa ini dapat dibentuk

1.3. Ukuran Peluang 3

Sifat-sifat operasi aljabar peristiwa diberikan sebagai berikut ini.

Dalil 1.1 Untuk peristiwa sebarangA, B, C ⊂S, berlaku sifat-sifat 1. Komutatif

A∪B =B∪A, A∩B =B∩A;

2. Asosiatif

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C;

3. Ditributif

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C);

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);

4. De Morgan

(A∪B)c _=Ac_∩Bc_, (A∩B)c =Ac∪Bc.

Definisi 1.3 Dua peristiwa A dan B dikatakan tak bertemu atau saling asing(disjoint atau

mutually exclusive) apabila A∩B = ∅. Peristiwa-peristiwa A1, A2, . . .adalah saling asing

apabilaAi∩Bj =∅, untuki6=j.

Definisi 1.4 Apabila A1, A2, . . . adalah peristiwa-peristiwa saling asing dan S∞i=1Ai = S,

makaA1, A2, . . .membentuk suatupartisidariS.

1.3

Ukuran Peluang

Kita mulai dahulu dengan ruang sampel yang unsurnya tercacah, dan terbatas, katakan S memuatntitik sampel. Definisikan fungsi pencacah unsur peristiwac(.), yaitu untuk peristiwa A⊂S makac(A)= banyaknya unsur dalamA. Jadi,c(∅) = 0, c(S) =n,⇒ 0≤c(A) ≤n. Dengan menggunakan fungsi pencacah unsur ini dapat didefinisikan peluang a priori sebagai berikut:

Definisi 1.5 Peluang a priori dari peristiwaA⊂Sdinotasikan sebagaiP(A), yang ukurannya ialahP(A) = c_c(₍A_S)₎

Contoh 1.3 Dari pelemparan dua buah coin yang ’imbang’, akan dihitung peluang bahwa (a) coin pertama menampakkan angka, (b) hanya muncul satu angka, (c) tak satu angka pun yang muncul.

Karena kedua coin itu ’imbang’, maka diasumsikan keempat titik sampel dari S = (g, g),(g, a),(a, g),(a, a) pada contoh 1.1 mempunyai ’kesempatan sama’ untuk muncul, masing-masing dengan peluang 1₄ = _c(1_S).

(a) Peristiwa ’coin pertama angka’ adalahA = (a, g),(g, a), sehinggaP(A) = c_c(₍A_S)) = 2₄ =

4 Bab 1. Peluang

(b) Peristiwa ’hanya satu angka’ adalahB = (g, a),(a, g), danP(B) = c_c(₍B_S)) = 2₄ = 1₂

(c) Peristiwa ’tak muncul angka’ adalahC= (g, g), danP(C) = c_c(₍C_S)) = 1₄

Selanjutnya, tanpa harus membatasi diri pada ruang sampel tercacah dan terbatas, secara umum ukuran peluang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 1.6 Sebuah ukuran peluang pada ruang sampel S adalah sebuah fungsi dari S ke bilangan nyata yang memenuhi aksioma berikut ini:

1. P(S) = 1

2. JikaA⊂SmakaP(A)≥0

3. JikaAdanBtak-bertemu (disjoint,mutually exclusive), maka P(A∪B) =P(A) +P(B).

Secara lebih umum, jikaA1, A2, . . . Antak saling bertemu, maka

P(S∞

i=1Ai) =

P∞

i=1=P(Ai)

Sifat-sifat berikut ini adalah konsekuensi dari aksioma peluang di atas:

S1 P(Ac_{) = 1−P(A). Sifat ini didapat dariAdanA}c_{tak bertemu denganA∪A}c _=Sdan

karenanya dari aksioma pertama dan ketiga,P(A) +P(Ac_{) = 1.}

S2 P(∅) = 0. Sifat ini sebagai akibat dari S1 karena∅=Sc_.

S3 JikaA ⊂ B, makaP(A) ≤ P(B). Sifat ini berlaku karenaB dapat dinyatakan sebagai uni dari dua peristiwa tak-bertemu:

B =A∪(B−A)

dan dari aksioma ketiga,

P(B) =P(A) +P(B−A)

atau

P(A) =P(B)−P(B−A)≤P(B)

S4 Hukum JumlahanP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). Untuk melihat ini,

Pertama, pandang B sebagai uni dari dua peristiwa tak-bertemu, B −A danA ∩B, sehingga

1.4. Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan 5

Kedua, pandangA∪Bsebagai uni dari dua buah peristiwa tak-bertemu,AdanB−A, sehingga

P(A∪B) =P(A) +P(B−A) (1.2)

Substitusi (1.1) pada (1.2) memberikan hasil yang diharapkan.

1.4

Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan

Untuk menghitung peluang pada situasi yang agak komplek, perlu dikembangkan cara sistematik dalam mencacah unsur peristiwa.

1.4.1 Kaidah Perkalian

Berikut adalah kaidah perkalian yang sangat bermanfaat.

KAIDAH PERKALIAN:

Jika sebuah percobaan mempunyaimhasil dan sebuah percobaan lainnya mempunyainhasil, maka adamnhasil yang mungkin (titik sampel) untuk pasangan kedua percobaan itu.

Bukti: Nyatakan percobaan pertama sebagai A = (a1, a2, . . . , an) dan percobaan kedua

sebagaiB = (b1, b2, . . . , bn), maka pasangan dari kedua percobaan itu adalah

E =A×B =

       

(a1, b1) (a1, b2) . . . (a1, bn)

(a2, b1) (a2, b2) . . . (a2, bn)

. . . .

(am, b1) (am, b2) . . . (am, bn)

       

Pengaturan unsur-unsur (titik sampel) percobaanEdalam susunanmbaris dannkolom ini memperlihatkan bahwac(E) =c(A)×c(B) =mn.

Cara lain juga dapat ditempuh dengan membuat diagram cabang, yaitu untuk setiap cabang (darimcabang) percobaan pertama barcabang menjadincabang lagi untuk percobaan kedua. Banyaknya ujung cabang akhir adalahmn.

Contoh 1.4 Suatu kelas terdiri atas 12 siswa laki-laki (siswa) dan 13 siswa perempuan (siswi). Guru menunjuk seorang siswa dan seorang siswi untuk mewakili kelas tersebut ke pertemuan antar kelas. Untuk itu guru mempunyai sebanyak13×12 = 156cara memilih wakil kelasnya.

PERLUASAN KAIDAH PERKALIAN:

Sebuah percobaan merupakan gabungan dari p buah percobaan komponen. Komponen percobaan pertama mempunyain1 hasil yang mungkin, percobaan kedua mempunyain2, . . . ,

komponen percobaan ke-pmempunyainphasil yang mungkin dari percobaan itu.

Contoh 1.5 Sebuah kata biner 8-bit merupakan barisan 8 digit, yang masing-masing digitnya dapat bernilai 0 atau 1. Berapa macamkah dapat dibentuk kata biner 8-bit.

Jawab:

6 Bab 1. Peluang

1.4.2 Permutasi dan Kombinasi

Suatu permutasi itu suatu pengaturan beberapa obyek secara berurutan. Misalnya, tersedia n= 5potong kertas yang sama dan sebangun berbentuk empat persegi panjang namun dalam warna yang berbeda, yaitu M(merah),B(biru), K(kuning), H(hijau), danN(nila). Kemudian sebuah bendera harus dibuat dengan menyusun k = 3 potong di antara kertas warna yang tersedia itu (dalam susunan vertikal dari atas ke bawah). Pertanyaan: Berapa macam bendera yang mungkin dapat dibuat?

Salah satu cara pandang adalah melihat ini sebagai sebuah percobaan dengan 3 tingkat komponen percobaan: pertama, untuk menetapkan warna lapis atas, ada tersedia 5 pilihan (M, B, K, H, atau N); kedua, untuk menetapkan lapis kedua hanya tinggal 4 pilihan warna; ketiga, untuk menentukan warna lapis bawah hanya tinggal 3 pilihan lagi. Sehingga dengan kaidah perkalian, didapat5×4×3 = 60cara yang mungkin untuk membuat bendera dalam susunan seperti dikehendaki.

Untuk bilangan cacah c > 0, notasi c!dibaca c-faktorial, untuk menyatakan c! = c(c−

1)(c−2). . .(2)(1), dengan definisi0! = 1.

Hasil60 = 5×4×3di atas sama dengan5!₂ = ₍₅−5!3)!. Dikatakan bahwa pengaturan berurut 3 obyek dari 5 obyek yang tersedia dapat dilakukan dalam permutasi 3 dari 5 atauP(3,5) =

5!

(5−3)! = 60. Secara umum, untuk0≤k≤n,permutasikdarinialahP(k, n) =

n! (n−k)!

Aturan A

Banyaknya ragam pengaturan berurutkobyek darinobyek yang ada ialah permutasikdarin, yaituP(k, n) = _(n−n!k)!

Akibat A

Banyaknya ragam pengaturan berurutnobyek yang ada ialah permutasinobyek, yaituP(n) =

P(n, n) =n![Catatan: penyebut(n, n)! = 0! = 1dapat tidak dituliskan ].

Contoh 1.6 Anggaplah bahwa nomor plat mobil di suatu daerah dibedakan oleh susunan dari dua huruf dan diikuti oleh tiga digit. Berapakah peluang bahwa nomor plat sebuah mobil tidak memuat huruf atau tiga digit berulang?

SebutA adalah peristiwa ’nomor plat mobil tidak memuat huruf atau digit berulang’ dari ruang sampelSyang memuat semua susunan 2 huruf dan diikuti 3 digit.

Jelaslahc(S) = (26).(10) = 676000, sedangkanc(A) = P(2,26).P(3,10) = 26!_24!.10!_7! = (26×25)×(10×9×8) = 468000

Sehingga,P(A) = _cc(₍A_S)) = 468000₆₇₆₀₀₀ = 0.6923

Contoh 1.7 [Persoalan Ultah] Misalkan di suatu kamar asrama tinggal norang mahasiswa. Berapa peluang bahwa sekurang-kurangnya dua diantara mereka mempunyai hari ulang tahun sama?

MisalkanAadalah peristiwa dimaksud. Maka komplemennya,Ac, adalah peristiwa bahwa kesemua norang itu berhari ulang tahun berbeda. Banyaknya unsurS yaitu banyaknya hari ulang tahun yang mungkin untuknorang, yaituc(S) = 365. PeristiwaAc_{dapat terjadi dalam}

P(n,365) = 365×364×. . .×(365−n+ 1). Jadi

P(Ac) = c(A c₎

c(S) =

1.4. Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan 7

dan

P(A) = 1−P(Ac) = 1− 365×364×. . .×(365−n+ 1)

[image:21.595.119.440.477.659.2]

365n

Tabel berikut mempelihatkan peluang dimaksud untuk berapa nilainyang mungkin

n 4 16 23 32 40 56

P(A) 016 284 507 753 891 988

Dari tabel di atas ternyata bila n = 23 orang, peluang bahwa ada hari lahir beradu ialah P(A)>0,5.

Sekarang sebagai pengganti dari 5 potong kertas berwarna, tersedia 5 botol tinta berbeda warna yaitu M(erah), B(iru), K(uning), H(ijau) and N(ila). Apabila 3 botol di antaranya dicampur isinya menjadi satu, hasilnya akan memberi warna tertentu tidak tergantung pada urutan ketiga warna dimaksud. Jadi untuk setiap3! ragam bendera yang dapat disusun dengan tiga warna kertas, kini berhubungan dengan hanya 1 ragam warna tinta (dari hasil campuran 3 warna serupa). Oleh karena penyusunan berurut 3 warna dari5 warna yang ada dalam pembuatan bendera menghasilkanP(3,5) = 5!/(32)!, maka dalam pencampuran 3 warna tinta dari 5 warna tinta yang tersedia akan menghasilkanP(3,5)/3! = 5!/[(53)!(3!)] = 10ragam

kombinasiwarna.Kombinasikdarinadalah banyaknya cara penggabungankobyek darin obyek yang tersedia (tanpa memperhatikan susunan urutan).

Aturan B

Banyaknya ragam gabungankdarinobyek yang tersedia ialah kombinasikdarin, yaitu

  n k  = n! (n−k)!k! =

n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! Bilangan   n k 

disebut koefisien binom, yang muncul dalam ekspansi

(a+b)n= n X k=0   n k  akb(n

−k) Beberapa sifat koefisien binom yang bermanfaat adalah:

S1 Khususnya, apabila untuka=b= 1.2n₌Pn

k=0   n k  

Hasil terakhir ini dapat diinterpretasikan sebagai banyaknya himpunan bagian dari himpunan n obyek. Ini didapat dengan menjumlahkan banyaknya himpunan bagian dengan 2 obyek, dst.

S2   n k  =   n

n−k



8 Bab 1. Peluang

S3





n k



= 



n−1

k−1



+ 



n−1

k





1.5

Peluang Bersyarat

Bab 2

Peubah Acak

2.1

Distribusi Variabel Random

2.2

Variabel Random Diskret

2.2.1 Distribusi Uniform Diskret

2.2.2 Distribusi Hipergeometrik

2.2.3 Variabel Random Bernoulli dan Binom

2.2.4 Distribusi Poisson

2.2.5 Distribusi Geometrik dan Binom Negatif

2.3

Variabel Random Kontinu

2.3.1 Beberapa fungsi dan integral

2.3.2 Variabel Random Uniform

2.3.3 Distribusi Eksponensial

2.3.4 Distribusi Gamma

2.3.5 Distribusi Normal

2.3.6 Distribusi Beta

2.4

Fungsi dari Variabel Random

Definisi 2.1 Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri atau karakteristik populasi.

Sudah menjadi kebiasaan untuk melambangkan parameter dengan huruf Yunani. Untuk rata-rata populasi dilambangkan denganµ.

Definisi 2.2 Statistik merupakan sembarang nilai yang menjelaskan ciri atau karakteristik suatu sampel.

10 Bab 2. Peubah Acak

Gambar 2.1: This is a figure.

Bab 3

Distribusi Bersama

3.1

Variabel Random Diskret

3.2

Variabel Random Kontinu

3.3

Variabel Random Takbergantungan

3.4

Distribusi Bersyarat

3.4.1 Kasus Diskret

3.4.2 Kasus Kontinu